2018届北师大版 平面解析几何中的高考热点问题 检测题

热点探究训练(五) 平面解析几何中的高考热点问题 x2 y2 1．(2014· 全国卷Ⅱ)设 F1，F2 分别是椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦 点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为4，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|＝5|F1N|，求 a，b. b2 ? b? a 3 (1)根据 c＝ a2－b2及题设知 M?c， a ?，2c＝4，2b2＝3ac. ? ? 2 [解] 2分 将 b2＝a2－c2 代入 2b2＝3ac， c 1 c 解得a＝2，a＝－2(舍去)． 1 故 C 的离心率为2. 5分 (2)由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2∥y 轴， 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点， b2 故 a ＝4，即 b2＝4a. ①8 分 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 设 N(x1，y1)，由题意知 y1<0，则 3 ? ?x1＝－ c， ?2?－c－x1?＝c， 2 ? 即? ?－2y1＝2， ? ?y1＝－1. 9c2 1 代入 C 的方程，得4a2＋b2＝1.② 将①及 c＝ a2－b2代入②得 9?a2－4a? 1 4a2 ＋4a＝1. 12 分 10 分 解得 a＝7，b2＝4a＝28，故 a＝7，b＝2 7. 2．已知椭圆 C 的方程为：x2＋2y2＝4. 1 (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为坐标原点， 若点 A 在直线 y＝2 上， 点 B 在椭圆 C 上， 且 OA⊥OB， 求线段 AB 长度的最小值． [解] x2 y2 (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 4 ＋ 2 ＝1， 2分 所以 a2＝4，b2＝2，从而 c2＝a2－b2＝2. 因此 a＝2，c＝ 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e＝a＝ 2 . 5分 (2)设点 A，B 的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中 x0≠0. → → 因为 OA⊥OB，则OA· OB＝0， 2y0 所以 tx0＋2y0＝0，解得 t＝－ x . 0 2 又 x0 ＋2y2 0＝4， 8分 2y0? ? 所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝?x0＋ x ?2＋(y0－2)2 ? 0? 2 2 2 2?4－x0 ? 2 2 4y0 2 4－x0 ＝x0＋y0＋ 2 ＋4＝x0＋ ＋ ＋4 2 x0 2 x0 x2 8 0 ＝ 2 ＋x2＋4(0<x2 0≤4). 0 10 分 x2 8 0 2 因为 2 ＋x2≥4(0<x2 0≤4)，且当 x0＝4 时等号成立， 0 所以|AB|2≥8. 故线段 AB 长度的最小值为 2 2. 12 分 3．如图 4，已知抛物线 C：x2＝4y，过点 M(0,2)任作一直线与 C 相交于 A， B 两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点)． 图4 (1)证明：动点 D 在定直线上； 2 (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴)，与直线 y＝2 相交于点 N1，与(1)中的 定直线相交于点 N2，证明：|MN2|2－|MN1|2 为定值，并求此定值． [解] (1)证明：依题意可设 AB 方程为 y＝kx＋2，代入 x2＝4y，得 x2＝4(kx ＋2)，即 x2－4kx－8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则