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2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件(江苏专用):常考问题20 矩阵与变换


常考问题20 矩阵与变换

知识与方法

热点与突破

[真题感悟]

[考题分析]

知识与方法

热点与突破

1.矩阵的乘法与逆矩阵
?a11 (1)? ?a21 ?a b +a12b21 a11b12+a12b22? ?b a12? b12? ?? 11 ?=? 11 11 . a22??b21 b22? ?a21b11+a22b21 a21b12+a22b22? ?

(2)若二阶矩阵 A, B 满足 AB=BA=E(E 为二阶单位矩阵), 则 称 A 是可逆矩阵,B 为 A 的逆矩阵,记为 B=A 1.


2.矩阵对应的变换 矩阵
?a =? ?c ?a M=? ?c ?x? ?x′? b? ?→ ? ? 对应的变换 T: (x, y)→(x′, y′)满足? d? ? ?y? ?y′?

?x? ?ax+by? b? ? ? =? ?. d? ??y? ?cx+dy ?

知识与方法

热点与突破

3.二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)设 λ 是二阶矩阵 量为
?x ? ?,则有 α=? y ? ? ?a M=? ?c

b? 的一个特征值,它的一个特征向 d? ?

?x ? ?x ? ? ? ?. M?y?=λ? y ? ?

?λ-a (2)f(λ)=? -c ?

?a b? -b ? 2 ? =λ -(a+d)λ+ad-bc 为矩阵 M=? c d λ-d? ? ? ?

的特征多项式. (3)如果 λ 是二阶矩阵 M 的特征值,则 λ 是 M 的特征多项式的 一个根,它满足 f(λ)=0,此时将 λ
?x0? ?,它即为 一组非零解? y ? 0? ? ?ax+by=λx, 代入? ? ?cx+dy=λy

可得到

M 的属于 λ 的一个特征向量.
知识与方法 热点与突破

4.熟练掌握二阶矩阵与列向量的运算的运算法则,注意不

能将列向量写在二阶矩阵左边;使用待定系数法过程中
务必注意解方程或方程组的准确性,检验是一个好习 惯.

知识与方法

热点与突破

5.已知曲线C的方程,求变换后的曲线C1的方程的过程分三

步:
(1)将目标曲线 C1上的任意一点的坐标 (x,y)用曲线C上对 应点的坐标(x′,y′)表示; (2)用x,y反表示x′,y′; (3) 将 x′ , y′ 带回曲线 C 的方程,得到 x , y 的等式,该等式

即所求曲线C1的方程.

知识与方法

热点与突破

6.记忆特征多项式,和这类问题的求解步骤: 理解特征值与特征向量理论
?a ? ?c ? ?x? ?x? ? ?λ-a?x-by=0, b? ?? ? ? ? ? =λ? ??? ? ? ? d ??y? ?y? ? ?-cx+?λ-d?y=0.

知识与方法

热点与突破

热点与突破

热点一 二阶矩阵与平面变换 【例 1】 若直线 y=kx
?0 在矩阵? ?1 ?

1? ? 对应的变换作用下得到的直线 0? ?

过点 P(4,1),求实数 k 的值. 解 设变换
?x′? ?x′? ?x ? ?0 ? ? ? ? ? ? T:? ?→? ?,则? ?=? ?1 ?y? ? ?y′? ?y′? ? ? ?y? 1? ? ?x? ? ? = ?y? ?x? , 即 0? ?? ? ? ?

? ?x=y′, ? ? ?y=x′,

代入直线 y=kx 得,x′=ky′,将点 P(4,1)代入

得,k=4.
知识与方法 热点与突破

[规律方法] 解决这类问题一般是设变换

?x? ?x′? ? ? ? T:? → ?,求出原曲 ?y? ? ? ? ?y′?

线在 T 的变换下得到的曲线,再根据条件求相应的系数值.

知识与方法

热点与突破

【训练 1】 已知曲线 C1:x +y =1,对它先作矩阵 应的变换,再作矩阵
?0 B=? ?1 ?

2

2

?1 A=? ?0 ?

0? ? 对 2? ?

b? ? 对应的变换,得 ? 0?

x2 2 到曲线 C2: +y =1.求实数 b 的值. 4 解 从曲线 C1 变到曲线 C2 的变换对应的矩阵为
?0 BA=? ?1 ? ? ? ? ? b? ??1 0? ?0 2b? ?0 2?=?1 0 ?. 0? ?? ? ? ?

在曲线 C1 上任意选一点 P(x0,y0),设它在矩阵 BA 对应的变 换作用下变为 P′(x′,y′),

知识与方法

热点与突破

?0 则有? ?1 ?

? ? ? ? ?2by0? ?x′? 2b? ? ??x0? ?x′? ? ? ? = ,即 = ? ?. ?y ? ? ?x ? ? 0 ? ?? 0? ?y′? ? 0 ? ?y′?

? ?2by0=x′, 故? ? ?x0=y′.

1 ? ?y0= x′ 2b 解得? ? ?x0=y′.
2

代入曲线 C1 方程得,y′ 即曲线

?1 ? +?2bx′?2=1. ? ?

?1? C2 方程为:?2b?2x2+y2=1. ? ?

x2 2 与已知的曲线 C2 的方程 4 +y =1 比较得(2b)2=4. 所以 b=± 1.
知识与方法 热点与突破

热点二

二阶矩阵的逆矩阵及其求法

【例 2】 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换 成点(-1,-1)与(0,-2).求矩阵 M 的逆矩阵 M 1.




设矩阵 M 的逆矩阵 M

-1

?a =? ?c ?

b? ? . d? ?

?a 由题意得,? ?c ?

? ? ? ? ? ? ? ?? 0? b? ? ?-2? ??-1? ? 1? ?a b?? ? ?=?-1?,?c d ??-2 ?=? ?, d? ??-1? ? ?? ? ? ? ? 1?

∴-a-b=1,-c-d=-1;-2b=-2,-2d=1.b=1, ? -2 3 1 ? - c=2,d=-2,a=-2.∴M 1=?3 1 -2 ?2 1? ? ?. ?
知识与方法 热点与突破

[规律方法] 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组, 常用于求二阶矩阵,要注意变换的前后顺序.

知识与方法

热点与突破

【训练 2】 二阶矩阵 M 对应的变换 TM 将曲线 x2+x-y+1=0 变 为曲线 2y2-x+2=0,求 M 1.


解 设曲线 2y2-x+2=0 上一点 P(x, y)在 M-1 对应变化下变
?x′=ax+by, b? ? ? 成 P(x′,y′),设 M ? ,? ? ?c d ? ? ?y′=cx+dy,
-1?

?a

代入 x2+x-y+1=0 得, 方程(ax+by)2+(ax+by)-(cx+dy)+1=0, 即 b2y2+(a-c)x+(b-d)xy+2abxy+a2x2+1=0,

知识与方法

热点与突破

x 1 方程 y -2+1=0 比较得,a=0,b=1,c=2,d=1 或 a=0,
2

? 0 -1? 1 ? ? - b=-1,c=2,d=-1.所以 M 1=? 1 , ? -1 2 ? ? ? 0 ? - 或 M 1=? 1 ? 2 1? ? . ? 1 ?

知识与方法

热点与突破

热点三

特征值与特征向量

【例 3】 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ=3 及对应的一个特征向量 e1
?1? ? =? ?1?,并且 ? ?

M 对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵 M.
? ?a b??1? ?1? ?3? b? ?a+b=3, ? ? ?? ? ? ? ? ? ,则? =3? ?=? ?,故? ? ? ? ? ? d? ?c d ??1? ?1? ?3? ?c+d=3.


?a ? ?c ?



?a M=? ?c ?

? ? ? ? b? ??-1? ? 9? =? , ? ? ? ? d ?? 2? ?15 ?

? ?-a+2b=9, 故? ? ?-c+2d=15.

联立以上两方程组解得 a=-1,b=4,c=-3,d=6, 故
? -1 M=? ? ? -3

4? ? ?. 6?
知识与方法 热点与突破

[规律方法] 求矩阵

?a M=? ?c ?

b? ? 就是要求待定的字母,利用条件建 d? ?

立方程组,确立待定的字母的值,从而求出矩阵,待定系数法是 求这类问题的通用方法.

知识与方法

热点与突破

【训练 3】

?1 已知矩阵? ?2 ?

?1? 2? ? ? ? 的属于特征值 b 的一个特征向量为 , ? ? ? a? ?1?

求实数 a、b 的值. 解 由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知,
?1 ? ?2 ? ? ?1? ?1? 2? ?b=3, ?? ? ? ? =b? ?,所以? 解得 a=1,b=3. ? ? ? ? a??1? 1 ? ? ?b=a+2,

知识与方法

热点与突破


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