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2014年广州一模文科数学试题与答案(全word版)


试卷类型:A

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(文科)
2014.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的 市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷 类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答 案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3
n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6

12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ?

?n ? N ? .
*

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? 的定义域为 A. ? ??, ?1? B. ? ??,1?
2

C. ? ?1, ?? ?

D. ?1, ?? ?

2.已知 i 是虚数单位,若 ? m ? i ? ? 3 ? 4i ,则实数 m 的值为 A. ?2 B. ?2 C. ? 2
第 1 页 共 13 页

D. 2

3.在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 C ? 2 B ,则 A. 2sin C
2 2

c 为 b
D. 2cos C

B. 2cos B

C. 2sin B

4.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为 A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

5.已知 x ? ?1 ,则函数 y ? x ? A. ?1

1 的最小值为 x ?1
C.1 D.2

B.0

x 6.函数 f ? x ? ? 2 的图象大致是 x ?1
y O x

y x

y O x

y O x

O

A D C B 7.已知非空集合 M 和 N ,规定 M ? N ? x x ? M 且x ? N ,那么 M ? ? M ? N ? 等于

?

?

A. M ? N

B. M ? N

C. M

D. N

8.任取实数 a , b ? ? ?1,1? ,则 a , b 满足 a ? 2b ? 2 的概率为 A.

1 8

B.

1 4

C.

3 4

D.

7 8

b = a b 成立的一个必要非充分条件是 9.设 a , b 是两个非零向量,则使 a ?
A. a ? b B. a ? b C. a ? b D.a ? ?b ? ? ? 0 ?

10.在数列 ? an ? 中,已知 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? sin A.1006 B.1007

? n ? 1? ? ,记 S
2

n

为数列 ? an ? 的前 n 项和,则 S2014 ? D.1009

C.1008

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.执行如图 1 的程序框图,若输入 k =3 ,则输出 S 的值为 . 12.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图 2 所示,则这个四棱锥的体积是 开始 输入 k .

5

n ? 0, S ? 0
y? x 2? nlog ?k
是 否 输出 S 结束
2 2 1 1

正(主)视图

侧(左)视图

n ? n ?1
S ? S ?2
n ?1

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4

图2

13.由空间向量 a ? ?1, 2,3 ? , b ? ?1, ?1,1? 构成的向量集合 A ? x x ? a ? kb, k ? Z ,则向量 x 的模 x 的最小值为 .

?

?

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线 ? ? sin ? ? cos ? ? ? a 与曲线 ? ? 2cos ? ? 4sin ? 相交于 A , B 两点,若

AB ? 2 3 ,则实数 a 的值为

. D O A 图3

C P E B

15. (几何证明选讲选做题) 如图3, PC 是圆 O 的切线,切点为 C ,直线 PA 与圆 O 交于 A , B 两点, ?APC 的平分线分别交弦 CA , CB 于 D , E 两点,已知 PC ? 3 , PB ? 2 ,则

PE 的值为 PD



三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知某种同型号的 6 瓶饮料中有 2 瓶已过保质期. (1)从 6 瓶饮料中任意抽取 1 瓶,求抽到没过保质期的饮料的概率; (2)从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,求抽到已过保质期的饮料的概率. 17. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? , 0?. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的最小正周期与单调递增区间.

? π ? 3

? ?

18. (本小题满分14分) 如图 4,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 是 棱 D1 D 的中点,点 F 在棱 B1 B 上,且满足 B1 F ? 2 FB . (1)求证: EF ? A1C1 ; (2)在棱 C1C 上确定一点 G ,使 A , E , G , F 四点共面, 并求此时 C1G 的长;
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D1 A1

C1 B1

E
D

F
B
图4

C

A

(3)求几何体 ABFED 的体积. 19. (本小题满分14分) 已知等差数列 ?an ? 的首项为 10,公差为 2,数列 ?bn ? 满足 bn ? (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn ? max ?an , bn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n . (注: max ?a, b? 表示 a 与 b 的最大值. )

n an ? 6n , n ? N* . 2

20. (本小题满分14分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 6 x ? 9 x ? 3 .
3 2

(1)求函数 f ? x ? 的极值; (2) 定义: 若函数 h ? x ? 在区间 ? s , t ? ? s ? t ? 上的取值范围为 ? s , t ? , 则称区间 ? s , t ? 为函数 h ? x ? 的 “域 同区间” . 试问函数 f ? x ? 在 ? 3, ?? ? 上是否存在 “域同区间”?若存在, 求出所有符合条件的“域 同区间” ;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分14分)

3 5 x2 y 2 ? 1? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左,右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 已知双曲线 E : 2 ? , 5 a 4
点 P 是直线 x ?

???? ? ???? ? a2 QF2 ? 0 . 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 PF2 ? 3

(1)求实数 a 的值; ( 2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1 ,过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点 M , N ,在线段 MN 上取 异于点 M , N 的点 H ,满足

PM PN

?

MH HN

,证明点 H 恒在一条定直线上.

第 4 页 共 13 页

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 A 5 6 7 B 8 D 9 B 10 C

C A

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 11 7 12 4 13 14 15

13

?1 或 ?5

2 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分) (本小题主要考查古典概型等基础知识, 考查化归与转化的数学思想方法, 以及数据处理能力与应用意识) (1)解:记“从6瓶饮料中任意抽取1瓶,抽到没过保质期的饮料”为事件 A , 从 6 瓶饮料中中任意抽取 1 瓶,共有 6 种不同的抽法. 因为 6 瓶饮料中有 2 瓶已过保质期,所以事件 A 包含 4 种情形. 则 P ? A? ?

4 2 ? . 6 3 2 . 3

所以从 6 瓶饮料中任意抽取 1 瓶,抽到没过保质期的饮料的概率为

(2)解法 1:记“从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,抽到已过保质期的饮料”为事件 B , 随机抽取 2 瓶饮料,抽到的饮料分别记为 x , y , 则 ( x, y ) 表示第一瓶抽到的是 x ,第二瓶抽到的是 y ,则 ( x, y ) 是一个基本事件. 由于是随机抽取,所以抽取到的任何基本事件的概率相等.不妨设没过保质期的饮料为 1,2,3,4,

已过保质期的饮料为 a , b , 则从 6 瓶饮料中依次随机抽取 2 瓶的基本事件有:

?1, 2 ? , ?1, 3? , ?1, 4 ? , ?1, a ? , ?1, b ? , ? 2,1? , ? 2, 3? , ? 2, 4 ? , ? 2, a ? , ? 2, b ? , ? 3,1? , ? 3, 2 ? , ? 3, 4 ? , ? 3, a ? , ? 3, b ? , ? 4,1? , ? 4, 2 ? , ? 4, 3? , ? 4, a ? , ? 4, b ? , ? a,1? , ? a, 2 ? , ? a,3? , ? a, 4 ? , ? a, b ? , ? b,1? , ? b, 2 ? , ? b, 3? , ? b, 4 ? , ? b, a ? .
共 30 种基本事件. 由于 2 瓶饮料中有 1 瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料,所以事件 B 包含的基本事件有:

?1, a ? , ?1, b ? , ? 2, a ? , ? 2, b ? , ? 3, a ? , ? 3, b ? , ? 4, a ? , ? 4, b ? , ? a,1? , ? a, 2 ? , ? a,3? , ? a, 4 ? , ? a, b ? , ? b,1? , ? b, 2 ? , ? b, 3? , ? b, 4 ? , ? b, a ? .
共 18 种基本事件. 则 P( B) ?

18 3 ? . 30 5 3 . 5

所以从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,抽到已过保质期的饮料的概率为

解法 2:记“从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,抽到已过保质期的饮料”为事件 B , 随机抽取 2 瓶饮料,抽到的饮料分别记为 x , y ,则 ( x, y ) 是一个基本事件. 由于是随机抽取,所以抽取到的任何基本事件的概率相等.不妨设没过保质期的饮料为 1,2,3,4, 已过保质期的饮料为 a , b , 则从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶的基本事件有:

?1, 2 ? , ?1, 3? , ?1, 4 ? , ?1, a ? , ?1, b ? , ? 2, 3? , ? 2, 4 ? , ? 2, a ? , ? 2, b ? , ? 3, 4 ? , ? 3, a ? , ? 3, b ? , ? 4, a ? , ? 4, b ? , ? a, b ? .
共 15 种基本事件. 由于 2 瓶饮料中有 1 瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料,所以事件 B 包含的基本事件有:

?1, a ? , ?1, b ? , ? 2, a ? , ? 2, b ? , ? 3, a ? , ? 3, b ? , ? 4, a ? , ? 4, b ? , ? a, b ? .
共 9 种基本事件. 则 P( B) ?

9 3 ? . 15 5
3 . 5

所以从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶,抽到已过保质期的饮料的概率为

17. (本小题满分) (本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性、同角三角函数的基本关系、三角函数的化简等知识, 考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) 解: (1)因为函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? , 0?,

? π ? 3

? ?

所以 f ? ?

? ?? ? ? 0. ? 3?

即 sin ? ?

? π? ? π? ? ? a cos ? ? ? ? 0 . ? 3? ? 3?

即?

3 a ? ?0. 2 2
3.

解得 a ?

(2)由(1)得,

?1 ? 3 sin x ? cos x f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? ?

? ?? ? ? 2 ? sin x cos ? cos x sin ? 3 3? ? π? ? ? 2sin ? x ? ? . 3? ?
所以函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? . 因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k ? ? 所以当 2kπ ?

? ?

? ?? , 2k ? ? ? ? k ? Z ? , 2 2?

π π π ? x ? ? 2kπ ? ? k ? Z ? 时,函数 f ? x ? 单调递增, 2 3 2 5π π 即 2kπ ? ? x ? 2kπ ? ? k ? Z ? 时,函数 f ? x ? 单调递增. 6 6
所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 2kπ ?

? ?

5π π? , 2kπ ? ? ? k ? Z ? . 6 6?

18. (本小题满分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以 及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:连结 B1 D1 , BD , 因为四边形 A1 B1C1 D1 是正方形,所以 A1C1 ? B1 D1 . 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, DD1 ? 平面 A1 B1C1 D1 ,

D1 A1

C1 B1

E

D
A

A1C1 ? 平面 A1 B1C1 D1 ,所以 A1C1 ? DD1 .
因为 B1D1 ? DD1 ? D1 , B1 D1 , DD1 ? 平面 BB1 D1 D , 所以 A1C1 ? 平面 BB1 D1 D . 因为 EF ? 平面 BB1 D1 D ,所以 EF ? A1C1 . (2)解:取 C1C 的中点 H ,连结 BH ,则 BH ? AE . 在平面 BB1C1C 中,过点 F 作 FG ? BH ,则 FG ? AE . 连结 EG ,则 A , E , G , F 四点共面.

F
B

C

D1 A1

C1 G B1

E

H
C

1 1 1 1 C1C ? a , HG ? BF ? C1C ? a , 2 2 3 3 1 所以 C1G ? C1C ? CH ? HG ? a . 6 1 故当 C1G ? a 时, A , E , G , F 四点共面. 6
因为 CH ? (3)解:因为四边形 EFBD 是直角梯形, 所以几何体 ABFED 为四棱锥 A ? EFBD .

D

F
B

A

因为 S EFBD

? BF ? DE ? BD ? ? ?3 ?
2

?1

1 ? a ? a ? ? 2a 5 2 2 2 ? ? a , 2 12

点 A 到平面 EFBD 的距离为 h ?

1 2 AC ? a, 2 2

所以 VA? EFBD ?

1 1 5 2 2 2 5 S EFBD h ? ? a ? a ? a3 . 3 3 12 2 36

故几何体 ABFED 的体积为

5 3 a . 36

19. (本小题满分) (本小题主要考查等差数列、分组求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力和创 新意识) 解: (1)因为等差数列 ?an ? 的首项为 10,公差为 2, 所以 an ? 10 ? ? n ? 1? ? 2 , 即 an ? 2n ? 8 . 所以 bn ?

n an ? 6n ? n2 ? 2n . 2

(2)由(1)知 bn ? an ? n ? 2n ? ? 2n ? 8 ?
2

?

?

? n2 ? 4n ? 8 ? ?n ? 2 3 ? 2 ? ?n ? 2 ? 2 3 ? , ? ?? ?
因为 5 ? 2 ? 2 3 ? 6 ,所以当 n ? 5 时, an ? bn ,当 n ? 5 时, bn ? an . 所以 cn ? max ?an , bn ? ? ? 当 n ? 5 时,

?

?

?

?

?2n ? 8,

n ? 5,

2 ?n ? 2n, n ? 5.

Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
? 10 ? 12 ? 14 ? ? ? ? 2n ? 8?

?

1 0? ? 2 n? ? 8 ? n ? n2 ? 9n . 2

当 n ? 5 时,

Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn
? ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ? ? ? b6 ? b7 ? ? ? bn ?
2 ? ? 52 ? 9? 5 2 ?? 6? ?? ? ?? 6? ? 2 2 ? 7 0? ? ?? 6 ? 7? 2 8 ? ? ? n ?2? 2 2 ? 7 ? 2? ? 7 8? ? ?

?? 8? ? n ?2

2 ? ? n ?? ?2

8 ? n ?? ? 2 ? 6 ? 7? ? ?

? 2 2 2 2 ? 6 ? n ?? n ? 5 ? ? ? 70 ? ??12 ? 2 2 ? 3 2? ? ? n ?2? ?1 ? 2 ?23 ? 4 ?5 ??2 ? 2 ? ? ? 1 ? n ? n? 1?? 2 n ?? 5? ? 7 0? ? 5? ? 6n ?? n ? 6 ?

? ?5
?

?

1 1 5 ? n3 ? n 2 ? n ? 45 . 3 2 6
?n 2 ? 9n, ? 综上可知, S n ? ? 1 3 1 2 5 ? n ? n ? n ? 45, 2 6 ?3 n ? 5, n ? 5.

20. (本小题满分) (本小题主要考查函数的极值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识,考查数形结合、化归与转化、 分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识) 解: (1)因为 f ? x ? ? x ? 6 x ? 9 x ? 3 ,
3 2

所以 f ? ? x ? ? 3x ? 12 x ? 9 ? 3 ? x ? 1?? x ? 3? .
2

令 f '( x) ? 0 ,可得 x ? 1 或 x ? 3 .苏元高考吧:www.gaokao8.net) 则 f '( x), f ( x) 在 R 上的变化情况为:

x
f ?? x?
f ? x?

? ??,1?
+ 增函数

1 0 1

?1, 3?
- 减函数

3 0

? 3, ?? ?
+

?3

增函数

所以当 x ? 1 时,函数 f ? x ? 有极大值为 1,当 x ? 3 时,函数 f ? x ? 有极小值为 ?3 . (2)假设函数 f ? x ? 在 ? 3, ?? ? 上存在“域同区间” ? s , t ? ? 3 ? s ? t ? , 由(1)知函数 f ? x ? 在 ? 3, ?? ? 上单调递增.

? ? s 3 ? 6 s 2 ? 9 s ? 3 ? s, ? f ? s ? ? s, ? 所以 ? 即? 3 2 f t ? t . ? ? ? ? ?t ? 6t ? 9t ? 3 ? t. ?
也就是方程 x ? 6 x ? 9 x ? 3 ? x 有两个大于 3 的相异实根.
3 2

设 g ( x) ? x ? 6 x ? 8 x ? 3
3 2

? x ? 3? ,

则 g ?( x) ? 3x ? 12 x ? 8 .
2

令 g ? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 2 ?

2 2 3 ? 3 , x2 ? 2 ? 3 ? 3. 3 3

当 3 ? x ? x2 时, g ? ? x ? ? 0 ,当 x ? x2 时, g ? ? x ? ? 0 , 所以函数 g ? x ? 在区间 ? 3, x2 ? 上单调递减,在区间 ? x2 , ?? ? 上单调递增.

因为 g ? 3? ? ? 6 ? 0 , g ? x2 ? ? g ? 3? ? 0 , g ? 5 ? ? 12 ? 0 , 所以函数 g ( x) 在区间 ? 3, ?? ? 上只有一个零点. 这与方程 x ? 6 x ? 9 x ? 3 ? x 有两个大于 3 的相异实根相矛盾,所以假设不成立.
3 2

所以函数 f ( x) 在 ? 3, ?? ? 上不存在“域同区间” .

21. (本小题满分) (本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查数形结合、化归 与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:设双曲线 E 的半焦距为 c ,

?c 3 5 , ? ? 由题意可得 ? a 5 ?c 2 ? a 2 ? 4. ?
解得 a ?

5 .

(2)证明:由(1)可知,直线 x ?

a2 5 ?5 ? ? ,点 F2 ? 3, 0 ? .设点 P ? , t ? , Q ? x0 , y0 ? , 3 3 ?3 ?

QF2 ? 0 ,所以 ? 3 ? , ?t ?? 因为 PF2 ? ? 3 ? x0 , ? y0 ? ? 0 .
所以 ty0 ?

???? ? ???? ?

? ?

5 3

? ?

4 ? x0 ? 3? . 3
x0 2 y0 2 4 2 ? ? 1 ,即 y0 2 ? ? x0 ? 5? . 5 4 5

因为点 Q ? x0 , y0 ? 在双曲线 E 上,所以
2 y0 ? t y0 y0 ? ty0 ? ? ? 5 x0 5 2 x0 ? x0 ? x0 3 3

所以 k PQ ? kOQ

4 2 4 x0 ? 5? ? ? x0 ? 3? ? 4 3 ?5 ? . 5 5 x0 2 ? x0 3 4 所以直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 . 5

(3)证法 1:设点 H ? x, y ? ,且过点 P ?

?5 ? ,1? 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , ?3 ?

4 2 4 x1 ? 5? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5? . ? 5 5 ???? ? ???? ? PM MH ? PM ? ? PN , ? ? ? ,则 ? ???? 设 ? ???? . PN HN ? ? MH ? ? HN .
N ? x2 , y2 ? ,由(2)知 y12 ?

?? 5 5 ? ? ? ?? x1 ? , y1 ? 1? ? ? ? x2 ? , y2 ? 1 ? , 3 3 即 ?? ? ? ? ?? x ? x , y ? y ? ? ? ? x ? x , y ? y ? . 1 1 2 2 ?

5 ? ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? , ? ? 整理,得 ? y1 ? ? y2 ? 1 ? ? , ? x1 ? ? x2 ? x ?1 ? ? ? , ? ? ? y1 ? ? y2 ? y ?1 ? ? ? .

① ② ③ ④
⑤ ⑥

5 ? 2 2 2 2 ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? x , 由①×③,②×④得 ? ? y12 ? ? 2 y2 2 ? ?1 ? ? 2 ? y. ?
将 y1 ?
2

4 x12 ? ? 2 x2 2 4 2 4 2 2 y ? ? ?4. , 代入⑥,得 x ? 5 y ? x ? 5 ? 1 ? 2 5? 2 ? 5 1? ? 2 5



将⑤代入⑦,得 y ?

4 x?4. 3

所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ?12 ? 0 上.

证法 2:依题意,直线 l 的斜率 k 存在. 设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ? x ? ? ,

? ?

5? 3?

? 5? ? ? y ?1 ? k ? x ? 3 ? , ? ? ? 由? 2 2 ? x ? y ? 1. ? 4 ?5
消去 y 得 9 4 ? 5k

?

2

?x

2

? 30 ? 5k 2 ? 3k ? x ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? 0 .

因为直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

? ? 2 2 2 2 ?? ? 900 ? 5k ? 3k ? ? 900 ? 4 ? 5k ?? 5k ? 6k ? 9 ? ? 0, ? 30 ? 5k 2 ? 3k ? ? 则有 ? x1 ? x2 ? , 9 ? 5k 2 ? 4 ? ? ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? . ? x1 x2 ? 9 5k 2 ? 4 ? ? ?

① ②



5 3 ? x ? x1 . ? 设点 H ? x, y ? ,由 ,得 5 x2 ? x1 PN HN x2 ? 3
PM MH

x1 ?

整理得 6 x1 x2 ? ? 3x ? 5 ?? x1 ? x2 ? ? 10 x ? 0 .

150 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? 30 ? 3x ? 5 ? ? 5k 2 ? 3k ? 将②③代入上式得 ? ? 10 x ? 0 . 9 ? 5k 2 ? 4 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ?
整理得 ? 3x ? 5 ? k ? 4 x ? 15 ? 0 . 因为点 H 在直线 l 上,所以 y ? 1 ? k ? x ? ? . 联立④⑤消去 k 得 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 . 所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ?12 ? 0 上. (本题(3)只要求证明点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上,无需求出 x 或 y 的范围. ) ④

? ?

5? 3?




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