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辽宁师大附中2015届高三上学期10月模块考试数学(文)试题含解析


辽宁师大附中 2015 届高三上学期 10 月模块考试数学(文)试题(解析版)
【试卷综析】试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。整份试卷 难易适中,没有偏、难、怪题,保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情;在选题 和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础,突出知识体系中的重点,培养能力”的命题原 则,重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。 第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选择一 个符合题目要求的选项. 【题文】1、已知集合 A ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0}, B ? {x |
2

x ? 0}, 则A ? B 等于( x?2



A. {x | 1 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 1} 【知识点】交集及其运算.A1

B. {x | 1 ? x ? 2或x ? 3} D. {x | 0 ? x ? 1或x ? 3}

【答案解析】C 解析:由题意解出 A,B,然后根据交集的定义和运算法则进行计算. 【思路点拨】∵ 集合 A={x|x ﹣4x+3>0},∴ A={x|x>3 或 x<1}, ∵B={x| ≤0},∴B={x|0≤x<2},∴A∩ B={x|0≤x<1},故选 C. )
2

【题文】 2、 已知数列 {an } 为等差数列, 且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? , 则 ta ( n ( a2 ? a12 ) 的值为 A、 3 B、 ? 3 C、 ? 3 D、 ?

3 3

【知识点】等差数列的性质;运用诱导公式化简求值;两角和与差的正切函数.C2 C5 D2 【答案解析】B 解析:∵ a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 a7= ∴ tan(a2+a12)=tan2a7=tan

8? = ? 3 ,故选 B. 3 4? 8? 【思路点拨】因为 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 a7= ,所以 tan(a2 +a12)=tan2a7=tan ,由诱导公 3 3
式计算可得答案. 【题文】 3 、已知 a, b 是两个非零向量,给定命题 p : a ? b ? a b ,命题 q : ?t ? R ,使得

4? , 3

? ?

? ?

? ?

? ? a ? tb ,则 p 是 q 的(



A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;向量的几何表示.A2 F2

-1-

【答案解析】C 解析: (1)若命题 p 成立,∵ , 是两个非零向量,| ? |=| || |,即|| || |?cos < , >|=| || |,∴ cos< , >=±1,< , >=0 或< , >=180 ∴ , 共线,即;?t∈R, 使得 =t ,∴ 由命题 p 成立能推出命题 q 成立. (2)若命题 p 成立,即?t∈R,使得 =t ,则 , 两个非零向量共线,∴ < , >=0 或< , >=180 ,∴ cos< , >=±1,即|| || |?cos< , >|=| || |, ∴ | ? |=| || |,∴ 由命题 q 成立能推出命题 p 成立.∴ p 是 q 的充要条件.故选 C. 【思路点拨】利用两个向量的数量积公式,由命题 p 成立能推出命题 q 成立,由命题 q 成立能 推出命题 p 成立,p 是 q 的充要条件. 【题文】4、函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? A、 [
0 0 0 0

?
4

) 的一个单调减区间是(

) D、 [

5? 9? , ] 8 8

B、 [?

? 3?
8 , 8

]

C、 [

3? 7? , ] 8 8

? 5?
8 , 8

]

【知识点】复合三角函数的单调性.C3 【答案解析】C 解析:由 2kπ+ ∴ 函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ≤2x﹣ ≤2kπ+ (k∈Z)得:kπ+ ,kπ+ ]. ≤x≤kπ+ ,

?
4

) 的单调递减区间为[kπ+

当 k=0 时,函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) 的一个单调递减区间是 [

3? 7? , ] .故选 C. 8 8

【思路点拨】由正弦函数的单调性可求得正弦函数的递减区间,继而可得答案. 【题文】5、设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若

S6 =3 ,则 S3

S9 =( S6



A、 2

B、

7 3

C、

8 3

D、3

【知识点】等比数列的前 n 项和.D3

【答案解析】B 解析:设公比为 q,则

S6 = S3

=

=1+q =3,

3

所以 q =2,所以

3

S9 = S6

=

= .故选 B.
3

【思路点拨】首先由等比数列前 n 项和公式列方程,并解得 q ,然后再次利用等比数列前 n 项

-2 -

和公式则求得答案. 【题文】6、已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为 ( ) A、3 B、4 C、5 D、2

【知识点】等差数列的通项公式.D2 【答案解析】A 解析:根据题意得: ?

? 5a1 ? 20d ? 15 ,解得: d ? 3 ,故选 A. ?5a1 ? 25d ? 30

【思路点拨】写出数列的第一、三、五、七、九项的和,写出数列的第二、四、六、八、十 项的和,都用首项和公差表示,两式相减,得到结果. 【题文】7、已知向量 a ? (1,2) ,向量 b ? ( x, ?2) ,且 a ? (a ? b) ,则实数 x 等于( A、 ?4 B、 4 C、 0 D、 9 )

【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.F3 【答案解析】D 解析:由向量 a ? (1,2) ,向量 b ? ( x, ?2) ,∴ , a ? b =(1﹣x,4) 又 a ? (a ? b) ,∴ 1×(1﹣x)+2×4=0,解得 x=9.故选 D. 【思路点拨】由给出的向量的坐标求出 a ? b 的坐标,然后直接利用向量垂直的坐标表示列式 求解 x 的值. 【题文】8、已知 0 ? a ? 1 , x ? loga 则( ) A. x ? y ? z B. z ? y ? x 【知识点】对数值大小的比较。B7 【答案解析】C 解析: x ? loga

1 2 ? loga 3 , y ? log a 5 ,z ? loga 21 ? loga 3 , 2
C. y ? x ? z D. z ? x ? y

2 ? loga 3 =loga
,∵ 0<a<1,又 <

,y? <

1 log a 5 =loga 2




z ? loga 21 ? loga 3 =loga
∴ loga >loga >loga

,即 y>x>z.故选 C.

【思路点拨】先化简 x、y、z 然后利用对数函数的单调性,比较大小即可. 【 题 文 】 9 、 在 △ ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 长 分 别 是 a, b, c 。 若

sin C ? sin(B ? A) ? sin 2 A ,则 △ ABC 的形状为(

) D、等腰或直角三角形

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 【知识点】两角和与差的正弦函数.C5

-3-

【答案解析】D 解析:∵ sin C ? sin(B ? A) ? sin 2 A , ∴ sin(A+B)+sin(B﹣A)=sin2A,∴ sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A, ∴ 2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA,∴ 2cosA(sinA﹣sinB)=0,∴ cosA=0,或 sinA=sinB, ∴ A= ,或 a=b,∴ △ ABC 为等腰三角形或直角三角形故选:D. ,

【思路点拨】由已知条件结合三角函数公式化简可得 2cosA(sinA﹣sinB)=0,分别可得 A= 或 a=b,可得结论. 【题文】10、函数 y ? ln cos x ? ?

π? ? π ? x ? ? 的图象是( 2? ? 2
y y



y

y

?

π 2

O

π π x ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π π x ? 2 2

O

π x 2
D.

A. B. 【知识点】函数的图象与图象变化.B8 【答案解析】A 解析:∵ cos(﹣x)=cosx,∴

C.

是偶函数,

可排除 B、D,由 cosx≤1?lncosx≤0 排除 C,故选 A. 【思路点拨】利用函数 y ? ln cos x ? ?

π? ? π ? x ? ? 的奇偶性可排除一些选项,利用函数的有 2? ? 2

界性可排除一些个选项.从而得以解决. 【题文】11、已知 sin ? A、 ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? 的值是( ?6 ? 3 ? 3 ?
1 3
C、



7 9

B、 ?

1 3

D、

7 9

【知识点】二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值.C2 C7 【答案解析】A 解析: cos? =﹣[1﹣2si

? 2? ? ? 2? ? =﹣cos( ? 3 ?

﹣2α)=﹣cos[2(

)]

]=﹣(1﹣ )=﹣ ,故选 A.

【思路点拨】利用诱导公式和二倍角公式化简 cos? 然后代入 sin 的值,求解即可.

? 2? ? ? 2? ? 为 sin ? 3 ?

的表达式,

-4-

【题文】 12、 已知实数 a, b, c, d成等比数列 (b,c) 则 ad , 且曲线y ? 3x ? x 3 的极大值点坐标为 等于( ) A.2 B.1 C.—1 D.—2 【知识点】利用导数研究函数的极值;等比数列的性质.B12 D3 【答案解析】A 解析:∵ y′ =3﹣3x =0,则 x=±1, ∴ y′ <0,可得 x<﹣1 或 x>1,y′ >0,可得﹣1<x<1, ∴ 函数在(﹣∞,﹣1) , (1,+∞)上单调递减,在(﹣1,1)上单调递增, ∴ x=1 是极大值点,此时极大值为 3﹣1=2. ∴ b=1,c=2 又∵ 实数 a,b,c,d 成等比数列, 由等比数列的性质可得:ad=bc=2.故选 A. 【思路点拨】先求导数,得到极大值点,从而求得 b,c,再利用等比数列的性质求解. 第Ⅱ卷( 共 60 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在相应位置上。 【题文】13、数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 3a n ?2 ,则通项公式为 an ? _____________. 【知识点】数列递推式.D1 【答案解析】 2 ? 3
n ?1

2

? 1 解析:设 an+1+k=3(an+k) ,得 an+1=3an+2k,与 an+1=3an+2 比较得


k=1,∴ 原递推式可变为 an+1+1=3(an+1) ,∴

∴ {an+1}是一个以 a1+1=2 为首项,以 3 为公比的等比数列, ∴ an?1 ? 2 ? 3n ?1 ,?an ? 2 ? 3n?1 ?1 【思路点拨】由题意 an?1 ? 3a n ?2 知 an+1+1=3(an+1) ,所以 {an+1}是一个以 a1+1=2 为首项,以 3 为 公比的等比数列,由此可知 an ? 2 ? 3n?1 ?1 。 【题文】14、已知

2 sin ? ? cos ? ? ?5, 则 3 cos 2? ? 4 sin 2? =__________________ sin ? ? 3 cos ? 2 sin ? ? cos ? ? ?5, 利用商数关系解得:tanθ=2 sin ? ? 3 cos ?
= = =﹣

【知识点】二倍角的余弦;同角三角函数基本关系的运用.C2 C6 【答案解析】

7 5

解析:已知:

进一步求出:

= ,所以:3cos2θ+4sin2θ=

【思路点拨】首先利用商数关系求出 tanθ 的值,进一步利用万能公式求的结果.
2 【 题 文 】 15 、 若 方 程 c o s x ? s i nx ? a ? 0 在 0 ? x ?

?
2

内有解,则 a 的取值范围是

-5-

_____________ 【知识点】同角三角函数间的基本关系;一元二次方程的根的分布与系数的关系.C2 B9 【答案解析】 ?? 1,1? 解析:方程 cos x ? sin x ? a ? 0 即 sin x+sinx﹣a﹣1=0.
2

2

由于 0 ? x ?
2

?
2

,∴ 0<sinx≤1.故方程 t +t﹣a﹣1=0 在(0,1]上有解.
2

2

又方程 t +t﹣a﹣1=0 对应的二次函数 f(t)=t +t﹣a﹣1 的对称轴为 t= ? 故有 ?

1 , 2

? ? f ? 0 ? ? f ?1? ? 0 ,解得﹣1<a≤1.故答案为: ?? 1,1? . f 0 ? 0 ? ? ? ?
2 2

【思路点拨】由题意可得方程 t +t﹣a﹣1=0 在(0,1]上有解,函数 f(t)=t +t﹣a﹣1 的对称轴为 t= ?

? 1 ? f ? 0 ? ? f ?1? ? 0 ,故有 ? ,解此不等式组求得 a 的取值范围. 2 ? ? f ? 0? ? 0

【题文】 16、 已知函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
4

), 在下列四个命题中: ① f ( x ) 的最小正周期是 4? ;

② f ( x ) 的 图 象 可 由 g ( x ) ? s i n2 x 的 图 象 向 右 平 移

? 个 单 位 得 到 ; ③ 若 x1 ? x2 , 且 4 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1,则 x1 ? x2 ? k? (k ? Z且k ? 0) ;④直线 x ? ? 是函数 f ( x ) 图象的一 8
(把你认为正确命题的序号都填上) .

条对称轴,其中正确命题的序号是 【知识点】命题的真假判断与应用.A2

【答案解析】③④ 解析:由题意,① T=π,∴ ① 不正确; ② f(x)的图象可由 g ( x ) ? sin 2 x 的图象向右平移

? 个单位长度得到,∴ ② 不正确; 8

③ 若 x1≠x2,且 f(x1)=f(x2)=﹣1,则函数最低点间的距离为周期的整数倍,∴ ③ 正确;

x?? ④

?

8

时, f ( ?

?

8

) =sin(﹣

)=﹣1,∴ 直线 x ? ?

?

8

是函数 f(x)图象的一条对称轴,

正确. 故答案为:③ ④ . 【思路点拨】利用函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
4

) ,结合正弦函数的性质,即可判断.

三、解答题: (本大题共 4 小题,共 44 分.) 【题文】 17 、 (本小题满分 10 分)在 ?ABC 中,内角 A 、 B、 C 的对边分别为 a, b, c ,向量

? ? ? ? B m ? (2 sin B,? 3 ), n ? (cos 2 B,2 cos 2 ? 1) ,且 m // n 2
(1)求锐角 B 的大小; (2)已知 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值。 【知识点】二倍角的余弦;平行向量与共线向量;两角和与差的正弦函数.C5 C6 F2 【答案解析】 (1) B ?

?
3

; (2) Smax ? 3
-6-

解析: (1)由 m // n 得 2 sin B(2 cos

?

?

2

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2

整理得 tan2B ? ? 3 ? B 为锐角

?B ?

?
3

??????5’
2 2 2 2 2

(2)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 4= a ? c ? ac

? ac ? 4

? S max ? 3

??????10’

【思路点拨】 (1)由两向量的坐标,及两向量平行时满足的关系列出关系式,利用二倍角的 正弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出 tan2B 的值,由 B 为锐 角,得到 2B 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (2)由 cosB 的值及 b 的 值,利用余弦定理列出关于 a 与 c 的关系式,利用基本不等式求出 ac 的最大值,再由 sinB 及 ac 的最大值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 面积的最大值. 【题文】18、 (本题满分10分)已知向量 a ? (sin(? x ? ? ), 2), b ? (1,cos(? x ? ? )) ( ? >0,0

? ) 。函数 f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b) , y ? f ( x) 的图象的相邻两对称轴之间的距离为2, 4 7 且过点 M (1, ) 。 2
<? < (1)求 f ( x ) 的表达式;

) 的值。 (2)求 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2014
【知识点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算.C7 F3 【答案解析】 (1) f ? x ? ? ? cos(2? x ? 2?) ? 3 ; (2) 6045 解析: (1) f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b) =a ?b

1 2

?2

?2

? sin 2 (? x ? ? ) ? 4 ?1 ? cos2 (? x ? ? )
? ? cos(2? x ? 2? ) ? 3

2? ? ? 2 ? 2 ,∴ ? ? 。 2? 4 7 ? 1 又图象过点 M ,∴ ? 3 ? cos( ?1 ? 2? ) 即 sin 2? ? , 2 2 2
由题意知:周期 T ? ∵0< ? <

? ? ? ,∴ 2? ? , ? ? , 4 6 12

-7-

∴ f ( x) ? 3 ? cos(

?

x? )。 2 6

?

??????5’

(2) y ? f ( x) 的周期 T ? 4 , ∵ f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? (3 ? 原式= 6045

3 1 3 1 ) ? (3 ? ) ? (3 ? ) ? (3 ? ) ? 12 2 2 2 2
??????10’

1 。 2

【思路点拨】 (1)根据向量的数量积运算、平方关系、二倍角的余弦公式化简解析式,由周 期公式和题意求出 ω 的值,再把点 M (1, ) 代入化简后,结合 φ 的范围求出 φ; (2)根据函 数的周期为 4,求出一个周期内的函数值的和,再根据周期性求出式子的值. 【题文】19、 (本题满分 12 分)设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且 bn ? 2 ? 2Sn ;数列 {an } 为 等差数列,且 a5 ? 14, a7 ? 20 。 (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 cn ? an ? bn (n ? 1, 2,3…), Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和,求证: Tn ? 【知识点】等差数列与等比数列的综合.D5 【答案解析】 (1) bn ? 2 ?

7 2

7 。 2

1 ; (2)见解析 3n
2 3

解析: (1)由 bn ? 2 ? 2S n , 令n ? 1, 则b1 ? 2 ? 2 S1 , 又S1 ? b1 , 所以b1 ?

2 9 当n ? 2时,由bn ? 2 ? 2Sn , 可得bn ? bn ?1 ? ?2( Sn ? Sn ?1 ) ? ?2bn b2 ? 2 ? 2(b1 ? b2 ), 则b2 ? bn 1 ? bn ?1 3 即

2 1 1 所以?bn ? 是以b1 ? 为首项,为公比的等比数列,于是bn ? 2 ? n ??4’ 3 3 3 1 (2)数列 {an } 为等差数列,公差 d ? (a7 ? a5 ) ? 3, 可得an ? 3n ? 1 2 1 从而 cn ? an ? bn ? 2(3n ? 1) ? n 3 1 1 1 1 ?Tn ? 2[2 ? ? 5 ? 2 ? 8 ? 3 ? … ? (3n ? 1) ? n ], 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn ? 2[ 2 ? 2 ? 5 ? 3 ? … ? (3n ? 4) ? n ? (3n ? 1) ? n ?1 ] 3 3 3 3 3 2 1 1 1 d 1 1 ? Tn ? 2[3 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? … ? 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n ?1 ] 3 3 3 3 3 3 3

-8-

从而 Tn ?

7 7 1 n ? ? n ? n ?1 2 2 3 3 7 ? Tn ? 2

??????12’

【思路点拨】 (1)由题设条件知 bn ? bn?1 ? ?2(Sn ? Sn?1 ) ? ?2bn ,即 列{bn}的通项公式. (2)数列{an}为等差数列, d ?

bn 1 ? 由此可求出数 bn ?1 3

1 (a7 ? a5 ) ? 3, 可得an ? 3n ? 1 .从而 2 1 7 cn ? an ? bn ? 2(3n ? 1) ? n ,由此能证明数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ? . 3 2 a 【题文】20、 (本题满分12分)已知函数f(x)=lnx- . x (1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性; 3 (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求a的值. 2
【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.B12 【答案解析】 (1)单调递增函数; (2) a=- e 解析:(1)由题得f(x)的定义域为(0,+∞),且 f ′ (x)= ∵a>0,∴

1 a x?a + 2 = . x x x2

f ? ? x? ? 0

,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. ??????3’

(2)由(1)可知:f ′ (x)=

x?a , x2
3 3 ,∴a=- (舍去). 2 2

①若a≥-1,则x+a≥0,即f ′ (x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数, ∴f(x)min=f(1)=-a=

②若a≤-e,则x+a≤0,即f ′ (x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数, ∴f(x)min=f(e)=1-

e a 3 = ,∴a=- (舍去). 2 e 2

③若-e<a<-1,令f ′ (x)=0,得x=-a. 当1<x<-a时,f ′ (x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数; 当-a<x<e时,f ′ (x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数, ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=

3 ?a=- e . 2

综上可知: a=- e . ??????12’ 【思路点拨】 (1)确定函数的定义域,根据 f ? ? x ? ? 0 ,可得 f(x)在定义域上的单调性; (2)求导函数,分类讨论,确定函数 f(x)在[1,e]上的单调性,利用 f(x)在[1,e]上的最小

-9-

3 值为 2 ,即可求 a 的值.

- 10 -


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