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上海市复旦大学附中2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)


2016-2017 学年上海市复旦大学附中高一(上)期中数学试卷
一.填空题 1.集合{1,2,3,…,2015,2016}的子集个数为 . 2.已知全集 U=R,集合 A={x|x≤1},集合 B={x|x≥2},则?U(A∪B)= . 3.已知集合 A={x|1≤x≤2},集合 B={x|x≤a},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围是



4.己知集合 U={a,b,c,d,e,f},集合 A={a,b,c,d},A∩B={b},?U(A∪B)={f},则集合 B= . 5.已知 a2>a1>0,b2>b1>0,且 a1+a2=b1+b2=1,记 A=a1b1+a2b2,B=a1b2+a2b1,C= ,则按 A、 B、C 从小到大的顺序排列是 . 6.已知 Rt△ABC 的周长为定值 2,则它的面积最大值为

. },N={x|n﹣0.5≤x .

7.我们将 b﹣a 称为集合 M={x|a≤x≤b}的“长度”,若集合 M={x|m≤x≤m+

≤n},且集合 M 和集合 N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集,则集合 M∩N 的“长度”的最小值是 8.已知 A={x| >x},B={x|x(x﹣3) (x+3)>0},则 A∩B= .

9.对于任意集合 X 与 Y,定义:①X﹣Y={x|x∈X 且 x?Y},②X△Y=(X﹣Y)∪(Y﹣X) ,已 2 知 A={y|y=x ,x∈R},B={y|﹣2≤y≤2},则 A△B= . 10.已知常数 a 是正整数,集合 A={x||x﹣a|<a+ ,x∈Z},B={x||x|<2a,x∈Z},则集合 A∪B 中所有元素之和为 . 11.非空集合 G 关于运算⊕满足: (1)对任意 a,b∈G,都有 a+b∈G; (2)存在 e∈G 使得对于一切 a∈G 都有 a⊕e=e⊕a=a, 则称 G 是关于运算⊕的融洽集, 现有下列集合与运算: ①G 是非负整数集,⊕:实数的加法; ②G 是偶数集,⊕:实数的乘法; ③G 是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法; ④G={x|x=a+b ,a,b∈Q},⊕:实数的乘法; 其中属于融洽集的是 (请填写编号) 12.集合 A={(x,y)|y=a|x|,x∈R},B={(x,y)|y=x+a,x∈R},已知集合 A∩B 中有且仅有 一个元素,则常数 a 的取值范围是 . 二.选择题 13.已知集合 A={1,2,3,…,2105,2016},集合 B={x|x=3k+1,k∈Z},则 A∩B 中的最大元素 是( ) A.2014 B.2015 C.2016 D.以上答案都不对 14.已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素, (?UA)∪(?UB)中有 n 个元素.若 A∩B 非空,则 A∩B 的 元素个数为( ) A.mn B.m+n C.n﹣m D.m﹣n

15.命题“已知 x,y∈R,如果 x +y =0,那么 x=0 且 y=0”的逆否命题是( 2 2 A.已知 x,y∈R,如果 x +y ≠0,那么 x≠0 且 y≠0 2 2 B.已知 x,y∈R,如果 x +y ≠0,那么 x≠0 或 y≠0 2 2 C.已知 x,y∈R,如果 x≠0 或 y≠0,那么 x +y ≠0 2 2 D.已知 x,y∈R,如果 x≠0 且 y≠0,那么 x +y ≠0 16.对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; 2 2 ③“a>b”是“a >b ”的充分条件; ④“a<4”是“a<3”的必要条件; 其中真命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2

2



三.解答题 2 17.已知集合 A={1,2,3},B={x|x ﹣(a+1)x+a=0,x∈R},若 A∪B=A,求实数 a.

18.已知 a,b,c∈R ,求证:2(a +b +c )≥ab +a b+bc +b c+ac +a c.

+

3

3

3

2

2

2

2

2

2

19.设正有理数 a1 是

的一个近似值,令 a2=1+

,求证:

(1) 介于 a1 与 a2 之间; (2)a2 比 a1 更接近于 .

20.已知对任意实数 x,不等式 mx ﹣(3﹣m)x+1>0 成立或不等式 mx>0 成立,求实数 m 的取 值范围.

2

21.已知关于 x 的不等式(4kx﹣k ﹣12k﹣9) (2x﹣11)>0,其中 k∈R; (1)试求不等式的解集 A; (2)对于不等式的解集 A,记 B=A∩Z(其中 Z 为整数集) ,若集合 B 为有限集,求实数 k 的取值 范围,使得集合 B 中元素个数最少,并用列举法表示集合 B.

2

2016-2017 学年上海市复旦大学附中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题 1. (2016 秋?杨浦区校级期中)集合{1,2,3,…,2015,2016}的子集个数为 2 . 【考点】子集与真子集. 【专题】集合思想;集合. n 【分析】对于有限集合,我们有以下结论:若一个集合中有 n 个元素,则它有 2 个子集. 【解答】解:∵集合{1,2,3,…,2015,2016}中有 2016 个元素, ∴集合 M{1,2,3,…,2015,2016}的子集的个数为 2 ; 2016 故答案为:2 . n n 【点评】本题考查了集合的子集个数,若一个集合中有 n 个元素,则它有 2 个子集,有(2 ﹣1) 个真子集,属于基础题. 2. (2016 秋?杨浦区校级期中)已知全集 U=R,集合 A={x|x≤1},集合 B={x|x≥2},则?U(A∪B) = {x|1<x<2} . 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合思想;定义法;集合. 【分析】根据并集与补集的定义,进行计算即可. 【解答】解:全集 U=R,集合 A={x|x≤1},集合 B={x|x≥2}, 所以 A∪B={x|x≤1 或 x≥2}, 所以?U(A∪B)={x|1<x<2}. 故答案为:{x|1<x<2}. 【点评】本题考查了并集与补集的定义与应用问题,是基础题目. 3. (2016 秋?杨浦区校级期中)已知集合 A={x|1≤x≤2},集合 B={x|x≤a},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围是 [1,+∞) . 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】题中条件:“A∩B≠?,”表示两个集合的交集的结果不是空集,即可求解实数 a 的取值范围. 【解答】解:集合 A={x|1≤x≤2},集合 B={x|x≤a}, 因为 A∩B≠?, 所以 a≥1 故答案为:[1,+∞) 【点评】本题考查集合的关系、一元二次不等式的解法,考查运算能力,是基础题. 4. (2016 秋?杨浦区校级期中)己知集合 U={a,b,c,d,e,f},集合 A={a,b,c,d},A∩B={b}, ?U(A∪B)={f},求集合 B. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合思想;综合法;集合. 【分析】根据全集 U,以及 A 与 B 并集的补集确定出 A 与 B 的并集,再根据 A 与 B 的交集及 A, 确定出 B 即可.
2016 2016

【解答】解:∵U={a,b,c,d,e,f},?U(A∪B)={f}, ∴A∪B={a,b,c,d,e}, ∵A∩B={b};A={a,b,c,d}, ∴b∈B,e∈B,b?B,c?B,d?B, ∴B={b,e}. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 5. (2016 秋?杨浦区校级期中)已知 a2>a1>0,b2>b1>0,且 a1+a2=b1+b2=1,记 A=a1b1+a2b2, B=a1b2+a2b1,C= ,则按 A、B、C 从小到大的顺序排列是 B<C<A . 【考点】不等式比较大小. 【专题】计算题;转化思想;转化法;不等式. 【分析】不妨令 a1= ,a2= ,b1= ,b2= ,分别求出 A,B,比较即可 【解答】解:∵a2>a1>0,b2>b1>0,且 a1+a2=b1+b2=1, 不妨令 a1= ,a2= ,b1= ,b2= , A=a1b1+a2b2= + ∵C= = ∴B<C<A 故答案为:B<C<A. 【点评】本题主要考查不等式与不等关系,利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关 系,是一种简单有效的方法,属于基础题. 6. (2016 秋?杨浦区校级期中)已知 Rt△ABC 的周长为定值 2,则它的面积最大值为 3﹣2 【考点】正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形;不等式的解法及应用. 【分析】设直角边长为 a,b,则斜边长为 a+b+ . = ,B=a1b2+a2b1= + = ,

,利用直角三角形 ABC 的三边之和为 2,可得

=2,利用基本不等式,即可求△ABC 的面积的最大值. ,

【解答】解:设直角边长为 a,b,则斜边长为 ∵直角三角形 ABC 的三边之和为 2, ∴a+b+ ∴2≥2 ∴ ≤ + =2, , =2﹣ , , ,

∴ab≤6﹣4

∴S= ba≤3﹣2

∴△ABC 的面积的最大值为 3﹣2 故答案为:3﹣2 .



【点评】本题考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,正确运用基本不等式是关键,属于中 档题. 7. (2016 秋?杨浦区校级期中)我们将 b﹣a 称为集合 M={x|a≤x≤b}的“长度”,若集合 M={x|m≤x ≤m+ },N={x|n﹣0.5≤x≤n},且集合 M 和集合 N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集,则集合 M∩N 的“长度”的最小值是 .

【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;新定义;转化思想;转化法;集合. 【分析】 当集合 M∩N 的长度的最小值时, M 与 N 应分别在区间[0, 1]的左右两端, 由此能求出 M∩N 的长度的最小值. 【解答】解:根据题意,M 的长度为 ,N 的长度为 , 当集合 M∩N 的长度的最小值时, M 与 N 应分别在区间[0,1]的左右两端, 故 M∩N 的长度的最小值是 故答案为: . 【点评】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意新定义的合 理运用. = .

8. (2016 秋?杨浦区校级期中) 已知 A={x|

B={x|x >x}, (x﹣3) (x+3) >0}, 则 A∩B= {x|

﹣3<x<0} . 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;方程思想;定义法;集合. 【分析】先利用不等式的性质分别求出集合 A 和 B,由此利用交集的性质能求出 A∩B. 【解答】解:∵A={x| >x}={x|﹣2≤x≤1,或 x<0},

B={x|x(x﹣3) (x+3)>0}={x|﹣3<x<0 或 x>3}, ∴A∩B={x|﹣3<x<0}. 故答案为:{x|﹣3<x<0}. 【点评】本题考查交集的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意无理不等式和高次不等式性质 的合理运用. 9. (2016 秋?杨浦区校级期中)对于任意集合 X 与 Y,定义:①X﹣Y={x|x∈X 且 x?Y},②X△ 2 Y=(X﹣Y)∪(Y﹣X) ,已知 A={y|y=x ,x∈R},B={y|﹣2≤y≤2},则 A△B= [﹣3,0)∪ (3,+∞) . 【考点】子集与交集、并集运算的转换. 【专题】综合题;方程思想;演绎法;集合.

【分析】由 A={y|y=x ,x∈R}={y|y≥0},B={y|﹣2≤y≤2},先求出 A﹣B={y|y>2},B﹣A={y| ﹣2≤y<0},再求 A△B 的值. 【解答】解:∵A={y|y=x ,x∈R}={y|y≥0}, B={y|﹣2≤y≤2}, ∴A﹣B={y|y>2}, B﹣A={y|﹣2≤y<0}, ∴A△B={y|y>2}∪{y|﹣2≤y<0}, 故答案为:[﹣3,0)∪(3,+∞) . 【点评】本题考查集合的交、并、补集的运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意正确理解 X﹣ Y={x|x∈X 且 x?Y}、X△Y=(X﹣Y)∪(Y﹣X) .
2

2

10. (2016 秋?杨浦区校级期中)已知常数 a 是正整数,集合 A={x||x﹣a|<a+ <2a,x∈Z},则集合 A∪B 中所有元素之和为 2a . 【考点】并集及其运算. 【专题】集合思想;转化法;集合. 【分析】分别求出集合 A、B 中的元素,从而求出 A、B 的并集,求和即可. 【解答】解:A={x||x﹣a|<a+ ,x∈Z}={0,a,2a}, B={x||x|<2a,x∈Z}={﹣a,0,a}, 则集合 A∪B={﹣a,0,a,2a}, 故集合 A∪B 中所有元素之和是 2a, 故答案为:2a. 【点评】本题考查了集合的运算,考查解绝对值不等式问题,是一道基础题.

,x∈Z},B={x||x|

11. (2016 秋?杨浦区校级期中)非空集合 G 关于运算⊕满足: (1)对任意 a,b∈G,都有 a+b∈G; (2)存在 e∈G 使得对于一切 a∈G 都有 a⊕e=e⊕a=a, 则称 G 是关于运算⊕的融洽集, 现有下列集合与运算: ①G 是非负整数集,⊕:实数的加法; ②G 是偶数集,⊕:实数的乘法; ③G 是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法; ④G={x|x=a+b ,a,b∈Q},⊕:实数的乘法; 其中属于融洽集的是 ①④ (请填写编号) 【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】新定义;集合思想;集合. 【分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件,若两个条件都满足,是“融洽集”,有 一个不满足,则不是“融洽集”. 【解答】解:①对于任意非负整数 a,b 知道:a+b 仍为非负整数,所以 a⊕b∈G;取 e=0,及任意 非负整数 a,则 a+0=0+a=a,因此 G 对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”; ②对于任意偶数 a,b 知道:a+b 仍为偶数,故有 a+b∈G;但是不存在 e∈G,使对一切 a∈G 都有 a⊕e=e⊕a=a,故②的 G 不是“融洽集”.

③对于 G={二次三项式},若 a、b∈G 时,a,b 的两个同类项系数,则其积不再为二次三项式,故 G 不是和谐集,故③不正确; ④G={x|x=a+b ,a,b∈Q},设 x1=a+b ,x2=c+d ,则设 x1+x2=(a+c)+(b+d) ,属于 集合 G, 取 e=1,a×1=1×a=a,因此 G 对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”,故④中的 G 是“融洽集”. 故答案为①④. 【点评】本题考查了对新定义“融洽集”理解能力,及对有关知识的掌握情况.关键是看所给的数集 是否满足“融洽集”的两个条件. 12. (2016 秋?杨浦区校级期中)集合 A={(x,y)|y=a|x|,x∈R},B={(x,y)|y=x+a,x∈R}, 已知集合 A∩B 中有且仅有一个元素,则常数 a 的取值范围是 [﹣1,1] . 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;转化思想;转化法;集合. 【分析】由已知得 a|x|=x+a 有 1 个解,由此能求出常数 a 的取值范围. 【解答】解:∵集合 A={(x,y)|y=a|x|,x∈R},B={(x,y)|y=x+a,x∈R}, 集合 A∩B 中有且仅有一个元素, ∴a|x|=x+a 有 1 个解, 若 x≥0,ax=x+a,x= 若 x<0,﹣ax=x+a,x=﹣ , ,

由已知得









解得﹣1≤a≤1. ∴常数 a 的取值范围是[﹣1,1]. 故答案为:[﹣1,1]. 【点评】本题考查常数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,是基础题,解题时要认 真审题,注意交集性质的合理运用. 二.选择题 13. (2016 秋?杨浦区校级期中)已知集合 A={1,2,3,…,2105,2016},集合 B={x|x=3k+1,k ∈Z},则 A∩B 中的最大元素是( ) A.2014 B.2015 C.2016 D.以上答案都不对 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】由题意求出 A 与 B 的交集,即可作出判断. 【解答】解:∵A={1,2,3,…,2105,2016},集合 B={x|x=3k+1,k∈Z} ∴则 A∩B 中的最大元素是 2014. 故选:A. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

14. (2009?江西)已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素, (?UA)∪(?UB)中有 n 个元素.若 A∩B 非 空,则 A∩B 的元素个数为( ) A.mn B.m+n C.n﹣m D.m﹣n 【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【专题】数形结合. 【分析】 要求 A∩B 的元素个数, 可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图, 根据图来分析 (如解法一) , 也可以利用德摩根定理解决(如解法二) . 【解答】解法一:∵(CUA)∪(CUB)中有 n 个元素,如图所示阴影部分,又 ∵U=A∪B 中有 m 个元素,故 A∩B 中有 m﹣n 个元素. 解法二:∵(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)有 n 个元素, 又∵全集 U=A∪B 中有 m 个元素, 由 card(A)+card(CUA)=card(U)得, card(A∩B)+card(CU(A∩B) )=card(U)得, card(A∩B)=m﹣n, 故选 D.

【点评】解答此类型题目时,要求对集合的性质及运算非常熟悉,除教材上的定义,性质,运算律 外,还应熟练掌握:①(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)②(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)③card (A∪B)=card(A)+card(B)﹣card(A∩B)等. 15. (2016 秋?杨浦区校级期中)命题“已知 x,y∈R,如果 x +y =0,那么 x=0 且 y=0”的逆否命题是 ( ) 2 2 A.已知 x,y∈R,如果 x +y ≠0,那么 x≠0 且 y≠0 2 2 B.已知 x,y∈R,如果 x +y ≠0,那么 x≠0 或 y≠0 2 2 C.已知 x,y∈R,如果 x≠0 或 y≠0,那么 x +y ≠0 2 2 D.已知 x,y∈R,如果 x≠0 且 y≠0,那么 x +y ≠0 【考点】四种命题间的逆否关系. 【专题】定义法;简易逻辑. 【分析】根据已知中原命题,写出逆否命题,可得答案. 2 2 【解答】解:命题“已知 x,y∈R,如果 x +y =0,那么 x=0 且 y=0”的逆否命题是 2 2 “已知 x,y∈R,如果 x≠0 或 y≠0,那么 x +y ≠0” 故选:C 【点评】本题考查的知识点是四种命题,难度不大,属于基础题. 16. (2016 秋?杨浦区校级期中)对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; 2 2 ③“a>b”是“a >b ”的充分条件; ④“a<4”是“a<3”的必要条件; 其中真命题的个数是( )
2 2

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】命题的真假判断与应用;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】综合法;简易逻辑. 【分析】逐项判断即可.①由 ac=bc 不能推出 a=b;②由 5 是有理数易判断;③根据不等式的性质 可得;④根据充分必要条件的定义易得. 【解答】解:①由“a=b“可得 ac=bc,但当 ac=bc 时,不能得到 a=b,故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要 条件,故①错误; ②因为 5 是有理数,所以当 a+5 是无理数时,a 必为无理数,反之也成立,故②正确; 2 2 ③取 a=1,b=﹣2,此时 a <b ,故③错误; ④当 a<4 时,不能推出 a<3;当 a<3 时,有 a<4 成立,故“a<4”是“a<3”的必要不充分条件,故 ④正确. 综上可得正确的命题有 2 个. 故选:B. 【点评】本题考查充分必要条件的判断,掌握充分必要条件的定义是关键.属于基础题. 三.解答题 17. (2016 秋?杨浦区校级期中) 已知集合 A={1, 2, 3}, B={x|x ﹣ (a+1) x+a=0, x∈R}, 若 A∪B=A, 求实数 a. 【考点】并集及其运算. 【专题】计算题;分类讨论;集合. 【分析】根据 A∪B=A,得到 B? A,然后分 B 为空集和不是空集讨论,A 为空集时,只要二次方 程的判别式小于 0 即可,不是空集时,分别把 1 和 2 代入二次方程求解 a 的范围,注意求出 a 后需 要验证. 【解答】解:由 A∪B=A,得 B? A. ①若 B=?,则△=(a+1) ﹣4a<0,解得:a∈?; 2 2 ②若 1∈B,△=(a+1) ﹣4a=0,此时 a=1,满足 1 ﹣a﹣1+a=0,此时 B={1},符合题意; 2 ③若 2∈B,则 2 ﹣2a﹣2+a=0,解得:a=2,此时 A={2,1},满足题意. 2 ④若 3∈B,则 3 ﹣3a﹣3+a=0,解得:a=3,此时 A={3,1},满足题意. 综上所述,实数 a 的值为:1,2,3. 【点评】本题考查了并集及其运算,考查了分类讨论的数学思想,求出 a 值后的验证是解答此题的 关键,是基础题. 18. (2016 秋?杨浦区校级期中)已知 a,b,c∈R ,求证:2(a +b +c )≥ab +a b+bc +b c+ac +a c. 【考点】不等式的证明. 【专题】证明题;转化思想;演绎法;不等式的解法及应用. 【分析】作差,因式分解,即可得到结论. 3 3 2 2 2 2 【解答】证明: (a +b )﹣(a b+ab )=a (a﹣b)+b (b﹣a) 2 2 2 =(a﹣b) (a ﹣b )=(a﹣b) (a+b) ∵a>0,b>0, 3 3 2 2 ∴(a +b )﹣(a b+ab )≥0 3 3 2 2 ∴a +b ≥a b+ab . 3 3 2 2 3 3 2 2 同理 b +c ≥bc +b c,a +c ≥ac +a c, 3 3 3 2 2 2 2 2 2 三式相加,可得 2(a +b +c )≥ab +a b+bc +b c+ac +a c. 【点评】本题考查不等式的证明,考查作差法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
+

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

19. (2016 秋?杨浦区校级期中)设正有理数 a1 是 (1) 介于 a1 与 a2 之间; (2)a2 比 a1 更接近于 .

的一个近似值,令 a2=1+

,求证:

【考点】二分法求方程的近似解. 【专题】证明题;转化思想;作差法;不等式. 【分析】 (1)利用作差法,再因式分解,确定其符号,即可得到结论; 2 ( )利用作差法,判断|a2﹣ |﹣|a1﹣ |<0,即可得到结论 【解答】证明: (1)a2﹣ =1+ ﹣ = ,

∵若 a1> ,∴a1﹣ >0,而 1﹣ ∴a2< ∵若 a1< ,∴a1﹣ <0,而 1﹣ ∴a2> , 故 介于 a1 与 a2 之间; (2)|a2﹣ |﹣|a1﹣ |= |>0,

<0, <0,

﹣|a1﹣

|=|a1﹣





∵a1>0, ﹣2<0,|a1﹣ ∴|a2﹣ |﹣|a1﹣ |<0 ∴|a2﹣ |<|a1﹣ | ∴a2 比 a1 更接近于 .

【点评】本题考查不等式的证明,考查作差法的运用,确定差的符号是关键. 20. (2016 秋?杨浦区校级期中)已知对任意实数 x,不等式 mx ﹣(3﹣m)x+1>0 成立或不等式 mx>0 成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】分类讨论;转化思想;不等式的解法及应用. 【分析】①对任意实数 x,不等式 mx2﹣(3﹣m)x+1>0 成立,对 m 分类讨论,m=0 时,易判断 出.m≠0 时, ,解出即可得出.②对任意实数 x,不等式 mx>0 成立,
2

m∈?. 2 【解答】解:①对任意实数 x,不等式 mx ﹣(3﹣m)x+1>0 成立, m=0 时化为:﹣3x+1>0,不成立,舍去. m≠0 时, ,解得 .

②对任意实数 x,不等式 mx>0 成立,m∈?. 综上可得: .

∴实数 m 的取值范围是



【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中 档题. 21. (2016 秋?杨浦区校级期中)已知关于 x 的不等式(4kx﹣k ﹣12k﹣9) (2x﹣11)>0,其中 k∈ R; (1)试求不等式的解集 A; (2)对于不等式的解集 A,记 B=A∩Z(其中 Z 为整数集) ,若集合 B 为有限集,求实数 k 的取值 范围,使得集合 B 中元素个数最少,并用列举法表示集合 B. 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】分类讨论;不等式的解法及应用;不等式. 【分析】 (1)对 k 分类讨论,利用一元二次不等式的解法即可得出. (2)根据 B=A∩Z(其中 Z 为整数集) ,集合 B 为有限集,即可得出. 【解答】解: (1)①当 k<0,A={x| ②当 k=0,A={x|x }; ,或 x> ,或 x> }; }; };
2

③当 0<k<1 或 k>9,A={x|x ④当 1≤k≤9,A={x|x<

(2)B=A∩Z(其中 Z 为整数集) ,集合 B 为有限集, 只有 k<0,B={2,3,4,5}. 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中 档题.



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