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2013高考数学(文)二轮复习课件(解析版):专题1 集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式(新课标)


专题一 集合与常用逻辑用语、 函数与导数、不等式

第1讲 集合与常用逻辑用语 第2讲 函数、基本初等函数Ⅰ的 图象与性质 第3讲 函数与方程、函数模型及 其应用 第4讲 第5讲 不等式与简单的线性规划 导数在研究函数中的应用

专题一

集合与常用逻辑 用语、函数与导 数、不等式

第1讲

集合与常用逻辑用语

第1讲│ 云览高考
[云览高考] 考例(难度) 2012 安徽卷 2(A), 考点 1 集合的基本 2012 广东卷 2(A), 选择(7) 关系及其运算 2012 陕西卷 1(A), 2012 浙江卷 1(A) 考点 2 命题的认识 2012 安徽卷 4(A), 选择(3) 及其真假判断 2012 山东卷 5(A) 2012 陕西卷 4(A), 考点 3 充分条件、 必 选择(5) 2012 福建卷 3(A), 要条件的推理与判断 2012 天津卷 5(A) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.频率为分 析 2012 各省市课标卷情况. 考点统计 题型(频率)

第1讲│ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:分析 2008~2012 课标地区考卷,本讲主要以 选择题或填空题的形式考查集合与简易逻辑的基本知识,其 中集合的考查形式有两种:一是考查集合的概念,集合的关 系、 运算; 二是与其他知识联系, 考查常见的数学思想方法. 常 用逻辑用语的考查形式有三种:一是对含有一个量词的命题 的否定;二是对命题的认识及其真假的判断;三是充分、必 要条件的推理与判断.

第1讲│ 二轮复习建议

预测 2013 年高考在该部分仍然会从上述命题角度出发 设计试题,同时会进一步加强以集合知识为背景的创新问题 的考查力度,增强对简易逻辑知识命题的灵活性,以此考查 学生对数学基础知识的准确记忆和深层次的理解,考查学生 的创新思维能力.试题会在知识网络交汇上下工夫,使试题 能够考查到更多的知识点,但试题的难度为容易或者中等.

第1讲│ 二轮复习建议

复习建议:1.集合:集合的关系和运算是考查的主要内 容,其中要注意区分集合的含义,即命题中的集合所表达的 数学意义是什么,特别是一类创新性的集合命题,理解其所 表达的数学意义尤为重要;另外一点还要注意数形结合是处 理集合问题的常用方法. 2.常用逻辑用语:对简易逻辑知识的考查,命题所出现 的知识点可能是中学数学的全部,但是主要还是落脚在对逻 辑联结词“或”“且”“非”含义的准确理解,对四种命题 关系的转换和真假判断以及充要条件的判断.

第1讲│ 主干知识整合
主干知识整合

第1讲│ 主干知识整合

1.集合的概念与运算 (1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解 含参数的集合问题时要根据互异性进行检验. (2)集合与集合之间的关系:A?B,B?C?A?C,空集 是任何集合的子集,n 个元素的集合子集数为 2n. (3)集合的运算:?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),?U(A∩B)= (?UA)∪(?UB),?U(?UA)=A.

第1讲│ 主干知识整合

2.四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假, 逆命题与否命题 同真同假, 遇到复杂问题正面解决困难可采用转化为反面情况 处理. 3.充分条件与必要条件 若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件.

第1讲│ 主干知识整合

4.简单的逻辑联结词 (1)命题 p∨q,只要 p,q 有一真,即为真;命题 p∧q,只有 p,q 均为真,才为真;綈 p 和 p 为真假对立的命题. (2)命题 p∨q 的否定是綈 p∧綈 q;命题 p∧q 的否定是綈 p∨綈 q. 5.全称量词与存在量词 “?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,綈 p(x0)”;“?x0∈M, p(x0)”的否定为“?x∈M,綈 p(x)”.

第1讲│ 要点热点探究
要点热点探究
? 探究点一 集合的基本关系及其运算 例 1 (1)A={x|x≠1, x∈R}∪{y|y≠2, y∈R}, B={z|z≠1 且 z≠2, z∈R},那么( ) A.A=B B.A?B C.A?B D.A∩B=? (2)设全集 U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7}, 则 P∩(?UQ)=( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5} [思考流程] (1)(分析)通过集合 A, 的区间表示看包含关系 ? B (推理)将集合 A,B 在数轴上表示出来可以得到包含关系 ? (结论) 通过包含关系得出结论.(2)(分析)理解集合 Q 与全集 U 的关系 ? (推理)求出 Q 相对于 U 的补集?UQ ? (结论)用 Venn 图计算出?UQ 与 P 的交集.

第1讲│ 要点热点探究
[答案] (1)C (2)A

[解析] 集合中的代表元素用什么字母表示无关. 事实上 A =(-∞, 1)∪(1, +∞)∪(-∞, 2)∪(2, +∞)=(-∞, +∞), 集合 B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),所以 A?B. (2)由 U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7}, 得?UQ={1,2},则 P∩(?UQ)={1,2},选 A.
[点评] 对于补集?UA、?UB 的求解是易错点,?UA、?UB 是 集合 A、B 相对于全集 U 的补集,注意全集 U 的不同,对应的 补集?UA、?UB 就不相同.

第1讲│ 要点热点探究
变式题 (1)设全集 U=R,集合 M={x|y= 3-2x},N ={y|y=3-2x},则下列图中阴影部分表示的集合是( )

图 1-1-1
? ?3 ? A.?x?2<x≤3 ? ? ? ? ?3 ? C.?x?2≤x<2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 ? B.?x?2<x<3 ? ? ? ? ?3 ? D.?x?2<x<2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)已知集合 M={0,1}, 则满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 的 个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.8

第1讲│ 要点热点探究

[答案] (1)B (2)C
? ? ? ? 3 ? 3 [解析] (1)由 3-2x≥0, x≤ , M=?x?x≤2 ?; 2x>0, 得 即 又 2 ? ? ? ? ? 得 3-2x<3,即 N={x|x<3}.因此图中阴影部分表示的集合是 ? ?3 ? (?UM)∩N=?x?2<x<3? . ? ? ? (2)依题意满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 有{2}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2},共 4 个.

第1讲│ 要点热点探究
? 探究点二 命题的认识及其真假判断 例 2 [2012· 山东卷] 设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周 π π 期为 ;命题 q:函数 y=cosx 的图象关于直线 x= 对称.则下 2 2 列判断正确的是( ) A.p 为真 B.綈 q 为假 C.p∧q 为假 D.p∨q 为真

[思考流程] (分析)分别判断命题 p、q 的真假 ? (推理)依 据“或”“且”“非”复合命题的真假性判断 ? (结论)利用 命题真假对应选项找到正确结论.

第1讲│ 要点热点探究

[答案] C

[解析] 本题考查含逻辑联结词的命题间的真假及三角函 数的图像与性质,考查推理能力,容易题. ∵函数 y=sin2x 的最小正周期为 π , ∴命题 p 为假命题; 函数 y=cosx 的图像的对称轴所在直线方程为 x=kπ ,k∈Z, ∴命题 q 为假命题,由命题间的真假关系得 p∧q 为假命题.

第1讲│ 要点热点探究
[点评] 命题真假的判定方法:(1)一般命题 p 的真假 由涉及的相关知识辨别; (2)四种命题的真假判断依据是一 个命题和它的逆否命题同真假, 而与它的其他两个命题的 真假无此规律;(3)形如 p∨q、p∧q、綈 p 命题真假根据 真值表判断;(4)全称命题和特称命题的否定具有特殊 性.①全称命题 p:?x∈M,p(x),它的否定綈 p:?x0 ∈M,綈 p(x0);②特称命题 p:?x0∈M,p(x0),它的否 定綈 p:?x∈M,綈 p(x).

第1讲│ 要点热点探究

变式题 已知命题 p: “?x∈[1,2], 2-a≥0”, x 命题 q: “?x0∈R,x2+2ax0+2-a=0”.若命题“(綈 p)∧q”是真 0 命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤-2 或 a=1 B.a≤2 或 1≤a≤2 C.a>1 D.-2≤a≤1

第1讲│ 要点热点探究

[答案] C

[解析] 命题 p 为真时 a≤1;“存在 x0∈R,x2+2ax0+2 0 -a=0”为真,即方程 x2+2ax+2-a=0 有实根,故 Δ=4a2 -4(2-a)≥0, 解得 a≥1 或 a≤-2.(綈 p)且 q 为真命题, 即綈 p 真且 q 真,即 a>1.

第1讲│ 要点热点探究

? 探究点三 充分条件、必要条件的推理与判断 例 3 “关于 x 的不等式 x2-2ax+a>0 的解集为 R”是 “0≤a≤1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

第1讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)求出不等式的解集后与已知条件对比? (推理)数形结合方法,利用数轴把两个解集分别表示出来 ? (结论)根据两个集合的包含关系得出结论.

第1讲│ 要点热点探究
[答案] A
[解析] 关于 x 的不等式 x2-2ax+a>0 的解集为 R, 则 Δ=4a2-4a<0,解得 0<a<1,由集合的包含关系可知选 A.

[点评] 判断命题的充要关系常用方法有定义法,等价法 和利用集合间的包含关系判断, 另外特值法也是判断命题是否 成立的有效方法.

第1讲│ 要点热点探究

变式题 “a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞) 上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

[答案] A

第1讲│ 要点热点探究

[解析] 当 a=1 时,f(x)=|x-1|在[1,+∞)上为增函数; 反过来, f(x)=|x-a|在[1, 由 +∞)上为增函数不能得到 a=1, 如当 a=0 时,函数 f(x)=|x-a|在[1,+∞)上为增函数.因此 “a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数” 的充分不必要条件.

第1讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 充分条件与必要条件的判断, 有下列几种常见的方法:(1) 定义法:判断 p?q 及 q?p 的真假,然后写出结论;(2)等价法: 将命题转化为另一个等价的又容易判断真假的命题;(3)集合法: 写出集合 A={x|p(x)}及 B={x|q(x)},利用集合之间的包含关系加 以判断. ?技巧 真假命题的判断, 应先分清所给命题是简单命题还是复合 命题,若是复合命题则要依据复合命题的真值表来判定. ?易错 解答集合有关的问题,关键是对合中元素的互异性、空集 是任何集合的子集等问题.处理集合问题时,要学会灵活地运用 数形结合、分类与整合、转化与化归等数学思想方法.

第1讲│ 命题立意追溯

命题立意追溯

抽象概括能力——集合中的三种语言的转换 示例 已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B= {(x,y)|x,y 为实数,且 x+y=1},则 A∩B 的元素个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1

第1讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为抽象概括数学语言的能力,数学语 言的考查体现在文字语言—符号语言—图形语言三者之间的互相 转化的处理方面.(条件 1)符号语言:x2+y2=1—文字语言:平面 坐标系中圆的方程—图形语言:平面坐标系中圆上的点的集合; (条件 2)符号语言:x+y=1—文字语言:平面坐标系中直线的方 程—图形语言:平面坐标系中的一条直线;结论:符号语言: A∩B—文字语言: 表示条件 1 与条件 2 图形的公共点—图形语言: 平面坐标系中直线与圆的交点.

第1讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)理解集合 A, 的几何意义 ? (推理)在直角 B 坐标系中作出对应的几何图形 ? (结论)由几何图形得出 A∩B 的 元素个数.

第1讲│ 命题立意追溯
[答案] B

[解析] 集合 A 表示圆 x2+y2=1 上的点构成的集合, 集合 B 表示直线 x+y=1 上的点构成的集合, A∩B 的元素个数即判断直 线 x+y=1 与圆 x2+y2=1 的交点个数,由图形可知交点个数有 2 个,作出图象,如图 1-1-2.

图 1-1-2

第1讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] 1.集合 (
? ? x ? ? M=?x?x-1>0 ? ? ? ? ? ?,集合 ? ? ? ? ? 1 ?y?y=x N= 2 ? ? ? ? ? ?,则 ? ?

M∩N=

) A.(0,+∞) C.(0,1)

B.(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

第1讲│ 命题立意追溯

[答案] B

x >0 得 x<0 或 x>1,即 M= x-1 1 (-∞,0)∪(1,+∞).求函数 y=x 的值域得 y≥0,即 N= 2 [0,+∞).在数轴上画出不等式的解集得 M∩N=(1,+∞).故 选 B. [解析] 依题意,解不等式

第1讲│ 命题立意追溯

2. 已知集合

? ?x-b ? ? <0 A={x||x-1|<2}, ?x? B= x+2 ? ? ?

? ? ?, 若 ? ?

A∩B≠

?,则实数 b 的取值范围是________.

第1讲│ 命题立意追溯

[答案] (-1,+∞)

x-b [解析] 依题意,A={x|-1<x<3}, <0 等价于(x-b)(x+ x+2 2)<0,而方程(x-b)(x+2)=0 的两根为-2 和 b.由 A∩B≠?,画 出数轴,可知 b>-1.

第1讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:(1)创新定义是新课标高考的一个特点,这类题型 以基础知识为依托,考查考生理解知识运用知识的解题能力,例 1 就是一道创新定义复数集 C 上一个称为“序”的关系问题;(2) 集合包含关系或运算的试题一般都会有涉及几何意义的命题,例 2 就是一道以集合知识为背景研究平面直角坐标系中图形关系的 命题,旨在考查学生利用数形结合思想解题的能力.

第1讲│ 教师备用例题

例 1 在实数集 R 中, 我们定义的大小关系“>”为全体实数排 了一个“序”,类似地,我们在复数集 C 上也可以定义一个称为 “序”的关系,记为“>”.定义如下:对于任意两个复数 z1=a1+ b1i,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R,i 是虚数单位),“z1>z2”当且 仅当“a1>a2”或“a1=a2 且 b1>b2”.下列命题为假命题的是( ) A.1>i>0 B.若 z1>z2,z2>z3,则 z1>z3 C.若 z1>z2,则对任意 z∈C,z1+z>z2+z D.对复数 z>0,若 z1>z2,则 z·1>z·2 z z

第1讲│ 命题立意追溯

[答案]D

[解析] 对于 A,注意到 1=1+0×i,i=0+1×i,0=0+ 0×i,1>0,则 1>i,0=0 且 1>0,因此有 1>i>0,所以 A 正确.对于 B,由 z1>z2 得 a1>a2,或 a1=a2 且 b1>b2;由 z2>z3 得 a2>a3,或 a2 =a3 且 b2>b3;于是有 a1>a3,或 a1=a3 且 b1>b3,即有 z1>z3,所 以 B 正确. 对于 C, z=a+bi, z1>z2 得 a1>a2 或 a1=a2 且 b1>b2, 设 由 所以 a1+a>a2+a 或 a1+a=a2+a 且 b1+b>b2+b,即有 z1+z>z2 +z,所以 C 正确.对于 D,取 z=1-2i,z1=3,z2=3i,此时 z·1 z =3-6i,z·2=6+3i,z·1<z·2,所以 D 不正确. z z z

第1讲│ 教师备用例题

例 2 设 a>0, A={(x, 2+y2≤1}, y)|x B={(x, y)||x|+2|y|≤a}, 则 A?B 的充要条件是________.
[答案] a≥ 5

[解析] 依题意, A={(x, 2+y2≤1}的图形表示单位圆上及 y)|x 其内部区域内的点,a>0,B={(x,y)||x|+2|y|≤a}的图形表示一 个菱形上及其内部区域内的点, 它们的图形关于 x 轴和 y 轴对称, 因此只需研究第一象限的情况.当 x≥0,y≥0,x+2y≤a 时,要 使 A?B,圆心(0,0)到直线 x+2y=a 的距离大于或等于 1,即 a ≥1,解得 a≥ 5. 12+22

第2讲 函数、基本初等函 数Ⅰ的图象与性质

第2讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 考点 1 函数的概念及 其表示 考点 2 函数的图象与 认识 函数的性质与 运用 题型(频率) 选择(4) 选择(4) 选择(5) 填空(2) 考例(难度) 2012 陕西卷 11(A), 2012 福建卷 9(B) 2012 山东卷 10(B), 2012 北京卷 8(B), 2012 四川卷 4(B) 2012 安徽卷 13(B), 2012 陕西卷 2(A), 2012 广东卷 4(A)

考点 3

说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.频率为分析 2012 各省市课标卷情况.

第2讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度: 分析 2008~2012 课标地区考卷, 本讲主要以选择 题或填空题的形式考查函数的概念、图象及性质,其中函数的概 念考查的是求定义域、函数值和值域,求函数解析式,分段函数; 函数的图象主要考查图象的辨别和图象的应用;函数的性质考查 奇偶性、单调性、周期性.函数的观点和思想方法贯穿整个高中 数学的全过程,包括解决几何问题. 预测 2013 年高考在该部分仍然会从上述命题角度出发设计 试题,特别是加强以二次函数、分段函数、复合函数、对数函数 等为载体的题目, 考查的形式涉及求函数的值、 参数的取值范围, 研究函数的奇偶性、单调性、周期性和值域等,特别要强化函数 图像在研究奇偶性、单调性的作用,掌握结合周期性求函数值的 问题, 在问题的求解中渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

第2讲 │ 二轮复习建议

复习建议:1.函数的概念:理解函数的概念,把重点放 在构成它的三要素上,系统归纳求函数定义域、值域、解析 式的基本方法.在熟练掌握有关技能的同时,注意换元法、 待定系数法等数学方法的运用. 通过对分段函数、 复合函数、 抽象函数的认识,体会函数关系的本质. 2. 函数的图象与性质: 函数的图象体现在利用图象研究 函数的性质;函数的单调性是与“区间”相关的概念,因此 研究函数的单调性,必须先求函数的定义域;理解函数奇偶 性的关键是定义域关于原点对称和 f(-x)=f(x)或 f(-x)=- f(x)是定义域上的恒等式;函数周期性问题应牢牢把握其定 义,并掌握一些常见的确定函数周期性的条件和结论.

第2讲 │ 主干知识整合

主干知识整合

第2讲 │ 主干知识整合

1.函数的概念及其表示 两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函 数,定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数. 2.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证 明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符号、下结 论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则; (2)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函 数的图象关于 y 轴对称, 在关于坐标原点对称的定义域区间上 具有相反的单调性; 奇函数的图象关于坐标原点对称, 在关于 坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性;

第2讲 │ 主干知识整合

(3)周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函 数满足 f(a+x)=f(x)(a 不等于 0),则其周期 T=ka(k∈Z)的绝 对值. 3.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0, a≠1)的图象和性质,分 0<a<1,a>1 两种情况,着重关注两函 数图象中的两种情况的公共性质; (2)幂函数 y=xα 的图象和性质,分幂指数 α>0,α<0 两种 情况.

第2讲│ 要点热点探究
要点热点探究
? 探究点一 函数的概念及其表示

例 1

1 [2012· 山东卷] 函数 f(x)= + 4-x2的定义 ln?x+1?

域为( ) A.[-2,0)∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2] C.[-2,2] D.(-1,2]

第2讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)观察所给函数解析式的形式 ? (推理)利 用对数、分式和根式有意义的条件列出不等式组 ? (结论)解不 等式组并求交集得出函数的定义域.

第2讲│ 要点热点探究

[答案] B
[解析] 方法一(特值法):当 x=-2 时,ln(x+1)无意义,排 除 A,C;当 x=0 时,ln(0+1)=ln1=0,不能充当分母,所以排除 D.故选 B. ?x+1>0, ? 方 法 二 : 要 使 函 数 有 意 义 , 则 有 ?ln?x+1?≠0, ?4-x2≥0, ? ?x>-1, ? ?x≠0, ?-2≤x≤2, ? 即-1<x<0 或 0<x≤2.故选 B. 即

第2讲│ 要点热点探究

[点评] 求函数定义域的主要依据:①分式的分母不为 零;②偶次方根被开方数不小于零;③对数函数的真数必 须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不 等于 1.

第2讲│ 要点热点探究

变式题 (1)已知函数

?1-x,x≤0, ? f(x)=? x ?a ,x>0, ?

若 f(1)=f(-1),则实数 a 的值等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知函数 f(x)=2+log3x(1≤x≤9), 则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值为( ) A.33 B.22 C.13 D.6

第2讲│ 要点热点探究

[答案] (1)B (2) C

[解析] (1)依题意,由 f(1)=f(-1)可得 a=1-(-1)=2. (2)依题意得, y=(2+log3x)2+2+log3x2=log2x+6log3x+6 3 =(log3x+3)2-3,因为 1≤x≤9,且 1≤x2≤9,所以 1≤x≤3, 所以 0≤log3x≤1,作出图像知,当 log3x=1 时,函数 y 取得最 大值 13.

第2讲│ 要点热点探究
? 探究点二 函数的图象与认识 例 2 已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图 1 -2-1 所示,则 y=-f(2-x)的图象为( )

图 1-2-1

图 1-2-2

第2讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)观察已知函数 y=f(x)的图象(特殊点、 单调性) ? (推理)通过已知函数与变换函数之间的关系进行 推理判断 ? (结论)利用特殊点、 特殊性的对应得到正确结论.

第2讲│ 要点热点探究

[答案] B
[解析] y=f(x)→y=f(-x)→y=f[-(x-2)]→y=-f(2- x),即将 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,再向右平移 2 个单位长 度,然后关于 x 轴对称,即为 B 图象.

第2讲│ 要点热点探究

[点评] 本题考查函数的图象的识别,有些函数图象题, 从完整的性质理解上并不好去判断, 作为选择题, 可以利用特 殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法 求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.

第2讲│ 要点热点探究
?2x?x≤1?, ? (1)若函数 f(x)=? 1 则 y=f(-x)的图 ?log2x?x>1? ?

变式题 象是( )

图 1-2-3

第2讲│ 要点热点探究

(2)若 loga2<0(a>0,且 a≠1),则函数 f(x)=loga(x+1)的图 像大致是( )

图 1-2-4

第2讲│ 要点热点探究

[答案] (1)D (2) B

[解析] (1)依题意, 先画出函数 y=f(x)的图象, 因为 y=f(- x)的图象与 y=f(x)图象关于 y 轴对称可知 D 选项正确.故选 D. (2)由 loga2<0 得 0<a<1,f(x)=loga(x+1)的图像是由函数 y=logax 的图象向左平移一个单位得到的,故为选项 B 中的图 象.

第2讲│ 要点热点探究

? 探究点三 函数的性质与运用 例 3 [2012· 陕西卷] 下列函数中, 既是奇函数又是增函数 的为( ) 1 3 A.y=x+1 B.y=-x C.y=x D.y=x|x|

第2讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)观察四个选项中函数解析式的图象特点 ? (推理)先判断是否为奇函数,再判断是否为增函数 ? (结论) 得到满足条件的选项.

第2讲│ 要点热点探究

[答案] D
[解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性,解题的 突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图象的对应关 系.若函数为单调增函数,其图象为从左向右依次上升;若函 数为奇函数,其图象关于原点对称.经分析,A 选项函数的图 象不关于原点对称,不是奇函数,排除;B 选项函数的图象从 左向右依次下降,为单调减函数,排除;C 选项函数的图象从 左向右依次下降,为单调减函数,排除;故选 D.其实对于选 项 D,我们也可利用 x>0、x=0、x<0 讨论其解析式,然后画 出图象,经判断符合要求,故选 D.

第2讲│ 要点热点探究

[点评] 本题考查函数的性质,对于给定函数解析式判断其 奇偶性、单调性的方法是:①图象法,即能够画出函数图象的 一般通过画出图象可直观判断;②定义法,即利用函数的奇偶 性、单调性的定义给出判断.在利用定义判断奇偶性、单调性 时要注意给出的定义域条件.

第2讲│ 要点热点探究

变式题 (1)若 x∈(e

-1,

?1? 1), a=lnx, ?2?lnx, lnx, b= c=e 则( ? ?

)

A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a (2)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足对任意的 x 都有 f(x-1) ? 3? =f(4-x),且 f(x)=x,x∈?0,2?,则 f(2 012)-f(2 010)等于 ? ? ( ) A.-2 B.1 3 C. D.4 2

第2讲│ 要点热点探究
[答案](1) D (2) B
[解析] (1)x∈(e
-1,

?1? 1)时,a=lnx∈(-1,0),b=?2?lnx>1,c=elnx=x ? ?

∈(e-1,1).所以 b>c>a. 3 (2)由 f(x-1)=f(4-x),知函数图象关于直线 x= 对称,即 f(x 2 +3)=f(-x).又 f(x)在 R 上是奇函数,f(-x)=-f(x),故 f(x+3)= -f(x), ∴f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x), 是 f(x)的周期, ∴6 且 f(0)=0,∴f(2 012)-f(2 010)=f(2)-f(0)=f(1)=1.

第2讲│ 命题立意追溯
规律技巧提炼
?规律 由周期函数的定义“若函数 f(x)满足 f(x)=f(x+a)(a≠0), 则 f(x)是周期为 a 的周期函数”得:①若函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+ 1 a)(a≠0),则 f(x)是周期为 2a 的周期函数;②f(x+a)= (a≠0)恒成 f?x? 1 立,则 T=2a;③若 f(x+a)=- (a≠0)恒成立,则 T=2a. f?x? ?技巧 给出函数解析式的作图问题要注意对解析式的化简, 并结合函 数的性质,运用平移、对称、伸缩、翻折等方法;没有给出解析式的 作图问题应充分运用题设条件与性质作出特殊图形. ?易错 函数的定义域是研究函数性质的基础和前提, 要树立“定义域 优先”的解题原则;求函数值域时,不仅要重视对应法则的应用,还 有特别注意定义域对值域的制约作用.

第2讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯

数据处理能力——分段函数与抽象函数在函数求值中的应用 ? x,x≥0, ? 示例设函数 f(x)=??1?x 则 f(f(-4))=________. ? ? ,x<0, ??2? ?

第2讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为分段函数的运算求解能力, 其中给出的条件是一个分段函数的解析式,目标是一个复 合函数的求值. 求解时需要从目标入手, 先计算 f(-4)的值, 注意此时对应 x<0 的解析式,然后再由 f(-4)的值判断范 围,去对应分段函数解析式求 f(f(-4))的值.

第2讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)注意分段函数自变量的取值范围和对 应函数解析式的形式 ? (推理)注意复合函数求值的计算程 序 ? (结论)先计算 f(-4)的值,再由 f(-4)计算 f(f(-4))的 值.

第2讲│ 要点热点探究

[答案]4
[解析] 依题意,因为-4<0,所以 f(f(-4))=f(16)= 16=4.
?1?- f(-4)=?2? 4=16>0,于是 ? ?

第2讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] 1.若函数 f(x)为奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+x,则 f(-2) 的值为________.

第2讲│ 要点热点探究

[答案] -6
[解析] f(-2)=-f(2)=-6.

第2讲│ 命题立意追溯

2.对于定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x),则 f(1)+f(2)+f(3)=( ) A.0 B.-1 C.3 D.2

第2讲│ 要点热点探究

[答案]A
[解析] 依题意,f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)= 0.由 f(x+3)=f(x), x=0 得 f(3)=f(0)=0; x=-1 令 令 得 f(-1+3)=f(-1)=-f(1), f(1)+f(2)=0.所以 f(1) 即 +f(2)+f(3)=0.

第2讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:(1)函数图象的变换是研究函数性质的直观表现, 例 1 通过给出 f(x)的同值变换 T, 研究函数的图象关于坐标轴, 特 殊点的对称变换,既考查函数图象的变换知识,又考查创新能力; (2)二次函数是基本初等函数中一类重要的模型函数,“三个二 次”的相互转化,数形结合思想的体现都较好地渗透在求解二次 函数的问题之中,例 2 就是一个关于二次函数的求参数取值范围 问题.

第2讲│ 教师备用例题

例1 定义:若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对 应函数的值域与 f(x)的值域相同,则称变换 T 是 f(x)的同值变 换.下面给出四个函数及其对应的变换 T,其中 T 不属于 f(x)的 同值变换的是( ) A.f(x)=(x-1)2,T 将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 B.f(x)=2x-1-1,T 将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称 C.f(x)=2x+3,T 将函数 f(x)的图象关于点(-1,1)对称 ? π? D.f(x)=sin?x+ 3 ?,T 将函数 f(x)的图象关于点(-1,0)对称 ? ?

第2讲│ 要点热点探究

[答案]B
[解析] 选项 B 中,f(x)=2x-1-1 的值域为(-1, +∞),将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称后所得函数的 值域为(-∞,1),值域改变,不属于同值变换.经检 验,其他选项正确.

第2讲│ 教师备用例题

已知关于 x 的方程 x2-(2m-8)x+ 3 2 m -16=0 的两个实根 x1,x2 满足 x1< <x2,则实 2 数 m 的取值范围是________. 例2

第2讲│ 要点热点探究

[答案]
[

? ? 1 ? 7 ?m?- <m< 2 ? ? 2 ?

? ? ?. ? ?





]









得 即

?Δ=[-?2m-8?]2-4?m2-16?>0, ? ??3?2 3 ? ? -?2m-8?·+m2-16<0, ??2? 2 ?
?32m<2×64, ? ? ?4m2-12m-7<0, ?

?m<4, ? 1 7 即? 1 解得- <m< . 7 2 2 ?-2<m<2, ?

第3讲 函数与方程、函数 模型及其应用

第3讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 考点 1 函数的零点的 确定与应用 题型(频率) 选择(4) 考例(难度) 2012 北京卷 5(B), 2012 湖南卷 9(B), 2012 福建卷 21(C)

考点 2 用二分法求方 选择(0) 程的近似解 考点 3 函数的实际应 选择(1) 2012 湖南卷 20(C), 用问题 解答(1) 2012 江西卷 10(C) 考点 4 函数与其他知 2012 陕西卷 21(C), 解答(1) 识的综合 2012 安徽卷 21(C) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.频率为分 析 2012 各省市课标卷情况.

第3讲 │ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:分析 2008~2012 课标地区考卷,本讲内容的考查 中,函数与方程主要以选择题或填空题为主,形式有三种:一是 求函数的零点;二是求方程根的个数,三是用二分法求函数零点 的近似值.函数模型以解答题为主,函数的综合应用各种题型都 有,考查形式往往是以生活材料为背景,考查函数的综合应用.

第3讲 │ 二轮复习建议
预测 2013 年高考中函数与方程仍将是考查的必考内容, 特别是函数与方程思想是中学数学的重要思想方法之一,多 数情况下与其他知识综合考查,复习时应予以高度关注.函 数模型及其应用体现在用数学知识解决实际生活问题的能 力上, 同时函数是高中数学的主干知识, 经常与数列、 导数、 不等式等相结合,考查时非常灵活,复习时要予以足够的重 视. 复习建议:1.函数与方程:函数的零点其实质是方程的根, 该类问题常与函数的图象、性质交汇命题;用二分法求函数 的近似值或零点所在区间常以初等函数为载体.因此函数与 方程的复习应重点关注初等函数图象与性质的理解,定位于 函数与方程思想、数形结合思想的应用.

第3讲 │ 二轮复习建议

2. 函数模型及其应用: 发展学生综合运用知识解决问 题的能力和数学应用意识是新课标的课程理念,这在近几 年的命题中得到了很好地体现,并有加强的趋势.因此函 数模型及其应用的复习重点突出应用意识,落实解决实际 问题的数学建模能力, 以函数观点为主体的综合运用能力.

第3讲 │ 主干知识整合

主干知识整合

第3讲 │ 主干知识整合

1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系: 函数 y=f(x)的零点就是方 程 f(x)=0 的实数根,即函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横 坐标.方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交 点?函数 y=f(x)有零点. (2)二分法:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的 函数 y=f(x), 通过不断把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 叫做二分法.

第3讲 │ 主干知识整合

2.函数模型 解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模 型,并要注意定义域. 其解题步骤是:(1)审清题意:分析出已知什么,求什么,从中 提炼出相应的数学问题;(2)数学建模:弄清题目中的已知条件 和数量关系,建立函数关系式;(3)解函数模型:利用数学方法 得出函数模型的数学结果;(4)检验数学结果是否满足实际情 况;(5)实际问题作答:将数学问题的结果转译成实际问题作出 解答.

第3讲│ 要点热点探究

要点热点探究

? 探究点一 例1

函数的零点的确定与应用 )

1 ?1?x [2012· 北京卷] 函数 f(x)=x -?2? 的零点个数为( 2 ? ? A.0 B.1 C.2 D.3

第3讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)理解函数零点与方程根的关系 ? (推理) 在平面直角坐标系中分别作出对应函数的图象 ? (结论)由函 数图象的交点个数得出函数零点的个数.

第3讲│ 要点热点探究
[答案] B
[解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质,考查 数形结合的数学思想. 1 ?1?x 1 ?1?x 1 ? ? =0,可得 x =? ? ,令 h(x)=x ,g(x) 由 f(x)=x - 2 2 ? ? 2 ?2? 2 ?1? =?2?x, 所以函数 f(x)的零点个数就是函数 h(x)与 g(x)的交点个 ? ? 数,如图可知交点个数只有一个,所以函数 f(x)的零点个数为 1,答案为 B.

第3讲│ 要点热点探究

[点评] 求函数零点个数的两个基本方法:①直接求零点 法:令 f(x)=0,如果能求出解,则由几个解就有几个零点;② 画图象法:画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交 点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

第3讲│ 要点热点探究

变式题 函数 (

?lnx-x2+2x?x>0?, ? f(x)= ? ?2x+1?x≤0?, ?

的零点个数是

) A.0 B.1 C.2

D.3

第3讲│ 要点热点探究

[答案]D
[解析] 依题意,当 x>0 时,在同一个直角坐标系中分别作 出 y=lnx 和 y=x2-2x=(x-1)2-1 的图象,可知它们有两个 交点;当 x≤0 时,作出 y=2x+1 的图象,可知它和 x 轴有一 个交点.综合知,函数 y=f(x)有 3 个零点.

第3讲│ 要点热点探究

? 探究点二 用二分法求方程的近似解 例 2 在用二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时, 已知一个根在区间(1,2)内,则下一步可判定该根所在区间为 ________.

第3讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)由条件方程构造函数 f(x) ? (推理)判 3 断区间端点 f(1),f(2)和中间值 f 的函数值的符号 ? (结论) 2 由两个函数值异号得到下一步可判定该根所在区间.

第3讲│ 要点热点探究

[答案] [解析] 记 f(x)=x3-2x-1,则 f(1)=1-2-1= ?3? 27 5 ? ?= -3-1=- <0, -2<0,f(2)=8-4-1=3>0,f 2 8 8 ? ? ?3? ?3 ? 由 f?2?· f(2)<0 知,下一步可判定该根在区间?2,2?内. ? ? ? ?

?3 ? ? ,2? ?2 ?

第3讲│ 要点热点探究

变式题 已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数,g(x)=[x] 2 为取整函数,x0 是函数 f(x)=lnx- x 的零点,则 g(x0)等于 ________.

第3讲│ 要点热点探究

[答案] 2
2 [解析] 依题意, f(2)=ln2- =ln2-1<0, 得 f(3)=ln3 2 2 - >0,所以 2<x0<3.于是 g(x0)=2. 3

第3讲│ 要点热点探究
? 探究点三 函数的实际应用问题 例 3 [2012· 江西卷] 如图 1-3-1,|OA|=2(单位:m),|OB|=1(单位: π m),OA 与 OB 的夹角为 ,以 A 为圆心,AB 为半径作圆弧 BDC 与线段 6 OA 延长线交于点 C.甲、乙两质点同时从点 O 出发,甲先以速率 1(单位: m/s)沿线段 OB 行至点 B,再以速率 3(单位:m/s)沿圆弧 BDC 行至点 C 后 停止;乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至点 A 后停止,设 t 时刻甲、乙 所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t)(S(0)=0), 则 函数 y=S(t)的图象大致是( )

图 1-3-1

图 1-3-2

第3讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)理解甲、乙两个质点从点 O 出发后的路 径和速率 ? (推理)分别计算 t 时刻甲、乙所到达的两点连线与 它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t) ? (结论)将所得出的 分段函数解析式与选择项中的图象对应判断.

第3讲│ 要点热点探究

[答案] A
[ 解 析 ] 在 △ OAB 中 , 由 余 弦 定 理 得 AB = 12+22-4cos30° 5-2 3.当 0<t<1 时,由余弦定理可得 = 1 1 f(t)= (2t2)sin30° t2,其图象是一段开口向上的抛物线; = 2 2 l 1 3?t-1? 设 BDC 的长为 l, 则当 1≤t≤ +1 时, S(t)= + 3 2 2 3t 1 3 5-2 3 l AB= 5-2 3+ - , 其图象是一条线段; t> 当 2 2 2 3 +1 时,图象与横轴平行,故选 A.

第3讲│ 要点热点探究

[点评] 解决函数应用题的关键有两点:①将实际问题数 学化,即在理解的基础上,通过列表、画图、引入变量、建立 直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题, 把文字语言翻 译成数学符号语言;②对得到的函数模型进行解答,得出函数 问题的解.

第3讲│ 要点热点探究

变式题

根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时 c ,x<A, x c ,x≥A A (A,c 为常数).已知工

? ? 间(单位:min)为 f(x)=? ? ?

人组装第 4 件产品用时 30 min,组装第 A 件产品用时 15 min, 那么 c 和 A 的值分别是( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16

第3讲│ 要点热点探究

[答案] D
c c [解析] 依题意, 4<A, 故 =30, 求得 c=60.又因为 A 4 c 60 =15,所以 A= = =4,求得 A=16.故选 D. 15 15

第3讲│ 要点热点探究

? 探究点四 例4

函数与其他知识的综合

? π? 3 ?0, ?上的最大 [2012· 福建卷] 已知函数 f(x)=axsinx- (a∈R),且在 2? 2 ? π-3 值为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式;

(2)判断函数 f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.

第3讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)如题干?(目标)求函数 f(x)的解析式?(方法)利用 最大值求 f(x)的解析式; (2)(条件)如题干?(目标)判断 f(x)在区间(0,π)上的零点个数,并给出 相关证明?(方法)利用函数零点的存在性定理判断零点个数并证明.

第3讲│ 要点热点探究
解:(1)由已知 f′(x)=a(sinx+xcosx), ? π? 对于任意 x∈?0, 2 ?,有 sinx+xcosx>0. ? ? ? π? 3 当 a=0 时,f(x)=- ,不合题意;当 a<0,x∈?0, 2 ?时,f′(x)<0, 2 ? ? ? ? π? π? 从而 f(x)在?0, 2 ?内单调递减,又 f(x)在?0, 2 ?上的图象是连续不断的,故 ? ? ? ? ? ? π? π? 3 ?0, ?上的最大值为 f(0)=- , ?0, ?时, f(x)在 不合题意; a>0, 当 x∈ f′(x) 2? 2? 2 ? ? ? ? π? π? ?0, ?内单调递增, f(x)在?0, ?上的图象是连续不断的, >0, 从而 f(x)在 又 2? 2? ? ? ? ?π? π? π 3 π-3 ?0, ?上的最大值为 f? ?,即 a- = 故 f(x)在 ,解得 a=1. 2? 2 2 2 ? ?2 ? 3 综上所述,得 f(x)=xsinx- . 2

第3讲│ 要点热点探究

(2)f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.证明如下: ?π? π-3 3 3 由(1)知,f(x)=xsinx- ,从而有 f(0)=- <0.f?2 ?= >0, 2 2 2 ? ? ? π? ?0, ?上的图象是连续不断的. 又 f(x)在 2? ? ? π? 所以 f(x)在?0, 2 ?内至少存在一个零点. ? ? ? ? π? π? ?0, ?上单调递增,故 f(x)在?0, ?内有且仅有一个零点. 又由(1)知 f(x)在 2? 2? ? ? ?π ? ? ,π?时,令 g(x)=f′(x)=sinx+xcosx. 当 x∈ 2 ? ?

第3讲│ 要点热点探究
?π? g?2 ?=1>0,g(π)=-π<0,且 ? ? ?π ? g(x)在?2,π?上的图象是连续不断的,故存在 ? ?



m∈

?π ? ? ,π?,使得 ?2 ?

g(m)=0.
? ? ? ?

?π ? ?π ? 由 g′(x)=2cosx-xsinx,知 x∈?2,π?时,有 g′(x)<0,从而 g(x)在?2,π?内单调递 ?π ? ?π ? ? ,m?时,g(x)>g(m)=0,即 f′(x)>0,从而 f(x)在? ,m?内单调递增, 当 x∈ 2 ? ? ?2 ? ?π ? ?π? π-3 ?π ? ? ,m?时,f(x)≥f? ?= ? ,m?上无零点; 故当 x∈ 2 >0,故 f(x)在 2 2 ? ? ?2 ? ? ?

减.

当 x∈(m,π)时,有 g(x)<g(m)=0,即 f′(x)<0,从而 f(x)在(m,π)内单调递减. 又 f(m)>0,f(π)<0,且 f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的,从而 f(x)在(m,π)内有 且仅有一个零点. 综上所述,f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.

第3讲│ 要点热点探究

[点评] ①本题第(1)问中函数解析式的求解,由于参数 a∈R,因此在求函数最大值时 要对 a 进行分类讨论;②第(2)问涉及函数零点个数的判断与证明,用到函数零点的存在 性定理, 即如果函数 f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的曲线, 并且函数 f(x)在区间[a, b]是一个单调函数,那么当 f(a)· f(b)<0 时,函数 f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存 在唯一的 c∈(a,b),使 f(c)=0.

第3讲│ 要点热点探究

变式题 已知二次函数 f(x)的最小值为-4, 且关于 x 的不 等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数 f(x)的解析式; f?x? (2)求函数 g(x)= x -4lnx 的零点个数.

第3讲│ 要点热点探究

解:(1)因为 f(x)是二次函数,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈ R}, 所以 f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且 a>0. 又因为 a>0,f(x)=a[(x-1)2-4]≥-4,且 f(1)=-4a, 所以 f(x)min=-4a=-4,求得 a=1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2x-3. x2-2x-3 3 (2)因为 g(x)= -4lnx=x-x-4lnx-2(x>0), x 3 4 ?x-1??x-3? 所以 g′(x)=1+ 2-x= . x x2

第3讲│ 要点热点探究

x,g′(x),g(x)的取值变化情况如下: x (0,1) 1 (1,3) g′(x) + 0 - g(x)

3 0

(3,+∞) +

单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加

3 当 0<x≤3 时,g(x)≤g(1)=-4<0,又 g(e5)=e5- 5-20-2>25-1-22=9>0, e 故函数 g(x)只有 1 个零点,且零点 x0∈(3,e5).

第3讲│ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
?规律 解决函数应用问题的思路和方法:①认真审题,将实 际问题转化为数学问题;②在合理选取参变量之后,寻找变量之 间的关系,建立适当的函数模型;③利用数学知识解决数学模型; ④最终解决实际问题. ?技巧 对于函数零点的问题常见两种类型, 一是求函数零点的个 数,若是选填题,且等号两端为不同函数类型的方程多以数形结 合法求解;二是已知零点的存在情况求参数或参数取值范围,解 决这类问题的关键是用函数与方程思想或数形结合思想,构建关 于参数的方程或不等式求解. ?易错 用二分法求函数零点的近似值时应注意它必需满足以下 两点: ①y=f(x)在闭区间[a, b]上的图象连续不间断; ②f(a)· f(b)<0, 二分法不适合不变号零点的情况.

第3讲│ 命题立意追溯

命题立意追溯
应用意识——合理转化实际问题为抽象数学问题 示例 某驾驶员喝了 m 升酒后,血液中的酒精含量 f(x)(毫克 / 毫 升 ) 随 时 间 x( 小 时 ) 变 化 的 规 律 近 似 满 足 表 达 式 f(x) =
- ?5x 2,0≤x≤1, ? ?3 ?1?x 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》 ? ? ,x>1, ?5· ? ? ?3 规定:驾驶员血液中酒精含量不得超过 0.02 毫克/毫升.此驾驶员 至少要过________小时后才能开车(不足 1 小时部分算 1 小时,结 果精确到 1 小时).

第3讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为数学应用意识, 通过建立数学模 型去解决实际应用问题(或利用给出的函数数学模型去进一步 求解实际情景问题的应用).

第3讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)理解题设条件给出的分段函数模型 ? (推 论)利用分段函数求解满足条件的 x 的取值范围 ? (结论)由 x 的取 值范围得出驾驶员至少要过多少小时才能开车.

第3讲│ 命题立意追溯

[答案] 4
[解析] ∵0≤x≤1,∴-2≤x-2≤-1,∴5-2≤5x-2≤5-1,而 ?1? 3 ?1?x 1 1 -2 ? ? ≤ ,得? ?x≤ ,∴x≥4.故至少要 5 >0.02,又由 x>1,得 · 5 ?3? 50 30 ?3? 过 4 小时后才能开车.

第3讲│ 命题立意追溯
[跟踪练] 某旅游公司计划对某一景点改造升级,以提高旅游增加 值. 经过市场调查, 旅游增加值 y 万元与投入 x 万元之间满足: 51 x x 1 2 y= x-ax -ln , ∈[t,+∞),其中 t 为大于 的常 50 10 2x-12 2 数.当 x=10 时,y=9.2. (1)求 y=f(x)的解析式和投入 x 的取值范围; (2)求旅游增加值 y 取得最大值时对应的 x 值.

第3讲│ 命题立意追溯
1 解:(1)由 x=10,y=9.2,求得 a= , 100 51 x2 x 则 f(x)= x- -ln . 50 100 10 x 1 12t 又由 ≥t 且 t> ,求得 6<x≤ . 2 2x-12 2t-1 ?x-1??x-50? (2)由 f′(x)=- ,可求得,f(x)在(6,50)上是增 50x 函数,f(x)在(50,+∞)上是减函数,由此得 x=50 为极大值点. ?1 25? 12t 当 ≥50,即 t∈?2,44?时,投入 50 万元改造时取得最大 2t-1 ? ? ?25 ? 12t 12t ? ,+∞?时,投入 增加值;当 6< <50,即 t∈ 44 万元改造 2t-1 2t-1 ? ? 时取得最大增加值.

第3讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:函数的零点是新课标新增内容,近年来成为高考 命题的一个热点,该类问题常与函数的图象、性质及其他知识交 汇命题. 1 把函数零点和创新定义“关联函数”、 例 “关联区间” 相结合,求解问题的实质就是研究函数在区间上存在两个零点; 例 2 将函数零点的考查与解析几何综合,考查学生利用数形结合 思想解题的能力.

第3讲│ 教师备用例题

例 1 设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若 函数 y=f(x)-g(x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 ? ? g(x)在[a,b]上时“关联函数”,区间??a,b??称为“关联区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围为( ) ? 9 ? ? ? A.?-4,-2? B.??-1,0?? ? ? ? 9 ? ? ? C.??-∞,-2?? D.?-4,+∞? ? ?

第3讲│ 命题立意追溯

[答案] A
f(x)=x2-3x+4 为开口向上的抛物线, g(x)=2x+m 是斜率 k =2 的直线,可先求出 g(x)=2x+m 与 f(x)=x2-3x+4 相切时的 ?5 11? 9 ? , ?,此时 m=- ,因 m 值.由 f′(x)=2x-3=2 求得切点为 2 4 4 ? ? 此 f(x)=x2-3x+4 的图象与 g(x)=2x+m 的图象有两个交点只需 将 g(x)=2x+m 向上平移即可. 再考虑区间[0,3]可得点(3,4)为 f(x) =x2 -3x+4 的图象上最右边的点,此时 m=-2,所以 m∈ ? 9 ? ?- ,-2?.故选 A. ? 4 ?

第3讲│ 教师备用例题

例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y= 3x+2m 和 圆 x2+y2=n2 相切,其中 m,n∈N*,0<|m-n|≤1.若函数 f(x) + =mx 1-n 的零点 x0∈(k,k+1),k∈Z,则 k=________.

第3讲│ 教师备用例题
[答案]0
|2m| [解析] 依题意,直线和圆相切,可得 =2m-1=n,又 3+1 m,n∈N*,0<|m-n|≤1,则 0<|m-2m-1|≤1,由此可得 m= 3,n=4,所以 f(x)=3x+1-4.因为 f(x)在 R 上单调递增,又 f(0)=3-4=-1<0, f(1)=32-4=5>0, 所以 f(x)在(0,1)上有 零点,即 k=0.故填 0.

第4讲

不等式与简单的线 性规划

第4讲 │ 云览高考

[云览高考] 考点统计 考点 1 不等式的 性质及其应用 考点 2 不等式的 解法

题型(频率) 选择(3) 填空(2) 选择(6)

考例(难度) 2012 天津卷 9(B), 2012 课标全国卷 11(B), 2012 湖南卷 7(B) 2012 课标全国卷 1(A), 2012 北京卷 1(A)

第4讲 │ 云览高考

考点 3 基本不等 式的性质及其应 用

选择(5)

2012 浙江卷 9(B), 2012 陕西卷 10(B)

2012 广东卷 5(A), 考点 4 简单的线 2012 安徽卷 8(B), 选择(8) 性规划问题 2012 四川卷 8(B), 2012 山东卷 6(B) 说明: 表示简单题, 表示中等题, 表示难题. A B C 频 率为分析 2012 各省市课标卷情况.

第4讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度:分析 2008~2012 课标地区考卷,本讲主要以选择题或填 空题的形式考查不等式和简单线性规划的基本知识,其中对不等式性质 的考查往往与其他知识相结合,如指数函数、对数函数和数列等;对一 元二次不等式的考查主要是一元二次不等式约束条件的解法以及分式不 等式的解法;对基本不等式的考查,主要是大小判断、求最值、求取值 范围等;对二元一次不等式(组)与简单线性规划的考查,主要是目标函 数的最优解、最值及含参数问题.预测 2013 年高考在该部分的考查,不 等式的性质结合函数的运算及性质考查的趋势较强;解不等式将更多的 是作为研究函数和方程的重要工具体现;基本不等式与函数、数列、二 元一次不等式知识相结合,利用恒等变形构造基本不等式成立的条件设 置命题;简单的线性规划问题仍将以对参数(或代数式)的几何意义理解 及应用为主,与向量运算、概率相结合的趋势也在加强,应予以充分重 视.

第4讲 │ 二轮复习建议

复习建议:1.不等式:不等式的性质、不等式的解法、基本不 等式构成不等式知识的主要内容, 理解相关知识的地位和作用有利 于在解题时的宏观掌控, 其中不等式的性质是处理不等式问题的主 要依据,解不等式体现了等价转换思想,基本不等式是求解一类特 殊函数最值的一种工具, 构造结构形式和等号成立的条件是问题求 解的关键. 2.简单的线性规划:线性规划实质上是数形结合思想的一种 具体体现,即将最值问题直观、简便地寻找出来.解决线性规划问 题首先要找到约束条件,再注意目标函数所表示的几何意义,通过 数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点), 但要注意作图一定要准确,整点问题要验证整点是否满足题设条 件.

第4讲 │ 主干知识整合

主干知识整合

第4讲 │ 主干知识整合

1.不等式的基本性质 (1)a>b,b>c?a>c(传递性); (2)a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc(伸缩性); (3)a>b?a+c>b+c(可加性); (4)a>b, c>d?a+c>b+d(叠加性); (5)a>b>0, c>d>0?ac>bd(叠积性);

n n (6)a>b>0,n∈N*,n>1?an>bn; a> b(可幂性,开放性). 2.基本不等式 a+b 基本不等式 ab≤ (a>0, b>0). 常见的其他不等式有: a+b≥2 ab 2 ?a+b? a+b a2+b2 2ab ?2 (a,b>0);ab≤? (a,b>0). ? 2 ? (a,b∈R);a+b≤ ab≤ 2 ≤ 2 ? ?

第4讲 │ 主干知识整合
3.几种不等式的解法 解一元二次不等式可利用一元二次方程、 一元二次不等式 和二次函数间的关系. 简单分式不等式进行变形, 变形为一元 二次不等式的形式解决. 简单指数不等式与对数不等式可利用 单调性变形为一元二次不等式解决. 4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)二元一次不等式 Ax+By+C>0 的解集是平面直角坐标 系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区 域. 二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平 面区域的公共部分. (2)线性规划问题的主要概念:约束条件、目标函数、可 行解、可行域、最优解. (3)线性规划问题一般利用图象法求解.

第4讲│ 要点热点探究
要点热点探究

? 探究点一 不等式的性质及其应用 例 1 设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③

第4讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)理解每一个选项中不等式成立的条件 ? (推理)对照选项中的不等式形式,将题设条件中的不等式利用 相关性质进行等价变形 ? (结论)通过推理得出正确的结论选 项.

第4讲│ 要点热点探究

[答案] D
[解析] 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比 较, 意在考查考生对不等式性质、 幂函数和对数函数的性质的 运用能力;解题思路:转化为幂函数比较大小,利用换底公式 比较对数式的大小.由不等式的基本性质可知①对;幂函数 y =xc(c<0)在(0,+∞)上单调递减,又 a>b>1,所以②对;由 对数函数的单调性可得 logb(a-c)>logb(b-c),又由对数的换 底公式可知 logb(b-c) >loga(b-c),所以 logb(a-c)>loga(b -c),故选项 D 正确.

第4讲│ 要点热点探究

[点评] 对于不等式性质的判断题, 必须严格遵循不等式的基 本性质进行推理,这里常见的错误有两种:①不等式两边同乘以 (或除以)一个式子时不注意讨论它的符号(或是否为零); ②在涉及 函数的不等式进行判断时,没有考虑到函数有意义的条件.

第4讲│ 要点热点探究

变式题

若 a<b<0,则下列关系中不能成立的是( 1 1 1 1 A.a>b B. > a-b a C.|a|>|b| D.a4>b4

)

第4讲│ 要点热点探究

[答案]D
[解析]依题意,当 x>0 时,在同一个直角坐标系中分别作 出 y=lnx 和 y=x2-2x=(x-1)2-1 的图象,可知它们有两个 交点;当 x≤0 时,作出 y=2x+1 的图象,可知它和 x 轴有一 个交点.综合知,函数 y=f(x)有 3 个零点.

第4讲│ 要点热点探究
? 不等式的解法 x-1 例 2 不等式 x ≥2 的解集为( A.[-1,0) B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪(0,+∞) 探究点二

)

第4讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)分式不等式向整式不等式化归 ? (推理) 将不等式组的解集在数轴上表示出来 ? (结论)解集的公共部 分即是不等式组的解集.

第4讲│ 要点热点探究

[答案]

?3 ? ? ,2? ?2 ? ? ?

[解析] 记 f(x)=x3-2x-1,则 f(1)=1-2-1=-2<0, ?3? 27 ?3? 5 f(2)=8-4-1=3>0,f?2?= -3-1=- <0,由 f?2?· f(2)<0 8 8 ? ? ? ? ?3 ? 知,下一步可判定该根在区间?2,2?内. ? ?

第4讲│ 要点热点探究

x-1 变式题 不等式 2 >0 的解集是( x -4 A.(-2,1) B.(2,+∞) C.(-2,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

)

第4讲│ 要点热点探究

[答案] 2

2 [解析] 依题意,得 f(2)=ln2- =ln2-1<0,f(3)=ln3 2 2 - >0,所以 2<x0<3.于是 g(x0)=2. 3

第4讲│ 要点热点探究

? 探究点三 基本不等式的性质及其应用 例 3 [2012· 陕西卷] 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则( ) A.a<v< ab B.v= ab a+b a+b C. ab<v< D.v= 2 2

第4讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)列出小王全程的平均速度 v, 再比较大小 ? (推理)对照比较大小的式子结构合理利用基本不等式进行放 缩 ? (结论)平均速度 v 的大小范围即是结论.

第4讲│ 要点热点探究
[答案] A

[解析] 由小王从甲地往返到乙地的时速为 a 和 b, 则全 2s 2ab 2a2 2ab 2ab 程的平均时速为 v=? = , 又∵a<b, ∴ < < s s ? a+b 2a a+b 2 ab ? + ? ?a b? = ab,∴a<v< ab,A 成立.

第4讲│ 要点热点探究

[点评] 用基本不等式解题时的两种基本形式:①比较大 小:基本不等式给出了两个正数 a,b 的算术平均值与几何平 均值的大小关系, 是综合法证明不等式的基本元素, 它有一个 a+b a2+b2 2ab 重要的不等式链: ≤ ab≤ ≤ ; ②求最值(或 2 2 a+b a+b 取值范围): 用基本不等式 ≥ ab求最值时, 要注意“一正、 2 二定、三相等”,特别是一定要明确什么时候等号成立.

第4讲│ 要点热点探究

2 变式题 已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a, x-a +∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为( ) 3 5 A.1 B. C.2 D. 2 2

第4讲│ 要点热点探究

[答案] B
2 2 [ 解 析 ] 由 2x + = 2(x - a) + + x-a x-a 2 3 2a≥2 2?x-a?· +2a=4+2a≥7,得 a≥ ,即实数 a 的 2 x-a 3 最小值为 .故选 B. 2

第4讲│ 要点热点探究

? 探究点四 简单的线性规划问题 例 4 [2012· 津 卷 ] 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 天 ?2x+y-2≥0, ? ?x-2y+4≥0, ?x-1≤0, ? 则目标函数 z=3x-2y 的最小值为( )

A.-5 B.-4 C.-2 D.3

第4讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)通过可行域的三个交点处判断 ? (推理) 平移直线寻找截距取得最大值时的点 ? (结论)将截距取得最 大值时的点代入目标函数即得最小值.

第4讲│ 要点热点探究
[答案] B

[解析] 概括题意画出可行域如图.

当目标函数线过可行域内点 A(0,2)时, 目标函数有最小值 z=0×3-2×2=-4.

第4讲│ 要点热点探究

[点评] 求解线性规划的目标函数最值问题的选填题,一般 可不需要画出其可行域图像,只需先将三个交点求出,再将其 坐标代入比较大小即可快速得出最值.

第4讲│ 要点热点探究

变 式 题 设 O 为 坐 标 原 点 , A(1,1) , 点 B(x , y) 满 足 ?x2+y2≥1, ? ?0≤x≤1, ?0≤y≤1, ? → OB → 则OA· 取得最小值时,点 B 有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个

第4讲│ 要点热点探究
[答案] B

→ OB → [解析] 依题意画出可行域如图阴影部分,OA· =x+y, 知 x+y 取最小值点为(1,0),(0,1),故选 B.

第4讲│ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
?规律 线性规划问题有三种基本题型:一是求目 标函数式的最值;二是求所给平面区域的面积;三是由 最优解确定目标函数式中字母系数的取值范围.解题时 需要注意画可行域的准确性和合理利用区间端点解题. ?技巧 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、 拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件 要求中字母为正数)“定”(不等式的另一边必须为定 值)“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出 现错误.这里“定”条件往往是整个求解过程中的一个 难点和关键,另外还要注意解题时应根据已知条件适当 进行添(拆)项,创造应用基本不等式的条件.

第4讲│ 规律技巧提炼

?易错 解答不等式性质的命题, 必须严格遵循不等式的 基本性质进行恒等变换.要否定一个命题,只要举出一 个反例即可, 即用一组满足条件的特殊值进行验证即可; 而要肯定一个命题,则需要进行严密的逻辑论证.

第4讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯

创新意识——利用基本不等式解决最大(小)值中的含参问题 x 示例若对任意 x>0,不等式 2 ≤a 恒成立,则实数 a x +3x+1 的取值范围是________.

第4讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为求解问题的创新意识能力, 含参数不等式的恒成立问题,通过转化为函数的最值问题 得到解决.本题给出的条件是含参数的分式不等式 x ≤a,所求目标是求参数 a 的取值范围,连接条 2 x +3x+1 件和目标的关系是“不等式恒成立”,求解的方法是利用 基本不等式求出最值并结合不等式恒成立的性质.

第4讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)首先求出不等式对应的分式函数最大 值 ? (推理)通过变形转化成利用基本不等式求最值题型 ? (结论)利用不等式恒成立的性质即得参数 a 的取值范围.

第4讲│ 命题立意追溯
[答案]
?1 ? ? ,+∞? ?5 ?

x [解析] 若对任意 x>0,不等式 2 ≤a 恒成立,只 x +3x+1 x 需求得 y= 2 的最大值即可.因为 x>0,所以 y= x +3x+1 x 1 1 1 1 = ≤ = ,当且仅当 x=x,即 x 2 1 5 x +3x+1 1 x+x+3 2 x·+3 x 1 =1 时等号成立.于是得 a≥ ,即实数 a 的取值范围是 5 ?1 ? ? ,+∞?. ?5 ?

第4讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] 2 1 1.已知 x>0,y>0,且x+ y =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立, 则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4)∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2)

第4讲│ 命题立意追溯
[答案] D
2 1 [解析] 因为 x>0,y>0,且x+y =1,所以 x ?2 1? 4y x 4y x ? + ?=4+ + ≥4+2 +2y=(x+2y) x y x y x ·=8,当 y ? ? ?4y x ?x=4, ? x =y, ? 且仅当? 即? 时等号成立, 由此可得 ?y=2 ? ?2+1=1 ?x y (x+2y)min=8.依题意,要使 x+2y>m2+2m 恒成立, 只需(x+2y)min>m2+2m 恒成立,即 8>m2+2m,解得 -4<m<2.故选 D.

第4讲│ 命题立意追溯

2 1 m 2.已知 a>0,b>0,若不等式a+b≥ 总能成立,则 m 的 2a+b 最大值是________.

第4讲│ 命题立意追溯

?2a+b? 2a+b 2a [解析] 由题意,m≤2 a + b =5+ b 2b 2a 2b 2a 2b + a 总能成立, a>0, 又 b>0,5+ b + a ≥5+2 b· a 2a 2b =9,当且仅当 b = a ,即 a=b 时等号成立.故 m 的 最大值是 9.

[答案] 9

第4讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:新课标高考由于新增知识点增加,在选填题的命 制上更多地采用小综合的形式,这是命题的一个特点.下面的例 1 通过定义“缘分函数”,将函数与不等式的解法联系起来,例 2 将线性规划与基本不等式结合,都具有较好的综合性,适度训练 有利于学生解题能力的提升.

第4讲│ 教师备用例题

例 1 对于区间[a,b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果 对任意 x∈[a,b],均有|f(x)-g(x)|≤1,则称 f(x)与 g(x)在区间[a, b]上是缘分函数,[a,b]称为缘分区间.若 f(x)=x2+3x+2 与 g(x) =2x+3 在区间[a,b]上是缘分函数,则缘分区间[a,b]是( ) A.[-2,-1]∪[1,2] B.[-2,-1]∪[0,1] C.[-2,0]∪[1,2] D.[-1,0]∪[1,2]

第4讲│ 教师备用例题

[答案] B
[解析] 依题意, f(x)-g(x)=x2+x-1, 得-1≤x2 +x-1≤1.由 x2+x-1≥-1,解得 x≤-1 或 x≥0; 由 x2+x-1≤1,解得-2≤x≤1.于是,缘分区间[a, b]是[-2,-1]∪[0,1].故选 B.

第4讲│ 教师备用例题

例 2

?x≥0, ? 设不等式组?y≥0, ?y≤-kx+4k ?

在平面直角坐标系

kS 中所表示的区域的面积为 S,则当 k>1 时, 的最小值 k-1 为________.

第4讲│ 教师备用例题
[答案] 32
1 kS [解析] 依题意, S= ×4×4k=8k, 得 所以 = 2 k-1
? ? 1 ? 8k2 ? ? =8 ?k-1+?k-1?+2? ≥8 ?2 ? k-1 ? ? ? ? 1 · ?k-1?+2? = ? k-1 ?

1 32,当且仅当 =k-1,即 k=2 时等号成立.故 k-1 填 32.

第5讲 导数在研究函数中 的应用

第5讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例(难度) 考点 1 导数的概念与 2012 重庆卷 8(A), 选择(5) 几何意义 2012 辽宁卷 11(B) 考点 2 利用导数研究 选择(6) 2012 广东卷 21(C), 函数的单调性与极值 解答(2) 2012 陕西卷 9(A) 考点 3 利用导数求函 2012 山东卷 22(C), 解答(5) 数的最值、恒成立问题 2012 天津卷 20(C) 2012 安徽卷 17(B), 考点 4 函数性质与导 解答(12) 2012 陕西卷 21(C), 数综合中的参数问题 2012 广东 21(C) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.频率 为分析 2012 各省市课标卷情况.

第5讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议

命题角度:分析 2008~2012 课标地区考卷,本讲主要考查导 数在研究函数中的应用,分为两个部分:①导数的概念与运算,题 型基本上以选择题、填空题为主,命题形式有两种:一种是考查导 数的几何意义、 切线方程; 另一种是以导数的概念及其运算为基础, 用导数来考查函数有关问题.②导数的应用,题型基本上以解答题 为主,命题形式有两种:一种是由导数研究函数的单调性和极值; 另一种是导数的综合应用,即导数与函数、数列、不等式的综合应 用.

第5讲 │ 二轮复习建议

预测 2013 年高考在该部分仍然会从上述命题角度出发设计 试题,其中导数的概念与运算部分仍将以导数的几何意义及导 数的运算为主;导数的应用部分仍将以考查函数的单调性、极 值及应用题为主,导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问 题的必不可少的工具,特别是利用导数解决函数的单调性与最 值的命题趋势较强,多数情况下作为高考压轴题出现,在复习 中应予以高度关注.

第5讲 │ 二轮复习建议

复习建议: 1.导数的概念与运算: 导数的概念与运算构成导 数的基本内容,必须理解导数的几何意义,熟练进行导数的基 本运算.确定或应用曲线的切线斜率或切线方程是近年来高考 命题的热点,对这类问题应该熟练掌握其解题方法和技巧. 2.导数的应用:利用导数研究函数的单调性问题是导数应 用的一个热点,常与函数的其他性质结合,关注函数中含有一 个参数的问题,注意分类讨论思想的渗透;利用导数研究函数 的极值和最值问题是函数的重点内容,它对理解和掌握函数的 变化规律、函数图像的特征起着非常重要的作用,复习中关注 含参数不等式恒成立的命题,这类问题要求学生具有较强的数 学素养,并对基本的数学思想方法要求有较深刻的理解和认识.

第5讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第5讲 │ 主干知识整合

1.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数值就是曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x -x0). 2.导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件, 如函数 f(x) =x3 在(-∞,+∞)上单调递增,但 f′(x)≥0; (2)f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件,如当函 数在某个区间内恒有 f′(x)=0,则 f(x)为常数,函数不具有单 调性.

第5讲 │ 主干知识整合

3.函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是 对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题; (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而 函数的极值可能不止一个,也可能没有; (3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定 有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.

第5讲│ 要点热点探究
要点热点探究
? 探究点一 导数的概念与几何意义 例 1 (1)[2012· 广东卷] 曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切 线方程为________. (2)[2012· 课程标准卷] 曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切 线方程为________________.

第5讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求切线方程需求切线斜率 ? (推理) 求函数 y=x3-x+3 在点 x=1 处的导数 ? (结论)点斜式写出切 线方程. (2)(分析)判断所给出的点(1,1)是否在已知曲线上 ? (推理) 对已知函数求导,由此得出切线的斜率 ? (结论)根据点斜式写 出切线的方程.

第5讲│ 要点热点探究

[答案] (1)2x-y+1=0

(2)y=4x-3

[解析] (1)y′=3x2-1,当 x=1 时,y′=2,所以所求切 线方程的斜率 k=2,故切线方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y +1=0. 3 (2)点(1,1)在曲线 y=x(3lnx+1)上,y′=3lnx+1+x·= x 3lnx+4,故 y′|x=1=4.故所求切线方程为 y-1=4(x-1),即 4x-y-3=0.

第5讲│ 要点热点探究

[点评] 利用导数的几何意义求过某点处的切线方程,要注 意先判断此点是否在曲线上.若点在曲线上,则该点是切点, 将横坐标代入函数的导数式可得切线的斜率;若点不在曲线 上,则应设出相应的切点后再求解.

第5讲│ 要点热点探究

变式题 曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成 的三角形面积为________.

第5讲│ 要点热点探究

1 2 [答案] e 2

[解析] 点(2,e2)在曲线 y=ex 上,对 y=ex 求导,得 y′= ex,所以 k=y′|x=2=e2.于是曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线方 程为 y-e2=e2(x-2),即 y=x·2-e2.令 x=0,得 y=-e2,令 e 1 1 2 2 y=0,得 x=1,于是 S= ×1×|-e |= e . 2 2

第5讲│ 要点热点探究

? 探究点二 利用导数研究函数的单调性与极值 例 2 (1)设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的 极值点,则实数 a 的取值范围是________. (2)函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有 极小值,则 a 的取值范围是________.

第5讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)将已知函数式求导得到函数零点 ? (推理)通过函数有大于零的极值点得到关于 a 的不等式 ? (结 论)解关于 a 的不等式得出 a 的取值范围; (2)(分析)函数 f(x)既有极大值又有极小值,即 f′(x)=0 有两个不相等实根 ? (推理)先对 f(x)求导,再由 f′(x)=0 有 两个不相等实根进行推理 ? (结论)由 f′(x)=0 的判别式 Δ>0 可得 a 的取值范围.

第5讲│ 要点热点探究
[答案] (1)(-∞,-1) (2)(-∞,-1)∪(2,+∞)

利用导数研究函数的单调性与极值 [解析] (1)对 y 求导得 y′=ex+a,由 ex+a=0,即 ex =-a.因为 x>0,所以 ex>1,于是-a>1,所以 a<-1,即实 数 a 的取值范围是(-∞,-1). (2)对 f(x)求导, f′(x)=3x2+6ax+3(a+2). 得 依题意 f(x) 既有极大值又有极小值, f′(x)=0 有两个不相等的实数根, 则 所以 Δ=36a2-36(a+2)>0, a2-a-2>0, 即 解得 a<-1 或 a>2.

第5讲│ 要点热点探究

[规范评析] ①利用导数研究函数在区间上的单调性,就 是判断函数的导数在此区间上的符号, 即对 x∈D 时 f′(x)>0, 则 f(x)在 D 上单调递增,对 x∈D 时 f′(x)<0,则 f(x)在 D 上 单调递减. 若问题是求含参数的问题, 则就是依次构造关于参 数的不等式求解.②若一元三次函数在区间上存在两个极值 点, 则这两个点就是它的导函数对应的一元二次方程的两个实 数根.

第5讲│ 要点热点探究

? 探究点三 利用导数求函数的最值、恒成立问题 例 3 [2012· 江西卷] 已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1] 上单调递减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小 值.

第5讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)已知二次函数与指数型函数结合的解 析式 ? (目标)求参数 a 的取值范围 ? (方法)对函数求导并结 合函数的单调性讨论参数 a 的取值范围; (2)(条件)已知由 f(x)和它的导数差组成的函数 ? (目标)求 g(x)在区间[0,1]上的最大、最小值 ? (方法)对 g(x)求导后对应 区间讨论,注意参数 a 的分类讨论影响函数的最值.

第5讲│ 要点热点探究
利用导数求函数的最值问题 解:(1)由 f(0)=1,f(1)=0 得 c=1,a+b=-1, 则 f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex, f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex.(2 分) 依题意对任意 x∈(0,1),有 f′(x)<0. 当 a>0 时, 因为二次函数 y=ax2+(a-1)x-a 的图像开口 向上, f′(0)=-a<0, 而 所以有 f′(1)=(a-1)e<0, 0<a<1; 即 当 a=1 时,对任意 x∈(0,1)有 f′(x)=(x2-1)ex<0,f(x) 符合条件; 当 a=0 时,对于任意 x∈(0,1),f′(x)=-xex<0,f(x)符 合条件; 当 a<0 时,因 f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件. 故 a 的取值范围为 0≤a≤1.(5 分)

第5讲│ 要点热点探究
(2)因 g(x)=(-2ax+1+a)ex, g′(x)=(-2ax+1-a)ex. (i)当 a=0 时,g′(x)=ex>0,g(x)在 x=0 上取得最小值 g(0)=1,在 x=1 上取得最大值 g(1)=e. (ii)当 a=1 时,对于任意 x∈(0,1)有 g′(x)=-2xex<0, g(x)在 x=0 取得最大值 g(0)=2, 在 x=1 取得最小值 g(1)=0.(9 分) 1-a (iii)当 0<a<1 时,由 g′(x)=0 得 x= >0. 2a 1-a 1 ①若 ≥1,即 0<a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增,g(x) 2a 3 在 x=0 取得最小值 g(0)=1+a, 在 x=1 取得最大值 g(1)=(1-a)e.

第5讲│ 要点热点探究

?1-a? 1-a 1-a 1 ? ②若 <1,即 <a<1 时,g(x)在 x= 取得最大值 g? ? 2a ?= 2a 3 2a ? ? 1-a 2ae ,在 x=0 或 x=1 取得最小值,而 g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e, 2a e-1 1 则当 <a≤ 时,g(x)在 x=0 取得最小值 g(0)=1+a; 3 e+1 e-1 当 <a<1 时,g(x)在 x=1 取得最小值 g(1)=(1-a)e.(12 分) e+1

第5讲│ 要点热点探究

[规范评析] 求函数 y=f(x)在[a,b]上最值的步骤:①求 函数 y=f(x)在(a, b)内的极值; ②将函数 y=f(x)的各极值与端 点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最 小的一个是最小值.

第5讲│ 要点热点探究

已知 f(x)=xex+ax2-x,a∈R. 1 (1)当 a=- 时,求函数 f(x)的单调区间; 2 (2)若对 x≥0 时, 恒有 f(x)≥0 成立, 求实数 a 的取值范围. 变式题

第5讲│ 要点热点探究

解:(1)f′(x)=(x+1)ex+2ax-1, 1 当 a=- 时, 2 f′(x)=(x+1)ex-(x+1)=(x+1)(ex-1). 当 x>0 或 x<-1 时,f′(x)>0; 当-1<x<0 时,f′(x)<0, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞),单调递 减区间为(-1,0).

第5讲│ 要点热点探究
(2)依题意知当 x≥0 时,f(x)=x(ex+ax-1)≥0 恒成立, 设 g(x)=ex+ax-1,则有 g(x)≥0 恒成立, g′(x)=ex+a. 又 x≥0,所以 ex≥1, ①当 a≥-1 时,g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以 g(x)≥g(0)=0 恒成立; ②当 a<-1 时,令 g′(x)=0,则 x=ln(-a), 当 x∈[0,ln(-a))时,g′(x)=ex+a<0,g(x)在[0,ln(-a))上单调 递减,所以 g(x)≤g(0)=0,与 g(x)≥0 恒成立矛盾. 综上可得 a 的取值范围为{a|a≥-1}.

第5讲│ 要点热点探究

? 探究点四 函数性质与导数综合中的参数问题 lnx+k 例 4 [2012· 山东卷] 已知函数 f(x)= x (k 为常数,e e =2.71828?是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处 的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=xf′(x),其中 f′(x)为 f(x)的导函数,证明: 对任意 x>0,g(x)<1+e-2.

第5讲│ 要点热点探究

lnx+k [思考流程] (1)(条件)已知函数 f(x)= x 和曲线在某点 e 处的切线与 x 轴平行 ? (目标)求参数 k 的值 ? (方法)对函数 f(x)求导后利用切线的斜率关系; (2)(条件)已知函数 f(x)解析式 ?(目标)求 f(x)的单调区间 ? (方法)对 f(x)求导后利用零点讨 论区间对应的符号; (3)(条件)已知函数 g(x)=xf′(x) ? (目标) 证明不等式 g(x)<1+e-2 ? (方法)根据目标不等式的结构特征 构造函数证明不等式成立.

第5讲│ 要点热点探究
函数性质与导数综合中的参数问题 lnx+k 解:(1)由 f(x)= x , e 1-kx-xlnx 得 f′(x)= ,x∈(0,+∞), xex 由于曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行, 所以 f′(1)=0,因此 k=1.(3 分) 1 (2)由(1)得 f′(x)= x(1-x-xlnx),x∈(0,+∞), xe 令 h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 又 ex>0, 所以 x∈(0,1)时,f′(x)>0;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1, +∞). 分) (7

第5讲│ 要点热点探究
(3)证明:因为 g(x)=xf′(x), 1 所以 g(x)= x(1-x-xlnx),x∈(0,+∞), e 由(2)知 h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞), 求导得 h′(x)=-lnx-2=-(lnx-lne-2),x∈(0,+∞), 所以当 x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,函数 h(x)单调递增; 当 x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,函数 h(x)单调递减.(10 分) 所以当 x∈(0,+∞)时,h(x)≤h(e-2)=1+e-2. 1 又当 x∈(0,+∞)时,0< x<1, e 1 所以当 x∈(0,+∞)时, xh(x)<1+e-2, e - 即 g(x)<1+e 2. 综上所述结论成立.(12 分)

第5讲│ 要点热点探究

[规范评析] 利用导数证明不等式是一类综合性较强的问 题,考查综合运用数学知识进行推理论证的能力以及化归与 转化思想.对于函数、导数题中的不等式证明,要将不等式 知识与函数知识对照,以便有效利用函数的性质,尤其是函 数的单调性、最值等,这是利用函数证明不等式问题的常用 方法和技巧.

第5讲│ 要点热点探究

1 3 变式题 已知函数 f(x)= x +ax2+bx,且 f′(-1)=0. 3 (1)试用含 a 的代数式表示 b; (2)求 f(x)的单调区间; (3)令 a=-1,设函数 f(x)在 x1,x2(x1<x2)处取得极值,记 点 M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),证明:线段 MN 与曲线 f(x)存 在异于 M、N 的公共点.

第5讲│ 要点热点探究
解:(1)依题意得 f′(x)=x2+2ax+b, 由 f′(-1)=1-2a+b=0 得 b=2a-1. 1 3 (2)由(1)得 f(x)= x +ax2+(2a-1)x, 3 f′(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1). 令 f′(x)=0,则 x=-1 或 x=1-2a. ①当 a>1 时,1-2a<-1, 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: (-∞, (1-2a,-1) (-1,+∞) 1-2a) f′(x) + - + f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 由此得,函数 f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和(-1, +∞),单调减区间为(1-2a,-1). x

第5讲│ 要点热点探究

②当 a=1 时,1-2a=-1,此时 f′(x)≥0 恒成立,且仅在 x=-1 处 f′(x)=0,故函数 f(x)的单调增区间为 R. ③当 a<1 时,1-2a>-1,同理可得函数 f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(1-2a,+∞),单调减区间为(-1,1-2a). 综上:当 a>1 时,函数 f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和(-1, +∞),单调减区间为(1-2a,-1); 当 a=1 时,函数 f(x)的单调增区间为 R; 当 a<1 时,函数 f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(1-2a,+∞), 单调减区间为(-1,1-2a).

第5讲│ 要点热点探究
1 (3)证明:当 a=-1 时,得 f(x)= x3-x2-3x,由 f′(x)=x2-2x 3 -3=0,得 x1=-1,x2=3. 由(2)得 f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调减区间 为(-1,3),所以函数 f(x)在 x1=-1,x2=3 处取得极值. ? 5? 故 M?-1,3?,N(3,-9). ? ? 8 ∴过 M,N 的直线方程为 y=- (x-3)-9. 3 8 ? y=- ?x-3?-9, ? 3 联立? 得三个交点为 1 3 ?y= x -x2-3x, ? 3 ? 5? ? 11? ?-1, ?,?1,- ?,(3,-9), 3? ? 3? ? 故线段 MN 与曲线 f(x)存在异于 M,N 的公共点.

第5讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 求解不等式恒成立的方法: (1)分离参数:将题目中的参数和自变量 x 分离开来,分 别放在不等式的左右两边,即 a≥f(x)(x∈A); (2)求函数最值:记 t=f(x)(x∈A),求函数 t=f(x)在 x∈A 上的最值; (3)极端原理:a≥f(x)恒成立等价于 a≥f(x)max;a≤f(x) 等价于 a≤f(x)min.

第5讲│ 规律技巧提炼
注:上述方法中如果函数 f(x)不存在最值,可将上面的 最大值替换为函数值域的右端点,最小值替换为函数值 域的左端点. ?技巧 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集 的情况,大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二 次不等式的解集的讨论,在能够通过因式分解求出不等 式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论,在不能 通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判 别式进行分类讨论. ?易错 在(a,b)上 f′(x)>0 是 y=f(x)在(a,b)递增的充 分条件;f′(x)=0 不是 y=f(x)在 x=x0 处取得极值的充 分条件.

第5讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯

应用意识——利用导数研究生活中的优化问题 示例 如图 1-5-1(1),OA,OB 是某地一个湖泊的两条垂直的 湖堤,线段 CD 和曲线 EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防洪堤.为观 光旅游需要,拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建与 OA,OB 平行的栈 桥 MG,MK,且以 MG,MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK.建立如图 1-5-1(2)所示的直角坐标系,测得 CD 的方程是 x+ 2y=20(0≤x≤20),曲线 EF 的方程是 xy=200(x>0),设点 M 的坐标 为(s,t).(题中所涉及长度单位均为 m,栈桥及防洪堤都不计宽度)

第5讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
(1)用 s,t 表示三角形观光平台 MGK 面积的表达式 S△MGK; (2)求 S△MGK 的最小值.

图 1-5-1

第5讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为利用导数作为解题工具研究 生活中的优化问题,体现数学的应用意识.本题的问题背 景是在湖面上建立一个符合条件的跨越水面的三角形观光 平台,解决问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把 “问题情境”转化为数学语言,抽象为数学问题.

第5讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (条件)图(1)所示的实际问题情境 ? (目标)建 立三角形观光台 MGK 面积的表达式 S△MGK,求 S△MGK 的最 小值 ? (方法)三角形面积公式表示面积关系, 导数作工具求 面积函数的最小值.

第5讲│ 命题立意追溯
解:(1)由题意,得
? ?200 ? 200? K?s, s ?,G? t ,t?(s>0,t>0). ? ? ? ?

又因为 M(s,t)在线段 CD:x+2y=20(0≤x≤20)上, 所以 s+2t=20(0≤s≤20). 1 于是 S△MGK= |MG|· |MK| 2 1200 200 = t -s s -t 2 1 40 000 = st+ st -400. 2 由 20=s+2t≥2 2st(当且仅当 s=10,t=5 时“=”成 立),得 0<st≤50. ? 40 000 1? 故 S△MGK= ?st+ st -400?(st∈(0,50]). 2? ?

第5讲│ 命题立意追溯

(2)令 st=u,由(1)得 ? 40 000 1? f(u)=S△MGK= ?u+ u -400?,u∈(0,50]. 2? ? 1? 40 000? 又 f′(u)= ?1- u2 ?<0, 2? ? 所以 f(u)在(0,50]上单调递减, 所以 f(u)min=f(50)=225,此时 s=10,t=5. 故 S△MGK 的最小值为 225 m2.

第5讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] 为赢得 2012 年伦敦奥运会的商机,某商家进行了 新科技产品的市场分析,调查显示,新产品每件成本 9 万元,售 价为 30 万元,每星期卖出 432 件,如果降低价格,销售量可以增 加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位:万 元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低 2 万元时,一星 期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

第5讲│ 命题立意追溯

解:(1)设商品降价 x 万元,则多卖的商品数为 kx2, 若记商品在一个星期的获利为 f(x), 则依题意有 f(x)=(30-x-9)(432+kx2) =(21-x)(432+kx2). 又由已知条件,24=k·2,于是有 k=6, 2 所以 f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,30].

第5讲│ 命题立意追溯
(2)由(1),f′(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12), 当 x 变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) [0,2) - 2 0 (2,12) + 12 (12,30] 0 -

极 极 f(x) ? ? ? 小 大 故 x=12 时,f(x)达到极大值.因为 f(0)=9 072,f(12) =11 664,则定价为 30-12=18 万元能使一个星期的商品 销售利润最大.

第5讲│ 教师备用例题

教师备用例题

选题理由:导数已成为高考命题的一个重要载体,通过导数 可以实现函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的交汇, 例 1 就是导数在解析几何中的应用;例 2 就是通过导数研究方程 根的个数.在利用导数解决函数、方程、不等式等方面的综合问 题时,要注意函数与方程、分类讨论、等价转化、数形结合等思 想方法的运用.

第5讲│ 教师备用例题

例 1 已知曲线 C:y=2x2,点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B, 要实现不被曲线 C 挡住, 则实数 a 的取值范围是( ) A.(4,+∞) B.(-∞,4) C.(10,+∞) D.(-∞,10)

第5讲│ 要点热点探究

[答案] D
在曲线 C:y=2x2 上取一点 D(x0,2x2)(x0>0).对 0 2x2+2 0 y=2x2 求导,得 y′=4x,所以 y′|x=x0=4x0,令 x0 2-?-2? =4x0,得 x0=1,此时 D(1,2),kAD= =4,直线 AD 1-0 的方程为 y=4x-2.要实现不被曲线 C 挡住,则实数 a<4×3 -2=10,实数 a 的取值范围是(-∞,10).故选 D. [解析]

第5讲│ 教师备用例题

1 3 m+1 2 例 2 已知函数 f(x)= x - x (x∈R). 3 2 (1)若 f(x)在 x=1 处取得极值, 求函数 f(x)的单调区间; 1 (2)若关于 x 的方程 f(x)= -mx(m≤1)有三个不同的 3 根,求实数 m 的取值范围.

第5讲│ 教师备用例题
解:(1)∵f(x)在 x=1 处取得极值,对 f(x)求导, 得 f′(x)=x2-(m+1)x,∴f′(1)=12-(m+1)×1=0,求 1 3 1 2 得 m=0,故 f(x)= x - x ,f′(x)=x2-x. 3 2 由 f′(x)=x2-x=0 解得 x=0 或 x=1. 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;当 x∈(0,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0. 于是函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(1,+∞),单 调递减区间是(0,1). 1 1 3 m+1 2 1 (2)设 g(x)=f(x)+mx- = x - x +mx- , 3 3 2 3 对 g(x)求导,得 g′(x)=x2-(m+1)x+m=(x-m)(x-1). 令 g′(x)=0,得 x=m 或 x=1,又∵m≤1.

第5讲│ 教师备用例题

①当 m=1 时,g′(x)=(x-1)2≥0,g(x)在 R 上单调递增, 不合题意. ②当 m<1 时,g(x)、g′(x)随 x 的变化情况如下表: x (-∞,m) m (m,1) 1 (1,+∞) g′(x) + 0 - 0 + 极小值 极大值 g(x) ↗ ↗ m 3 m2 1 ↘ m-1 - + - 6 2 3 2

第5讲│ 教师备用例题
1 欲使方程 f(x)= -mx 有三个不同的根,即函数 g(x)= 3 1 f(x)+mx- 与 x 轴有三个不同的交点,则只需 3 3 2 ? m m 1 ?- 6 + 2 -3>0, ??m-1??m2-2m-2?<0, ? ? ?? ?m<1, ? ?m-1<0 ? 2 解得 m<1- 3. 综上所述,实数 m 的取值范围为(-∞,1- 3).



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