3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 工学 >>

信号与系统重点总结


本课程的主要内容
? 两大模块: 信号与系统 ? 连续时间信号与系统 & 离散时间信号与系统
? 研究的对象:线性时不变系统(LTI)

? 信号分析法:时域分析、频域分析、变换域分析
? 系统分析法:时域分析、频域分析、变换域分析

2013-7-25

Signals & Systems

1

本教材的内容
? ? ? ? ? ? ? ? ?
2013-7-25

第1章 信号与系统 第2章 线性时不变系统 第3章 周期信号的傅立叶级数表示 第4章 连续时间傅立叶变换 第5章 离散时间傅立叶变换 第6章 信号与系统的时域和频域特性 第7章 采样 第9章 拉普拉斯变换 第10章 Z变换
Signals & Systems 2

第1章 信号与系统
? ? ? ? ? ? 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 连续时间和离散时间信号 自变量的变换 指数信号与正弦信号 单位冲激与单位阶跃函数 连续时间和离散时间系统 基本系统性质

2013-7-25

Signals & Systems

3

信号的分类
1、按物理属性分: 电信号、非电信号

2、按信号虚实:
3、按自变量的个数: 4、按信号可预知性: 5、按信号的连续性: 7、按信号重复性:

实信号、复信号
一维信号、多维信号 确定信号、随机信号 连续时间信号、离散时间信号 周期信号、非周期信号

6、按信号的对称性: 偶信号、奇信号 8、按信号的能量特性:能量信号、功率信号 9、按信号的持续时间:时限信号、非时限信号 10、按信号因果性: 因果信号、非因果信号、反因果信号
2013-7-25 Signals & Systems 4

信号的基本运算
一、对因变量进行的运算
1、幅度变换(幅度压扩):

y(t ) ? cx(t )
2、加法:

y ?n? ? cx ?n?

y(t ) ? x1 (t ) ? x2 (t )
3、乘法:

y(t ) ? x1 (t ) x2 (t )
2013-7-25 Signals & Systems 5

5、 离散信号的差分和累加
(1) 前向差分: 与连续系统中的微分相对应

?f (k )? f (k ? 1) ? f (k )
(2) 后向差分:

?f (k )? f (k ) ? f (k ? 1)
累加运算: 与连续系统中的积分相对应

y(n) ?
2013-7-25

k ???
Signals & Systems 6

?

n

f (k )

1.2.1 自变量变换
1、时移变换: Time Shift

x(t )

x(t ? t0 ) 当 t0 ? 0 时,信号向右平移 t 0

t0 ? 0 时,信号向左平移 t0
2、反转变换: Time Reversal

x(t )

x ( ?t )

3、尺度变换: Time Scaling

x(t )
2013-7-25

x (at )
Signals & Systems 7

混合变换 x(t ) x (at ? b)
线性扩展或压缩 时间上的反转 移位

变换先后顺序: 进行时间变换运算时总是用at代替t,而进行时 移运算时总是用t-b代替t。 (1)首先对x(t)进行时移运算,即用t-b代替x(t)中的 t,得到一个中间信号 :v(t ) ? x(t ? b) (2)对v(t)进行时间变换运算,即用at代替v(t)中 的t,得到输出:y(t ) ? v(at ) ? x(at ? b)
2013-7-25 Signals & Systems 8

1 Example 2: x(t ) ? x(3t ? ) 2

1 1 x(t ) ? x(t ? ) ? x(3t ? ) 2 2

x(t )
1 0 1

1 t?t? 2

1 x(t ? ) 2
1

t

?

t ? 3t

t
0 1/2 3/2

?
1

1 x (3t ? ) 2

t

0 1/6 1/2

2013-7-25

Signals & Systems

9

1.3.1 连续时间复指数与正弦信号

x(t ) ? Ce
1、实指数信号:C,a 为实数
a ? 0 呈单调指数上升

at

a ? 0 呈单调指数下降

a ? 0, x(t ) ? C

2013-7-25

Signals & Systems

10

2、周期性复指数信号与正弦信号:

x(t ) ? e

j?0t

? cos?0t ? j sin ?0t
j?0 ( t ?T )

x(t ? T ) ? e

?e e
T0 ?

j?0t j?0T

?e

j?0t

? x(t )

e

j?0T

?1

2?

?0

e ? j?0t e
2013-7-25

j?0t 是周期的

Signals & Systems

11

3、成谐波关系的复指数信号集:

e
?T0 ? 2? k

j?T0

?1
2? k ?? ? k?0 T0
jk? 0 t

?k (t ) ? ?e
基波频率: k ?0
2? T0 基波周期: Tk ? ? k ?0 k
2013-7-25

? , k ? 0, ?1, ?2 ???

当k取任何整数时,该
信号集中的每个信号都是 彼此独立的。只有该信号

集中的所有信号才能构成
一个完备的正交函数集。
12

Signals & Systems

1.3.2 离散时间复指数信号与正弦信号
x ?n? ? C? n C , ?一般为复数
1、实指数信号: C , ? 均为实数

x(n) ? C? n

当 ? ? 1时,呈单调指数增长
0 ? ? ? 1时,呈单调指数衰减

?1 ? ? ? 0时,呈摆动指数衰减

? ? ?1时,呈摆动指数增长
2013-7-25 Signals & Systems 13

2、正弦信号:

x ?n? ? C?

n

? a ? e ? ? ? j?0
其中 ?0为实数

?

x ?n? ? e

j?0n

x ?n? ? e

j?0n

? cos ?0n ? j sin ?0n

x ?n? ? A cos(?0n ? ? )
2013-7-25 Signals & Systems 14

1.3.3 离散时间复指数序列的周期性

e

j (?0 ? 2? ) n

?e

j?0 n

?e

j 2? n

?e

j?0 n

与连续时间信号的区别: 连续时间信号:不同的?0对应不同的信号 对 x(t ) ? e j?0t,当 ?

不会发生逆转。

? 时,对应的信号振荡频率越来越高, 0

离散时间信号:具有频率为 ?0的复指数信号与 ?0 频率的复指数信号是一样的。

? 2? , ?0 ? 4? ,?

2013-7-25

Signals & Systems

15

离散时间复指数序列 x 设x

n? ? e j?0n 不一定是周期性的,要 ?

具有周期性,必须具备一定条件。

?n ? N ? ? x ? n?,则有:
?e
j?0 n

e
?e


j?0 ( n ? N )
j?0 N

?e

j?0 N

?e

j?0n

?1
?0 m ? 2? N

信号的周期:基波周期

?0 N ?2? m

N?

2?

?0

m

信号的基波频率:

个有理数时, j?0 n 才具有周期性。 e
2013-7-25 Signals & Systems

只有在 ?0与 2? 的比值是一

2? ? 0 ?? ? N m

16

判断信号 x

? n ? ? sin ? 0.4n ? 是否为周期信号?
? 5?是无理数 ? 为非周期的序列

? 0 ? 0.4
2?

?0

4? 已知: sin n, 求其周期. 11 4? 2? 11 11 N ? 0 ? ,则有: ? 2? ? ? 11 ?0 4? 2 m

? N ? 11,即周期为11。( ? 中有5.5个? 0 2 )
2013-7-25 Signals & Systems 17

离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐
波关系的信号集。
? ? jk 2N n ? ?k ( n ) ? ? e ? k ? 0, ?1, ?2 ?????? ? ?

该信号集中的每一个信号都是以N为周期的, N 是它们的基波周期。

k ? 0 称为直流分量, k ? 1称为基波分量。
2? 每个谐波分量的频率都是 N 的整数倍。
2013-7-25 Signals & Systems 18

k ? 2 称为二次谐波分量等等。

1.4.1 离散时间单位脉冲与单位阶跃
1、单位脉冲序列

1 ? ? n? ? ? 0
? ?n?
1

n?0 n?0

? 1 n?k ? ?n ? k ? ? ? ?0 n?k
? ?n ? k ?
1

??? ??? ????? ?

n

x ?n?? ?n? ? x ?0?? ?n?

0

n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

k

x ?n?? ?n ? n0 ? ? x ?n0 ?? ?n ? n0 ?
2013-7-25 Signals & Systems 19

2、单位阶跃序列

u ?n? ? ?

1
0

n?0 n?0

?1 u ?n ? k ? ? ? ?0
u (n ? k )

n?k n?k

u ( n)
1

1

1

1

1 L

? ?????

n
0
-1 0

k ?1 k k ?1 k ? 2 k ? 3

n

? ?n? ? u ?n? ? u ?n ? 1?
2013-7-25

u ?n ? ?
Signals & Systems

k ?-?

? ? ?k ? ? ?? ?n ? k ?
k ?0
20

n

?

1.4.2 连续时间单位阶跃与单位冲激
1、单位阶跃函数

u(t ) ? ?

1 ,t ? 0 0 ,t ? 0

u(t )

1 0

t

? x(t ) t ? 0 x(t )u(t ) ? ? t?0 ?0

2013-7-25

Signals & Systems

21

2、单位冲激函数 ? ? 0, t ? 0 ?? (t ) ? ? ??, t ? 0 ? ? ? ?? (t )dt ? 1 ? ???
? (t )
1

? (t ? t0 )
1

t
0 0
t

t
t0
du (t ) ? (t ) ? dt
22

u (t ) ?

??? ? (? )d?
Signals & Systems

f (t )? (t ) ? f (0)? (t )
2013-7-25

f (t )? (t ? t0 ) ? f (t0 )? (t ? t0 )

x(0) ?
x(t 0 ) ?
?

?
?

??

??

x(t )? (t )dt

??

??

x(t )? (t ? t 0 )dt
?

2 sin( t ? )? (t ) ? sin( )? (t ) ? ? (t ) 4 4 2

2 ??? sin(t ? 4 )? (t ) d t ? ? 2
?

?

sin(t ? )? ( t ? 1) d t ? 0 4 ? ? 2 9 ??1 sin(t ? 4 )? (t ) d t ? sin(0 ? 4 ) ? ? 2
0

?

?

?3

2013-7-25

Signals & Systems

23

1.5 连续时间与离散时间系统
连续时间系统:

离散时间系统:

2013-7-25

Signals & Systems

24

1.5.2 系统的互联
1. 级联 (Cascade Interconnection)
x(t )





y(t )
y ( n)

x ( n)
2. 并联 ( Parallel Interconnection )
x(t )
x ( n)



?

Signals & Systems

y(t )
y ( n)

2013-7-25

25

3. 反馈联结 ( Feedback Interconnection )
x(t )
y(t )

x ( n)

?

Ⅰ Ⅱ

y ( n)

2013-7-25

Signals & Systems

26

1.6 系统的基本性质
1.6.1 记忆系统与无记忆系统
无记忆系统: 在任何时刻,系统的输出都只与当前时刻的 输入有关,而与该时刻以外的输入无关。否则就 是记忆系统。

2013-7-25

Signals & Systems

27

无记忆系统:

y[n] ? ? 2 x[n] ? x [n]?
2

2

y(t ) ? Rx(t )

记忆系统:
1 t y (t ) ? ? x(? )d? (电容、电感) C ??

y(t ) ? x(t ? t0 )

y ? n? ?

k ???

? x ? k ? (累加器)

n

y ?n? ? x ?n? ? x ? n ?1? (差分器)
1 y[n]= ( x[n ] ? x[n ? 1] ? x[n ? 2]) (移动平均系统) 3
2013-7-25 Signals & Systems 28

1.6.2 可逆性与逆系统
可逆系统( invertible systems ):
系统对任何不同的输入都能产生不同的输出,即 输入与输出是一一对应的。

不可逆系统( noninvertible systems ):

如果一个系统对两个或两个以上不同的输入信号
能产生相同的输出,则系统是不可逆的。
2013-7-25 Signals & Systems 29

可逆系统:

1 y (t ) ? x (t ) ? y ( t ) ? 2 x ( t ) 2

y ? n? ?
不可逆系统:

k ???

? x ? k ? ? y ?n? ? x ?n? ? x ?n ? 1?

n

y(t ) ? x2 (t )
因为有两个不同的输入x(t ) 和 ? x(t ) 能产生相同的输出。

y(n) ? x(n) x(n ? 1)

? 因为输入 ( n) 时, y (n) ? 0 ;输入 (n ? 1) 时, y (n) ? 0 。 ?
2013-7-25 Signals & Systems 30

1.6.3 因果性
如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个 时刻的输入以及该时刻以前的输入有关,而和该时 刻以后的输入无关就称该系统是因果的。否则就是 非因果的。

2013-7-25

Signals & Systems

31

因果系统: RLC电路

y ? n? ?

k ???

? x ?k ?
1 t y (t ) ? ? x(? )d? C ??

n

y ?n? ? x ?n? ? x ?n ? 1?

1 y[n]= ( x[n] ? x[ n ? 1] ? x[ n ? 2]) 3
非因果系统:

y ?n? ? x ?n? ? x ? n ? 1?
y ?n? ? x ??n?
2013-7-25

y(t ) ? x(2t ) ?M 1 y ?n? ? ? x ?k ? 2 M ? 1 k ?? M
32

Signals & Systems

1.6.4 稳定性
如果一个系统当输入有界时,产生的输出也

是有界的,则该系统是稳定系统。否则,就是不
稳定系统。 稳定系统:

y ?n? ? x ? n ?1?
不稳定系统:

y(t ) ? e

x (t )

y(t ) ? ? x(? )d? ,
??
n

t

y(t ) ? tx(t )
y ?n? ? r n x ? n?
33

y ? n? ?
2013-7-25

k ???

? x?k ?

Signals & Systems

1.6.5 时不变性
如果一个系统当输入信号有一个时移时,输出响 应也产生同样的时移。除此之外,输出响应无任何

其它变化,则称该系统是时不变的。否则就是时变
的。

? x (t ) ? y (t ) ? ? x ( t ? t0 ) ? y ( t ? t 0 )

系统是时不变的

2013-7-25

Signals & Systems

34

检验一个系统时不变性的步骤: 1. 令输入为 x1 (t ),根据系统的描述,确定此时的输 出 y1 (t ) 。 2. 将输入信号变为 x2 (t ) ,再根据系统的描述确定输 出 y2 (t )。 3. 令 x2 (t ) ? x1 (t ? t0 ), 根据自变量变换,检验 y1 (t ? t0 ) 是否等于 y2 (t ) 。 先时移再经系统
2013-7-25

Signals & Systems

?

先经系统再时移
35

Examples:
(1)y(t)=sin[x(t)] 时不变系统

(2)y[n]=nx[n]
x1[n] ? ? [n]
? y[n] ? 0
时变系统

x2[n] ? ? [n ? 1] ? y[n] ? ? [n ? 1]

2013-7-25

Signals & Systems

36

(3) y (n ) ? (n ? 1) x (n )

时变系统

x(n) ? x1 (n) ? y1 (n) ? (n ? 1) x1 (n)

x(n) ? x2 (n)? y2 (n) ? (n ? 1) x2 (n)
令 x2 (n) ? x1 (n ? n0 ) 则有:

y2 (n) ? (n ? 1) x1 (n ? n0 )

y1 (n ? n0 ) ? (n ? n0 ? 1) x1 (n ? n0 ) ? y2 (n)
2013-7-25 Signals & Systems 37

1.6.6 线性
若 x1 (t ) ? y1 (t ) 1、可加性(叠加性):

x2 (t ) ? y2 (t )

x1 (t ) ? x2 (t ) ? y1 (t ) ? y2 (t )
2、比例性(齐次性):

ax1 (t ) ? ay1 (t )

ax1 (t ) ? bx2 (t ) ? ay1 (t ) ? by2 (t )

ax1[n] ? bx2 [n] ? ay1[n] ? by2 [n]
2013-7-25 Signals & Systems 38

例1:y(t ) ? tx(t )
x1 (t ) ? y1 (t ) ? tx1 (t ) x2 (t ) ? y2 (t ) ? tx2 (t )
? y3 (t ) ? tx3 (t ) ? t ? ax1 (t ) ? bx2 (t ) ? ? atx1 (t ) ? btx2 (t ) ? ay1 (t ) ? by2 (t ) x3 (t ) ? ax1 (t ) ? bx2 (t )

线性系统

y(t ) ? x2 (t ) 例2:
非线性系统
2013-7-25 Signals & Systems 39

线性性质的应用: 若 x(t ) ? 则

? a x (t )
k k k

,且 xk (t ) ? yk (t )

y(t ) ? ? ak yk (t )
k

这一思想是信号与系统分析理论和方法建立的基础。

2013-7-25

Signals & Systems

40

第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统:卷积和

2.2 连续时间LTI系统:卷积积分
2.3 线性时不变系统的性质 2.4 用微分和差分方程描述的因果LTI系统

2013-7-25

Signals & Systems

41

2.1.2 离散时间LTI系统的卷积和表示
x ?n? ?
?

k ???

? x ?k ?? ? n ? k ?

?

y ?n? ?

k ???

? x ? k ? h ? n ? k ? ? x ? n ? ? h ? n?
卷积和

2013-7-25

Signals & Systems

42

图解法的思想:
y ? n? ?

k ???

? x ?k ? h?n ? k ?

?

?n ?k ? ? x ? k ? h? n ? k ?
?left shift,n<0 h ? n ? k ? ? h ? ?k ? ? ? ?right shift,n>0
y ? n? ?
k ???

? ? ?k ?
n

?

2013-7-25

Signals & Systems

43

反转、平移、相乘、求和

卷积和图解法的计算过程:
(1)以k作为自变量,画出 x[k ], h[n ? k ]的信号波形。 (2)从n等于负无穷开始,也就是将 h[?k ] 向时间轴左端远 处平移。 (3)写出中间信号 (4)增加时移量n,也就是将 h[n ? k ]向右移动,直到 ?n [k ] 的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的n值标志着现在 区间的结束以及下一个新区间的开始。 (5)对新区间中的n,重复步骤3和4,直到所有时间区间被划 分,对应的?n [k ]数学表达式被确定。 (6)在每个时间区间,将相应的 ?n [k ]对k求和,得到该区 间的输出 y[n] 。
2013-7-25 Signals & Systems

?n [k ] 的数学表达式。

44

例2.3:x(n) ? ?

n

u(n) 0 ? ? ? 1

h(n) ? u(n)
h(n ? k ) ? u(n ? k )
1

x( k ) ? ? k u ( k )
1

k
0

...
0

k
n

y ( n ) ? x ( n ) ? h (n ) ?
?

k ???

? x (k )h (n ? k )
n

?

1 ? ? n ?1 ? ? ? k u (k )u (n ? k ) ? ?? k ? u (n ) 1?? k ??? k ?0
2013-7-25 Signals & Systems 45

2.2.2 连续时间LTI系统的卷积积分表示

x(t ) ? ? x(? )? (t ? ? )d?
??

?

x(t ) ? y(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d? ? x(t ) ? h(t )
??

?

卷积积分

2013-7-25

Signals & Systems

46

卷积积分的性质:
(1)

f (t ) ? ? (t ) ? f ( t )

(2)

f (t ) ?? (t ? t1 ) ? f (t ? t1 )

(3)

f ( t ) ? u( t ) ? ?

t

??

f (? )d?

2013-7-25

Signals & Systems

47

图解法思想:

y(t ) ? ? x(? )h(t ? ? )d? ? ? ?t (? )d?
?? ??

?

?

卷积积分的图解法计算过程: (1)以k作为自变量,画出

x(? ), h(t ? ? )

的信号波形。

(2)从t等于负无穷开始,也就是将 h(?? ) 向时间轴左端远处平移。

?t (? )的数学表达式。 (4)增加时移量t,也就是将 h(t ? ? ) 向右移动,直到 ? (? ) t
(3)写出中间信号
(5)对新区间中的t,重复步骤3和4,直到所有时间区间被划分, 对应的 t 数学表达式被确定。

的数学表达式出现变化。出现变化时所对应的t值标志着现在区间的 结束以及下一个新区间的开始。

? (? )

(6)在每个时间区间,将相应的 的输出 y (t ) 。
2013-7-25

?t (? ) 对t求积分,得到该区间
48

Signals & Systems

例2.6:x(t ) ? e?at u(t ),
x(? )
1

a?0

h(t ) ? u (t ) u(t ?? )
1

?

?
0

t ? 0: ? y (t ) ? x (t ) ? h(t ) ? ? x (? )h(t ? ? )
??

0

t

t ? 0:

?? e
??

?

? a?

u(? )u(t ? ? )d? ? ? e
0

t

? a?

1 d? ? (1 ? e? at )u(t ) a

y (t ) ? 0
2013-7-25 Signals & Systems 49

一、卷积积分与卷积和的性质

1、交换律
y(t ) ? x(t ) ? h(t ) ? h(t ) ? x(t )

2、分配律
x(t ) ?[h1 (t ) ? h2 (t )] ? x(t ) ? h1 (t ) ? x(t ) ? h2 (t )

3、结合律

[ x(t ) ? h1 (t )] ? h2 (t ) ? x(t ) ? [h1 (t ) ? h2 (t )]
2013-7-25 Signals & Systems 50

h1[n]
x[n]

? ?

h3[n]

? -

y[n]

h2 [n]

h4 [n]
h[n] ? ? h1[n] ? h2[n]? ? h3[n] ? h4[n]

h1[n] ? u[n]

h2 [n] ? u[n ? 2] ? u[n] h3[n] ? ? [n ? 2]

u[n ? 2]

u[n]
2013-7-25

(1 ? a )u[n]
n
Signals & Systems

h4 [n] ? anu[n]
51

h1 (t )
x(t )

h4 (t )
? ?

? ?

h2 (t ) h3 (t )

h5 (t )

y(t )

h(t ) ? ?h1 (t ) ? h4 (t ) ? h2 (t ) ? h3 (t )? ? h5 (t )

2013-7-25

Signals & Systems

52

二、LTI系统的性质

1、记忆性
根据 y ? n? ? 则在任何时刻 n ,y ? n? 都只能和 n 时刻的输入有关, 和式中只能有
k ???

? x ?k ? h ?n ? k ?,如果系统是无记忆的,
k 时的一项为非零,因此必须有: ?n

?

h?n ? k ? ? 0, k ? n 即: h?n? ? 0, n ? 0

h(t ) ? 0, t ? 0
2013-7-25 Signals & Systems 53

2、可逆性 如果LTI系统是可逆的,存在一个逆系统,且逆系 统也是LTI系统,它们级联起来构成一个恒等系统。

x(t )

h(t )

g (t )

x(t )

因此有:h(t ) ? g (t ) ? ? (t ) h ?n? ? g ?n? ? ? ?n?

2013-7-25

Signals & Systems

54

3、因果性:

? x ?k ? h ?n ? k ?,当LTI系统是因果系统时, 在任何时刻 , n 都只能取决于 时刻及其以前 y ? n? n
k ???

由 y ? n? ?

?

的输入,即和式中所有

h ?n ? k ? ? 0,
或:

k的项都必须为零,即: ?n

k ?n
n?0
t ?0

h ?n? ? 0,

对连续时间系统有: h(t ) ? 0,

这是LTI系统具有因果性的充分必要条件。
2013-7-25 Signals & Systems 55

4、 稳定性:

y ? n? ?

若 x ? n?有界,则 x ? n ? k ? ? A 若系统稳定,则要求 y ? n? 必有界
y ? n? ?
k ???

k ???

? h?k ? x?n ? k ?

?

? h ? k ? x ? n ? k ? ? ? h ? k ? x ? n ? k ? ? A ? h? k ?
k ??? k ???
n ???

?

?

?

对离散时间系统: 对连续时间系统:
2013-7-25

? h ? n? ? ?
? ??

?

?

h(t ) dt ? ?
56

Signals & Systems

2.4 微分和差分方程描述的因果LTI系统 2.4.1 线性常系数微分方程
R L

x(t ) +


y(t )

C

dy (t ) 1 t Ry (t ) ? L ? ? y (? )d? ? x(t ) dt C ??

1 d d2 d y (t ) ? R y (t ) ? L 2 y (t ) ? x(t ) C dt dt dt
2013-7-25 Signals & Systems 57

第3章 周期信号的傅里叶级数表示
3.2 LTI系统对复指数信号的响应 3.3 连续时间周期信号的傅立叶级数表示 3.4 傅立叶级数的收敛 3.5 连续时间傅立叶级数性质 3.6 离散时间周期信号的傅立叶级数表示 3.7 离散时间傅立叶级数性质

2013-7-25

Signals & Systems

58

傅立叶分析不仅可以用于信号的频谱表示,而 且是频域描述系统类型和特性所必需的工具。

周期 信号

连续时间傅立叶级数FS

傅立叶级数
离散时间傅立叶级数DTFS 连续时间傅立叶变换FT 傅立叶变换 离散时间傅立叶变换DTFT
Signals & Systems 59

非周期 信号

2013-7-25

3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
x(t ) ?

k ???

?ae
k

?

jk?0t

?

k ???

?ae
k

?

jk (

2? )t T

1 ak ? T0

1 ? jk?0t ?T0 x(t )e dt ? T0

?

T0

x(t )e

? jk (

2? )t T

dt

2013-7-25

Signals & Systems

60

例3.3 求信号的傅立叶级数表示:

x(t ) ? sin ?0t
(1)直接应用分析公式:

1 ak ? T0
(2)观察法:

?

T0

x(t )e

? jk?0t

dt

1 j?0t 1 ? j?0t sin ?0t ? e ? e 2j 2j

1 1 a1 ? , a?1 ? ? , ak ? 0(k ? others) 2j 2j
2013-7-25 Signals & Systems 61

例3.4 求信号的傅立叶级数表示:

x(t ) ? 1 ? sin ?0t ? 2 cos ?0t ? cos(2?0t ?

?
4

)

1 j?0t 1 ? j?0t x(t ) ? 1 ? (1 ? )e ? (1 ? )e 2j 2j 1 4 j 2?0t 1 ? ( e )e ?( e 2 2
j

?

?j

?
4

)e

? j 2?0t

1 1 1 j? 1 ? j? a0 ? 1, a1 ? 1 ? , a?1 ? 1 ? , a2 ? e 4 , a?2 ? e 4 , 2j 2j 2 2 ak ? 0, k ? others
2013-7-25 Signals & Systems 62

例3.5 周期性矩形脉冲信号的频谱
x(t )
1

????
?T

???? t
T

?1, t ? T1 ? x(t ) ? ? ?0, T1 ? t ? T 2 ?
1 T1 ? jk?0t 1 ak ? ? e dt ? ? e? jk?0t T ?T1 jk?0T
2? sin kT1 2T1 sin k?0T1 2T1 T ? ? 2? T k?0T1 T kT1 T Signals & Systems
T1 ?T1

2sin k?0T1 sin k?0T1 ? ? k?0T k?

2013-7-25

63

3.5 连续时间傅里叶级数的性质
1、线性: 若x(t ) 和y(t ) 都是以 T 为周期的信号,且
F x(t ) ?? ak ? F y(t ) ?? bk ?
F



Ax(t ) ? By(t ) ?? Aak ? Bbk ?

2、时移: 若 x(t )是以 T 为周期的信号,且

x(t ) ?? ak ?
F
2013-7-25

? 则 x(t ? t0 ) ?? ak e
F

? jk?0t0

2? ?0 ? T

Signals & Systems

64

3、反转:若 x(t )是以 T 为周期的信号,且

x(t ) ?? ak ?
F



F x(?t ) ?? a?k ?

4、尺度变换: 若 x(t )是以 T 为周期的信号,且
F x(t ) ?? ak 则 x ( at ) 以 T / a 为周期 ?

? x(at ) ?? bk ? ak ?
F

2013-7-25

Signals & Systems

65

5、相乘: 若x(t ) 和y(t ) 都是以 T 为周期的信号,且

x(t ) ?? ak ?
F

y(t ) ?? bk ?
F

F ? x(t ) y (t ) ?? ? al bk ?l ? ak ? bk ?

?

6、共轭对称性:
? 则 x? (t ) ? ?? a?k

l ???

F T 为周期的信号,且 x(t ) ?? ak ? 若 x(t )是以

7、帕斯瓦尔(Parseval )定理:
2

2013-7-25

1 ? x(t ) dt ? k? ak TT ? ??
Signals & Systems

??

2

66

3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示
2? n N

x[n] ?

k ?? N ?

?

ak e

jk?0 n

?

k ?? N ?

?

ak e

jk

综合公式

1 ak ? N

n ?? N ?

?

x ?n ? e? jk?0n

1 ? N

n ?? N ?

? x ?n ? e

? jk

2? n N

分析公式

2013-7-25

Signals & Systems

67

例3.10

x[n] ? sin ?0n

1 j (2? / N ) n 1 ? j (2? / N ) n x[n] ? e ? e 2j 2j
1 1 a1 ? , a?1 ? ? 2j 2j

2013-7-25

Signals & Systems

68

例3.11 x[n] ? 1 ? sin(

2? 2? 4? ? )n ? 3cos( ) n ? cos( n ? ) N N N 2

? ? ? ? 3 1 ? j ( 2N ) n ? 3 1 ? ? j ( 2N ) n ? 1 j ? ? j 2( 2N ) n x[n] ? 1 ? ? ? ? e ? ? ? ?e ? ? e 2 ?e ?2 2j? ?2 2j? ?2 ? ? ? 1 ? j ? ? ? j 2( 2N ) n ? ? e 2 ?e ?2 ?

3 1 3 1 1 1 a0 ? 1, a1 ? ? , a?1 ? ? , a2 ? j, a?2 ? ? j 2 2j 2 2j 2 2

2013-7-25

Signals & Systems

69

例3.12 周期性方波序列的频谱

1 ak ? N
1 ? N

n ?? N1

?e
?
N

N1

?j

2? kn N

j

1 e ? N

2? kN1 N

?e

?j

2? ( N1 ?1) k N 2? k N

1? e

?j

sin

k (2 N1 ? 1)

sin

?
N

k ? 0, ? N , ?2 N , ???

k

2 N1 ? 1 ak ? N
2013-7-25

sin ? x k ? rN ak 的包络具有 的形状。 sin x
Signals & Systems 70

3.7 DFS的性质
1、相乘
DFS x ?n? ??? ak ? DFS y ?n? ??? bk ?

DFS x ? n? y ? n? ??? ck ? ?

l ?? N ?

? ab

l k ?l

周期卷积

2、差分

DFS x ?n? ??? ak ?

x ?n? ? x ?n ? n0 ? ??? (1? e ?
DFS

? j?n0

)ak

3、 Paseval定理

x ?n? ??? ak ?
DFS
Signals n ?? N ? & Systems

2013-7-25

1 N

?

| x(n) |2 ?

k ?? N ?

?

| ak |2
71

第4章 连续时间傅立叶变换
? ? ? ? ? ? 4.1 非周期信号表示:连续时间傅立叶变换 4.2 周期信号的傅立叶变换 4.3 连续时间傅立叶变换性质 4.4 卷积性质 4.5 相乘性质 4.7 由线性常系数微分方程表征的系统

2013-7-25

Signals & Systems

72

对非周期信号的频域描述方法—傅立叶变换对:

X ( j? ) ? ? x(t )e
??

?

? j?t

dt
j?t

傅立叶变换 频谱

1 x(t ) ? 2?

?

?

??

X ( j? )e d ?

傅立叶反变换

2013-7-25

Signals & Systems

73

二、傅立叶变换的收敛
1、若 ??? x(t ) dt ? ? 则 X ( j? ) 存在。 能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。 2、Dirichlet 条件 a. 绝对可积条件
? 2

?

?

??

x(t ) dt ? ?

b. 在任何有限区间内, x(t ) 只有有限个极值点,
且极值有限。 c. 在任何有限区间内,x(t ) 只有有限个第一类间

断点。
2013-7-25 Signals & Systems 74

三、常用信号的傅立叶变换: 1. x(t ) ? e u(t ), a ? 0
? at

X ( j? ) ? ? e e
0

?

? at ? j? t

1 dt ? a ? j?

2. x(t ) ? ? (t )
X ( j? ) ? ? ? (t )e? j?t dt ? 1
?? ?

3.

x(t ) ? 1
F x(t ) ? 1?? 2?? (?) ?

2013-7-25

Signals & Systems

75

5. 矩形脉冲: x(t ) ?

?

1, 0,

t ? T1
t ? T1
?T1

x (t )
1

t
T1

X ( j? ) ? ? e
? T1

T1

? j?t

dt ?

2sin ?T1

?

1, ? ? W 6. X ( j? ) ? 0, ? ? W 1 W j?t sin Wt W Wt x(t ) ? ??W e d? ? ? t ? ? sinc( ? ) 2?
X ( j? )
1

?

2T1 sin ?T1 ?T1 ? ? 2T1 Sinc( ) ?T1 ?

(W / ? )

x(t )

2013-7-25

?W 0 W

?
Signals & Systems

? W

0

t
76

4.2 周期信号的傅立叶变换
考查
1 x(t ) ? 2?
X ( j? ) ? 2?? (? ? ?0 ) 所对应的信号

?

?

??

X ( j? )e d? ? ? ? (? ? ? 0 )e j?t d? ? e j?0t
j? t ??

?

这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。

x(t ) ? e
x(t ) ?
k ???

jk?0t

X ( j? ) ? 2?? (? ? k?0 )
X ( j? ) ? 2?
k ???

?

?

ak e jk?0t

? a ? (? ? k? )
k 0

?

周期信号的傅立叶变换表示
2013-7-25 Signals & Systems 77

1 j?0t ? j?0t ] 例1:x(t ) ? sin ?0t ? [e ? e 2j ? X ( j? ) ? [? (? ? ?0 ) ? ? (? ? ? 0 )] j
? ?0
?

X ( j? ) ? j

?
j

0

?0

?

1 j?0t ? j?0t ] 例2: x(t ) ? cos ?0t ? [e ? e 2 X ( j? ) ? ? [? (? ? ?0 ) ? ? (? ? ?0 )]

?
2013-7-25

X ( j? )

?

? ?0

0 Signals & Systems

0

?

?
78

4.3 连续时间傅立叶变换的性质
傅立叶变换的唯一性:
x1 (t ) ? X1 ( j?), x2 (t ) ? X 2 ( j?) x1 (t ) ? x2 (t ) ? X1 ( j?) ? X 2 ( j?)

1、线性: 若 x(t ) ? X ( j?),
y(t ) ? Y ( j?)

则 ax(t ) ? by(t ) ? aX ( j? ) ? bY ( j? ) 2、时移:
? j?t 若 x(t ) ? X ( j? ) 则 x(t ? t0 ) ? X ( j?)e 0
2013-7-25 Signals & Systems 79

3、共轭对称性:



x(t ) ? X ( j? )



x* (t ) ? X * (? j? )

4、时域微分与积分: 若 x(t ) ? X ( j?) 则
dx(t ) ? j? X ( j? ) dt

5、时域和频域的尺度变换:
若 x(t ) ? X ( j?)
1 ? 则 x(at ) ? X ( j ) a a

当 a ? ?1 时,有 x( ?t ) ? X ( ? j?)
2013-7-25 Signals & Systems 80

6、对偶性:

若 x(t ) ? X ( j?) 则 X ( jt ) ? 2? x( ??)
7、Parseval定理: 若 x(t ) ? X ( j?) 则

?

?

??

1 x(t ) dt ? 2?
2

?

?

??

X ( j? ) d?
2

8、卷积特性: 若 x(t ) ? X ( j?)

h(t ) ? H ( j? )

则 x(t ) ? h(t ) ? X ( j?) H ( j?)
2013-7-25 Signals & Systems 81

H ( j? ) ? ? h(t )e? j?t dt
??

?

1 ? y (t ) ? x(t ) * h(t ) ? X ( j? ) H ( j? )e j? t d? 2? ??? Y ( j? ) ? X ( j? ) H ( j? ) 所以 系统的频率响应

二、LTI系统的频域分析法: 1、由 x (t ) ? X ( j? ) 2、根据系统的描述,求出 H ( j? ) 3、Y ( j? ) ? X ( j? ) H ( j? ) 4、y(t ) ? F ?1[Y ( j? )]
2013-7-25 Signals & Systems 82

例4.15

h(t ) ? e u (t ), a ? 0 x (t ) ? e ? bt u (t ), a ? 0

? at

1 ? ? H ( j? ) ? a ? j? ? ?? 1 ? X ( j? ) ? ? b ? j? ?

1 Y ( j? ) ? X ( j? ) H ( j? ) ? (a ? j? )(b ? j? ) 1 ? 1 1 ? ? ? a ? j? ? b ? j? ? b?a ? ?

1 ?e ? at u (t ) ? e ?bt u (t ) ? y (t ) ? ? ? b?a
2013-7-25 Signals & Systems 83

4.5 相乘性质
若 x1 (t ) ? X1 ( j? )

x2 (t ) ? X 2 ( j? )

1 X 1 ( j? ) ? X 2 ( j? ) 则 x1 (t ) ? x2 (t ) ? 2?

例1:

? x(t ) ? X ( j? )

e j?0t ? 2?? (? ? ?0 )
移频性质

? x(t )e j?0t ? X [ j (? ? ?0 )]

2013-7-25

Signals & Systems

84

4.7 由线性常系数微分方程表征的系统
d y (t ) d x (t ) ? ak dt k ? ? bk dt k k ?0 k ?0 对方程两边进行傅立叶变换有:
N k N k

ak ( j? )k Y ( j? ) ? ? bk ( j? )k X ( j? ) ?
k ?0 k ?0

N

N

由于 Y ( j? ) ? X ( j? ) H ( j? )

Y ( j? ) H ( j? ) ? ? X ( j? )
2013-7-25

bk ( j? ) k ? ak ( j? ) k ?
k ?0
Signals & Systems

M

k ?0 N

h(t )
85

d 2 y (t ) dy(t ) dx(t ) 例: ?6 ? 8 y (t ) ? ? 3x(t ) 2 dt dt dt

j? ? 3 j? ? 3 H ( j? ) ? ? 2 ( j? ) ? 6( j? ) ? 8 (4 ? j? )(2 ? j? ) 1 1 1 ? [ ? ] 2 2 ? j? 4 ? j?

1 ? 2t ? 4t h(t ) ? [e ? e ]u (t ) 2

2013-7-25

Signals & Systems

86

第5章 离散时间傅立叶变换
? ? ? ? ? ? ? 5.1 非周期信号的表示:离散时间傅立叶变换 5.2 周期信号的傅立叶变换 5.3 离散时间傅立叶变换性质 5.4 卷积性质 5.5 相乘性质 5.7 对偶性 5.8 由线性常系数差分方程表征的系统
Signals & Systems 87

2013-7-25

DTFT



1 x ( n) ? 2?
X (e
j?

2

? X (e ?
? ??

j?

)e

j?n

d? 逆变换
频域表达式

)?

? x(n)e

? j?n

DTFT与CTFT的区别:

(1)离散时间变换 X e j?) 的周期性; (
(2)在综合公式中的有限积分区间。
2013-7-25 Signals & Systems 88

二、常用信号的离散时间傅立叶变换

x(n) ? anu(n), 1、
X (e ) ? ? a e
j? n ?0 ? n ? j? n

a ?1
1 ? 1 ? ae ? j?

2、

x( n) ? a ,
n

a ?1
n

x(n) ? a u(?n ?1) ? a u(n)
X (e ) ?
j? n ? ??

?n

?a

?1

? n ? j?n

e

? ?a e
n ?0

?

n ? j?n

? ?a e
n ?1

?

n j?n

? ?a e
n ?0

?

n ? j?n

2013-7-25

ae j? 1 1? a2 ? ? ? j? ? j? 2 1 ? ae 1 ? ae & Systems ? a ? 2a cos? 1 Signals

89

3、矩形脉冲:

?1, x ( n) ? ? ?0,
X ( e j? ) ?

n ? N1 n ? N1

实偶信号

实偶函数

n ?? N1

?

N1

e ? j?n

?

sin(2 N1 ? 1) sin

?
2

N1 ? 2

?
2

2013-7-25

Signals & Systems

90

1, ? ? W 4、X (e ) ? 0, ? ? ? ? W
j?

?

X (e j? )
1

??

?W 0 W

?

?

1 W j?n x ?n ? ? ??W e d? 2? sin Wn W Wn ? ? sinc( ) ?n ? ?

(W / ? )

x ? n?
? W

n

0

2013-7-25

Signals & Systems

91

三、DTFT的收敛问题

收敛条件有两组:
1.

收敛于 X e j? ) 。 (

n ???

? x(n)
?

?

2

? ?, 则级数以均方误差最小的准则

2.

n ???

?

x (n ) ? ?, 则 X e j? ) 存在,且级数一致收敛 (

于 X e j? ) 。 (

2013-7-25

Signals & Systems

92

5.3 离散时间傅立叶变换的性质
1、周期性 : 若 x ?n? ? X e j?), X (e j (??2? ) ) ? X (e j? ) 则 (

比较:这是与CTFT不同的。
2、线性:

ax1 ?n? ? bx2 ?n? ? aX1 (e ) ? bX 2 (e )
j? j?

2013-7-25

Signals & Systems

93

3、时移与频移:
j? 若 x ?n? ? X (e ), 则

x ?n ? n0 ? ? X (e j? )e? j?n0
x(n)e
j?0n

时移特性

? X (e

j (???0 )

)

频移特性

4、 时域反转:
x ?n? ? X (e j? ), 则 x ??n? ? X (e? j? ) 若
2013-7-25 Signals & Systems 94

5、共轭对称性: 若 x ?n? ? X (e ), 则 x ?n? ? X (e
j? * * ? j?

)

6、差分与求和:

x ?n? ? x ?n ? 1? ? (1 ? e? j? ) X (e j? )
? X (e j? ) x ?k ? ? ? ? X (e j 0 ) ? ? (? ? 2? k ) ? 1 ? e? j? k ??? k ??? n

2013-7-25

Signals & Systems

95

8、频域微分:
dX (e j? ) ? jnx(n) ? d?

dX (e j? ) nx(n) ? j d?
j?

9、Parseval定理:
1 ? x(n) ? 2? n ? ??
2 ?

2

?? X (e

) d?

2

10、卷积特性



2013-7-25

y(n) ? x(n) * h(n), Y (e ) ? X (e ) H (e ),
Signals & Systems 96

j?

j?

j?

例 5.13

1 ? j? ?h ? n ? ? ? nu ? n ? , ? ? 1 ? H (e ) ? 1 ? ? e? j? ? ? ?? ? n 1 ? x ? n ? ? ? u ? n ? , ? ? 1 ? X (e j? ) ? ? 1 ? ? e? j? ? ? 1 Y ( j? ) ? X ( j? ) H ( j? ) ? (1 ? ? e? j? )(1 ? ? e? j? ) ? 1 ? 1 ? ? ? j? ? ? ? (1 ? ? e ) ? ? ? (1 ? ? e? j? )

y[n] ?
2013-7-25

? ? ??

? u[n] ?
n

? ? ??

? nu[n]
97

Signals & Systems

5.5 相乘性质
如果 y (n) ? x1 (n) ? x2 (n), 1 j? Y (e ) ? X 1 (e j? ) X 2 (e j (? ?? ) )d? 则 2? ?2? 1 ? X 1 (e j? ) ? X 2 (e j? ) 周期卷积 2?
j? 由于 X1 (e )和 X 2 (e ) 都是以 2? 为周期的

j?

2013-7-25

Signals & Systems

98

5.7 对偶性
一、DFS的对偶性:

x(n ) ??? ak ?
DFS

1 an ??? ? x( ?k ) N
DFS

2013-7-25

Signals & Systems

99

时域

周期 (t , n) 傅立叶级数

非周期 (t , n) 傅立叶变换
jk?0t

x(t ) ?
连续

k ???

?ae
k

?

1 x(t ) ? 2?

(t )

1 ak ? T

?

T

x(t )e ? jk?0t dt

X ( j? )e j?t d ? ??? 非周 期 ? ? j?t X ( j? ) ? ? x(t )e dt (k , ?) ??
1 2?

?

x[n] ?
离散

(n)

1 ak ? N

k ?? N ?
n ?? N ?

?

ak e

jk?0 n
? jk?0 n

x ? n? ?

?

2

??

X (e j? )e j?n d?
?

x ( n )e

X (e j? ) ? ? x ? n ? e? j?n
??

周期 (k , ? ) 频域
100

离散(k)
2013-7-25 Signals & Systems

连续(?)

5.8 由LCCDE表征的系统

?a
k ?0

N

k

y (n ? k ) ? ? bk x(n ? k )
k ?0

N

对方程两边进行DTFT变换,可得到:

?a
k ?0

N

k

y (n ? k ) ? ? bk x(n ? k )
k ?0

N

?a e
k ?0 k

N

? jk?

Y (e ) ?? bk e
j? k ?0

N

? jk?
N

X (e )

j?

Y ( e j? ) H ( e j? ) ? ? j? X (e )
2013-7-25 Signals & Systems

bk e ? jk? ? ak e ? jk? ?
k ?0
101

k ?0 N

四、LTI系统的频域分析方法: 1. 对输入信号做傅立叶变换,求得 X (e j? ) 。
H (e j? ) 。 2. 根据系统的描述,求得系统的频率响应

3. 根据卷积特性得到 Y (e j? ) ? X (e j? ) H (e j? ) 。 4. 对Y (e j? ) 做傅立叶反变换得到系统的响应 y (n ) 。

2013-7-25

Signals & Systems

102

例5.18 y[n] ? ay[n ? 1] ? x[n]

1 H (e ) ? ? j? 1 ? ae
j?

h[n] ? a u[n]
n

2013-7-25

Signals & Systems

103

3 1 例5.19 y[n] ? y[n ? 1] ? y[n ? 2] ? 2 x[n] 4 8
H (e ) ?
j?

2 3 ? j? 1 ? j 2? 1? e ? e 4 8
n n

4 2 ? ? 1 ? j? 1 ? j? 1? e 1? e 2 4

?1? ?1? h[n] ? 4 ? ? u[n] ? 2 ? ? u[n] ? 2? ? 4?

1 ?1? j? x[n] ? ? ? u[n] ? X (e ) ? 1 ? j? ?4? 1? e 4 Y ( j? ) ? X ( j? ) H ( j?)
2013-7-25 Signals & Systems 104

n

第6章 信号与系统的时域和频域特性
? 6.1 傅立叶变换的模和相位表示
? 6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示 ? 6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性

? 6.4 非理想滤波器的时域和频域特性讨论
? 6.5 一阶与二阶连续时间系统

2013-7-25

Signals & Systems

105

6.1 傅里叶变换的模和相位表示
X ( j?) ? X ( j?) e
j ? X ( j? )

X (e ) ? X (e ) e
提供的是有关这些 复指数信号的相对 相位信息。

j?

j?

j ? X ( e j? )

描述的是信号的基本 频率含量,也即组成 信号的各复指数信号 相对振幅的信息

幅度失 真
2013-7-25 Signals & Systems

相位失 真
106

6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
Y ( j?) ? X ( j?) H ( j?)

Y (e ) ? X (e )H (e )
系统增益 系统相移

j?

j?

j?

Y ( j?) ?| X ( j?) || H ( j?) |
? Y ( j?) ?? X ( j?)? ? H ( j?)

? LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: ? 1. 改变输入信号各频率分量的幅度; ? 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
2013-7-25 Signals & Systems 107

6.2.3 对数模与Bode图
Y ( j?) ? X ( j?) H ( j?)

? Y ( j?) ?? X ( j?)? ? H ( j?)

Y ( j?) ?| X ( j?) || H ( j?) | log Y ( j?) ? log | X ( j?) | ? log | H ( j?) | 20log Y ( j?) ? 20log| X ( j?)| ?20log| H ( j?)|

2013-7-25

Signals & Systems

108

波特图:

1、连续时间系统:

20lg H ( j?) ~ lg? 单位:分贝(dB)(decibel)

? H ( j? ) ~ lg ?
2、离散时间系统:

20log1 ? 0, 20log10 ? 20, 20log 0.1 ? ?20, 20log 2 ? 6

20lg H ( j?) ~ ?
? H ( j?) ~ ?
2013-7-25 Signals & Systems

109

6.3 理想频率选择性滤波器
一、滤波: 通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相 位,甚至完全去除某些频率分量的过程。 滤波器可分为两大类: 1.频率成形滤波器

2.频率选择性滤波器

2013-7-25

Signals & Systems

110

二、理想频率选择性滤波器的频率特性
在某一个(或几个)频段内,频率响应为常数, 而在其它频段内频率响应等于零。
1 1

??c

0

?c

?

??c

0 ?c

?

低通
1

高通
1

??2 ??1
2013-7-25

0

?1

?2

?

??2 ??1

0

?1 ?2

?

带通

带阻
Signals & Systems 111

离散时间理想频率选择性滤波器的频率特性

1

-? ??c

?

?c ?

2? 2? ? ?c

?? ?

1

-? ??c

?c ? 2? ? ?c

??

低通

高通

-? ??2 ??1 0

?

1

1

?1 ?2 ?

?

?

?
-?

??2

??1 ?1 ?2 ?

?

?

带通
2013-7-25 Signals & Systems

带阻
112

三、理想滤波器的时域特性

以理想低通滤波器为例

H ( j? )

1

H ( j?) ?

?

1, 0,

? ? ?c
? ? ?c

??c

?c

?

连续时间理想低通滤波器

由傅里叶反变换可得:

1 ?c j?t h(t ) ? ???c e d? 2? sin ?c t ?c ? ?c t ? ? ? sin c ? ?t ? ? ? ? ?
2013-7-25 Signals & Systems 113

理想滤波器特性
1.通带绝对平坦,通带 内衰减为零。

非理想滤波器特性
通带内允许有起伏, 有一定衰减范围 ?? 1 阻带内允许有起伏, 有一定衰减范围 ? 2 有一定的过渡带宽度

2.阻带绝对平坦,阻带 内衰减为 ?。
3.无过渡带。

2013-7-25

Signals & Systems

114

非理想低通滤波器的容限 常用的逼近方式:
1.Butterworth滤波器
通带起伏

2.Chebyshev滤波器
3.椭圆函数滤波器

阻带起伏

通带边缘
2013-7-25

阻带边缘
Signals & Systems 115

6.5 一阶与二阶连续时间系统
对由LCCDE描述的连续时间LTI系统,其频 率响应为: N

H ( j? ) ?

? b ( j? )
k ?0 N k k ?0

k

ak ( j? )k ?

N ( j? ) ? D( j? )

ak

、bk 均为实常数。

此时,可通过对 N ( j? ) 、 D( j? ) 因式分解,将 其表示成若干个一阶或二阶有理函数的连乘;或 者通过部分分式展开,表示成若干个一阶或二阶 有理函数相加。
2013-7-25 Signals & Systems 116

6.5.1 一阶系统
dy (t ) ? y (t ) ? x(t ) 模型:? dt
H ( j? ) ?
t ?

1 j?? ? 1

1、时域特性:

1 h(t ) ? e u (t ) ?

?

? 越小,h(t ) 衰减得越快,
系统的失真越小。

2013-7-25

Signals & Systems

117

2、一阶系统的Bode图:H ( j? ) ? j?? ? 1
20 lg H ( j? ) ? ?10 lg ?1 ? (?? ) 2 ? ? ?

1

当?? ?? 1 即? ?? 1 / ? 时 20lg H ( j?) ? 0dB 当 ??

?? 1 即? ?? 1 / ? 时 20lg H ( j?) ? ?20lg ?? ? ?20lg ? ? 20lg?

2013-7-25

Signals & Systems

118

转折频率

当 ? ? ? 时,准确的对数模为

1

20lg H ( j?) ? ?10lg2 ?? 3dB
2013-7-25 Signals & Systems 119

.

相频特性:

? H ( j?) ? ? tg (?? )
?1

? ??

1

?
1

时, ? ? 0, ? H ( j?) ? 0 时, ? ? ?, ? H ( j? ) ? ?

? ??

?
2

?

??

1

?

时, ? H ( j? ) ? ?

?
4
120

2013-7-25

Signals & Systems

将其折线化可得相位特性的直线型渐近线:

? H ( j?) ? ? 4 ? lg ?? ? 1? ,
?

?

0, ?
?
2

? ? 0.1/ ?
0.1

?

?? ?

10

?

,

? ? 10 / ?

2013-7-25

Signals & Systems

121

6.5.2 二阶系统
d y (t ) dy (t ) 2 2 模型: ? 2??n ? ? n y (t ) ? ? n x (t ) dt 2 dt
由二阶系统的方程可得系统的频率响应:
?n 2 1 H ( j? ) ? ? 2 2 ? 2 ? ( j? ) ? 2??n ( j? ) ? ?n ( j ) ? 2? ( j ) ? 1 ?n ?n
2

2013-7-25

Signals & Systems

122

1、时域特性:
M M 由 H ( j? ) ? ? ? ( j? ? c1 )( j? ? c2 ) j? ? c1 j? ? c2

?n 2

c1,2 ? ???n ? ?n ? ? 1
2

?n M? 2 ? 2 ?1
h(t )

? h(t ) ? M ?ec1t ? ec2t ? u (t ) ? ?
当 ? ? 1 时,c1 ? c2 ? ??n

t

h(t ) ? ?n te
2
2013-7-25

??nt

u(t )

系统处于临界阻尼状态。
123

Signals & Systems

当 0 ? ? ? 1 时, c1 、 c 2 为共轭复根,系统 处于欠阻尼状态;

?n h( t ) ? e??? t sin(?n 1 ? ? 2 t )u(t ) 1?? 2
n

? ? 1 时, c1、c 2为实数根,系统为过阻尼状态;

? e c1t ? e c2t ? u (t ) h (t ) ? M ? ?
? ? 0 时, c1 ? c ? j?n 系统处于无阻尼状态。
* 2

h(t ) ? ?n sin ?ntu(t )
2013-7-25 Signals & Systems 124

? ? ? ? ? ?

? ? 1 时,二阶系统的时域特性最佳
2013-7-25 Signals & Systems 125

2、频率特性:
H ( j? ) ? 1 ?? ? ? 4 2 ? 2 1? 2? ? ? ( ? ) ? 4? ( ? ) n n ? ?n ?
2

2 ?? ? ? 2? ? 2 ? 2? 20lg H ( j? ) ? ?10lg ? ?1 ? ( ) ? ? 4? ( ) ? ?n ? ?n ? ?? ? ?

当 ? ?? ?n 时, 20lg H ( j?) ? 0dB 当 ? ?? ?n时,

? 4 ? 20 lg H ( j? ) ? ?10 lg( ) ? ?40 lg ?n ?n ? ?40lg ? ? 40lg?n
Signals & Systems 126

2013-7-25

带通特性

低通特性

? ? ?n 时,20lg H ( j? ) ? ?20lg2?
? ? 0.707 时,幅频特性在 ? n 1 ? 2? 2 处出现峰值,其

值为 1/ 2? 1 ? ? 2 。

? ? 0.707 时,系统具有最平坦的低通特性。
2013-7-25 Signals & Systems 127

? 相位特性: 2? ?n ?1 ? H ( j? ) ? ? tan ? 2 1? ( ) ?n

? ? ?n 时 ? ? 0,

? ? ?n

? ??

? H ( j?) ? 0 ? 时 ? H ( j? ) ? ? 2 时 ? H ( j? ) ? ??

可将其用折线近似为: 0,

? H ( j?) ?
2013-7-25

?

? ? 0.1?n
0.1?n ? ? ? 10?n

?? ? ? ? ? lg ? 1? , 2 ? ?n ?

?? ,

Signals & Systems

? ? 10?n

128

可见 ? 越小,相位的非线性越严重。
2013-7-25 Signals & Systems 129

第7章 采样
? 7.1 用信号样本表示连续时间信号

? 7.2 利用内插由样本重建信号
? 7.3 欠采样的效果:混叠现象

2013-7-25

Signals & Systems

130

二、采样的数学模型: 在时域:
原始信号

x(t )

抽样信号 p

x (t )

x p (t ) ? x(t ) ? p(t )
在频域:

p(t )采样函数

1 X p ( j? ) ? X ( j? ) ? P( j? ) 2?
三、冲激串采样(理想采样): 采样函数

p(t ) ?
2013-7-25

n ???

? ? (t ? nT )
Signals & Systems

?

采样间隔:T 2? ? 采样频率: s ?
T
131

x p (t ) ? x (t ) p (t )
x(t )

?
t
0

n ???

? x(nT )? (t ? nT )

?

p(t )
?2T
?T
x(?T )

t
0

T

2T

x p (t )

x(?2T )

x(T ) x(2T ) x(0)

t
?2T
2013-7-25

?T

0

T

2T
Signals & Systems 132

在频域:
2? ? 2? p(t ) ? P( j? ) ? ? ? (? ? T k ) T n ??? 1 X p ( j? ) ? X ( j? ) ? P ( j? ) 2? 1 2? ? ? X ( j? ) ? ? ? (? ? k?s ) 2? T k ???

1 ? ? ? X ( j (? ? k?s )) T k ??? 可见,在时域对连续时间信号进行理想采样,

就相当于在频域将连续时间信号的频谱以? s 为
周期进行延拓。
2013-7-25 Signals & Systems 133

?s ? 2?M

?s ? 2?M
2013-7-25 Signals & Systems 134

X p ( j? ) 理想低通滤波器

X ( j? )

低通滤波器的截止频率:

?M ? ?c ? (?s ? ?M )

2013-7-25

Signals & Systems

135

四、Nyquist 采样定理: 对带限于最高频率

?M 的连续时间信号x(t ) ,

如果以 ?s ? 2?M 的频率进行理想采样,则 x(t ) 可 以唯一的由其样本 x(nT ) 来确定。
☆★ 奈奎斯特率的求法

2013-7-25

Signals & Systems

136

五、零阶保持采样:
1

h0 (t )

x(t ) x p (t ) ?
p(t ) ?
?

1

h0 (t )
t
0 T

x0 (t )

t
0

T

n ???

? ? (t ? nT )
x0 (t )

x0 (t ) ? h0 (t ) ? xp (t )
X 0 ( j?) ? X P ( j?) H0 ( j?)
h0 (t ) ?

?

1,

0?t ?T

0, t ? 0, t ? T

H 0 ( j? ) ?
2013-7-25 Signals & Systems

2Sin ?T / 2) (

?

e

?j

?T
2

137

7.2 利用内插从样本重建信号

内插:由样本值重建某一函数的过程。

x[n] ?

重构系统

? x(t )

2013-7-25

Signals & Systems

138

f s (t )

Fs (? )

0

Ts
?c ?

t

? ?s

? ?m
1

?m ?s

?

h(t )
? Ts
卷 积

H (? )

Ts
0

t

? ?c 0

?c
F (? )

?
相 乘

f (t )

2013-7-25

0

t
Signals & Systems

? ?m 0

?m

?
139

一、理想内插:

H ( j? )

H ( j? ) ?

T
?c

?

T , ? ? ?s / 2
0, ? ? ?s / 2

??c

X ( j?) ? X P ( j?) H ( j?)
2013-7-25 Signals & Systems 140

x(t ) ? x p (t ) ? h(t ) ? ? x(nT )? (t ? nT ) ? h(t )
?
n ???

?

?

?

x(nT ) h(t ? nT )

n ??

理想内插以理想低通
滤波器的单位冲激响 应作为内插函数。

Sin ?ct T ?c Sin ?ct h(t ) ? T ? ? ?t ? ?ct

?cT Sin ?c (t ? nT ) ? x(t ) ? ? x(nT ) ? ? ?c (t ? nT ) n ???
?

当 ?c ?
2013-7-25

?s
2

?

?
T



Sin ?c (t ? nT ) x(t ) ? ? x(nT ) ?c (t ? nT ) n ???
?
Signals & Systems 141

二、零阶保持内插:
零阶保持内插的内插函数是零阶保持系统的单

位冲激响应 h0 (t ) 。
x0 (t )

x(t )

x p (t ) ?
?

1

h0 (t )
t
0 T

x0 (t )

x0 (t ) ?

n ???

? x[n]h (t ? nT )
0 s

| H0 ( j?) |

X 0 ( j?) ? X P ( j?) H0 ( j?)
2013-7-25 Signals & Systems 142

? h0 (t ) ? x p (t )

7.3 欠采样的效果—频谱混叠
一、欠采样与频谱混叠:

如果采样时,不满足采样定理的要求,就一定会
在 x(t ) 的频谱周期延拓时,出现频谱混叠的现象。 此时,即使通过理想内插也得不到原信号。但是 无论怎样,恢复所得的信号 xr (t )与原信号 x(t ) 在采 样点上将具有相同的值。

xr (nT ) ? x(nT )
2013-7-25 Signals & Systems 143

例: x(t ) ? cos?0t

?
??0
0

X ( j? )

?

x(t )的频谱 X ( j? )

?0
X p ( j? )

?

当 ?0 ? ?s ? 2?0 时,产生频谱混叠。

?? s

?

?

??s ? ?0 ?s ? ?0
0

??0

?0

?s

?

恢复的信号为

xr (t ) ? cos(? s ??0 )t
2013-7-25

?s ?? s ??0 ?0 0 ??s ? ?0 ?s ? ?0
Signals & Systems

?

X r ( j? )

?

?
144

显然当 t ? nT 时有

xr (nT ) ? cos(? s ??0 )nT
? cos ?s nT ? cos ?0nT ? Sin ?s nT ? Sin ?0nT
? cos ?0 nT ? x(nT )
?s ? 2? / T
如果 x(t ) ? cos(?0t ? ? ) ,则在上述情况下:

X r ( j? ) ? ? ?? [? ? (?s ? ?0 )] ? e ? j? ? ? [? ? (?s ? ?0 )] ? e j? ?

? xr (t ) ? cos[(?s ? ?0 )t ? ? ]
表明恢复的信号不仅频率降低,而且相位相反。
2013-7-25 Signals & Systems 145

二、欠采样在工程实际中的应用:

1. 采样示波器:

2. 频闪测速:

?s
频闪器
2013-7-25

?0

旋转圆盘

Signals & Systems

146

第9章 拉普拉斯变换
? ? ? ? ? ? ? 9.1 拉普拉斯变换 9.2 拉普拉斯变换收敛域 9.3 拉普拉斯反变换 9.5 拉普拉斯变换的性质 9.6 常用拉普拉斯变换对 9.7 用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统 9.8 系统函数的代数属性与方框图表示

2013-7-25

Signals & Systems

147

一、双边拉氏变换的定义:

X (s) ? ? x(t )e? st dt
??

?

s ? ? ? j?
X (s) |s? j? ? F{x(t )}
X (s) ? ? x(t )e e
?? ? ?? t ? j? t

dt ? ? [ x(t )e?? t ]e? j?t dt
??

?

? F [ x(t )e?? t ]
2013-7-25 Signals & Systems 148

拉氏变换收敛的必要条件:

x(t )e

?? t

绝对可积

?

??

??

x(t )e?? t dt ? ?

1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。 2. 使拉氏变换积分收敛的复数 S的集合,称为拉氏变 换的收敛域 ROC(Region of Convergence)。ROC仅 决定于S的实部。 使拉氏变换收敛的 ? 范围。

2013-7-25

Signals & Systems

149

例9.1

x(t ) ? e u (t )
? ? at ? st ?

? at

右边指 数衰减 信号

x (t)

1

X ( s ) ? ? e e dt ? ? e
0 0

? ( s ?a )t

1 dt ? s?a

0

t

j?

ROC : Re[ s] ? ?a
?a

?
0

2013-7-25

Signals & Systems

150

例9.2 x(t ) ? ?e
0

? at

u(?t )
0

左边指数增长信号 反因果信号

X ( s ) ? ? ? e e dt ? ? ? e
? at ? st ?? ??

? ( s ? a )t

1 dt ? s?a
j?

ROC : Re[ s] ? ?a
x (t )

t 0 ?1

?a

?
0

2013-7-25

Signals & Systems

151

9.2 拉氏变换的收敛域
1、ROC是 S 平面上平行于 j? 轴的带形区域。

2、在ROC内无任何极点。
3、时限信号的ROC是整个 S 平面。

2013-7-25

Signals & Systems

152

当 X ( s )是有理函数时,其ROC总是由X ( s) 的
极点分割的。ROC必然满足下列规律: 1、右边信号的ROC一定位于X ( s ) 最右边极点 的右边。 2、左边信号的ROC一定位于X ( s ) 最左边极点

的左边。 3、双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之
间的带形区域。
2013-7-25 Signals & Systems 153

部分分式法求拉氏反变换
1、将 X ( s ) 展开为部分分式: ( s ) ? ? Ai X i ?1 s ? ai 2、利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质, 对每一项进行反变换; 3、根据 X ( s ) 的ROC,确定每一项的ROC。 通过将各极点的位臵与 X ( s )的ROC进行比较,如 果 X ( s ) 的ROC落于特定极点的左侧,则选关于 该极点的左边拉氏逆变换;如果 X ( s ) 的ROC落 于特定极点的右侧,则选关于该极点的右边拉氏 逆变换。
2013-7-25 Signals & Systems 154

m

1 例:X ( s ) ? ( s ? 1)( s ? 2) 1 1 ? ? s ?1 s ? 2 三种 ROC:
(1)ROC:Re[ s] ? ?1
?2t

j?

?2

?1

?

x(t ) 是右边信号
?t

? x(t ) ? ?e u(t ) ? e u(t)
(2)ROC: s] ? ?2 Re[
?2t

x(t )是左边信号
?t

? x(t ) ? e u( ?t) ? e u( ?t)
(3)ROC:?2 ? Re[ s] ? ?1
?2t
2013-7-25

x(t )是双边信号
?t
155

? x(t ) ? ?e u(t) ? e u( ?t)
Signals & Systems

9.5 拉氏变换的性质
1、线性: 若

x1 (t ) ? X1 (s),

ROC : R1

x2 (t ) ? X 2 (s),

ROC : R2

则 ax1 (t ) ? bx2 (t ) ? aX1 ( s) ? bX 2 ( s) ROC至少是 R1 ? R2

2013-7-25

Signals & Systems

156

例2 : 求正弦函数 sin ? tu(t )和余弦函数 cos ? tu(t )的拉普拉斯变换.

e j? t ? e? j? t 解 : sin ? tu (t ) ? ? 2j e j? t ? e? j? t cos ? tu (t ) ? 2
LT

? sin ? tu (t ) ???

?
2 2

2013-7-25

s ?? s LT cos ? tu (t ) ??? 2 ,? ? 0 2 s ??
Signals & Systems

,? ? 0

157

2、时移性质: 若 x(t ) ? X ( s),
ROC : R

则 x(t ? t0 ) ? X (s)e? st0 , 3、S域平移: 若 x(t ) ? X (s),
s0t

ROC不变

ROC : R

x(t )e ? X (s ? s0 ), ROC : R ? Re[s0 ]
2013-7-25 Signals & Systems 158

例2 : 求衰减正弦函数e ??t sin ? tu(t )和衰减余弦 函数e
?? t

cos ? tu(t )的拉普拉斯变换, 实常数? ? 0.
LT

解 : sin ? tu (t ) ??? ?

?

s ?? s LT cos ? tu (t ) ??? 2 ,? ? 0 2 s ??
2 2
LT

,? ? 0

由复频移性质可得

? e sin ? tu (t ) ??? , ? ? ?? 2 2 (s ? ? ) ? ? s ?? LT ?? t e cos ? tu (t ) ??? , ? ? ?? 2 2 (s ? ? ) ? ?
?? t
2013-7-25 Signals & Systems 159

4、时域尺度变换: 若 则
x(t ) ? X (s),
1 s x(at ) ? X( ) a a
ROC : R
ROC : aR

5、共轭对称性:

若 x(t ) ? X ( s),

ROC : R 则

x? (t ) ? X ? (s? ), ROC : R

2013-7-25

Signals & Systems

160

6、卷积性质: 若 x1 (t ) ? X1 (s),
ROC : R1

x2 (t ) ? X 2 (s),

ROC : R2 则

x1 (t ) ? x2 (t ) ? X1 (s) X 2 ( s) ROC : 包括 R1 ? R2
7、时域微分: 若 x(t ) ? X ( s),
ROC : R

dx ( t ) ? sX ( s ) dt
ROC包括 R ,有可能扩大。
2013-7-25 Signals & Systems 161

s 已知f (t ) ? costu (t )的象函数F ( s) ? 2 , s ?1 试利用时域微分性质求sin tu (t )的LT .
d sin t s ? ? cos t ? 2 ? sX ( s ) dt s ?1

1 ? X ( s) ? 2 s ?1
2013-7-25 Signals & Systems 162

8、S域微分: 若

x(t ) ? X ( s),

ROC : R ROC : R

dX ( s ) , 则 ?tx(t ) ? ds
9、时域积分: 若 x(t ) ? X ( s), 则
t

ROC : R

1 ??? x(? )d? ? s X ( s)

ROC : 包括 R ? (Re[ s] ? 0)
2013-7-25 Signals & Systems 163

10、初值与终值定理: 如果 x(t ) 是因果信号,且在 t ? 0不包含奇异 函数,则 x(0? ) ? lim sX ( s ) ——初值定理
s ??

如果 x(t )是因果信号,且在 t ? 0 不包含奇异 函数, X ( s ) 除了在 s ? 0 可以有单阶极点外,其 余极点均在S平面的左半边,则

lim x(t ) ? lim sX ( s )
t ?? s ?0

——终值定理

2013-7-25

Signals & Systems

164

9.7 用拉氏变换分析与表征LTI系统
一、系统函数的概念: 如果Y ( s ) 的ROC包括 j? 轴, 以卷积特性为基础, 则 X ( s ) 和 H ( s )的ROC必定包 可以建立LTI系统的拉 氏变换分析方法,即 括 j? 轴,以 s ? j? 代入,

Y ( s) ? X ( s) ? H ( s)
系统函数 转移函数 传递函数

Y ( j? ) ? X ( j? ) ? H ( j? )

Y (s) H ( s) ? X ( s)

Y ( j? ) H ( j? ) ? X ( j? )
频率响应

其中 H ( s )是 h(t )的拉氏变换
2013-7-25 Signals & Systems

LTI系统的傅里叶分析
165

二、用系统函数表征LTI系统:
1、因果性: 如果 t ? 0 时h(t ) ? 0,则系统是因果的。 如果 t ? 0 时h(t ) ? 0 ,则系统是反因果的。

因果系统的 h(t )是右边信号,其 H ( s ) 的ROC
是最右边极点的右边。反因果系统的 h(t ) 是左 边信号, ( s ) 的ROC是最左边极点的左边。 H

反过来并不能判定系统是否因果。
只有当 H ( s )是有理函数时,逆命题才成立。
2013-7-25 Signals & Systems 166

2、稳定性: 如果系统稳定,则有 括 j? 轴。 稳定性 傅立叶变换的存在性

?

?

??

h(t ) dt ? ? 。因

此 H ( j? )必存在。意味着H ( s )的ROC必然包

综合以上两点,可以得到:因果稳定系统

的 H ( s ) ,其全部极点必须位于S平面的左半边。

2013-7-25

Signals & Systems

167

三、由LCCDE描述的LTI系统的系统函数:
d k y(t ) M d k x(t ) ? ? bk 对 ? ak 做拉氏变换,可得 k k dt dt k ?0 k ?0
N

Y ( s) H ( s) ? ? X ( s)

?b s
k ?0 N k k ?0

M

k

ak s k ?

N ( s) ? D( s)

利用Laplace变 换的微分性质

利用拉氏变换求解微分方程三步曲:

建立微分方程——取L变换——L逆变换
2013-7-25 Signals & Systems 168

H ( s )的ROC由系统的相关特性来确定:

(1)如果LCCDE具有一组全部为零的初始条件, 则 的ROC必是最右边极点的右边。 H (s)

(2)如果已知LCCDE描述的系统是因果的, 则 H ( s ) 的ROC必是最右边极点的右边。 (3)如果已知LCCDE描述的系统是稳定的, 则 H ( s ) 的ROC 必包括 j?轴。
2013-7-25 Signals & Systems 169

例9.23

dy (t ) ? 3 y (t ) ? x(t ) dt sY (s) ? 3Y (s) ? X (s)
Y ( s) 1 H ( s) ? ? X (s) s ? 3

因果:
反因果:
2013-7-25

h(t ) ? e u(t ) h(t ) ? ?e u(?t )
Signals & Systems 170

?3t

?3t

第10章 Z-变换
? ? ? ? ? ? ? 10.1 10.2 10.3 10.5 10.6 10.7 10.8 Z变换 Z变换的收敛域 Z反变换 Z变换的性质 几个常用Z变换对 利用Z变换分析和表征LTI系统 系统函数的代数属性与方框图表示

2013-7-25

Signals & Systems

171

一、双边Z变换的定义:
X ( z) ?

n ???

?

?

x[n]z ? n

z ? re
?

j?

X ( z) |z ?e j? ? F{x[n]} ? X (e j? )
X ( re j? ) ?
n ???

?

x[n]r ? n e ? j?n ? F ?x[n]r ? n ?

2013-7-25

Signals & Systems

172

n 例1. x(n) ? a u(n)

Z平面

Im 单位圆

1 X ( z) ? 1 ? az ?1

z ? a 时收敛
例3. x(n) ? ?anu(?n ? 1) Z平面 1 X ( z) ? 1 ? az ?1
ROC:
2013-7-25

a 1

Re

Im 单位圆

Re
a 1

z ? a
Signals & Systems

173

10.2 Z 变换的ROC
ROC的特征:
1. X ( z )的ROC是Z平面上以原点为中心的环

形区域。
2. 在ROC内, X ( z ) 无极点。 3. 有限长序列的ROC是整个有限Z平面(可 能不包括 z ? 0 ,或 z ? ? )。

2013-7-25

Signals & Systems

174

6. 双边序列的Z变换如果存在,则ROC必是一 个环形区域。
8. 如果x[n]的z变换X ( z)是有理的,而且若x[n]是右边序列, 则ROC就位于z平面内最外层极点的外边。

9. 如果x[n]的z变换X ( z )是有理的,而且若x[n]是左边 序列,则ROC就位于z平面内最里层的非零极点的里 边。
2013-7-25 Signals & Systems 175

Re 1 ?1 (2) ?1 (1 ? z )(1 ? 2 z ) 0 1/ 3 2 3 1 极点:z1 ? , z2 ? 2 在有限Z平面上极点 3

例3. X ( z ) ?

1

Im

零点:z ? 0 (二阶) 若其ROC为:

? 总数与零点总数相同

1 z ? 2 则 x(n) 为右边序列,且是因果的,
但其傅立叶变换不存在。
2013-7-25 Signals & Systems 176

1 时 x(n)是左边序列,且是反因果的, 2 z ? 3
其傅立叶变换不存在。
1 ? z ? 2 时 x(n) 是双边序列,其傅立叶变 3 3 换存在。

2013-7-25

Signals & Systems

177

复变量z和s的关系为:
? z ? e sT ? ? 1 ? s ? T 1nz ?

? s ? ? ? j? ? r ? e? T ?? ? j? ? z ? re ?? ? ?T

2013-7-25

Signals & Systems

178

2013-7-25

Signals & Systems

179

二、反变换的求取:

1、部分分式展开法:

步骤 :

Ai X ( z) ? ? ?1 i 1 ? ai z

1. 求出 X ( z ) 的所有极点 ai ; 2. 将 X ( z )展开为部分分式; 3. 根据总的ROC,确定每一项的ROC:

若 X ( z )的ROC是位于极点 z ? ai 的外边,则相应项的反变
换就是 Ai ai nu[n] ;若 X ( z )的ROC是位于极点 z ? ai 的里 边,则相应项的反变换就是 ? Aai nu[?n ?1] i
2013-7-25 Signals & Systems 180

例: ( z ) ? X

5 ?1 3? z 6 1 ?1 1 ?1 (1 ? z )(1 ? z ) 4 3

将 X ( z ) 展开为部分分式有:
1 2 X ( z) ? ? 1 ?1 1 ?1 1? z 1? z 4 3

1 (1) z ? : 3

ROC1

ROC2

ROC1 : | z |? 1/ 4

ROC2 :| z |? 1/ 3 1 n 1 n ? x ? n ? ? ( ) u ? n ? ? 2( ) u ? n ? 4 3
Signals & Systems 181

2013-7-25

1 1 (2) ? z ? : ROC1 : | z |? 1/ 4 4 3 ROC2 : | z |? 1/ 3

1 n 1 n ? x ? n ? ? ( ) u ? n ? ? 2( ) u ? ?n ? 1? 4 3

1 (3) z ? : 4

ROC1 :| z |? 1/ 4
ROC2 : | z |? 1/ 3

1 n 1 n ? x ? n ? ? ?( ) u ? ?n ? 1? ? 2( ) u ? ?n ? 1? 4 3
2013-7-25 Signals & Systems 182

2、幂级数展开法:(长除法) 由 X ( z )的定义,将其展开为幂级数,有

X ( z) ? ???? x(?n) z ????? x(?1) z ?
n

x(0) ? x(1) z ? x(2) z ? ??? ? x(n) z ? ???

?1

?2

?n

2013-7-25

Signals & Systems

183

? 由于右边序列的展开式中应包含无数多个Z的负幂项, 所以要按降幂长除。
?

z ? a ? z ?1

X ( z ) ? ? x( n)z ? n ? x(0) z 0 ? x(1) z ?1 ? x( 2) z ? 2 ? L
n? 0

? 由于左边序列的展开式中应包含无数多个Z的正幂项, 所以要按升幂长除。

z ?a?z

X (z) ?

n? ? ?

x( n)z ? n ? x( ?1) z 1 ? x( ?2) z 2 ? x( ?3) z 3 ? L ?

?1

? 对双边序列,先要将其分成对应信号的右边和左边 的两部分,再分别按上述原则长除。
2013-7-25 Signals & Systems 184

10.5 Z变换的性质
1、线性:

x1 (n) ? X1 ( z) x2 (n) ? X 2 ( z)

ROC : R1

ROC : R2

则 ax1 (n) ? bx2 (n) ? aX1 ( z) ? bX 2 ( z)
ROC :包括 R1 ? R2 2、时移:

若 x(n) ? X ( z)

ROC : R

则 x(n ? n0 ) ? X ( z) z ?n0

ROC : R ,在 z ? 0和 z ? ? 可能会有增删。
2013-7-25 Signals & Systems 185

3、Z域尺度变换: 若 x(n) ? X ( z )
n

ROC : R

则 z0 x(n) ? X ( z / z0 ) 4、时域反转: 若 x(n) ? X ( z)

ROC: z0 R

ROC : R

则 x(?n) ? X ( z ?1 )
5、时域内插: 若 x(n) ? X ( z)

ROC :1/ R (收敛域边界倒臵)

ROC : R
k

则 xk (n) ? X ( z )
2013-7-25 Signals & Systems

ROC: R

1

k
186

6、共轭对称性: 若 x(n) ? X ( z) 则 x* (n) ? X * ( z* ) 7、卷积性质:
ROC : R1 若 x1 (n) ? X1 ( z) x2 (n) ? X 2 ( z ) ROC : R2 则 x1 (n) ? x2 (n) ? X1 ( z) X 2 ( z) ROC包括 R1 ? R2

ROC : R ROC : R

2013-7-25

Signals & Systems

187

8、Z域微分:
ROC : R 若 x(n) ? X ( z) dX ( z ) 则 nx(n) ? ? z ROC : R dz 9、初值定理: 若 x(n )是因果信号,且 x(n) ? X ( z)

则 x(0) ? lim X ( z ) z ?? 10、终值定理 : 若 x(n )是因果信号,且 x(n) ? X ( z) , ( z ) X 除了在 z ? 1 可以有一阶极点外,其它极点均 在单位圆内,则 lim x ( n ) ? lim( z ? 1) X ( z )
2013-7-25

n ?? Signals & Systems

z ?1

188

10.7 利用Z变换分析与表征LTI系统
一、系统特性与 H ( z )的关系:
LTI系统的特性可以由 h(n)或 H (e j? ) 描述,因

而也可以由 H ( z )连同ROC来表征。

Y ( z) ? X ( z) ? H ( z)

Y ( z) H ( z) ? X ( z)

2013-7-25

Signals & Systems

189

1、因果性: 如果LTI系统是因果的,则 n ? 0 时有 h(n) ? 0, 所以 , H ( z ) 的ROC是最外部极点的外部, 并且 包括 z ? ? 。

H ( z ) ? ? h[n]z
n ?0

?

?n

若H (z)表示成z的多项式之比,分子的阶次 不能大于分母的阶次。
2013-7-25 Signals & Systems 190

2、稳定性: 若LTI系统稳定,则 ? h(n) ? ?,即 h(n) 的 DTFT存在,表明单位圆在 H ( z ) 的ROC内。 即H ( z )的ROC必包括单位圆。 因此,因果稳定的LTI系统其 H ( z ) 的全部极 点必须位于单位圆内,反之亦然。
n ??? ?

2013-7-25

Signals & Systems

191

二、LTI系统的Z变换分析法: 分析步骤: 1) 由 x (n )求得 X ( z )及其 ROC : R1 。 2) 由系统的描述求得 H ( z )及其 ROC : R2 。 3) 由 Y ( z ) ? X ( z ) H ( z ) 得出 Y ( z ) 并确定它 的ROC包括 R1 ? R2 。 4) 对 Y ( z ) 做反变换得到 y (n)。

2013-7-25

Signals & Systems

192

例10.25 1 1 y[n] ? y[n ? 1] ? x[n] ? x[n ? 1] 2 3

1 ?1 1 ?1 Y ( z) ? z Y ( z) ? X ( z) ? z X ( z) 2 3
H ( z) ? Y ( z ) ? 1 ?1 ? 1 1 1 1 ? ?1 ? z ? ? ? z ?1 X ( z ) ? 3 ? 1 ? 1 z ?1 1 ? 1 z ?1 3 1 ? 1 z ?1 2 2 2

z ?1 2

1? 1? ?1? h[n] ? ? ? u[n] ? ? ? 3? 2 ? ? 2?
n

n

n ?1

u[n ?1]
n ?1

2013-7-25

1? 1? ?1? z ? 1 2 h[n] ? ? ? ? u[?n ? 1] ? ? ? 3? 2 ? ? 2?
Signals & Systems

u[?n]
193

三、由LCCDE描述的LTI系统的 H ( z ) : 由差分方程描述的LTI系统,其方程为

? a y (n ? k ) ? ? b x (n ? k )
k ?0 k k ?0 k

N

N

对方程两边做Z变换可得:
ak z ? kY ( z ) ? ? bk z ? k X ( z ) ?
k ?0 k ?0 N N

H ( z) ?

bk z ? k ? ak z ? k ?
k ?0 k ?0 N

N

H ( z )的ROC的确定:
1、系统的因果性或稳定性 2、系统是否具有零初始条件等
Signals & Systems 194

有理函数
2013-7-25

考试情况
? ? ? ? ? 题型: 一、填空题:30×1 二、名词解释:3×2 三、证明题:4×2 (1,4) 四、计算题:7个,56分(2,3,4,5,9,10,2 个综合题)

2013-7-25

Signals & Systems

195


推荐相关:

信号与系统总结_数学_自然科学_专业资料。第一章 ? 1.2 信号的分类 重点周期信号和非周期信号,特别是周期序列;能量信号和功率信号的定义; 连续时间信号,离散时间...


信号与系统知识点总结_工学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档信号与系统知识点总结_工学_高等教育_教育专区。第一章 1 判断是能量信号,...


信号与系统试题库 22页 免费 信号与系统重点总结 195页 1下载券 清华大学信号...1.2 冲刺练习题及解析 第二章 重难点 1.信号的概念与分类 1.信号的概念与...


奥本海姆 信号与系统 第一章知识点总结_工学_高等教育_教育专区。第一章 信号与系统 一.连续时间和离散时间信号 1.两种基本类型的信号: 连续时间信号和离散时间信...


信号与系统知识点总结_理学_高等教育_教育专区。ε(k)*ε(k) = (k+1)ε...f2(k) f1(t)*f2(t) = f(t) 时域分析: 以冲激函数为基本信号,任意输入...


重庆邮电大学 信号与系统考点总结_研究生入学考试_高等教育_教育专区。第一章 信号与系统的基本概念 1.1 绪言 1.2 信号的描述及分类 1.3 典型信号 1.4 信号...


信号与系统第一章总结 1、信号的分类(1)周期信号和非周期信号 两个周期信号 ...? ? (4)抽样信号(重点) : 性质: Sa(t ) ? sint t 1 Sa?t ? 1. ...


信号与系统总结_数学_自然科学_专业资料。第一章 1.2 信号的分类 重点周期信号和非周期信号,特别是周期序列;能量信号和功率信号的定义; 连续时间信号,离散时间...


信号与系统总结15-16(1)_理学_高等教育_教育专区。信号与系统总结 ...重点掌握确定信号(重点周期信号)及线性时不变系统的特性,及因果性等判断。 第...


F (j ) a a 第二章总结这章主要学了线性时不变系统的时域求解, 主要包括了系统的零 输入响应, 零状态响应以及冲击响应。 重点介绍了卷积积分与卷积, 并...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com