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辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三下学期期初数学试卷(文科)


辽宁省朝阳市三校协作体 2015 届高三下学期期初数学试卷(文 科)
一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. ) 2 1. (5 分)已知全集 U=R,A={x||x|<2},B={x|x ﹣4x+3>0},则 A∩(?UB)等于() A.{x|1≤x<3} B.{x|﹣2≤x<1} C.{x|1≤x<2} D.{x|﹣2<x≤3} 2. (5 分)设 a,b 为实数,则“a>b>0 是 < ”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件
3

B. 必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3. (5 分)函数 f(x)=lnx+x ﹣9 的零点所在的区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

D.(3,4)

4. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A.2 B. C.

=3,则

=()

D.3

5. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) ,当﹣3≤x<﹣1 时,f(x)=﹣(x+2) 2 ,当﹣1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f=() A.335 B.338 C.1678 D.2012

6. (5 分)已知函数 f(x)= 增函数,则常数 a 的取值范围是() A.(1,2) B.(﹣∞,1]∪[2,+∞) ∞,1)∪(2,+∞)

在区间(﹣∞,+∞)上是

C. [1,2]

D. (﹣

7. (5 分)已知函数 A.(﹣1,6)

,则不等式 f(x﹣2)+f(x ﹣4)<0 的解集为() B.(﹣6,1) C.(﹣2,3) D.(﹣3,2)

2

8. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 平移

)的最小正周期是 π,若其图象向右

个单位后得到的函数为奇函数,则函数 y=f(x)的图象() ,0)对称 ,0)对称 B. 关于直线 x= D.关于直线 x= 对称 对称

A.关于点( C. 关于点(

9. (5 分) 已知函数 f (x) =x +bx 的图象在点 A (1, f (1) ) 处的切线斜率为 3, 数列 的前 n 项和为 Sn,则 S2014 的值为() A. B. C. D.

2

10. (5 分)下列四个图中,函数 y=

的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

11. (5 分)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示该四棱锥 侧面积和体积分别是()

A.4

,8

B. 4



C . 4(

+1) ,

D.8,8

12. (5 分) 已知定义域为 R 的奇函数 y=f (x) 的导函数为 y=f( ′ x) , 当 x≠0 时, f( ′ x) + >0,若 a= f( ) ,b=﹣2f(﹣2) ,c=(ln )f(ln ) ,则 a,b,c 的大小关系正确的是()

A.a<b<c

B.b<c<a

C.a<c<b

D.c<a<b

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分)

13. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最

大值为 6,则

的最小值为.

14. (5 分)在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,AB=BC= 棱锥外接球的体积为.
3

,PA=2,则此三

15. (5 分)f(x)=ax ﹣3x+1 对于 x∈[﹣1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a=. 16. (5 分)在△ AOB 中,G 为△ AOB 的重心(三角形中三边上中线的交点叫重心) ,且 ∠AOB=60°.若 ? =6,则| |的最小值是.

三.解答题: (解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知函数 f(x)=3cos x+2sinxcosx+sin x. (1)求 f(x)的最大值,并求出此时 x 的值; (2)写出 f(x)的单调区间. 18. (12 分)已知 f(x)= T=π. (1)求 f( )的值; sin(π+ωx)sin( ﹣ωx)﹣cos ωx(ω>0)的最小正周期为
2 2 2

(2)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若有(2a﹣c)cosB=bcosC,则 求角 B 的大小以及 f(A)的取值范围. 19. (12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{bn}满足 b1+S4=0, b9=a1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Wn.

20. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60°, AB=2,PD= ,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点.

(Ⅰ)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 PD∥平面 EAC,求三棱锥 P﹣EAD 的体积.

21. (12 分)已知函数 f(x)=ax +bx 的图象经过点 M(1,4) ,曲线在点 M 处的切线恰好与 直线 x+9y=0 垂直. (1)求实数 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求 m 的取值范围. 22. (12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn=an+log an,Sn=b1+b2+…+bn,求 Sn.

3

2

辽宁省朝阳市三校协作体 2015 届高三下学期期初数学试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. ) 1. (5 分)已知全集 U=R,A={x||x|<2},B={x|x ﹣4x+3>0},则 A∩(?UB)等于() A.{x|1≤x<3} B.{x|﹣2≤x<1} C.{x|1≤x<2} D.{x|﹣2<x≤3} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,求出 A 与 B 补集的交集即可. 解答: 解:由 A 中不等式解得:﹣2<x<2,即 A={x|﹣2<x<2}, 由 B 中不等式变形得: (x﹣1) (x﹣3)>0, 解得:x<1 或 x>3,即 B={x|x<1 或 x>3},
2

∴?UB={x|1≤x≤3}, 则 A∩(?UB)={x|1≤x<2}, 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2. (5 分)设 a,b 为实数,则“a>b>0 是 < ”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 推理和证明. 分析: 根据:若 < 则 ﹣ = 断. 解答: 解:若 a>b>0,则 ﹣ = 若 < 则 ﹣ = <0,即 < 出成立. <0,a>b>0 或 0>a>b;由充分必要条件的定义可判

<0,a>b>0 或 0>a>b

所以“a>b>0 是 < ”的充分不必要条件. 故选:A 点评: 本题简单的考查了作差分解因式,判断大小;充分必要条件的判断方法. 3. (5 分)函数 f(x)=lnx+x ﹣9 的零点所在的区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)
3

D.(3,4)

考点: 函数零点的判定定理;二分法求方程的近似解. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(2)<0,f(3)>0,可得函数 f(x) 在区间(2,3)上有唯一的零点. 3 解答: 解:由于函数 f(x)=lnx+x ﹣9 在(0,+∞)上是增函数, 3 f(2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3>0,故函数 f(x)=lnx+x ﹣9 在区间(2,3)上有唯一的零点, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的单调性,函数零点的判定定理,属于基础题.

4. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A.2 B. C.

=3,则

=()

D.3

考点: 等比数列的前 n 项和.

分析: 首先由等比数列前 n 项和公式列方程,并解得 q ,然后再次利用等比数列前 n 项和 公式则求得答案.

3

解答: 解:设公比为 q,则

=

=

=1+q =3,

3

所以 q =2, 所以 = = = .

3

故选 B. 点评: 本题考查等比数列前 n 项和公式. 5. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) ,当﹣3≤x<﹣1 时,f(x)=﹣(x+2) 2 ,当﹣1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f=() A.335 B.338 C.1678 D.2012 考点: 函数的周期性;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x+6)=f(x)可知,f(x)是以 6 为周期的函数,可根据题目信息分别求得 f (1) ,f(2) ,f(3) ,f(4) ,f(5) ,f(6)的值,再利用周期性即可得答案. 解答: 解:∵f(x+6)=f(x) , ∴f(x)是以 6 为周期的函数, 又当﹣1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)+f(2)=1+2=3,f(﹣1)=﹣1=f(5) ,f(0)=0=f(6) ; 2 当﹣3≤x<﹣1 时,f(x)=﹣(x+2) , 2 ∴f(3)=f(﹣3)=﹣(﹣3+2) =﹣1, 2 f(4)=f(﹣2)=﹣(﹣2+2) =0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+2﹣1+0+(﹣1)+0=1, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f =[f(1)+f(2)+f(3)+…+f]+f+f =335×1+f(1)+f(2) =338. 故选:B. 点评: 本题考查函数的周期,由题意,求得 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=是关键,考 查转化与运算能力,属于中档题.

6. (5 分)已知函数 f(x)= 增函数,则常数 a 的取值范围是() A.(1,2) B.(﹣∞,1]∪[2,+∞) ∞,1)∪(2,+∞)

在区间(﹣∞,+∞)上是

C. [1,2]

D. (﹣

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 2 3 2 分析: 由分段函数的单调性,考虑各段的情况,注意在 R 上递增,则有 0 ≥0 +a ﹣3a+2, 解得即可. 解答: 解:由于 f(x)= 且 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上是增函数, 2 则当 x≥0 时,y=x 显然递增; 3 2 2 当 x<0 时,y=x +a ﹣3a+2 的导数为 y′=3x ≥0,则递增; 由 f(x)在 R 上单调递增, 则 0 ≥0 +a ﹣3a+2,即为 a ﹣3a+2≤0, 解得,1≤a≤2. 故选 C. 点评: 本题考查函数的单调性的运用,考查不等式的解法,属于基础题和易错题.
2 3 2 2



7. (5 分)已知函数 A.(﹣1,6)

,则不等式 f(x﹣2)+f(x ﹣4)<0 的解集为() B.(﹣6,1) C.(﹣2,3) D.(﹣3,2)

2

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 本题要先判出 f(x)为奇函数和增函数,进而把抽象不等式转化为关于 x 的一元二 次不等式. 解答: 解:由题意可知 f(x)的定义域为 R. ∵

∴f(﹣x)+f(x)=

=

=0,即 f(﹣x)=﹣f(x) ,∴f(x)为奇函数.

又 f(x)=

=
2

,由复合函数的单调性可得 f(x)为增函数,
2

∴f(x﹣2)+f(x ﹣4)<0 可化为 f(x﹣2)<﹣f(x ﹣4) 2 2, 2 即 f(x﹣2)<f(4﹣x ) ,可得 x﹣2<4﹣x 即 x +x﹣6<0,解得﹣3<x<2, 故选 D 点评: 本题为函数的性质与不等式解法的结合,属中档题.

8. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 平移

)的最小正周期是 π,若其图象向右

个单位后得到的函数为奇函数,则函数 y=f(x)的图象() ,0)对称 ,0)对称 B. 关于直线 x= D.关于直线 x= 对称 对称

A.关于点( C. 关于点(

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由周期求出 ω=2,故函数 f(x)=sin(2x+φ) ,再根据图象向右平移 的函数 y=sin(2x﹣ 对称性. 解答: 解:由题意可得 =π,解得 ω=2,故函数 f(x)=sin(2x+φ) ,其图象向右平移 +φ]是奇函数,可得 φ=﹣ 个单位后得到

,从而得到函数的解析式,从而求得它的

个单位后得到的图象对应的函数为 y=sin[2(x﹣ )+φ]=sin(2x﹣ +φ]是奇函数,又|φ|< ,故 φ=﹣ ,

故函数 f(x)=sin(2x﹣ ﹣ ) 关于直线 x=

) ,故当 x= 对称,

时,函数 f(x)=sin

=1,故函数 f(x)=sin(2x

故选:D. 点评: 本题主要考查诱导公式的应用,利用了 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数 的对称性,属于中档题. 9. (5 分) 已知函数 f (x) =x +bx 的图象在点 A (1, f (1) ) 处的切线斜率为 3, 数列 的前 n 项和为 Sn,则 S2014 的值为() A. B. C. D.
2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;数列的求和. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 可得 f′(1)=2+b=3,解得 b=1,进而可得 f(x) ,然后由裂项相消法求和可得. 解答: 解:函数的导数 f′(x)=2x+b, ∵点 A(1,f(1) )处的切线的斜率为 3, ∴f′(1)=2+b=3,解得 b=1. 2 ∴f(x)=x +x=x(x+1) , ∴ = = ,

∴S2014=(1﹣ )+( =1﹣ =

)+(

)+…+(



故选 C 点评: 本题考查数列的求和,涉及导数和曲线某点切线的斜率以及裂项相消法求和,属中 档题.

10. (5 分)下列四个图中,函数 y=

的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项. 解答: 解:当 x>0 时,y>0,排除 A、B 两项; 当﹣2<x<﹣1 时,y>0,排除 D 项. 故选:C. 点评: 本题考查函数的性质与识图能力,属中档题,一般根据四个选择项来判断对应的函 数性质,即可排除三个不符的选项. 11. (5 分)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示该四棱锥 侧面积和体积分别是()

A.4

,8

B. 4



C . 4(

+1) ,

D.8,8

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 由已知得该四棱锥为正四棱锥,底面边长 AB=2,高 PO=2,由此能求出该四棱锥侧 面积和体积. 解答: 解:∵四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形, ∴该四棱锥为正四棱锥, 其主视图为原图形中的△ SEF,如图, 由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长 AB=2,高 PO=2, 则四棱锥的斜高 PE= ∴该四棱锥侧面积 S=4× ×2× 体积 V= ×2×2×2= . 故选:B. = . =4 ,

点评: 本题考查四棱锥侧面积和体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思 维能力的培养.

12. (5 分) 已知定义域为 R 的奇函数 y=f (x) 的导函数为 y=f( ′ x) , 当 x≠0 时, f( ′ x) + >0,若 a= f( ) ,b=﹣2f(﹣2) ,c=(ln )f(ln ) ,则 a,b,c 的大小关系正确的是() A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 利用条件构造函数 h(x)=xf(x) ,然后利用导数研究函数 h(x)的单调性,利用函 数的单调性比较大小. 解答: 解:设 h(x)=xf(x) , ∴h′(x)=f(x)+x?f′(x) , ∵y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数, ∴h(x)是定义在实数集 R 上的偶函数, 当 x>0 时,h'(x)=f(x)+x?f′(x)>0, ∴此时函数 h(x)单调递增. ∵a= f( )=h( ) ,b=﹣2f(﹣2)=2f(2)=h(2) , c=(ln )f(ln )=h(ln )=h(﹣ln2)=h(ln2) ,

又 2>ln2> , ∴b>c>a. 故选:C. 点评: 本题考查如何构造新的函数,利用单调性比较大小,是常见的题目.本题属于中档 题. 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分)

13. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最

大值为 6,则

的最小值为



考点: 简单线性规划;基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义, 确定 z 取最大值点的最优 解,利用基本不等式的性质,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=ax+by(a>0,b>0)得 y= 则直线的斜率 k= 平移直 y= 直线 y= ,

<0,截距最大时,z 也最大. ,由图象可知当直线 y= 经过点 A 时,

的截距最大,此时 z 最大,



,解得



即 A(4,6) , 此时 z=4a+6b=6, 即 ∴ =( , ) ( ,即 a= )= 时取等号,此时 b= ,a=3﹣ , 时取等号. .

当且仅当 故答案为:

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义先求出最优解是解决本题的关键, 利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点. 14. (5 分)在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,AB=BC= 棱锥外接球的体积为 . ,PA=2,则此三

考点: 球的体积和表面积;棱锥的结构特征. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 解题思路:“找球心”(到三棱锥四个顶点距离相等等的点) .注意到 PC 是 Rt△ PAC 和 Rt△ PBC 的公共的斜边, 记它的中点为 O, 从而得出该三棱锥的外接球球心为 O, 半径为 , 从而计算出它的体积即可. 解答: 解:∵PC 是 Rt△ PAC 和 Rt△ PBC 的公共的斜边, 记它的中点为 O,则 OA=OB=OP=OC= PC= 的外接球球心为 O,半径为 故它的体积为: 故答案为: , = . ,即该三棱锥

点评: 本题主要考查线线垂直、线面平行、求球的体积等立体几何知识,以及分析问题与 解决问题的能力.本题还有方法二:“补体”,将三棱锥补成长方体,如图所示;它的对角线 PC 是其外接球的直径,从而即可求得球的体积. 15. (5 分)f(x)=ax ﹣3x+1 对于 x∈[﹣1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a=4.
3

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 这类不等式在某个区间上恒成立的问题,可转化为求函数最值的问题,本题要分三 类:①x=0,②x>0,③x<0 等三种情形.当 x=0 时,不论 a 取何值,f(x)≥0 都成立;当 x>0 时有 a≥ ,可构造函数 g(x)= ,然后利用导数求 g(x)的最大值,只

需要使 a≥g(x)max,同理可得 x<0 时的 a 的范围,从而可得 a 的值. 解答: 解: ①若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 都成立; ②当 x>0,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax ﹣3x+1≥0 可化为:a≥
3

设 g(x)=

,则 g′(x)=



所以 g(x)在区间(0, ]上单调递增,在区间[ ,1]上单调递减, 因此 g(x)max=g( )=4,从而 a≥4; ③当 x<0,即 x∈[﹣1,0)时,f(x)=ax ﹣3x+1≥0 可化为:a≤ g(x)= 在区间[﹣1,0)上单调递增,
3



因此 g(x)min=g(﹣1)=4,从而 a≤4,综上 a=4. 答案为:4. 点评: 本题考查的是含参数不等式的恒成立问题,考查分类讨论,转化与化归的思想方法, 利用导数和函数的单调性求函数的最大值,最小值等知识与方法.在讨论时,容易漏掉 x=0 的情形,因此分类讨论时要特别注意该问题的解答. 16. (5 分)在△ AOB 中,G 为△ AOB 的重心(三角形中三边上中线的交点叫重心) ,且 ∠AOB=60°.若 ? =6,则| |的最小值是 2.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;不等式的解法及应用;平面向量及应用. 分析: 设 AB 的中点为 C,则点 G 在 OC 上,运用重心的性质和中点向量的表示,再由向量 的数量积的定义,结合基本不等式即可求得最小值. 解答: 解:设 AB 的中点为 C,则点 G 在 OC 上, 且 ∵ ∴| |?| = = ? =|| |?| = ( + ) ,

|?cos60°=6,

|=12.

则| =

|= (|

+

|= ≥

= = |的最小值是 2, =2,

当且仅当|

|=|

|时,等号成立,故|

故答案为:2. 点评: 本题主要考查三角形的重心的定义和性质,考查向量的数量积的定义和性质及模, 基本不等式的应用,属于中档题. 三.解答题: (解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知函数 f(x)=3cos x+2sinxcosx+sin x. (1)求 f(x)的最大值,并求出此时 x 的值; (2)写出 f(x)的单调区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)化简可得 f(x)= (2)由 的单调递增和单调递减区间. 解答: 解: (1)化简可得 =sin2x+cos2x+2= ∴f(x)的最大值为 解得 (2)由 ∴f(x)单调增区间为: 由 ∴f(x)单调减区间为: 点评: 本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数的最值和单调性,属基础题.
2 2 2

,可得 f(x)的最大值和此时 x 的值; 和 分别可解得函数

,此时 2x+ ;

=2kπ+



可解得 ; 可解得



18. (12 分)已知 f(x)= T=π.

sin(π+ωx)sin(

﹣ωx)﹣cos ωx(ω>0)的最小正周期为

(1)求 f(

)的值;

(2)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若有(2a﹣c)cosB=bcosC,则 求角 B 的大小以及 f(A)的取值范围. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1) 先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式, 然后利用周期公式 T=π, 求 ω 的值,进而写出函数 f(x)的解析式;求出 f( )的值.

(2)利用正弦定理,求出 cosB 的值,继而求出 B 的大小,再根据 A 为三角形的内角求出 A 的范围,继而求出 f(A)的范围. 解答: 解: (1)∵f(x)= = = sinωxcosωx﹣cos ωx, sin2ωx﹣ cos2ωx﹣ , )﹣
2

sin(π+ωx)sin(

﹣ωx)﹣cos ωx,

2

=sin(2ωx﹣

∴函数 f(x)的最小正周期为 T=π. 即: =π,得 ω=1, )﹣ , ﹣ ) =sin ﹣ =﹣1,

∴f(x)=sin(2x﹣ ∴f( )=sin(2×

(2)∵(2a﹣c)cosB=bcosC, ∴由正弦定理可得: (2sinA﹣sinC)cosB=sinBsinC, ∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA, ∵sinA>0, ∴cosB= , ∵B∈(0,π) , ∴B= , , ) , , ) ,

∵A+C=π﹣B= ∴A∈(0, ∴2A﹣

∈(﹣

∴sin(2A﹣

)∈(﹣ ,1],

∴f(A)=sin(2A﹣



∈(﹣1, ],

点评: 本题考查了三角变换及解三角形,第(1)问解决的关键是化成正弦型函数的标准形 式;第(2)的关键是把求角的范围转化成先求角的余弦值的范围. 19. (12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{bn}满足 b1+S4=0, b9=a1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Wn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an 是 Sn 和 1 的等差中项,可得 Sn=2an﹣1,再写一式,可得数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,可求数列{an}的通项公式,求出等差数列{bn}的首项与公差, 可得{bn}的通项公式; (2)利用裂项求和,可得数列{cn}的前 n 项和 Wn. 解答: 解: (1)∵an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴Sn=2an﹣1, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2an﹣1)﹣(2an﹣1﹣1)=2an﹣2an﹣1,∴an=2an﹣1, 当 n=1 时,a1=1, (2 分) ∴数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, n﹣1 ∴an=2 (6 分) n ∴Sn=2 ﹣1; 设{bn}的公差为 d,b1=﹣S4=﹣15,b9=a1=﹣15+8d=1, ∴d=2, ∴bn=2n﹣17; (8 分) (2)cn= = ( ﹣ ) ,

∴Wn= [(1﹣ )+( ﹣ )+…+(



)]= (1﹣

)=

(14 分)

点评: 本题考查数列的通项与求和,考查裂项法,考查学生分析解决问题的能力,难度中 等. 20. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60°, AB=2,PD= ,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点. (Ⅰ)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 PD∥平面 EAC,求三棱锥 P﹣EAD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由已知得 AC⊥PD,AC⊥BD,由此能证明平面 EAC⊥平面 PBD. (Ⅱ)由已知得 PD∥OE,取 AD 中点 H,连结 BH,由此利用 能求出三棱锥 P﹣EAD 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:∵PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴AC⊥PD.∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, 又∵PD∩BD=D,AC⊥平面 PBD. 而 AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBD. (Ⅱ)解:∵PD∥平面 EAC,平面 EAC∩平面 PBD=OE, ∴PD∥OE, ∵O 是 BD 中点,∴E 是 PB 中点. 取 AD 中点 H,连结 BH,∵四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=60°, ∴BH⊥AD,又 BH⊥PD,AD∩PD=D,∴BD⊥平面 PAD, ∴ = = . . ,

点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ax +bx 的图象经过点 M(1,4) ,曲线在点 M 处的切线恰好与 直线 x+9y=0 垂直. (1)求实数 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求 m 的取值范围. 考点: 函数的单调性与导数的关系;导数的几何意义. 专题: 计算题. 分析: (1)将 M 的坐标代入 f(x)的解析式,得到关于 a,b 的一个等式;求出导函数, 求出 f′(1)即切线的斜率,利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1,列出关于 a,b 的另一个等 式,解方程组,求出 a,b 的值. (2)求出 f′(x) ,令 f′(x)>0,求出函数的单调递增区间,据题意知[m,m+1]?(﹣∝, ﹣2]∪[0,+∝) ,列出端点的大小,求出 m 的范围. 解答: 解: (1)∵f(x)=ax +bx 的图象经过点 M(1,4) ,∴a+b=4①式 …(1 分) 2 f'(x)=3ax +2bx,则 f'(1)=3a+2b…(3 分) 由条件 ②式…(5 分)
3 2 3 2

由①②式解得 a=1,b=3 3 2 2 (2)f(x)=x +3x ,f'(x)=3x +6x, 2 令 f'(x)=3x +6x≥0 得 x≥0 或 x≤﹣2,…(8 分) ∵函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增 ∴[m,m+1]?(﹣∝,﹣2]∪[0,+∝) ∴m≥0 或 m+1≤﹣2 ∴m≥0 或 m≤﹣3 点评: 注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率;直线垂直的充要条件是斜率之积为 ﹣1. 22. (12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若 bn=an+log

an,Sn=b1+b2+…+bn,求 Sn.

考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (I)根据 a3+2 是 a2,a4 的等差中项和 a2+a3+a4=28,求出 a3、a2+a4 的值,进而得出 首项和 a1,即可求得通项公式; (II)先求出数列{bn}的通项公式,然后分组求和,即可得出结论. 解答: 解: (I)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q ∵a3+2 是 a2,a4 的等差中项 ∴2(a3+2)=a2+a4 代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8 ∴a2+a4=20 解得 或

∵数列{an}单调递增 n ∴an=2 n (II)∵an=2 , ∴bn=an+log an=an﹣n,

∴Sn=



=2

n+1

﹣2﹣



点评: 本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前 n 项和,考查学生的计算能力,属于 中档题.


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