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浙江省杭州市临安中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年浙江省杭州市临安中学高一(上)第一次月考数学试卷

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,4},集合 B={2,4},则(?UA)∪B 为( A.{2,4,5} B.{1,3,4} C.{1,2,4} D.{2,3,4,5} )

2.下列函数中哪个与函数 y=x 相等( A.y=( )
2

) D.y=

B.y=

C.y=

3.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是( A.y=x B.y=|x|
3

)

C.y=﹣x +1 D.y=x

2

4.已知函数 f(x)=x ﹣4x,x∈

2

D.上单调,则 a 的取值范围是__________.

15. 设函数 ( f x) =

若f

, 则 a 的取值范围是__________.

三、解答题:本大题共 5 题,16,17,18,每小题 10 分,19,20 每题 12 分,共 54 分 16.已知全集 U=R,集合 A={x|y= (1)当 a=1 时,求集合 B∩?UA; (2)若集合 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. },B={x|a<x<a+2,a∈R},

17.函数 f(x)=



(1)用定义证明函数的单调性并写出单调区间; (2)求 f(x)在上最大值和最小值.

18.已知函数 f(x)二次函数,且满足 f(0)=1,f(x+1)﹣f(x)=2x. (1)求解析式 f(x) ; (2)讨论 f(x)在上的值域.

19.已知函数 f(x)是义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x. (1)求 f(x)在 R 上的解析式; (2)解不等式 f(x2﹣2x)+f(3﹣2x2)<0.

2

20.已知函数 f(x)=ax2﹣2x+1. (1)当 x∈时,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 g(x)=|f(x)|(a≥0)在上是增函数,求实数 a 的取值范围.

2015-2016 学年浙江省杭州市临安中学高一(上)第一次月考数学试卷

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,4},集合 B={2,4},则(?UA)∪B 为( A.{2,4,5} B.{1,3,4} C.{1,2,4} D.{2,3,4,5} )

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】根据全集 U 及 A 求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的并集即可. 【解答】解:∵全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,4}, ∴?UA={2,5}, ∵B={2,4}, ∴(?UA)∪B={2,4,5}. 故选:A. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.下列函数中哪个与函数 y=x 相等( A.y=( )2 B.y= C.y=

) D.y=

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】探究型;函数的性质及应用. 【分析】已知函数的定义域是 R,分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致 即可. 【解答】解:A.函数的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同. B.函数的定义域为 R,两个函数的定义域和对应关系相同,是同一函数. C.函数的定义域为 R,y=|x|,对应关系不一致. D.函数的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同. 故选 B.

【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准是判断函数的定义域和对 应关系是否一致,否则不是同一函数.

3.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是( A.y=x B.y=|x|
3

)

C.y=﹣x +1 D.y=x

2

【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据偶函数、奇函数的定义,以及一次函数二次函数的单调性便可判断每一选项的 正误,从而找出符合条件的选项. 【解答】解:A.y=x3 为奇函数,∴该选项错误; B.x>0 时,y=|x|=x,∴函数 y=|x|在(0,+∞)上为增函数, ∴该选项错误; C.该函数定义域为 R,设 y=f(x) ,显然 f(﹣x)=f(x) , ∴该函数为偶函数,且该二次函数在(0,+∞)上单调递减; ∴该选项正确; D.y=x 为奇函数,不是偶函数,∴该选项错误. 故选:C. 【点评】考场偶函数、奇函数的定义,以及二次函数、一次函数的单调性.

4.已知函数 f(x)=x ﹣4x,x∈ 【考点】函数的值域. 【专题】函数的性质及应用.

2

D.

【分析】将二次函数的配方后,可知函数的对称轴方程,开口方向,结合图形得到函数图象 的最高点和最低点,得到函数的最值,从而求出函数的值域,得到本题结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=x2﹣4x, ∴f(x)=(x﹣2)2﹣4, ∴图象是抛物线的一部分,抛物线开口向上,对称轴方程为:x=2,顶点坐标(2,﹣4) . ∵x∈ 【解答】解:函数 f(x)= ,若 f(a)=1,

当 a<1 时,﹣a=1,a=﹣1,成立. 当 a≥1 时, (a﹣1)2=1,解得 a=2, 综上 a 的值为:2 或﹣1. 故选:B. 【点评】本题考查分段函数的应用,函数的零点,基本知识的考查.

6.已知函数

,则函数 y=f(x)的大致图象为(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象与图象变化. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由函数不是奇函数图象不关于原点对称,排除 A、C,由 x>0 时,函数值恒正,排除 D. 【解答】解:函数 y=f(x)是一个非奇非偶函数,图象不关于原点对称,故排除选项 A、C, 又当 x=﹣1 时,函数值等于 0,故排除 D, 故选 B. 【点评】本题考查函数图象的特征,通过排除错误的选项,从而得到正确的选项.排除法是 解选择题常用的一种方法.

7. 若函数 f (x) =x + (2m+3) |x|+1 的定义域被分成了四个单调区间, 则实数 m 的取值范围( A. B. C. D.

2

)

【考点】二次函数的性质. 【专题】数形结合. 【分析】先将 f(x)=x2+(2m+3)|x|+1 看成是由函数 f(x)=x2+(2m+3)x+1 变化得到,再 将二次函数配方,找到其对称轴,明确单调性,再研究对称轴的位置即可求解. 【解答】解:f(x)=x +(2m+3)|x|+1 是由函数 f(x)=x +(2m+3)x+1 变化得到, 第一步保留 y 轴右侧的图象,再作关于 y 轴对称的图象. 因为定义域被分成四个单调区间,
2 2

所以 f(x)=x +(2m+3)x+1 的对称轴在 y 轴的右侧,使 y 轴右侧有两个单调区间,对称后有 四个单调区间. 所以 故选 A <0,即 .

2

【点评】本题主要考查二次函数配方法研究其单调性,同时说明单调性与对称轴和开口方向 有关.

8.若函数 y=f(x+1)是偶函数,则下列说法不正确的是(

)

A.y=f(x)图象关于直线 x=1 对称 B.y=f(x+1)图象关于 y 轴对称 C.必有 f(1+x)=f(﹣1﹣x)成立 D.必有 f(1+x)=f(1﹣x)成立 【考点】函数的图象与图象变化;偶函数. 【专题】探究型. 【分析】根据偶函数的定义“对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都满足 f(x)=f(﹣x) , 则函数 f(x)为偶函数”及“偶函数的图象关于 y 轴对称”进行判定. 【解答】解:对于 A 选项,由于 y=f(x)图象是由函数 y=f(x+1)的图象向右平移一个单位 得到,故 y=f(x)图象关于直线 x=1 对称,正确; 对于 B 选项,由于函数 y=f(x+1)是偶函数,故 y=f(x+1)图象关于 y 轴对称;正确; 对于 C 选项,函数 y=f(x+1)是偶函数,有 f(1+x)=f(1﹣x)成立,故 C 错; 对于 D 选项,函数 y=f(x+1)是偶函数,有 f(1+x)=f(1﹣x)成立,故 D 正确; 综上知,应选 C. 故选 C.

【点评】本题主要考查了偶函数的定义、函数的图象与图象变化,同时考查了解决问题、分 析问题的能力,属于基础题.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 9.已知集合 A={1,2},B={x|x +ax+b=0},C={x|cx+1=0},若 A=B,则 a+b=﹣1,若 C? A,则
2

常数 c 组成的集合为{﹣1, ,0}. 【考点】集合的相等;集合的包含关系判断及应用. 【专题】函数思想;综合法;集合. 【分析】根据集合的相等结合韦达定理求出 a,b 的值,从而求出 a+b 即可;根据 C? A,得到 c+1=0 或 2c+1=0 或 c=0,解出即可. 【解答】解:集合 A={1,2},B={x|x2+ax+b=0}, 若 A=B,则 1,2 是方程 x2+ax+b=0 的根, ∴ ∴a+b=﹣1; 若 C? A,则 C={1}或 C={2}或 C=?, ∴c+1=0 或 2c+1=0 或 c=0, 解得:c=﹣1 或 c= 或 c=0, 故常数 c 组成的集合为:{﹣1, ,0}, 故答案为:﹣1,{﹣1, ,0}. 【点评】本题考查了集合的相等,集合的包含关系,考查韦达定理,是一道基础题. ,解得: ,

10.函数 f(x)=

的定义域为(4,+∞) ,值域为 或 x<﹣ (舍去) ,此时 x> .

当 x>0 时,由 f(x)>0 得 x2﹣2>0,解得 x> 当 x=0 时,f(0)=0>0 不成立. 当 x<0 时,由 f(x)>0 得﹣x2+2>0,解得﹣ 综上,﹣ <x<0,或 x> <x<0,或 x> }.

<x<

,此时﹣

<x<0,

故答案为:1;{x|﹣

【点评】本题主要考查不等式的解法,利用函数的奇偶性求出函数 f(x)的表达式是解决本 题的关键.

12.若函数 f(

﹣1)=x+2

+2,则 f(3)=26.

【考点】函数的值. 【专题】计算题;函数思想;换元法;函数的性质及应用. 【分析】直接利用函数的解析式,求解函数值即可. 【解答】解:函数 f( 故答案为:26. 【点评】本题考查函数值的求法,函数的解析式的应用,考查计算能力. ﹣1)=x+2 +2,则 f(3)=f( )=16+2× +2=26.

13.若方程|x﹣2|?(x+1)=k 有三个不同的解,则常数 k 的取值范围为 0<k< . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】方程思想;待定系数法;函数的性质及应用. 【分析】利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题,结合一元二次函数的 图象和性质是解决本题的关键. 【解答】解:设 f(x)=|x﹣2|?(x+1) , 则当 x≥2 时,f(x)=(x﹣2)?(x+1)=x2﹣x﹣2=(x﹣ )2﹣ ≥0, 当 x<2 时,f(x)=﹣(x﹣2)?(x+1)=﹣=(x﹣ )2+ ≤ , 作出函数 f(x)的图象如图: 若方程|x﹣2|?(x+1)=k 有三个不同的解, 则 0<k< , 故答案为:0<k<

【点评】本题主要考查方程根的个数的应用,利用函数和方程之间的关系进行转化,结合数 形结合是解决本题的关键.

14.已知 f(x)=ax +2x 在上单调,则 a 的取值范围是 a≤﹣ 或 a≥﹣ . 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数思想;分类法;函数的性质及应用. 【分析】当 a=0 时,f(x)为一次函数,符合题意,当 a≠0 时,f(x)为二次函数,则在对 称轴某一侧. 【解答】解:当 a=0 时,f(x)=2x,在上是增函数,符合题意; 当 a≠0 时,f(x)为二次函数,对称轴为 x=﹣ , ∵f(x)=ax +2x 在上单调, ∴﹣ ≤2 或﹣ ≥4, 解得 a>0,或 a≤﹣ ,或﹣ ≤a<0. 综上,a 的取值范围是 a≤﹣ 或 a≥﹣ . 故答案为 a≤﹣ 或 a≥﹣ . 【点评】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系,分类讨论思想,对 a 进行讨论是本 题的关键,属于基础题.
2

2

15. 设函数 f (x) =

若f

, 则 a 的取值范围是

或 a=1.

【考点】函数的值域. 【专题】压轴题;函数的性质及应用. 【分析】分 a 在 值,然后由 f 【解答】解:当 ∵ 当 ,由 ,f(a)=2(1﹣a) , ,则 , 和 两种情况讨论,同时根据 f(a)所在的区间不同求 f 的

求解不等式得到 a 的取值范围. 时, . ,解得: ,所以 ;

∵0≤2(1﹣a)≤1,若 分析可得 a=1. 若 由 综上得: 故答案为: ,即 ,得: 或 a=1. 或 a=1. .

,因为 2=4a﹣2,

【点评】本题考查了函数的值域,考查了分类讨论的数学思想,此题涉及二次讨论,解答时 容易出错,此题为中档题.

三、解答题:本大题共 5 题,16,17,18,每小题 10 分,19,20 每题 12 分,共 54 分 16.已知全集 U=R,集合 A={x|y= (1)当 a=1 时,求集合 B∩?UA; (2)若集合 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 【考点】并集及其运算;交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】首先化简集合 A,按照要求结合数轴解答. 【解答】解: (1)因为 A={x|x>2},当 a=1 时,B={x|1<x<3}, 所以集合?UA={x|x≤2} 所以集合 B∩?UA={x|1<x≤2}. },B={x|a<x<a+2,a∈R},

(2)若 A∪B=A,则 B? A, 所以 a≥2. 【点评】本题考查了集合交集、并集、补集的运算以及已知集合关系求参数范围.属于基础 题.

17.函数 f(x)=



(1)用定义证明函数的单调性并写出单调区间; (2)求 f(x)在上最大值和最小值. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)分离常数得到 f(x)= ,根据反比例函数的单调性便可看出 f(x)的单

调递增区间为(﹣∞,﹣1) , (﹣1,+∞) ,根据单调性的定义证明:设任意的 x1,x2≠﹣1, 且 x1<x2,然后作差,通分,说明 x1,x2∈(﹣∞,﹣1) ,或 x1,x2∈(﹣1,+∞)上时都有 f(x1)<f(x2) ,这样即可得出 f(x)的单调区间; (2)根据 f(x)的单调性便知 f(x)在上单调递增,从而可以求出 f(x)的值域,从而可 以得出 f(x)在上的最大、最小值. 【解答】解: (1) ;

该函数的定义域为{x|x≠﹣1},设 x1,x2∈{x|x≠﹣1},且 x1<x2,则: ; ∵x1<x2; ∴x1﹣x2<0; ∴x1,x2∈(﹣∞,﹣1)时,x1+1<0,x2+1<0;x1,x2∈(﹣1,+∞)时,x1+1>0,x2+1>0; ∴(x1+1) (x2+1)>0; ∴f(x1)<f(x2) ; ∴f(x)在(﹣∞,﹣1) , (﹣1,+∞)上单调递增,即 f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣1) , (﹣1,+∞) ; (2)由上面知 f(x)在上单调递增; ∴f(3)≤f(x)≤f(5) ;



; ,最小值为 .

∴f(x)在上的最大值为

【点评】考查分离常数法的运用,反比例函数的单调性和单调区间,根据单调性的定义找函 数单调区间的方法和过程,根据函数单调性求函数在闭区间上的最值.

18.已知函数 f(x)二次函数,且满足 f(0)=1,f(x+1)﹣f(x)=2x. (1)求解析式 f(x) ; (2)讨论 f(x)在上的值域. 【考点】二次函数的性质;函数的值域. 【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)设出二次函数的一般形式后,代入 f(x+1)﹣f(x)=2x,化简后根据多项式相 等,各系数相等即可求出 a,b 及 c 的值,即可确定出 f(x)的解析式; (2)由(1)中函数的解析式,通过讨论 a 的范围,得到函数 f(x)的单调性,进而求出最 值,得到 y=f(x)的值域即可. 【解答】解: (1)令 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 代入 f(x+1)﹣f(x)=2x, 得:a(x+1) +b(x+1)+c﹣(ax +bx+c)=2x, 2ax+a+b=2x, ∴ ,
2 2

解得 a=1,b=﹣1; 又∵f(0)=c=1, ∴f(x)=x2﹣x+1; (2)由(1)得: f(x)的对称轴是 x= , ①当 0<a≤ 时:f(x)在递减, f(x)min=f(a)=a2﹣a+1,f(x)max=f(0)=1, 函数的值域是;

②当 <a≤1 时:f(x)在递增, ∴f(x)min=f( )= ,f(x)max=f(1)=1, 函数的值域是; ③当 a>1 时:f(x)在递增, f(x)min=f( )= ,f(x)max=f(a)=a2﹣a+1, 函数的值域是. 【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法,及二次函数在闭区间上的最值,熟练掌握 待定系数法求函数解析式的步骤及二次函数的图象和性质是解答的关键.

19.已知函数 f(x)是义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x. (1)求 f(x)在 R 上的解析式; (2)解不等式 f(x ﹣2x)+f(3﹣2x )<0. 【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)由奇函数的性质得出 f(﹣x)=﹣f(x) ,令 x=0 代入可求 f(0) ;设 x<0,从 而﹣x>0,代入当 x>0 时的表达式 f(x)=x +2x 可得 x<0 时的表达式,即可求 f(x)在 R 上的解析式; (2)不等式 f(x2﹣2x)+f(3﹣2x2)<0,转化为 x2+2x﹣3>0,即可得出结论. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(﹣0)=﹣f(0) ,f(0)=﹣f(0) ∴f(0)=0; 设 x<0,∴﹣x>0, 又当 x>0 时,f(x)=x +2x. ∴f(﹣x)=(﹣x)2+2(﹣x)=x2﹣2x, ∴﹣f(x)=x2﹣2x, ∴f(x)=﹣x +2x, ∴当 x<0 时,f(x)=﹣x +2x, ∴f(x)= ;
2 2 2 2 2 2

2

(2)由(1)可知,函数在 R 上单调递增, ∵f(x2﹣2x)+f(3﹣2x2)<0. ∴x2﹣2x+3﹣2x2<0, ∴x2+2x﹣3>0, ∴x<﹣3 或 x>1, ∴不等式的解集为{x|x<﹣3 或 x>1}. 【点评】本题主要考查函数解析式的求法、解不等式,如果函数具备奇偶性,通常考虑函数 的奇偶性在关于原点对称的两个区间上的关系解决.

20.已知函数 f(x)=ax2﹣2x+1. (1)当 x∈时,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 g(x)=|f(x)|(a≥0)在上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)将 f(x)>0 分离参变量转化为最值问题. (2)对 a 进行分类讨论即可. 【解答】解: (1)当 x∈时,ax2﹣2x+1>0 恒成立,可以化为:a>﹣ 恒成立,又﹣ 在 x∈上的最大值为 1,所以 a>1. =﹣ +1

(2)当 a=0 时,g(x)=2|2x﹣1|在时上是增函数; 当 a>0 时,g(x)=|a(x﹣ )2+1﹣ | ①若 函数; ②若 1﹣ <0,即 0<a<1 时,设方程 f(x)=0 的两根为 x1 x2 且 x1>x2,此时 g(x) ≥0, ≤1,即 a≥1 时,g(x)=|a(x﹣ )2+1﹣ |=a(x﹣ )2+1﹣ 在上是增

在和? ,则 2°若?

,解得 0<a≤ ;



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