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2[1].任意角的三角函数第一课时


复习回顾 在初中我们是如何定义锐角三角函数的?
P c
a

sin ? ?

O

?
b

cos? ?
tan ? ?

M

a c b c a b

新课引入

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
P
a

O y

?
b

M

x

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?

其中 : OM ? a MP ? b OP ? r ? a 2 ? b 2
y

MP b sin ? ? ? OP r
OM a cos ? ? ? OP r

﹒P?a, b?
?

MP b tan ? ? ? OM a

o


M

x

诱思探究 如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y

P?
P(a,b)


M

?
O

M?

x

M ?P? ? OP? ? OM OM ? cos ? ? OP? OP MP ? M ?P? tan ? ? OM ? OM MP sin ? ? OP

?OMP ∽ ?OM ?P?

能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢?

若OP ? r ? 1 ,则 以原点为圆心,以单位
Y

长度为半径的圆叫做 单位圆.

P(a,b)

MP sin ? ? OP
OM cos ? ? OP

?b

?
O M X

?a b MP tan ? ? ? OM a

2.任意角的三角函数定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y)
那么:(1)y 叫做

α的终边

? 的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? x ; y tan ? ,即 tan ? ? y ( x ? 0) ? (3) 叫做 的正切,记作
x
x
y

﹒ P?x, y ?
O

所以,正弦,余弦,正切都是 以角为自变量,以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数, A?1,0? 我们将他们称为三角函数. x
使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

实例剖析

1 3 例1:如图已知角α的终边与单位圆的交点是 , (? , P ) 2 2
求角α的正弦、余弦和正切值。 解:根据任意角的三角函数定义:

y
1 3 P(? , ) 2 2

3 sin ? ? 2
tan? ? ? 3

1 cos ? ? ? 2

O

x

点评:若已知角α的终边与单位圆的交点坐标,则可直接利用 定义求三角函数值。

求 5? 的正弦、余弦和正切值. 3 5? ,易知 ?AOB 解:在直角坐标系中,作?AOB ? 例2
3

的终边与单位圆的交点坐标为
5? ? 3 ? 所以 sin 3 2


y

5? 1 cos ? 3 2

5? tan ?? 3 3

1 ? 3 ( , ) 2 2



5? 3

o



A

x

﹒B
点评:若已知角α的大小,可求出角α终边与单位圆的交点, 然后再利用定义求三角函数值。

例3 已知角 弦和正切值 . 解:由已知可得

? 的终边经过点 P (?3,?4),求角 ? 的正弦、余
0

设角 ? 的终边与单位圆交于 P( x, y) , M 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP、 0 P0 P

OP0 ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5

y

OM ? ? x MP ? ? y OM0 ? 3 ?OMP ∽ ?OM 0 P0

M 0 P0 ? 4

M0

M

O
P ? x, y ?

x

P0 ?? 3,?4?

M0P y ? | MP | 4 0 于是, ? ? y ? ? sin ?? ?? ; 1 OP OP 5 0
OM 0 x ? OM 3 cos? ? x ? ? ?? ?? ; 1 OP OP 5 0 y sin ? 4 tan ? ? ? ? x cos ? 3

点评:已知角终边上异于单位圆上一点的坐标,求三角函数 值,可根据三角形相似将问题化归到单位圆上,再由定义得 解。

定义推广(由例3) 设角? 是一个任意角, ( x, y) 是终边上的任意一点, P
点 P 与原点的距离 r ? x 2 ? y 2 ? 0 y y sin ? ? 那么① 叫做 ? 的正弦,即 r r
x x ② r 叫做? 的余弦,即 cos ? ? r y ? 的正弦,即 tan ? ? y ?x ? 0? ③ x 叫做 x 任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

1:若已知任意角α的终边与单位圆的交点坐标, 则可直接利用定义求三角函数值。

设?是一个任意角?的终边与单位圆的 , 交点P( x, y), 那么:

(1) sin ? ? ___; (2) cos ? ? ___; (3) tan ? ? ___; (4) cot ? ? ___;
x 注意: ? ? 叫余切函数, cot y

y

x
x y

y x

2:若已知任意角α的终边与圆的交点坐标,则 可利用另一种定义求三角函数值。

波利亚:“回到定义去!”
y 正弦 y sin? ? r 余弦 cos? ? x r 正切 tan? ? y x 余切 x cot? ? y

O r

x P(x,y)
2 2

其中:r ? x ? y

总结:求α的三角函数值,必过的三种典型例题 1:若已知角α的终边与单位圆的交点坐标,则 可直接利用定义求三角函数值。 2:若已知角α的终边与圆的交点坐标,则可利 用另一种定义求三角函数值。 3:若已知角α的大小,可求出角α终边与单位 圆的交点,然后再利用定义求三角函数值。

探究:1.三角函数的定义域
三角函数 定义域

sin ?

R R
? ? ? ,k ?Z? ?? ? ? k? ? 2 ? ?

cos?
tan ?

2.三角函数值的符号

? ?
o

y

? ?
sin ?

x

? ? ? ? x x o o ? ? ? ?
cos?

y

y

tan ?

cot ?
y

记忆:一全二正弦, 三切四余弦

sin ?

全正

tan ?o cos ? x cot ?

4.特殊角的三角函数值
角?的度数 0
角?的 弧 度 数
?

0
0

sin?

30? 45? 60? 90? 180? 270? 360? ? ? ? ? 3? ? 2? 4 6 3 2 2
1 2
3 2
2 2 2 2

3 2

1
0

0 ?1
?1

0

cos ?
tan ?

1
0
不 存在

1 2

0
不 存在

1
0
不 存在

cot ?

3 3

1 1

不 3 存在

0
不 存在

3

3 3

0

0

练习

已知角? 的终边经过P?? 2, 3?,求? 的三个三角函数值. ?

若将P?? 2, 3?改为P?? 2a, 3a ? ?a ? 0? , ? ? 如何
求? 的三个三角函数值呢? 分 a ? 0 ,a ? 0 两种情形讨论.

已知角α 的终边经过点 正弦、余弦和正切值。

P(?

2 2 , ) ,求角α 的 2 2

已知角 求

?

的终边过点

P?? 12,5? ,

?

的三个三角函数值.

解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

??12?

2

? 52 ? 13

y 5 于是,sin ? ? ? r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12

x 12 cos ? ? ? ? r 13

1 下列各式为正号的是( C )

A cos2 C tan2?cos2

B cos2?sin2 D sin2?tan2

2 若lg(sin??tan?)有意义,则?是( C ) A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴 3 已知?的终边过点(3a-9,a+2),且cos?<0, sin?>0,则a的取值范围是 -2<a<3 。

例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时,
角 ? 为第三象限角.反之也对。

证明:

因为①式sin ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 又因为②式 tan ? ? 0 成立,所以角? 的终边可能位于 第一或第三象限. 因为①②式都成立,所以角? 的终边只能位于第三象限. 于是角 ? 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.

?sin ? ? 0 ? ? tan ? ? 0

① ②

如果两个角的终边相同,那么这两个角的

同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ?
其中

k?z

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求 0到2?

?或0?到360?? 角的三角函数值 .

例4 确定下列三角函数值的符号:

解:

? ?? sin cos (1) 250?(2)tan( ?672?)(3) ? ? ? ? 4?

(1)因为 250 ? 是第三象限角,所以cos 250 ? ? 0 ; (2)因为 tan(?672?) = tan(48? ? 2 ? 360?) ? tan48?, 而 48 ?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0 ; ? ? 是第四象限角,所以 sin? ? ? ? ? 0 . ? ? (3)因为 4? ? 4

练习 确定下列三角函数值的符号 4? 17 16
cos

?

5

?

sin( ?

?

3

)

tan( ?

?

8

?)

例5 求下列三角函数值:

9? (1) cos 4

11? ) (2) tan( ? 6

9? ? ? 2 cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? 解:(1) 4 4 4 2 11? ? ? ? 3 tan( ? ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? tan ? (2) 6 6 6 6 3
练习 求下列三角函数值

19? tan ? 3

3

31? tan( ? )? 4

1

归纳总结

1. 内容总结: ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结: 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.



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