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2010届高三数学每周精析精练:平面向量


2010 届高三数学每周精析精练:平面向量
一、选择题 1.一质点受到平面上的三个力 F1 , F 2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1 , F 2 成 6 0 角,且 F1 , F 2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为 A. 6 B. 2 C. 2 5 D. 2 7
0

2.设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构成三角形, 则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 )

3.已知向量 a ? (1, 0), b ? (0,1), c ? ka ? b ( k ? R ), d ? a ? b ,如果 c // d ,那么 A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ? 1 且 c 与 d 同向 B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ? 1 且 c 与 d 反向

4. 设 D 是 正 ? P1 P2 P3 及 其 内 部 的 点 构 成 的 集 合 , 点 P0 是 ? P1 P2 P3 的 中 心 , 若 集 合
S ? { P | P ? D , | P P0 |? | P Pi |, i ? 1, 2, 3} , 则集合 S 表示的平面区域是

(

)

A. 三角形区域 C. 五边形区域
??? ? ??? ? ??? ?

B.四边形区域 D.六边形区域 )
??? ? ??? ? ???? ?

5.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, B C ? B A ? 2 B P ,则( A. P A ? P B ? 0
??? ? ??? ? ?

B. P C ? P A ? 0

??? ?

??? ?

?

C. P B ? P C ? 0

??? ?

??? ?

?

D. P A ? P B ? P C ? 0

6.已知向量 a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= 5 2 ,则︱b ︱= (A) 5 (B) 1 0 (C)5 (D)25 )

7.设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 ? a ? c ? ? ? b ? c ? 的最小值为 ( D (A) ? 2 (B) 2 ? 2 (C) ? 1 (D) 1 ?
2

0 8.平面向量 a 与 b 的夹角为 6 0 , a ? (2, 0) , b ? 1 则 a ? 2 b ?

(A) 3

(B) 2 3

(C) 4

(D)12

9. 已 知 O , N , P 在 ? A B C 所 在 平 面 内 , 且 O A ? O B ? O C , N A ? N B ? N C ? 0 , 且
P A ? P B ? P B? P C? PC ? P,则点 O,N,P 依次是 ? A B C 的 A

(A)重心 外心 垂心

(B)重心 外心 内心

(C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 10.设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |? | b |? | c |, a ? b ? c ,则 ? a , b ?? (A)150°B)120° (C)60° (D)30°

11.已知 a ? ? ? 3, 2 ? , b ? ? ? 1, 0 ? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2 b 垂直,则实数 ? 的值为 (A) ?
?

1 7
? ?

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6
? ?

12.设 a , b , c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共线,
? ? ? ? ? ?

a ? c
?

∣ a ∣=∣ c ∣,则∣ b ? c ∣的值一定等于
? ? ?

A.以 a , b 为邻边的平行四边形的面积
? ?

B. 以 b , c 为两边的三角形面积
? ?

C. a , b 为两边的三角形面积

D. 以 b , c 为邻边的平行四边形的面积 )

13.已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x ), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是(
? ? ? ? | 14 、 定 义 运 算 | a ? b | | a | 鬃b | sin q ? ? ? ? ? ? ? ? ? | x |= 2, | y |= 5, x ? y - 6 ,则 | x ? y |

A.-2

B.0

C.1

D.2

, 其 中 ? 是 向 量 a,b 的 夹 角 . 若 (D)6
3 sin x ? cos x ? 2 ,

? ?

(A)8 15. y ? sin x ? 那么向量 a = A. ? ?
? ?

(B)-8

(C)8 或 -8

3 co s x 经过 a 的平移后的图象的解析式为 y ?

?

? ,2 ? 2 ?

B. ? ?
?

?

?

? ,? 2 ? 2 ?

C. ?

??

? ,? 2 ? ? 2 ?

D. ?

??

? ,2 ? ? 2 ?

二、填空题 16.若平面向量 a , b 满足 a ? b ? 1 , a ? b 平行于 x 轴, b ? ( 2 , ? 1) ,则 a ? 17.给定两个长度为 1 的平面向量 O A 和 O B ,它们的夹角为 1 2 0 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 A B 上变动. 若 O C ? xO A ? y O B , 其中 x , y ? R ,则 x ? y 的最大值是________.
???? ??? ? ??? ?
??? ?

.

??? ?

??? ?

o

18.在平行四边形 ABCD 中, 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, E 或 R ,则 + = _________。
????

=

+

, 其中



19. 如 图 2 , 两 块 斜 边 长 相 等 的 直 角 三 角 板 拼 在 一 起 , 若 A D ? x A B? y A C 则 x ? ,
1? 3 2

??? ?

????

,y ?

3 2

.

图2 三.解答题 20.已知向量 a ? (sin ? , ? 2 ) 与 b ? (1, cos ? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin (? ? ? ) ?
10 10 ,0 ? ? ?

?
2

).

?
2

,求 co s ? 的值.

21、已知 a ? ? cos ? , sin ? ? , b ? ? cos ? , sin ? ? ,其中 0 ? ? ? ? ? ? 。
? ? ? ?

?

?

(1)求证: a + b 与 a - b 互相垂直; (2)若 k a ? b 与 k a ? b ( k ? 0 )的长度相等,求 ? ? ? 。
? ? ? ?

参考答案
一、选择题: 1.【答案】 :D 【解析】 F 3 ? F1 ? F 2 ? 2 F1 F 2 cos( 180
2 2 2 0

? 60 ) ? 28 ,所以 F 3 ? 2 7 ,选 D.
0

2.【答案】 :C 【解析】 :对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对 于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现. 3.【答案】D 【解析】 本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查.
.k.s.5.u.c

∵a ? ? 1, 0 ? ,b ? ? 0,1 ? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ? 1,1 ? ,d ? a ? b ? ? 1, ? 1 ? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ? 1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ? 1,1 ? ,d ? ? a ? b ? ? ? ? 1,1 ? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 4.【答案】D 【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以 及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能 力. 属于创新题型. 如图,A、B、C、D、E、F 为各边 三等分点,答案是集合 S 为六边形 ABCDEF,其中,
.5.u.c.o. 大光明

P0 A ? P2 A ? Pi A ? i ? 1, 3 ?

即点 P 可以是点 A. 5.【答案】 :B。 【解析】:因为 B C ? B A ? 2 B P ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则, 可以借助图形解答。 6.【答案】 :C A
??? ? ??? ? ??? ?

B

P 第 5 题图

C

【解析】 :本题考查平面向量数量积运算和性质,由 a ? b ? 5 2 知(a+b)2=a2+b2+2ab=50, 得|b|=5 选 C。 7.【答案】 :D 【解析】: ? a , b , c 是单位向量? a ? c ? b ? c ? a ?b ? ( a ? b ) ?c ? c

? ? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

? ?

?? ?

? ?

?2

? ? ? ? 1? | a ? b |?| c |? 1 ?

? ? ? 2 co s ? a ? b , c ? ? 1 ?

2 故选 D.

8. 【答案】B 【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4× 1× 2× cos60° +4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 9.【答案】 :C 【解析】 :
由 O A ? O B ? O C 知 , O 为 ? A B C的 外 心 ; N A ? N B ? N C ? 0知 , O 为 ? A B C 的 重 心 ; 由

? P A ? P B ? P B ? P C , P A ? P C ? P B ? 0, C A ? P B ? 0,? C A ? P B , ? ? 同 理 , A P ? B C ,? P 为 ? A B C 的 垂 心 , 选 C .

?

?

10.【答案】 :B 【解析】 :由向量加法的平行四边形法则,知 a 、 b 可构成菱形的两条相邻边,且 a 、 b 为 起点处的对角线长等于菱形的边长,故选择 B。 【命题意图】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。 11.【答案】A 【解析】向量 ? a ? b =(-3 ? -1,2 ? ) a ? 2 b =(-1,2) , ,因为两个向量垂直,故有 (-3 ? -1,2 ? )×(-1,2)=0,即 3 ? +1+4 ? =0,解得: ? = ? 12.【答案】 :A 【解析】 :假设 a 与 b 的夹角为 ? ,∣ b ? c ∣=︱ b ︱·︱ c ︱·∣cos< b , c >∣=︱ b
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 7

,故选.A。

︱·︱ a ︱?∣cos(90 ? ? )∣=︱ b ︱·︱ a ︱?sin ? ,即为以 a , b 为邻边的平行四边形的
0

面积,故选 A。 13.【答案】D 【解法 1】因为 a ? (1,1), b ? ( 2, x ) ,所以 a ? b ? (3, x ? 1), 4 b ? 2 a ? (6, 4 x ? 2), 由于 a ? b 与 4 b ? 2 a 平行,得 6 ( x ? 1) ? 3(4 x ? 2 ) ? 0 ,解得 x ? 2 。
) 解 法 2 因 为 a ? b 与 4b ? 2 a 平 行 , 则 存 在 常 数 ? , 使 a ? b ?? ( 4 b ? 2 a , 即 ( 2 ? 1a) ? ?

?4 ( ?
?

b ,根据向量共线的条件知,向量 a 与 b 共线,故 x ? 2 。 1)

14.【答案】 :A

【解析】 :∵ | x |= 2, | y |= 5, x ? y ∴ sin ?
? 4 5

? ?

? ? ?

? ? ? ? ? - 6 ∴ co s ? ? ?x ? y? ? ? 6 ? ? 3 ,又 θ 是向量 a , b 的夹角 ? x ? y 2?5 5

∴ x ? y ? | x | ? | y | ? sin ? ? 2 ? 5 ? 15.【答案】 :D 【解析】 :∵由 y
y ?
? sin x ?

?

? ?

?

? ?

4 5

?8

故选 A;

? ? ? 3 co s x ? 2 sin ? x ? ? 平移到 3 ? ?

? ? ? 3 sin x ? co s x ? 2 ? 2 sin ? x ? ? ? 2 6 ? ?

? ?? ? ? ? ? ? 2 sin ? ? x ? ? ? ? ? 2 ,即右移了 2 2 ? 3? ??

个单位,上移了 2 个单位 ∴ a ? ? ?

?

? ,2? ? 2 ?

?

故选 D;

二、填空题 16.【解析】 a ? b ? (1, 0 ) 或 ( ? 1, 0 ) ,则 a ? (1, 0 ) ? ( 2 , ? 1) ? ( ? 1,1) 或 a ? ( ? 1, 0 ) ? ( 2 , ? 1) ? ( ? 3 ,1) . 17.【解析】设 ? A O C ? ?
1 ? ???? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? co s ? ? x ? y ?O C ? O A ? xO A ? O A ? yO B ? O A, ? ? ? 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ,即 ? ? ? ? ? ???? ??? ?O C ? O B ? xO A ? O B ? yO B ? O B , ? co s(1 2 0 0 ? ? ) ? ? 1 x ? y ? ? ? 2

∴ x ? y ? 2[co s ? ? co s(1 2 0 ? ? )] ? co s ? ?
0

3 sin ? ? 2 sin ( ? ?

?
6

)?2

18. 【解析】设 B C ? b 、 B A ? a 则 A F ?

? ? 1 ? ???? ? ? 1 ? ? ??? b ? a , AE ? b ? a , AC ? b ? a 2 2 2 4 代入条件得 ? ? u ? ? ? ? u ? 3 3 ????
2 ,

??? ?

?

??? ?

?

19.【解析】:作 D F ? A B ,设 A B ? A C ? 1 ? B C ? D E ?
? ? D E B ? 6 0 ,? B D ?
?

6 2

,

? 由 ? D B F ? 4 5 解得 D F ? B F ?

6 2

?

2 2

?

3 2

,故x ? 1?

3 2

, y ?

3 2

.

三、解答题 20.解 (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入
sin ? ? cos
2 2

? ? 1 得 sin ? ? ?

2 5 5

, cos ? ? ?

5 5

,又 ? ? (0,

?
2

),

∴ sin ? ?

2 5 5

, cos ? ?

5 5

.

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

,∴ ?

?
2

?? ?? ?

?
2



则 cos( ? ? ? ) ?

1 ? sin (? ? ? ) ?
2

3 10 10



21.解: (1)因为 ( a + b ) · ( a - b ) ? a ? a · b + b · a - b
? a ? b
? 2 ? 2

?

?

?

?

? 2

?

?

?

?

? 2

?|a | ?|b | ?
2 2

?

?

c o s? ? s i n ? ?
2 2

cos? ?sin?
2 2

? 1?1 ? 0
? ? ? ?

所以 a + b 与 a - b 互相垂直。 (2) k a + b ? ? k co s ? ? co s ? , k sin ? ? sin ? ? ,
k a ? b ? ?k c o ? ? c o s , k s i n ? s i n ? , s ? ? ?
? ? ? ?

所以 | k a ? b | ?
|k a ? b|?
? ?

?

?

k

2

? 2 k cos ? ? ? ? ? ? 1 ,

?

?

k

2

? 2 k c o ?? ? ? ? ? 1 , s
? ?

因为 | k a ? b | ? | k a ? b | , 所以 k ? 2 k cos ? ? ? ? ? ? 1 ? k ? 2 k cos ? ? ? ? ? ? 1 ,
2 2

有 2 k cos? ? ? ? ? ? ? 2 k cos? ? ? ? ? , 因为 k ? 0 ,故 co s? ? ? ? ? ? 0 , 又因为 0 ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ? ? , 所以 ? ? ? ?
?
2




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