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福建省德化一中、安溪一中2015届高三9月摸底考试数学(文)试题


2014 年秋安溪一中、德化一中高三联考 数学(文科)试卷
命题:安溪一中 陈阿成 审核:德化一中 赖玉枝

第Ⅰ卷(选择题 60 分)
一、选择题(本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的,请把答案写在答题卡上 ) .......... 1.已知全集 U ? { ? 1, 0,1, 2} ,集合 A ? { ? 1, 2} , B ? {0, 2} ,则 (CU A) ? B 等于( A. {0} B. { 2} C. {0, 1, 2} D. ? 2. 化简 A. i A.6 )

2i 的结果是( 1? i

) B. ? i B.8

3.设 ?a n ?是等差数列,若 a5

? log 2 8 ,则 a4 ? a6 等于(
C.9

C. 1 ? i

D. 1 ? i ) D.16 )

4.已知向量 a ? (1,3 ) , b ? ( ?2, m ) ,若 a ? b ,则 m 的值为 ( A.

2 3

B. 1 )
2

C. ?

2 3

D. ?1

5.下列函数为偶函数的是( A. f ( x) ? x ? 1

B. f ( x) ? x ? x

C. f ( x) ? 2 ? 2
x

?x

D. f ( x) ? 2 ? 2
x

?x

6.已知焦点在 y 轴上的椭圆 A. 4 A. b ? a ? c B. 8

x2 y 2 ? ? 1 的长轴长为 8,则 m 等于 ( 10 m
C. 16 ) D. a ? c ? b C. c ? b ? a D. 18

)

7.设 a ? log3 7, b ? 21.1 , c ? 0.83.1 ,则( B. c ? a ? b

x+y≤1, ? ? 8.设变量 x,y 满足?x-y≤1, ? ?x≥0,
A.1,-1 9.下列说法正确的是( A. 若 a ? b ,则 )

则 x+2y 的最大值和最小值分别为 ( C.2,-1 D.2,-2

)

B.1,-2

1 1 ? a b

x B. 函数 f ( x) ? e ? 2 的零点落在区间 ( 0 , 1 ) 内

数学(文)试卷

第 1 页 共 8 页

1 的最小值为 2 x D. 若 m ? 4 ,则直线 2 x ? my ? 1 ? 0 与直线 m x ? 8 y ? 2 ? 0 互相平行
C. 函数 f ( x) ? x ? 10. 设偶函数 f ( x) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ? f ( x) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ?

x ,则 5

f (107) =(
A.10

) B. ? 10 C.

1 5

D. ?

1 5


(?2 ? x ? 0) ?kx ? 1, ? ? 11.函数 y ? ? 8? (0 ? ? ? ) 的图象如下图,则( 2 2 sin(?x ? ? ), (0 ? x ? ) ? 3 ? 1 1 ? A、 k ? , ? ? , ? ? 2 2 6 1 1 ? B、 k ? , ? ? , ? ? 2 2 3 1 ? C、 k ? ? , ? ? 2, ? ? 2 6 ? D、 k ? ?2, ? ? 2, ? ? 3

12 、 设 f ( x ) 与 g ( x) 是 定 义 在 同 一 区 间 a, b 上 的 两 个 函 数 , 若 对 任 意 的 x ? a, b , 都 有 , ? a, b? 称 为 “ 密 切 区 间 ” ,设 | f ( x )? g ( x ) ?| , 1 则 称 f ( x) 和 g ( x) 在 ? a, b? 上 是 “ 密 切 函 数 ” ,则它的“密切区间”可以是( f ( x) ? x2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? 3 在 ? a, b? 上是“密切函数” A. [1, 4] B. [2, 4] C. [3, 4] D. [2,3] )

?

?

?

?

第Ⅱ卷(非选择题 90 分)
二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案写在答题卡上 ) .......... 13. 某四棱锥的三视图如右图所示,则该四棱锥的体积为 .

4

4
正视图

3
左视图

俯视图

数学(文)试卷

第 2 页 共 8 页

14.曲线 y ? x ln x 在 x ? e 处的切线的斜率 k ? 15. 执行如图所示的程序框图,如果输入 a=4,那么输出的 n 的值为 16.写出以下五个命题中所有正确命题的编号 ①点 A(1,2)关于直线 y ? x ? 1 的对称点 B 的坐标为(3,0); ②椭圆

[来源:Z+xx+k.Com]

x y ? ? 1 的两个焦点坐标为 ? ?5,0? ; 16 9

2

2

③已知正方体的棱长等于 2, 那么正方体外接球的半径是 2 3 ; ④下图所示的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 A1C1 与 B1C 成 60 的角; ⑤下图所示的正方形 O ?A?B ?C ? 是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形是矩形.
A1 D1 C1 B1
C/ B/

A D C

B
O/ A/

第④题图.

第⑤题图

三、解答题(本大题有 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或者演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1, S4 ? 10 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .
a

18.(本小题满分 12 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有编号为 1,2,3,4 的四个形状相同的小球,现从甲、乙两个盒子中各取 出 1 个小球,每个小球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上的编号都为奇数的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上的编号之和为 3 的倍数的概率; (III)求取出的两个球上的编号之和大于 6 的概率.

数学(文)试卷

第 3 页 共 8 页

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, 且侧面 PAB ? 平面 ABCD , 点 E 是棱 AB 的中点. PA ? PB , (Ⅰ)求证: CD // 平面 PAB ; (Ⅱ)求证: PE ? AD ; (Ⅲ)若 CA ? CB ,求证:平面 PEC ? 平面 PAB .

P

C

D
A

E

B

20. (本小题满分 12 分)已知: f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? a.(a ? R, a 为常数) (1)若 x ? R ,求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 f ( x) 在[ ?

? ?

, ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值. 6 6

21.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 线记为 l . (Ⅰ)求 F 的坐标; (Ⅱ)当点 P 在何处时,点 F 到直线 l 的距离最小? 22.(本小题满分14分)已知 m, t ? R ,函数 f ( x) ? ( x ? t ) 3 ? m . (Ⅰ)当 t ? 1时, (1)若 f (1) ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? x3 ? 1 在区间 [1, 2] 上有解,求 m 的取值范围; (Ⅱ)已知曲线 y ? f ( x) 在其图象上的两点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 )处的切线分别为

1 2 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线 C 上的一个动点,过点 P 且与抛物线 C 相切的直 4

l1 , l2 .若直线 l1 与 l2 平行,试探究点 A 与点 B 的关系,并证明你的结论.

数学(文)试卷

第 4 页 共 8 页

2014 年秋安溪一中、德化一中高三联考 数学(文科)试卷
一.选择题:ADAAD CBDBC AD 二.填空题: 13.16 三.解答题: 17.解: (Ⅰ)由题意得公差 d ? 1 所以通项公式为 an ? n 6分 9分 3分 14.2 15.3 16. ①④

参考答案

(Ⅱ)数列 ?bn ? 是公比为 2,首项为 2 的等比数列,

所以 Tn ?

2(1 ? 2 n ) ? 2 n ?1 ? 2 1? 2

12 分

18.解:由题意可知,从甲、乙两个盒子中各取 1 个小球的基本事件总数为 16. (Ⅰ)记“取出的两个球上的编号都为奇数”为事件 A,则事件 A 的基本事件有: (1,1) , (1,3) , (3,1) , (3,3)共 4 个. ? P(A) ?

3分

4 1 ? . 16 4 5 16

6分

(Ⅱ) 记“取出的两个球上的编号之和为 3 的倍数”为事件 B,则事件 B 包含: (1,2) , (2,1) , (2,4) , (3,3) (4,2)共 5 个基本事件. ? P ( B ) ? 9分

(III)记“取出的两个球上的编号之和大于 6”为事件 C,则事件 C 包含的基本事件为: (3,4) , (4,3) (4,4) ,共 3 个基本事件. ? P (C ) ? 19.解: (Ⅰ)因为底面 ABCD 是菱形, 所以 CD // AB . ----------------------------1 分
数学(文)试卷 第 5 页 共 8 页

3 . 16

12 分

P
又因为 CD ? 平面 PAB , -------------------3 分 所以 CD // 平面 PAB . --------------------------4 分 (Ⅱ)因为 PA ? PB ,点 E 是棱 AB 的中点,

C

D

A
所以 PE ? AB . 因为平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAB ----------------------------------5 分

E

B

平面 ABCD ? AB , PE ? 平面 PAB , ----------------------------------7 分

所以 PE ? 平面 ABCD , 因为 AD ? 平面 ABCD , 所以 PE ? AD . (Ⅲ)因为 CA ? CB ,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 CE ? AB . 由(Ⅱ)可得 PE ? AB , 所以 AB ? 平面 PEC , 又因为 AB ? 平面 PAB , 所以平面 PAB ? 平面 PEC . 20.解:? f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ? (1)最小正周期 T ?
6 6

------------------------------------8 分

-------------------------------9 分 ---------------------------------10 分 --------------------------------11 分

--------------------------------12 分

?
6

) ? a ?1

---------------------4 分 ----------------------6 分

(2) x ? [? ? , ? ] ? 2 x ? [? ? , ? ] ? 2 x ? ? ? [? ? , ? ]

2? ?? 2

1 ? ? s i n2 (x ? ) ? 1 2 6 ? f ( x) max ? 2 ? a ? 1 ? 2a ? 3 ? 3 ? a ? 0 即? ? f ( x) min ? ?1 ? a ? 1 ??
21. 解: (Ⅰ)抛物线方程为 x ? 4 y
2

3 3

6

6 2

----------------------8 分 ---------------------10 分 ---------------------12 分

故焦点 F 的坐标为 ? 0,1? ???????2 分

数学(文)试卷

第 6 页 共 8 页

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ), 则 y0 ?

1 2 x0 4
4分

y' ?

1 1 x , ∴在 P 处切线的斜率为 k ? x0 2 2

?切线L的方程是:y ? y0 ? k ( x ? x0 )
即y?

1 2 1 x0 ? x0 ( x ? x0 ) ,∴ 2x0 x ? 4 y ? x02 ? 0 4 2

6分

∴焦点 F 到切线 l 的距离为 d ?

?4 ? x0 2 4 x0 2 ? 16

?

1 x0 2 ? 4 ? 1 2

10 分

当且仅当 x0 ? 0 时上式取等号,此时 P 点的坐标为 ? 0, 0 ? 22. (Ⅰ) (1)因为 f (1) ? 1 ,所以 m ? 1 ,
3

12 分

????????1 分

则 f ( x) ? ? x ?1? ? 1 ? x3 ? 3x2 ? 3x , 而 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1)2 ? 0 恒成立, 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) . ???????4 分 (2)不等式 f ( x) ? x3 ? 1 在区间 [1, 2] 上有解, 即不等式 3x 2 ? 3x ? m ? 0 在区间 [1, 2] 上有解, 即不等式 m ? 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2] 上有解, 等价于 m 不小于 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2] 上的最小值. ?????6 分
1 3 因为 x ? [1, 2] 时, 3x2 ? 3x ? 3( x ? )2 ? ? ?0,6? , 2 4

所以 m 的取值范围是 [0, ??) .????????9 分 (Ⅱ).因为 f ( x) ? x3 的对称中心为 (0, 0) , 而 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 可以由 f ( x) ? x3 经平移得到, 所以 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 的对称中心为 (t , m) ,故合情猜测,若直线 l1 与 l2 平行, 则点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称.
数学(文)试卷

????????10 分
第 7 页 共 8 页

对猜想证明如下: 因为 f ( x) ? ? x ? t ? ? m ? x3 ? 3tx2 ? 3t 2 x ? t 3 ? m ,
3

所以 f ?( x) ? 3x2 ? 6tx ? 3t 2 ? 3( x ? t )2 , 所以 l1 , l2 的斜率分别为 k1 ? 3( x1 ? t )2 , k2 ? 3( x2 ? t )2 . 又直线 l1 与 l2 平行,所以 k1 ? k 2 ,即 ( x1 ? t )2 ? ( x2 ? t )2 , 因为 x1 ? x2 ,所以, x1 ? t ? ?( x2 ? t ) , ????????12 分 从而 ( x1 ? t )3 ? ?( x2 ? t )3 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? t )3 ? m ? ( x2 ? t )3 ? m ? ?( x2 ? t )3 ? m ? ( x2 ? t )3 ? m ? 2m . 又由上 x1 ? x2 ? 2t , 所以点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 )关于点 (t , m) 对称. 故当直线 l1 与 l2 平行时,点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称.????????14 分

数学(文)试卷

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