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选修2-2第一章1.3.2函数的极值与导数学案作业


1.3.2 函数的极值与导数学案
学习目标:1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函 数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤; 学习重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤. 学习过程:一、导入新课 观察下图中 P 点附近图像从左到右的变化趋势、P 点的函数值以及点 P 位置的特点
y y=f(x) P(x1,f(x1))

Q(x2,f(x2)) o a x1 x2 x3 b x

4

二、感性认识运动员的运动过程,体会函数极值的定义. 三、数学建构

极值点的定义:

取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值, 极值指

的是函数值。 注意以下几点:(同学讨论) (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值 比较是最大或最小。并不意味着它在函数的 整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个。 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下图所示, x 1 是极大值点, x 4 是极小值点,而 f ( x 4 ) > f ( x1 ) 。

y

f ( x4 )

f ( x1 )

b 1 2 3 4 (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取 得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。

o

a

x

x

x

x

x

极值点与导数的关系:
y y
f ?( x ) ? 0
f ?( x 0 )

f ?( x ) ? 0 f ?( x ) ? 0
f ?( x 0 )

f ?( x ) ? 0

o

a

x0

b

x

o

a

x0

b

x

从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值点的方法,同时巩固导数与函数单 调性之间的关系) : 结论: x 0 左右侧导数异号
x 0 是函数 f(x)的极值点 f ? ( x 0 ) =0

反过来是否成立?各是什么条件? 点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号;点是极值点的必要不充分条 件是在这点的导数为 0. 学生活动 函数 y=f(x)的导数 y/与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数 y/由负变正,则函数 y 由减变为增,且有极大值 B、导数 y/由负变正,则函数 y 由增变为减,且有极大值 C、导数 y/由正变负,则函数 y 由增变为减,且有极小值 D、导数 y/由正变负,则函数 y 由增变为减,且有极大值 四、数学应用 例 1. (课本例 4)求 f ? x ? ? 解:
1 3 x ? 4 x ? 4 的极值
3
王新敞
奎屯 新疆

y

课堂训练:求下列函数的极值
(1 y ? ) 1 x ? x

o
(2) y ? 8 x - 12 x ? 6 x ? 1
3 2

x

让学生讨论总结求可导函数的极值的基本步骤与方法: 一般地,如果函数 y
? f ( x ) 在某个区间有导数,可以用下面方法求它的极值:

① ③

② ④

强调:要想知道 x0 是极大值点还是极小值点就必须判断 f?(x0)=0 左右侧导数的符号

例题 2(案例分析)函数 f ( x ) ? x ? ax
3

2

? bx ? a

2

在 x=1 时有极值 10,则 a,b

的值为( )

A、 a ? 3 , b ? ? 3 或 a ? ? 4 , b ? 11 B、 a ? ? 4 , b ? 1 或 a ? ? 4 , b ? 11 C、a ? ? 4 , b ? 11 D、 以上都不对 注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

练习: (感受高考)
1、 (2006 年天津卷)函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a , b ) ,导函数 f ? ( x ) 在 ( a , b ) 内的图 象如图所示,则函数 f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内有极小值点( A ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 a 注意:数形结合以及原函数与导函数图像的区别

y

y ? f ?(x)

b

O

x

2、 (2006 年北京卷)已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? cx 在
3 2

点 x 0 处取得极大值 5 ,其导函数 y ? f '( x ) 的图象经过点
(1, 0) , ( 2, 0 ) ,如图所示.求:

(Ⅰ) x 0 的值;

(Ⅱ) a , b , c 的值.

例 3 求 y=(x2-1)3+1 的极值

王新敞
奎屯

新疆

五:回顾与小结:

函数的极值与导数作业
一、选择题 1.下列说法正确的是 ( A.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极大值 )

B.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极小值 C.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极值 D.当 f(x0)为函数 f(x)的极值且 f′(x0)存在时,则有 f′(x0)=0 2.下列四个函数,在 x=0 处取得极值的函数是 ①y=x3 ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 3.函数 y=
6x 1? x
2

的极大值为





A.3 B.4 C.2 D.5 3 4.函数 y=x -3x 的极大值为 m,极小值为 n,则 m+n 为 A.0 B.1 C.2 D.4 5.函数 y ? ( x ? 1) ,当 x=-1 时
3





A.有极大值 B.有极小值 C.既无极大值也无极小值 D.无法断定 3 2 6.y=2x -3x +a 的极大值为 6,那么 a 等于 ( ) A.6 B.0 C.5 D.1 二、填空题 7.函数 f(x)=x3-3x2+7 的极大值为___________. 8.曲线 y=3x5-5x3 共有___________个极值. 9.函数 y=-x3+48x-3 的极大值为___________;极小值为___________. 10.函数 f(x)=x-
3 2
2

x 3 的极大值是___________,极小值是___________.

11. 若 函 数 y=x3+ax2+bx+27 在 x= - 1 时 有 极 大 值 , 在 x=3 时 有 极 小 值 , 则 a=___________,b=___________. 三、解答题 12.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,当 x=-1 时,取得极大值 7;当 x=3 时,取得极小值.求这 个极小值及 a、b、c 的值.

13.函数 f(x)=x+

a x

+b 有极小值 2,求 a、b 应满足的条件.

14.设 y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当 x= 数的解析式.

1 2

时,f(x)的极小值为-1,求函


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