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2013年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)理科数学试题(含答案)


2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

2013.4

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改 动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知 M ? x ?2 ? x ? 4, x ? Z , N ? x ?1 ? x ? 3 ,则 M ? N ? A. ? ?1,3? B. [?2,1) C. ?0,1, 2? D. ??2, ?1, 0?

?

?

?

?

2.已知复数 z 的实部为 1 ,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是 A. ? 3 B. 3i C. ? 3i D. ? 3

3.已知数列 {a n } 是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24, a 4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于 A.1 B.3 C.5 D.6

4. 为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm) .根据所得数据画 出了样本的频率分布直方图(如右) ,那么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是 A.30 C.70 5.函数 f ( x) ? sin ? ? x ? B.60 D.80
频率/组距

? ?

??

1] ? , x ? [?1, ,则 2?

0.04 0.02 0.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm)

A. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上单调递减; 1] B. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上单调递增; 1] C. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递增; 0 D. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递减. 0 6.下列命题中假命题是 ...

第 4 题图

A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行.

理科数学试题卷

第 1 页 共 10 页

? x?0 ? y?0 ? 7.直线 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? 表示的平面区域的公共点有 x ? y ? ?2 ? ? 4 x ? 3 y ? 20 ?
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.无数个

8.将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图) ,设顶点 P( x, y ) 的轨迹 方程是 y ? f ( x) ,关于函数 y ? f ( x) 的有下列说法: ① f ( x) 的值域为 [0, 2] ; ② f ( x) 是周期函数; ③ f (?1.9) ? f (? ) ? f (2013) ; ④ B y

?

6

0

9 f ( x)dx ? ? . 2

OP A 第 8 题图 B. 1 C. 2

x

其中正确的说法个数为: A.0 D. 3

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.命题“ ? x0 ? R, e
x0

? 0”的否定是

. . . .

10. 已知向量 a, b 满足 a ? 1, b ?
n

2 , ? a ? b ? ? a , 向量 a 与 b 的夹角为
3 2

11.若二项式 ?1 ? 2 x ? 展开式中 x 的系数等于 x 的系数的 4 倍,则 n 等于 12.已知圆 C 经过点 A(0,3) 和 B(3,2) ,且圆心 C 在直线 y ? x 上,则圆 C 的方程为 13.将集合{ 2s ? 2t | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z }中的元素按上小下大, 左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第 i 行第 j 列 的数记为 bi j ( i ? j ? 0 ),则 b65 = .

3 5 9 ? ? 10
第 13 题图

6 12 ? ?

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2cos ? 的交点分别为 A、B ,则线段 AB 的垂直平分线的 极坐标方程为 .

B O

15. (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB ? 9 ,直线 CE 与圆 O

相切于点 C , AD ? CE 于 D ,若 AD ? 1 ,设 ?ABC ? ? , 则 sin ? ? ______.
A E C
第 15 题图

D

理科数学试题卷

第 2 页 共 10 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限, 已知 A(?1,3) . (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值; (2)若 B 点横坐标为

4 ,求 S ?AOB . 5

17. (本题满分 12 分) 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设 工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否 堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学, 再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路 A 、 、 B

D 上下班时间往返出现拥堵的概率都是
到拥堵上学和上班的都会迟到. (1)求李生小孩按时到校的概率;

1 1 ,道路 C 、 E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 ,只要遇 10 5

A


D
甲 丙

(2)李生是否有七成把握能够按时上班? (3)设 ? 表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数,求 ? 的均值.

B
C

E
第 17 题图

18. (本题满分 14 分) 如 图 甲 , 设 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 3 , 点 E、F 分 别 在 A B C D , 并 且 满 足 上 、

AE ? 2EB,CF ? 2FD ,如图乙,将直角梯形 AEFD 沿 EF 折到 A1 EFD1 的位置,使点 A1 在平面 EBCF
上的射影 G 恰好在 BC 上. (1)证明: A1 E // 平面 CD1 F ; (2)求平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的余弦值.

A1

A

D F

D1

E B
图甲

E
C
第 18 题图

F

B

G
图乙

C

理科数学试题卷

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19. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系内,动圆 C 过定点 F ?1, 0 ? ,且与定直线 x ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程; (2)中心在 O 的椭圆 C1 的一个焦点为 F ,直线 l 过点 M (4, 0) .若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在 曲线 C2 上,且直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴长取得最小值时的椭圆方程.

20. (本题满分 14 分) 某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响, 环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱, 个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度 f ( x) 与 1

x 6 ? ? 2? 6 ? x?3 ? 时间 x (小时)的关系可近似地表示为: f ( x) ? ? ?1 ? x ? 6 ?
度不低于

0? x?3
,只有当污染河道水中碱的浓

3? x ?6

1 时,才能对污染产生有效的抑制作用. 3

(1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

1 时,马上再投放 1 个单位的固体碱, 3

设第二次投放后水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的最大值.(此时水中碱浓度为两次投 ...... 放的浓度的累加) ..

21. (本题满分 14 分) 设函数 f 0 ( x) ? x ? e
2 1 ? x 2

,记 f 0 ( x) 的导函数 f 0?( x) ? f1 ( x) , f1 ( x ) 的导函数 f1?( x) ? f 2 ( x) ,

f 2 ( x) 的导函数 f 2?( x) ? f3 ( x) ,?, f n?1 ( x) 的导函数 f n??1 ( x) ? f n ( x) , n ? 1, 2,? .
(1)求 f 3 (0) ; (2)用 n 表示 f n (0) ;
* (3)设 Sn ? f 2 (0) ? f3 (0) ? ? ? f n ?1(0) ,是否存在 n ? N 使 S n 最大?证明你的结论.

理科数学试题卷

第 4 页 共 10 页

理科数学评分参考
二、填空题 9. ? x?R, e x ? 0 10.

? 4

11. 8

12. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

13. 80

?? 2 ? 14. ? sin ? ? ? ? ? (或 ? sin? ? ? cos? ? 1 ) 4? 2 ?
三、解答题 16.⑴解法 1、 由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) , ??? ? ??? ? OA ? (?1,3) , OB ? (cos ? ,sin ? ) ??? ??? ? ? OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0 1 ∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 , tan ? ? 3 解法 2、 由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) kOA ? ?3 , kOB ? tan ?

15.

1 3

??1 分 ??2 分 ??3 分 ??4 分 ??1 分 ??2 分

∵ OA ? OB ,∴ KOA ? KOB ? ?1 ??3 分 1 ??4 分 ?3tan ? ? ?1 , 得 tan ? ? 3 解法 3、 设 B( x , y ) , (列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求正切 1 分) ⑵解法 1、 由⑴ OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2 3 3 10 ?1 10 ? ?? ∴ sin ? ? , cos ? ? (每式 1 分) 10 10 10 10 4 3 ∵ OB ? 1 cos ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? (列式计算各 1 分) 5 5 3 10 4 10 3 3 10 sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ? ? (列式计算各 1 分) 10 5 10 5 10 1 1 3 10 3 ∴ S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ? (列式计算各 1 分) 2 2 10 2 解法 2、 由题意得: AO 的直线方程为 3x ? y ? 0 3 4 3 则 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 即 B ( , ) (列式计算各 1 分) 5 5 5 4 3 3 ? ? 3 5 5 5 ? 10 (列式计算各 1 分) 则点 B 到直线 AO 的距离为 d ? 10 10 又 OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S?AOB ?

?

??6 分 ??8 分 ??10 分 ??12 分 ??6 分 ??8 分

??10 分

1 1 3 10 3 AO ? d ? ? 10 ? ? (每式 1 分)?12 分 2 2 10 2
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理科数学试题卷

解法 3、
3 4 3 即 B ( , ) (每式 1 分) ??6 分 5 5 5 ??? ? ??? ? 4 3 即: OA ? (?1,3) , OB ? ( , ) , ??7 分 5 5 ??? ??? ?1? 4 ? 3 ? 3 ? ? OA ? OB 2 2 5 5 ? 10 ??9 分 OA ? (?1) ? (3) ? 10 , OB ? 1 , cos ?AOB ? ??? ??? ? ? ? 10 10 ?1 OA OB sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

(模长、角的余弦各 1 分)
3 10 ??10 分 10 1 1 3 10 3 则 S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ??12 分 ? (列式计算各 1 分) 2 2 10 2 解法 4、根据坐标的几何意义求面积(求 B 点的坐标 2 分,求三角形边长 2 分,求某个 内角的余弦与正弦各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分)

∴ sin ?AOB ? 1 ? cos 2 ?AOB ?

17.⑴因为道路 D、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是

1 1 和 , 10 5

1 1 1 1 3 因此从甲到丙遇到拥堵的概率是 ? ? ? ? ? 0.15 (列式计算各 1 分) ??2 分 2 10 2 5 20 所以李生小孩能够按时到校的概率是 1 ? 0.15 ? 85% ; ??3 分 17 ⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是 , ??4 分 20 17 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是 , ??5 分 20 1 1 1 1 1 1 2 甲到乙遇到拥堵的概率是 ? ? ? ? ? ? , ??6 分 3 10 3 10 3 5 15 2 13 甲到乙没有遇到拥堵的概率是 1 ? ? ,李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是 15 15 17 17 13 3757 ? ? ? ? 0.8 ,所以李生没有八成把握能够按时上班(计算结论各 1 分)??8 分 20 20 15 6000 ⑶依题意 ? 可以取 0,1, 2 . ??9 分 13 17 221 2 17 13 3 73 2 3 6 , P(? ? 1) = ? ? ? ? , P(? ? 2) = ? ? ,?11 分 P(? ? 0) = ? ? 15 20 300 15 20 15 20 300 15 20 300 分布列是: ? 0 1 2 221 73 6 p 300 300 300

E? ?

221 73 6 85 17 ? 0+ ?1+ ? 2= ? . 300 300 300 300 60

??12 分

理科数学试题卷

第 6 页 共 10 页

18.⑴证明:在图甲中,易知 AE / / DF ,从而在图乙中有 A1 E // D1 F , ⑵解法 1、 如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1 H , 由于 A1G ? 平面 EBCF ,则 AG ? EF , 1 所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ? A1 H , 所以 ?A1 HG 平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的平面角, ??5 分 ??6 分 ??8 分

??1 分

因为 A1 E ? 平面 CD1 F , D1F ? 平面 CD1 F ,所以 A1 E // 平面 CD1 F (条件 2 分)??4 分

图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、H 三点共线, ??9 分 AG 设 CF 的中点为 M , MF ? 1, 则 易证 ?ABG ? ?EMF , 所以, ? MF ? 1 , ? 10 ; ?? BG 11 分(三角形全等 1 分) AB?AE 6 又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ? , ??12 分 ? AG 10 4 于是, HG ? AG ? AH ? , ??13 分 10 HG 2 2 ? ,即所求二面角的余弦值为 .??14 分 在 Rt ?A1GH 中, cos ?A1GH ? A1 H 3 3

A1

z
D1

A
H

A1
D1

D

F
E

M
G
图甲

H

E B
G

F
E
C
图乙

y
T

F
G
图丙

B

C

B

C

x

解法 2、 如 图 , 在 图 乙 中 作 GH ? EF, 垂 足 为 H , 连 接 A1 H , 由 于 A1G ? 平 面 EBCF, 则 A1 G ? E F, ??5 分 所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ?AH ,图甲中有 EF ? AH ,又 G ?E ,则 A、 、 三 H F G H 1 点共线, ??6 分 设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以 BG ? MF ? 1 ,则 AG ? 10 ; AB?AE 6 又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H ? AH ? , ??7 分 ? AG 10 4 于是, HG ? AG ? AH ? , 10

? 6 ? ? 4 ? 在 Rt ?A1GH 中, AG ? A1H ? HG ? ? ??8 分 1 ? ?? ? ? 2 ? 10 ? ? 10 ? 作 GT / / BE 交 EF 于点 T ,则 TG ? GC ,以点 G 为原点,分别以 GC、GT、GA1 所在直线
2 2

2

2

为 x、y、z 轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则 G(0, 0, 0)、 E (1, ?1,0) 、 F (2, 2,0) 、 ??? ? ???? A1 (0, 0, 2) ,则 EF ? (1,3, 0), 1 ? (?1,1, 2) (坐标系、坐标、向量各 1 分) EA ??11 分 ???? 显然, GA1 ? (0, 0, 2) 是平面 BEFC 的一个法向量, ??12 分

理科数学试题卷

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? ??? ? ? ?n?EF ? x ? 3 y ? 0, ? x ? ?3 y , ? ? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 A1 EFD1 的一个法向量,则 ? ? ???? ,即 ? , ? z ? ?2 2 y ? ?n?EA1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ? ? 不妨取 y ? ?1 ,则 n ? (3, ?1, 2 2) , ??13 分 设 平 面 BEFC 与 平 面 A1 EFD1 所 成 二 面 角 为 ? , 可 以 看 出 , ? 为 锐 角 , 所 以 , ? ? ?? ? G A? n | 0? 3? 0? (? 1 ) 1 ? 2 2 2 | 2 ? c o s ? ? ? ?? ? ? ? ? ,所以,平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面 2 2 |G A ?| n | 2 ? 3 ? (? 12) ? ( 2 2 ) 3 1 |
2 角的余弦值为 . 3

??14 分 ??2 分

19.⑴由题可知,圆心 C 到定点 F ?1, 0 ? 的距离与到定直线 x ? ?1 的距离相等 (确定“曲线是抛物线”1 分,说明抛物线特征 1 分) 所以动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程为 y 2 ? 4 x . ⑵解法 1、 设 P(m, n) , 则 OP 中 点 为 (

由抛物线定义知, C 的轨迹 C2 是以 F ?1, 0 ? 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物线 ??4 分 ??5 分

m n , ), 因 为 O、P 两 点 关 于 直 线 y ? k( x? 4 )对 称 , 所 以 2 2 ? m 8k 2 ?n ? k( ? 4 ) ?m? ?2 ?km ? n ? 8k ? 2 1 ? k 2 (中点 1 分,方程组 2 分,化简 1 分) ??8 分 ,即 ? ,解之得 ? ? ? ? m ? nk ? 0 ?n ? ? 8k ? n ? k ? ?1 ? m ? ? 1? k2 ? 8k 2 8k 2 将其代入抛物线方程,得: (? ,所以 k 2 ? 1 . ??9 分 ) ? 4? 1? k2 1? k2 ? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 ??11 分 ? 2 ? 2 ?1 b ?a 2 2 由 ? ? (?8a ) ? 4(b2 ? a2 )(16a2 ? a2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b2 ? 16 , ??12 分

注意到 b2 ? a2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?

34 ,即 2a ? 34 , 2

??13 分 ??14 分

x2 y2 因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 .此时椭圆的方程为 + ? 1. 17 15 2 2 解法 2、 ? m2 ? , m ? ,因为 O、P 两点关于直线 l 对称,则 OM ? MP =4 , 设 P? ? 4 ?
2

??6 分

k AB

? m2 ? 即 ? ??7 分 ? 4 ? ? m2 ? 4 ,解之得 m ? ?4 ? 4 ? 即 P(4, ?4) , 根 据 对 称 性 , 不 妨 设 点 P 在 第 四 象 限 , 且 直 线 与 抛 物 线 交 于 A, B . 则 1 ?? ? 1 ,于是直线 l 方程为 y ? x ? 4 (斜率 1 分,方程 1 分) ??9 分 kOP
? y? x?4 ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
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??11 分

由 ? ? (?8a2 )2 ? 4(b2 ? a2 )(16a2 ? a2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b2 ? 16 , 注意到 b2 ? a2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?
34 ,即 2a ? 34 , 2

??12 分 ??13 分 ??14 分

x2 y2 因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 . 此时椭圆的方程为 + ? 1. 17 15 2 2

0? x?3 ? ? 3? x ?6 ? ? 20.⑴由题意知 ? ??2 分 x 6 1 或? x 1 2? ? ? 1? ? ? 6 x?3 3 ? 6 3 ? ? 解得 1 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,即 1 ? x ? 4 ??3 分 能够维持有效的抑制作用的时间: 4 ? 1 ? 3 小时. ??4 分 ⑵由⑴知, x ? 4 时第二次投入 1 单位固体碱,显然 g ( x) 的定义域为 4 ? x ? 10 ??5 分 当 4? x?6 时 , 第 一 次 投 放 1 单 位 固 体 碱 还 有 残 留 , 故 ? 11 x 6 6 ? x ? ? ( x ? 4) g ? x ? = ?1 ? ? + ? 2 ? ? ; ??6 分 ?= ? ? 6 ( x ? 4) ? 3 ? 3 3 x ? 1 ? 6 ? ? 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故 ( x ? 4) 6 8 x 6 当 6 ? x ? 7 时, g ( x) ? 2 ? = ? ? ; ??7 分 ? 6 ( x ? 4) ? 3 3 6 x ? 1 x?4 5 x 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) ? 1 ? ; ??8 分 ? ? 6 3 6 6 ?11 x 4? x?6 ? 3 ? 3 ? x ?1 ? 6 ?8 x 所以 g ( x) ? ? 3 ? 6 ? x ? 1 6 ? x ? 7 ??9 分 ? ?5 x 7 ? x ? 10 ?3 ? 6 ?

当 4 ? x ? 6 时, g ( x) ? 当且仅当

6 10 x ?1 6 11 x 6 10 x ? 1 10 ? )? ?2 ? = ?( = ?2 2 ; ? ? 3 x ?1 3 3 x ?1 3 3 3 x ?1 3

x ?1 6 时取“=”,即 x ? 1 ? 3 2 ? [4, 6] (函数值与自变量值各 1 分)??11 分 ? 3 x ?1 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留, 6 1 ( x ? 5)(7 ? x) 当 6 ? x ? 7 时, g ?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数; 2 ( x ? 1) 6 6( x ? 1) 2 1 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) 为减函数;故 g ( x) max = g (7) ? , ??12 分 2 10 1 17 ? 12 2 289 ? 288 = ? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3 2 时, 又 ( ? 2 2) ? ? 水中碱浓度的最大 3 2 6 6 10 值为 ? 2 2 . ??13 分 3 答:第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时;第一次投放 10 1 ? 3 2 小时后, 水中碱浓度的达到最大值为 ? 2 2 . ??14 分 3
理科数学试题卷 第 9 页 共 10 页

1 ? 1 ? ? x 21.⑴易得, f1 ? x ? ? ? ? x 2 ? 2 x ? e 2 , ? 2 ? 1 ? x ?1 ? f2 ? x ? ? ? x2 ? 2x ? 2 ? e 2 ?4 ?

??1 分 ??2 分 ??3 分

1 3 ? 1 ? ? x f3 ? x ? ? ? ? x 2 ? x ? 3 ? e 2 ,所以 f3 (0) ? ?3 2 ? 8 ? ⑵不失一般性,设函数 f n ?1 ( x) ? ? an ?1 x 2 ? bn ?1 x ? cn ?1 ? ? e? x 的导函数为

f n ( x) ? ? an x 2 ? bn x ? cn ? ? e? x ,其中 n ? 1, 2,? ,常数 ? ? 0 , a0 ? 1, b0 ? c0 ? 0 .

对 f n?1 ( x) 求导得: f n??1 ( x) ? [? ? an?1 x 2 ? (2an?1 ? ? ? bn?1 ) x ? (bn?1 ? ? ? cn?1 )] ? e? x 故由 f n??1 ( x) ? f n ( x) 得: an ? ? ? an ?1 ①, ? ?bn ? 2an ?1 ? ? ? bn ?1 ②, ? ?cn ? bn?1 ? ? ? cn?1 ③ ? n 由①得: an ? ? , n ? N , b 2 b 代入②得: bn ? 2 ? ? n?1 ? ? ? bn?1 ,即 nn ? ? nn?11 ,其中 n ? 1, 2,? ?

??4 分 ??5 分 ??6 分

?

?

?

故得: bn ? 2n ? ?

n ?1

,n? N .

??7 分

代入③得: cn ? 2n ? ? n ?2 ? ? ? cn ?1 ,即 故得: cn ? n(n ? 1) ? ? n ?2 , n ? N ,

?

cn
n

?

2n

?

2

?

? n?1

cn ?1

,其中 n ? 1, 2,? . ??8 分

因此 f n (0) ? cn ? n(n ? 1) ? ? n ?2 , n ? N . 1 1 将 ? ? ? 代入得: f n (0) ? n(n ? 1)(? ) n ?2 ,其中 n ? N . 2 2 1 n ?1 (2)由(1)知 f n ?1 (0) ? n(n ? 1)(? ) , 2
1 当 n ? 2k (k ? 1, 2,?) 时, S2 k ? S2 k ?1 ? f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1) ? (? )2 k ?1 ? 0 , 2 ? S2 k ? S2 k ?1 ? 0, S2 k ? S2 k ?1 ,故当 S n 最大时, n 为奇数.

??9 分

??10 分

当 n ? 2k ? 1(k ? 2) 时, S2 k ?1 ? S2 k ?1 ? f 2 k ?2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ??11 分 1 1 又 f 2 k ? 2 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)(? ) 2 k , f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1)(? )2 k ?1 2 2 1 1 1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)(? )2 k ? 2k (2k ? 1)(? ) 2 k ?1 ? (2k ? 1)(k ? 1)(? )2 k ?1 ? 0 , 2 2 2 ? S2 k ?1 ? S2 k ?1 ,因此数列 ?S2 k ?1? (k ? 1, 2,?) 是递减数列 ??12 分 又 S1 ? f 2 (0) ? 2 , S3 ? f 2 (0) ? f3 (0) ? f 4 (0) ? 2 , 故当 n ? 1 或 n ? 3 时, S n 取最大值 S1 ? S3 ? 2 . ??13 分 ??14 分

理科数学试题卷

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