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2015年高考新课标Ⅱ理科数学试题及答案(精校版,解析版,word版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

理 科 数 学
第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A={-2,-1,0,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则 A∩B =( A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} ) D.2 )

D.{0,1,2}

2.若 a 为实数且(2+ai)(a-2i) = -4i,则 a =( A.-1 B.0 C.1

3.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以 下结论中不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著. B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效. C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关. 4.已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 =( A.21 5.设函数 f ( x ) ? ? A.3 B.42 C.63 D.84 ) )

?1 ? log2 (2 ? x ) ( x ? 1)
x ?1 ?2

( x ? 1)

,则 f (?2) ? f (l og2 12) ? ( D.12

B.6

C.9

6. 一个正方体被一个平面截去一部分后, 剩余部分的三视图如右图, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( A. ) D.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

1 5


7.过三点 A(1, 3),B(4, 2),C(1, -7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN =(

2015 年高考数学试题(理)

第 1 页【共 10 页】

A. 2 6

B.8

C. 4 6

D.10

8. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》 中的“更相减损术”. 执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a =( A.0 B.2 ) C.4 D.14

9.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90?,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π B.64π C.144π ) D.256π

10.如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动, 记∠BOP=x. 将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x) , 则f (x) 的图像大致为 ( )

A.

B.

C.

D.

11.已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角为 120° ,则 E 的离心率为( A. 5 B.2 ) C. 3 D. 2

12. 设函数 f ?( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数,f ( ?1) ? 0 , 当 x>0 时,xf ?( x ) ? f ( x ) ? 0 , 则使得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是( A. (??, ?1) U (0,1) C. (??, ?1) U (?1,0) ) B. (?1,0) U (1, ??) D. (0,1) U (1, ??)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做 答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.设向量 a,b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? = ____________.

?x ? y ?1 ? 0 ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为____________. ? x +2 y ? 2 ? 0 ?
2015 年高考数学试题(理) 第 2 页【共 10 页】

15. (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a =__________. 16.设 Sn 是数列{an}的前项和,且 a1 ? ?1, an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn=___________________. 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题 12 分)在?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,?ABD 面积是?ADC 面积的 2 倍. (Ⅰ)求

sin ?B 2 ; (Ⅱ) 若 AD=1,DC= ,求 BD 和 AC 的长. sin ?C 2

18. (本小题 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查 了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区 满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ;

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C: “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” ,假设两地 区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的 概率,求 C 的概率. 19. (本小题 12 分)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 ? 与 此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) ; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值. 20. (本小题 12 分)已知椭圆 C: 9 x ? y ? m (m>0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐
2 2 2

标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;

2015 年高考数学试题(理)

第 3 页【共 10 页】

(Ⅱ)若 l 过点 (

m , m ) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否平行四边形? 3

若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. 21. (本小题 12 分)设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx . (Ⅰ)证明:f (x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1,,x2∈[-1,1],都有|f (x1)- f (x2)|≤ e-1,求 m 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,做 答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑. 22. (本小题 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M、N 两点, 与底边上的高 AD 交于点 G, 且与 AB, AC 分别相切于 E, F 两点. (Ⅰ)证明:EF∥BC; (Ⅱ) 若 AG 等于⊙O 的半径, 且 AE=MN= 2 3 , 求四边形 EBCF 的面积. 23. (本小题 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:?

? x ? t cos ? (t 为参数,t≠0)其中 0 ? ? ? ? , ? y ? t sin ?

在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: ? ? 2sin ? , C3: ? ? 2 3 cos? . (Ⅰ)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 24. (本小题 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 设 a,b,c,d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (Ⅰ)若 ab > cd ,则 a ? b ? c ? d ; (Ⅱ) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件.

2015 年高考数学试题(理)

第 4 页【共 10 页】

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

理 科 数 学【参考答案】
一、选择题: 1. 【答案】A 解析:由已知得 B ? ? x ?2 ? x ? 1? ,故 A ? B ? {?1,0} ,故选 A. 2. 【答案】B 解析:由已知得 4a + (a2 -4)i = -4i,所以 4a = 0,a2 -4 = -4,解得 a = 0,故选 B. 3. 【答案】D 解析:由柱形图可知,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,所以二氧化 硫排放量与年份负相关,故选 D. 4. 【答案】B 解析:设等比数列公比为 q,则 a1+a1q2+a1q4=21,又因为 a1=3,所以 q4+q2-6=0,解得 q2=2,所以 a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42,故选 B. 5. 【答案】C 解析: 由已知得 f (?2) ? 1 ? log2 4 ? 3 , 又 log2 12 ? 1 , 所以 f (log2 12) ? 2log2 12?1 ? 2log2 6 ? 6 , 故 f (?2) ? f (log2 12) ? 9 . 6. 【答案】D 解析:由三视图得,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,截去四面体 A-A1B1D1, 如图所示, 设正方体棱长为 a , 则 VA? A1B1D1 ? ? a 3 ? a 3 , A1
D D1 C1

1 1 3 2

1 6

B1 C

1 5 故剩余几何体体积为 a 3 ? a 3 ? a 3 ,所以截去部分体积与剩余 6 6
部分体积的比值为 7. 【答案】C 解析:由已知得 k AB ?

1 ,故选 D. 5

A

B

3? 2 1 2?7 ? ? , kCB ? ? ?3 ,所以 kABkCB=-1,所以 AB⊥CB, 1? 4 3 4 ?1

即△ ABC 为直角三角形,其外接圆圆心为 (1, -2) ,半径为 5 ,所以外接圆方程为 (x-1)2+(y+2)2=25,令 x=0,得 y ? ?2 6 ? 2 ,所以 | MN |? 4 6 ,故选 C. 8. 【答案】B 解析:程序在执行过程中,a,b 的值依次为 a=14,b=18, b=4,a=10,a=6,a=2,b=2,此时 a=b=2 程序结束,输出 a 的值为 2,故选 B. 9. 【答案】C 解析: 如图所示, 当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,
2015 年高考数学试题(理) 第 5 页【共 10 页】

三 棱 锥 O ? ABC 的 体 积 最 大 , 设 球 O 的 半 径 为 R , 此 时
VO ? ABC ? VC ? AOB 1 1 1 ? ? R 2 ? R ? R 3 ? 36,故 R=6,则球 O 的表面积为 3 2 6
A

C

O B

S ? 4? R 2 ? 144? ,故选 C.
10. 【答案】B 解析: 由已知得, 当点 P 在 BC 边上运动时, 即0 ? x ?

? 时, PA ? PB ? tan2 x ? 4 ? tan x ; 4

? ? 3? 1 1 x ? 时, 当点 P 在 CD 边上运动时, 即 ?x? , PA ? PB ? ( ? 1)2 ? 1 ? ( ? 1)2 ? 1 , 2 4 4 tan x tan x
当x?

?
2

时,PA ? PB ? 2 2 ; 当点 P 在 AD 边上运动时, 即

3? ? x ? ? 时,PA ? PB ? 4

tan2 x ? 4 ? tan x ,从点 P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线 x ?
f ( ) ? f ( ) ,且轨迹非线型,故选 B. 4 2
11. 【答案】D 解析: 设双曲线方程为

?
2

对称,且

?

?

x2 y2 如图所示, ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , a 2 b2

|AB|=|BM|,∠ABM=120? ,过点 M 作 MN⊥x 轴,垂足为 N, 在 Rt△BMN 中, |BN|=a , | MN |? 3a ,故点 M 的坐标为 代入双曲线方程得 a2 = b2 = c2 -a2, 即 c2 = 2a2, M (2a, 3a) , 所以 e ? 2 ,故选 D. 12. 【答案】A 解析:记函数 g ( x ) ?

f ( x) x?f ( x) ? f ( x) ,则 g ?( x ) ? ,因为当 x>0 时,xf ? (x)-f(x)<0,故 x x2

当 x>0 时,g?(x)<0,所以 g(x)在(0, +∞)单调递减;又因为函数 f(x)(x∈R)是奇函数,故 函数 g(x)是偶函数, 所以 g(x)在(-∞, 0)单调递增, 且 g(-1)=g(1)=0. 当 0<x<1 时, g(x)>0, 则 f(x)>0;当 x<-1 时,g(x)<0,则 f(x)>0,综上所述,使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围 是(-∞, -1)∪(0, 1),故选 A. 二、填空题: 13. 【答案】

1 2

解析:因为向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,所以 ?a ? b ? k (a ? 2b ) ,则 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?? ? k ,所以 ?1 ? 2k

??

1 . 2
第 6 页【共 10 页】

2015 年高考数学试题(理)

14. 【答案】

3 2
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

解析: 画出可行域, 如图所示, 将目标函数变形为 y=-x+z, 当 z 取到最大时,直线 y = -x + z 的纵截距最大,故将直 线尽可能地向上平移到 D(1, 1 ) ,则 z=x+y 的最大值为 3 . 2 2 15. 【答案】 3
4 2 3 4
C

y

B D
1 2 3 4

O
–1 –2 –3

x

–4 解析:由已知得 (1 ? x) ? 1 ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x ,故 (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的

4

奇数次幂项分别为 4ax ,4ax , x , 6 x , x , 其系数之和为 4a ? 4a ? 1+6+1=32 ,
3
3

5

解得 a ? 3 . 16. 【答案】 ?

1 n

解析: 由已知得 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? Sn , 两边同时除以 Sn?1 ? Sn , 得 故数列 ?

1 1 ? ? ?1, Sn ?1 Sn

?1? 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? ?n ,所 ? 是以 ?1 为首项, ?1 为公差的等差数列,则 Sn ? Sn ?

以 Sn ? ?

1 . n
1 1 AB ? AD sin ?BAD , S?ADC ? AC ? AD sin ?CAD , 因 为 2 2 sin ?B AC 1 ? ? . sin ?C AB 2

三、解答题: 17 . 解 析 : ( Ⅰ ) S?ABD ?

S?A B D? 2S?

ADC

?BAD ? ?CAD , , 所以 AB ? 2 AC , 由正弦定理可得

(Ⅱ) 因为 S?ABD : S?ADC ? BD : DC ? 2 , DC ?

2 , 所以 BD ? 2 , 在 ?ABD 和 ?ADC 中, 2

由余弦定理知, AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos ?ADB , AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC , 故 AB2 ? 2 AC 2 ? 3 AD2 ? BD2 ? 2DC 2 ? 6 ,由(Ⅰ)知 AB ? 2 AC ,所以 AC ? 1 . 18.解析: (Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下: B 地区 4 6 8 3 5 1 3 6 4 6 4 2 6 2 4 5 5 6 8 8 6 4 3 7 3 3 4 6 9 9 2 8 6 5 1 8 3 2 1 7 5 5 2 9 1 3 通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评 分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散。
2015 年高考数学试题(理) 第 7 页【共 10 页】

A 地区

(Ⅱ) 记 C A1 表示事件: “A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意” ;C A 2 表示事件: “A 地区用户的满意度等级为非常满意” ;CB1 表示事件: “B 地区用户的满意度等级为 不满意” ;C B 2 表示事件: “B 地区用户的满意度等级为满意” ,则 C A1 与 CB1 独立,C A 2 与 C B 2 独立, CB1 与 C B 2 互斥, C ? CB1CA1 ? CB 2CA2 ,

P(C) ? P(CB1CA1 ? CB 2CA2 ) ? P(CB1CA1 ) ? P(CB2CA2 ) ? P(CB1 )P(CA1 ) ? P(CB2 )P(CA2 ) ,

16 4 10 8 , , , , 20 20 20 20 16 4 10 8 , P(C A 2 ) ? , P(CB1 ) ? , P (C B 2 ) ? 故 P(C A1 ) ? , 20 20 20 20 16 4 10 8 P (C ) ? ? ? ? ? 0.48 20 20 20 20
由所给数据得 CA1 , CA2 , CB1 , CB 2 发生的频率分别为 19.解析: (Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图: (Ⅱ)作 EM ? AB ,垂足为 M ,则 AM ? A , 1E? 4

EM ? AA1 ? 8 因 为 E H G F为 正 方 形 , 所 以 EH ? EF
? BC ? 10 , 于 是 MH ? EH 2 ? EM 2 ? 6 , 所 以 AH ? 10 ,以 D 为坐标原点, DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所以的空间直角坐

??? ?

( 0 0 ,0 ,) 标系 D ? xyz , 则 A1

H (10,10,0) ,E (10,4,8) ,F (0,4,8) ,FE ? (10,0,0) , ,

??? ?

? ? ??? ? ?n ? FE ? 0 ,即 ? ???? n ? HE ? 0 ? ?? ? ???? ???? ?10 x ? 0 ? ? ???? | n ? AF| 4 5 , 所以可取 n ? (0,4,3) , 又 AF ? (?10,4,8) , 故c , |o s ,? n AF | ? ? ? ???? ? ? | n || AF | 15 ??6 y ? 8z ? 0

??? ? ? HE ? (0, ?6,8) , 设 n ? ( x, y, z ) 是 平 面 E H G F的 法 向 量 , 则

4 15 . 15 20 .解析: (Ⅰ)设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( xM , yM ) , 将
所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为

y ? kx ? b 代入 9x2 ? y 2 ? m2 得 (k 2 ? 9) x2 ? 2kbx ? b2 ? m2 ? 0 ,故 xM ?
y M ? kxM ? b ?
2

x1 ? x2 ?kb ? 2 , 2 k ?9

y 9 9b . 于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? ,即 kOM ? k ? ?9 ,所 k ?9 xM k
m , m) , 所以 l 不过原点且与 C 3

以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (Ⅱ) 四边形 OAPB 能为平行四边形, 因为直线 l 过点 (

2015 年高考数学试题(理)

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有两个交点的充要条件是 k ? 0, k ? 3 ,由(Ⅰ)得 OM 的方程为 y ? ?

9 x. k

9 ? ? km k 2 m2 ?y ? ? x 2 x ? 设点 P 的横坐标为 xP ,由 ? ,得 ,即 xP ? , k P 2 2 9 k ? 81 3 k ? 9 2 2 2 ? ?9 x ? y ? m
将点 (

k ( k ? 3)m m m(3 ? k ) , m ) 的坐标代入 l 的方程得 b ? ,因此 xM ? . 四边形 3 3 3(k 2 ? 9)

OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP ? 2xM ,于是

?km 3 k2 ? 9

? 2?

k (k ? 3)m , 解得 k1 ? 4 ? 7, k2 ? 4 ? 7 , 因为 ki ? 0, ki ? 3, i ? 1, 2 , 3(k 2 ? 9)
mx

所以当 l 的斜率为 4 ? 7 或 4 ? 7 时,四边形 OAPB 为平行四边形. 21 . 解 析 :( Ⅰ ) f ?( x )? m e ( ?

, 0时 ) , , 若 m ? 0 , 则 当 x ?( ? ? 1 ?) x 2

emx ?1 ? 0 f , ? x( ?) ;当 0 x ? (0, ?? ) 时, emx ? 1 ? 0 , f ?( x) ? 0 . 若 m ? 0 ,则当
x ? ( ??, 0) 时, emx ?1 ? 0, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, emx ? 1 ? 0 , f ?( x) ? 0 ,
所以, f ( x ) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的 m , f ( x ) 在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故 f ( x ) 在 x ? 0 处取得最小值,所以对于任意 x1, x2 ?[?1,1] , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 的充要
m ? ? f (1) ? f (0) ? e ? 1 ?e ? m ? e ? 1 t 条件是 ? ,即 ? ? m ①. 设函数 g (t ) ? e ? t ? e ? 1 , ? ? f (?1) ? f (0) ? e ? 1 ?e ? m ? e ? 1

t 则 g ?(t ) ? e ? 1,当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ;当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ,故 g (t ) 在 (??, 0) 单

调递减, 在 (0, ??) 单调递增.又 g (1) ? 0 , 故当 t ? [?1,1] 时, g (?1) ? e ? 2 ? e ? 0 ,
?1

g (t ) ? 0 .当 m ?[?1,1] 时, g (m) ? 0, g (?m) ? 0 ,即①式成立;当 m ? 1 时,由 g (t ) m ?e ? 1 ; g ( m) ? 0 , g (?m) ? 0 , 的单调性, 即e ? 当 m ? ?1 时, 即e
m ?m

?m ?e ? 1,

综上, m 的取值范围是[-1,1]. 22.解析: (Ⅰ)由于 ?ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平分线, 又因为⊙O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,所以 AE ? AF ,故 AD ? EF ,从而

EF // BC .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, AE ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂直平分线 .又 EF 为⊙ O 的弦,所以 O 在 AD 上 . 连结

OE, OM , 则 O E ? A E, 由 AG 等 于 ⊙ O 的 半 径 得
? AO ? 2OE , 所以 ?OAE ? 30 , 因此 ?ABC 和 ?AEF 都是

2015 年高考数学试题(理)

第 9 页【共 10 页】

等边三角形. 因为 AE ? 2 3 , 所以 AO ? 4, OE ? 2 . 因为 OM ? OE ? 2, DM ? MN ? 3 , 所以 OD ? 1 . 于是 AD ? 5, AB ?

1 2

10 3 . 3

所以四边形 EBCF 的面积为 ? (

1 10 3 2 3 1 3 16 3 . ) ? ? ? (2 3)2 ? ? 2 3 2 2 2 3
2 2

23.解析: (Ⅰ)曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,曲线 C3 的直角坐标方程为

? 2 2 x? ? ?x ? 0 ? ?x ? y ? 2 y ? 0 ? ,解得 ? 或? x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0 . 联立 ? 2 2 ? ?y ? 0 ?y ? ? x ? y ? 2 3x ? 0 ? ?
与 C3 交点的直角坐标为 (0, 0) 和 (

3 2 ,所以 C 2 3 2

3 3 , ). 2 2 (Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? ,因此 A 的极坐标为
? (2sin ? , ? ) , B 的极坐标为 (2 3 cos ? , ? ) , 所以 | AB |?| 2sin ? ? 2 3 cos ? |? 4 | sin(? ? ) | ,
3
当? ?

5? 时, | AB | 取得最大值,最大值为 4. 6

24.解析: (Ⅰ)因为 ( a ? b )2 ? a ? b ? 2 ab ,( c ? d )2 ? c ? d ? 2 cd ,由题设

a ? b ? c ? d , ab ? cd 得 ( a ? b )2 ? ( c ? d )2 ,因此 a ? b ? c ? d . b || ?c ? d| (Ⅱ) (i) 若| a ?
(ii) 若 a? b? c? d , 则 (a ? b) ? (c ? d ) , 即 (a ? b) ? 4ab ? (c ? d ) ? 4cd ,
2 2 2 2

因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd ,由(Ⅰ)得 a ? b ? c ? d . , 则 ( a ? b )2 ? ( c ? d ) 2 , 即 a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd ,

因为 a ? b ? c ? d , 所以 ab ? cd , 于是 (a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ? (c ? d )2 ? 4cd ? (c ? d )2 , 因此 | a ? b |?| c ? d | ,综上, a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件.

2015 年高考数学试题(理)

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