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2011版高三数学一轮精品复习学案8.2直线与圆


版高三数学一轮精品复习学案: 2011 版高三数学一轮精品复习学案:第八章 平面解析几何
第二节 直线与圆 【高考目标定位】 一、圆的方程 (一)考纲点击 1、掌握确定圆的几何要素; 2、掌握确定圆的标准方程与一般方程。 (二)热点提示 1、能利用待定系数法求圆的标准方程和一般方程; 2、直线和圆的位置关系是考查的热点; 3、本部分在高考试题中多以选择、填空的形式出现,属中低档题目。 二、直线、圆的位置关系 (一)考纲点击 1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两 圆的位置关系; 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 (二)热点提示 1、直线与圆,圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,主要考查: (1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断; (2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围; (3)利用相切或相交求圆的切线或弦长。 2、本部分在高考试题中多为选择、填空题,有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合 问题。 【考纲知识梳理】 一、圆的方程 1.圆的定义 (1)在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 (2)确定一个圆的要素是圆心和半径。 2.圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 2 2 2 2 2

( x a ) + ( y b) = r (r > 0)

x + y + Dx + Ey + F = 0

圆心坐 标 半径

(a,b)

D F , 2 2
1 D2 + E 2 4F 2

r

2 2 2 2 注:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要条件是 D + E 4 F > 0

3.点与圆的位置关系
2 2 2 M ( x0 , y0 ) 。则: 已知圆的方程为 ( x a ) + ( y b) = r ,点

(1)点在圆上: (2)点在圆外: (3)点在圆内:

( x0 a )2 + ( y0 b)2 = r 2 ( x0 a )2 + ( y0 b)2 > r 2 ( x0 a )2 + ( y0 b)2 < r 2

; ; 。

4.确定圆的方程方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a,b,r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程。 注:用待定系数法求圆的方程时,如何根据已知条件选择圆的方程?(当条件中给出的是圆 上几点坐标,较适合用一般方程,通过解三元方程组求相应系数;当条件中给出的是圆心坐 标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件,适合用标准方程。对于有些题,设 哪种形式都可以,这就要求根据条件具体问题具体分析。 ) 二、直线、圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 公共点个数 0个 1个 2个 几何特征(圆心到直线的距离 d ,半

d >r

d =r

d <r

径r ) 代数特征(直线与圆的方程组成的方 无实数解 有两组相同实数 有两组不同实数解 程组) 解 注:在求过一定点的圆的切线方程时,应首先判断这点与圆的位置关系,若点在圆台上,则 该点为切点,切线只有一条;若点在圆外,切线应有两条,谨防漏解。 2.圆与圆的位置关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 0 1 2 1 0 公共点个数 几何特征(圆 d > R + r d = R + r Rr < d < R+r d = Rr d < Rr 心距 d ,两圆 半径 R , r ,

R>r)
代数特征(两 无实数解 个圆的方程 组成的方程 组) 【热点难点精析】 一、圆的方程 (一)圆的方程的求法 ※相关链接※ 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解

1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程,即列出关于 a、b、r 的方 程组,求 a、b、r 或直接求出圆心(a,b)和半径 r. 2.如果已知条件中圆心的位置不能确定,则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个 独立的参数,因此,必须具备三个独立的条件,才能确定圆的一般方程,其方法仍采用待定 系数法。设所求圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0( D + E 4 F > 0), 由三个条件得
2 2 2 2

到关于 D、E、F 的一个三元一次方程组,解方程组确定 D、E、F 的值。 3.以 为直径的两端点的圆的方程为

( x x1 )( x x2 ) + ( y y1 )( y y2 ) = 0
注:在求圆的方程时,常用到圆的以下必修性质: (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂直上; (3)两圆心或外切时,切点与两圆圆心三点共线。 ※例题解析※ 〖例〗求与 x 轴相切,圆心在直线 3x-y=0 上,且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7 的圆的方 程。 思路解析:由条件可设圆的标准方程求解,也可设圆的一般方程,但计算较繁琐。
2 2 2 解答: (方法一) 设所求的圆的方程是 ( x a ) + ( y b) = r ,

| a b| 2 , 则圆心(a,b)到直线 x-y=0 的距离为


2 2 即 2r = ( a b) + 14 ………………………………………………①

由于所求的圆与 x 轴相切,∴ r = b ………………………………②
2 2

又因为所求圆心在直线 3x-y=0 上, ∴3a-b=0………………………………………………………………③
2 2 联立①②③,解得 a=1,b=3, r =9 或 a=-1,b=-3, r =9. 2 2 2 2 故所求的圆的方程是: ( x 1) + ( y 3) = 9或( x + 1) + ( y + 3) = 9

(方法二)设所求的圆的方程是

=0,圆心为



半径为

令 y=0,得

=0,由圆与 x 轴相切,得⊿=0,



……④

又圆心

到直线 x-y=0 的距离为

由已知,得 即 = …………………………………………⑤

又圆心

在直线 3x-y=0 上,∴3D-E=0…………………………⑥

联立④⑤⑥,解得 D=-1,E=-6,F=1 或 D=2,E=6,F=1。 故所求圆的方程是 =0 或

(二)与圆有关的最值问题 ※相关链接※ 1. 求与圆有关的最值问题多采用几何法, 就是利用一些代数式的几何意义进行转化。 (1) 如

形如 m=

的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如 t=ax+by 的最值问 的

题,可转化为直线在 y 轴上的截距的最值问题; (3)形如 m= 最值问题,可转化为两点间的距离平方的最值问题。 2.特别要记住下面两个代数式的几何意义: 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的直线斜率, ※例题解析※
2 2 〖例〗已知实数 x 、 y 满足方程 x + y 4 x + 1 = 0 。

表示点(x,y)与原点的距离。

y (1)求 x 的最大值和最小值;
(2)求 y - x 的最大值和最小值;
2 2 (3)求 x + y 的最大值和最小值。

y y 满足的关系为 ( x 2)2 + y 2 = 3 → 理解 x , y - x , x 2 + y 2 的几何意 思路解析:化 x ,

义 → 根据几何意义分别求之。

y ( x 2)2 + y 2 = 3 ,表示以(2,0)为圆心, 3 为半径的圆, x 解答: (1)原方程可化为 y 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设 x = k ,即 y = kx 。当直线 y = kx 与圆

| 2k 0 |
2 相切时,斜率 k 取最大值或最小值,此时 k + 1

= 3

,解得 k =± 3 。

y 所以 x 的最大值为 3 ,最小值为﹣ 3
(2) y - x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,当直线 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取

|20+b| = 3 2 得最大值或最小值,此时 ,解得 b = 2 ± 6 。所以 y - x 的最大值为 2 + 6 ,最小值为 2 6 。
2 2 (3) x + y 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与

圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为

(2 0) 2 + (0 0) 2 = 2

,所

2 2 2 2 2 2 以 x + y 的最大值是 (2 + 3) = 7 + 4 3 , x + y 的最小值是 (2 3) = 7 4 3 。

(三)与圆有关的轨迹问题 ※相关链接※ 1.解决轨迹问题,应注意以下几点: (1)求方程前必须建立平面直角坐标系(若题目中有点的坐标,就无需建系) ,否则曲线就 不可转化为方程。 (2)一般地,设点时,将动点坐标设为(x,y) ,其他与此相关的点设为

( x0 , y0 )

等。

(3)求轨迹与求轨迹方程是不同的,求轨迹方程得出方程即可,而求轨迹在得出方程后还 要指出方程的曲线是什么图形。 2.求轨迹方程的一般步骤: (1)建系:设动点坐标为(x,y) ; (2)列出几何等式; (3)用坐标表示得到方程; (4)化简方程; (5)除去不合题意的点,作答。 ※例题解析※
2 2 〖例〗设定点 M(-3,4) ,动点 N 在圆 x + y = 4 上运动,以 OM、ON 为两边作平行四

边形 MONP,求点 P 的轨迹。 思路解析:先设出 P 点、N 点坐标,根据平行四边形对角线互相平分,用 P 点坐标表示 N 点坐标,代入圆的方程可求。 解答:如图所示,

x y ( x0 , y0 ) ,则线段 OP 的中点坐标为 ( 2 , 2 ) ,线段 MN 的中点坐标为 设 P(x,y) ,N ( x0 3 y0 + 4 , ) 2 2 。 因 为 平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平 分 , 故

x0 = x + 3 x x0 3 y y0 + 4 = , = , 从而 2 2 2 2 y0 = y 4

2 2 。 (x+3,y-4) N 在圆上, ( x + 3) + ( y 4) = 4 。 故

9 12 21 28 ( , )和( , ) 5 5 (点 P 因此所求轨迹为圆: ( x + 3) + ( y 4) = 4 ,担应除去两点: 5 5
2 2

在 OM 所在的直线上时的情况) 。 (四)有关圆的实际应用 〖例〗有一种大型商品,A、B 两地都有出售,有价格相同,某地居民从两地之一购得商品 后运回的费用是:A 地每公里的运费是 B 地每公里运费的 3 倍。已知 A、B 两地距离为 10 公里,顾客选择 A 地或 B 地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低。求 P 地居民选择 A 地或 B 地购物总费用相等时,点 P 所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、 曲线外的居民应如何选择购物地点? 思路解析:根据条件,建立适当坐标系,求出点 P 的轨迹方程,进而解决相关问题。 解答:如图,

以 A、 所在的直线为 x 轴, B 线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系, ∵|AB∣=10, (-5, ∴A 0) ,B(5,0) 。设 P(x,y),P 到 A、B 两地购物的运费分别是 3a、a(元/公里) 。当由 P 地 到 A、B 两地购物总费用相等时,有:价格+A 地运费=价格+B 地运费,

∴3a

( x + 5) 2 + y 2

=a

( x 5) 2 + y 2

.

化简整理,得

(x +

25 2 15 ) + y 2 = ( )2 4 4

25 15 (1)当 P 点在以(- 4 ,0)为圆心、 4 为半径的圆上时,居民到 A 地或 B 地购物总费用
相等。 (2)当 P 点在上述圆内时,

Q(x +

25 2 15 ) + y 2 < ( )2 , 4 4 25 2 15 ) + y 2 ( )2 ] < 0 4 4

∴[9( x + 5)2 + 9 y 2 ] [( x 5)2 + y 2 ] = 8[( x + ∴ 3 ( x + 5) 2 + y 2 < ( x 5) 2 + y 2 . 故此时到A地购物合算.
当 P 点在上述圆外时,

Q(x +

25 2 15 ) + y 2 > ( )2 , 4 4 25 2 15 ) + y 2 ( )2 ] > 0 4 4

∴[9( x + 5)2 + 9 y 2 ] [( x 5) 2 + y 2 ] = 8[( x + ∴ 3 ( x + 5) 2 + y 2 > ( x 5)2 + y 2 . 故此时到B地购物合算.

d<r 直线与圆相交; d>r 直线与圆相切; d=r 直线与圆相离。 ※例题解析※

⊿>0 直线与圆相交; ⊿=0 直线与圆相切; ⊿<0 直线与圆相离. (2)第二种方法是几何的观点,即将圆心到直线的距离 d 与半径 r 比较来判断,即

注:在解决实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为 数学问题解决。 二、直线、圆的位置关系 (一)直线和圆的位置关系 ※相关链接※ 直线和圆的位置关系的判定有两种方法 (1)第一种方法是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组,转化为一元 二次方程,再利用判别式⊿来讨论位置关系,即

2 2 2 〖例〗已知圆 x + y 6mx 2( m 1) y + 10m 2m 24 = 0( m ∈ R ).

(1)求证:不论 m 为何值,圆心在同一直线上;

(2)与 l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离; (3)求证:任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。 思路解析:用配方法将圆的一般方程配成标准方程,求出圆心坐标,消去 m 就得关于圆心 的坐标间的关系,就是圆心的轨迹方程;判断直线与圆相交、相切、相离,只需比较圆心到 直线的距离 d 与圆半径的大小即可;证明弦长相等时,可用几何法计算弦长。

x = 3m y = m 1 ,消去 m 解答: (1)配方得: ( x 3m) + [ y ( m 1)] = 25, 设圆心为(x,y),则
2 2

得 l : x 3 y 3 = 0, 则圆心恒在直线 l : x 3 y 3 = 0, 。 (2)设与 l 平行的直线是: x 3 y + b = 0 ,

当 5 10 3 < b < 5 10 3时,直线与圆相交; b = ±5 10 3时,直线与圆相切; b < 5 10 3或b > 5 10 3时,直线与圆相离.
(3)对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 1 : x 3 y + b = 0 ,由于圆心到直线 1 的距离

l

l

d=

|3+b | 2 2 10 (与 m 无关) 。弦长= 2 r d 且r和d 均为常量.

∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。 (二)圆与圆的位置关系 ※相关链接※ 1.判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系,一般 不采用代数法;
2 2 2.若两圆相交,则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x , y 项即可得到;

3.两圆公切线的条数(如下图)

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

(1)两圆内含时,公切线条数为 0; (2)两圆内切时,公切线条数为 1; (3)两圆相交时,公切线条数为 2; (4)两圆外切时,公切线条数为 3; (5)两圆相离时,公切线条数为 4。 因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系, 反过来知道两圆公切线的条数, 也可 以判断出两圆的位置关系。

※例题解析※ 〖例〗 求经过两圆 ( x + 3) + y = 13 和 x + ( y + 3) = 37 的交点, 且圆心在直线 x-y-4=0
2 2 2 2

上的圆的方程

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( x + 3) 2 + y 2 = 13 2 2 x + ( y + 3) = 37 得圆上两点,由圆心在直线 x-y 思路解析:根据已知,可通过解方程组
-4=0 上,三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程;也可根据已知,设所求圆的方程为

(x + 3)2 + y2 13 + λ(x2 + ( y + 3)2 37) = 0 ,再由圆心在直线 x-y-4=0 上,定出参数λ,得
圆方程 解答:因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=13 和 x2+(y+3)2=37 的交点,
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w 源k.x源源.cm /w /xc 源 源w j tyg o源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王@ 1王.c王m 王 新新 w c 2 o x k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源k.x源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 .

2 2 2 2 所以设所求圆的方程为 ( x + 3) + y 13 + λ( x + ( y + 3) 37) = 0

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新

3 2 3λ 2 4 + 28λ 9(1 + λ ) (x + ) (y + ) 2 1+ λ + 1 + λ = 1 + λ + (1 + λ ) 展开、配方、整理,得
2

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圆心为

(

3 3λ , ) 1 + λ 1 + λ ,代入方程 x-y-4=0,得λ=-7

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1 7 89 ( x + )2 + ( y + )2 = 2 2 2 故所求圆的方程为

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注:圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若圆 C1、C2 相交, 那么过两圆公共点的圆系方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ ∈R 且λ≠-1) 它表示除圆 C2 以外的所有经过两圆 C1、C2 公共点的圆 (三)圆的切线及弦长问题 ※相关链接※ 1.求圆的切线的方法 (1)求圆的切线方程一般有两种方法:
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

①代数法:设切线方程为 个一元二次方程,然后令判别式⊿=0 进而求得 k。 ②几何法:设切线方程为

与圆的方程组成方程组,消元后得到一

利用点到直线的距离公式表示出圆心到

切线的距离 d,然后令 d=r,进而求出 k。 两种方法,一般来说几何法较为简洁,可作为首选。 注:在利用点斜式求切线方程时,不要漏掉垂直于 x 轴的切线,即斜率不存在时的情况。 (2)若点

M ( x0 , y0 )

2 2 2 x x + y0 y = r 在圆 x + y = r 上,则 M 点的圆的切线方程为 0 。
2

2.圆的弦长的求法

(1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 L,则



( 2 ) 代 数 法 : 设 直 线 与 圆 相 交 于

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

两 点 , 解 方 程 组

y = kx + b 2 2 2 ( x x0 ) + ( y y0 ) = r 消 y 后得关于 x 的一元二次方程,从而求得 x1 + x2 , x1 , x2 , 则弦
长为

| AB |= (1 + k 2 )[( x1 + x2 )2 4 x1 x2 ](k为直线斜率)
(四)直线、圆位置关系的综合应用



0) 〖例〗如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, , AB 边所在直线的方程为 x 3 y 6 = 0 , 点 T ( 11) 在 AD 边所在直线上. ,

(I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 外接圆的方程;

0) (III)若动圆 P 过点 N ( 2, ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的方程.
解答: (I)因为 AB 边所在直线的方程为 x 3 y 6 = 0 ,且 AD 与 AB 垂直,

, 所以直线 AD 的斜率为 3 .又因为点 T ( 11) 在直线 AD 上,
所以 AD 边所在直线的方程为 y 1 = 3( x + 1) . 3 x + y + 2 = 0 .-----------------3 分

x 3 y 6 = 0, 3 x + y + 2 = 0 解得点 A 的坐标为 (0, 2) , (II)由
0) 因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2, .
所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又

------------4 分

-----------------6 分

AM = (2 0) 2 + (0 + 2)2 = 2 2



2 2 从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x 2) + y = 8 .----------------------9 分

(III)因为动圆 P 过点 N ,所以 所以

PN

是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, .------------------------11 分

PM = PN + 2 2

,即

PM PN = 2 2

故点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支. 因为实半轴长 a = 所以虚半轴长 b =

2 ,半焦距 c = 2 . c2 a2 = 2 .

x2 y 2 = 1( x ≤ 2) 2 . -----------------14 分 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 2
【感悟高考真题】

( x 3) + ( y 2 ) = 4 相交于 M,N 两点,若 1. (2010 江西理数)8.直线 y = kx + 3 与圆
2 2

MN ≥ 2 3
3 0 , A. 4

,则 k 的取值范围是

3 3 3 , ∞, U [ 0, ∞ ] + 4 3 3 B. C.

2 0 , D. 3

【答案】A 【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考察数形结合的运 用. 解法 1:圆心的坐标为(3.,2) ,且圆与 y 轴相切.当 | MN |= 2 3时 ,由点到直

3 [ , 0] 线距离公式,解得 4 ;
解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 不取 +∞ ,排除 B, 考虑区间不对称,排除 C,利用斜率估值,选 A 2. (2010 安徽理数)9、动点

A ( x, y )

在圆 x + y = 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,
2 2

1 3 ( , ) 12 秒旋转一周。已知时间 t = 0 时,点 A 的坐标是 2 2 ,则当 0 ≤ t ≤ 12 时,动点 A 的
纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调递增区间是 A、 9.D 【解析】画出图形,设动点 A 与 x 轴正方向夹角为 α ,则 t = 0 时

[0,1]

B、

[1, 7]

C、

[7,12]

D、

[0,1] 和 [7,12]
α= π π

3 ,每秒钟旋转 6 ,



t ∈ [ 0,1]



π π α ∈[ , ]
3 2

[7,12] 上 α ∈ [ 2 ,在
2 2

3π 7π , ] 3 ,动点 A 的纵坐标 y 关于 t 都是单调

递增的。 【方法技巧】由动点

A ( x, y )

在圆 x + y = 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,可知与

三角函数的定义类似,由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度,画出单位圆,很容易看出, 当 t 在 [0,12] 变化时,点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调性的变化,从而得 单调递增区间. 3. (2010 全国卷 2 文数) (16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两 个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦, AB = 4 ,若 OM = ON = 3 ,则两圆 圆心的距离 MN = 。 O B N ∵ ON=3,球半径为 4,∴小圆 N 的半径为 7 ,∵小圆 N 中弦长 AB=4,作 NE 垂直于 AB,∴ NE= 3 ,同理可得 ME = 3 ,在直角三角形 ONE 中,∵ E A M

【解析】3:本题考查球、直线与圆的基础知识

NE= 3 ,ON=3,∴

∠EON =

π
6 ,∴

∠MON =

π
3 ,∴ MN=3

4. (2008 江苏卷 18) 设平面直角坐标系 xoy 中, 设二次函数

f ( x ) = x2 + 2 x + b ( x ∈ R )



图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C.求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法. (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ; 令

f ( x ) = x2 + 2 x + b = 0

,由题意 b≠0 且Δ>0,解得 b<1 且 b≠0.

2 2 (Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0

令 y =0 得 x + Dx + F = 0 这与 x + 2 x + b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b .
2 2 2 令 x =0 得 y + Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1. 2 2 所以圆 C 的方程为 x + y + 2 x (b + 1) y + b = 0 .

(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) .

证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边=0 +1 +2×0-(b+1)+b=0,右边 =0, 所以圆 C 必过定点(0,1) . 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) . 【考点精题精练】 一、选择题

2

2

( x 1) + y = 1 相切,则 a 的值为( A ) 1.直线 ax + y + 1 = 0 与圆
2 2

A. 0 B. 1 C.2 D. 1 2.已知圆 C 与圆(x-1)2+y2=1 关于直线 y=-x 对称,则圆 C 的方程为(C) A.(x+1)2+y2=1 B.x2+y2=1 C.x2+(y+1)2=1 D.x2+(y-1)2=1
2 2 3. (上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科)已知圆 x + y = 1 与 x 轴的两个交点为

A 、 B ,若圆内的动点 P 使 | PA | 、 | PO | 、 | PB | 成等比数列,则 PA PB 的取值范围为
--------------( B )

1 0, (A) 2

1 ,0 (B) 2

1 ( ,0) (C) 2

(D) [ 1, 0)

2 2 4. (上海市徐汇区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科) 已知 AC , BD 为圆 O : x + y = 4 的

M 1, 2 两条互相垂直的弦, AC , BD 交于点 ,则四边形 ABCD 面积的最大值为----( B ) A4 B5
2

(

)

C6

D7 ( C )

2 5.直线 x+y+1=0 与圆 ( x 1) + y = 2 的位置关系是

A.相交

B.相离

C.相切

D.不能确定

(1,0), d =
答案:C 提示:圆心

1+ 0 +1 2

= 2=r


x = 3 + 2cos θ x = 3cos θ 与 y = 4 + 2sin θ y = 3sin θ 的位置关系是( B 6.两圆 A.内切 B.外切 C.相离 D.内含



2 2 7. 已知点 P (x, 是直线 kx + y + 4 = 0 y) (k > 0) 上一动点, PA、 是圆 C:x + y 2 y = 0 PB

的两条切线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( D



A.3
答案:D

21 B. 2 C. 2 2 D.2

8.经过圆 C : ( x + 1) + ( y 2) = 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为(A)
2 2

A. x y + 3 = 0
2

B. x y 3 = 0
2

C. x + y 1 = 0

D. x + y + 3 = 0

9. 已知圆的方程为 x + y 6 x 8 y = 0 , 设圆中过点 (2,5) 的最长弦与最短弦分别为 AB 、

CD ,则直线 AB 与 CD 的斜率之和为(B)
(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

10.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3 x + 4 y + 4 = 0 相切,则圆的方 程是( A )
2 2 2 2 A. x + y 4 x = 0 B. x + y + 4 x = 0

C. x + y 2 x 3 = 0
2 2

D. x + y + 2 x 3 = 0
2 2

11.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 相交于 P、Q 两点,且∠POQ=120°(其中 O 为原点), 则 k 的值为(A) 1 A、± 2 B、± 3 2 C、± 3 3 D、± 3

2 2 12.如图,点 P(3,4)为圆 x + y = 25 上的一点,点 E,F 为 y 轴上的两点,△PEF 是以点

P 为顶点的等腰三角形,直线 PE,PF 交圆于 D,C 两点,直线 CD 交 y 轴于点 A,则 sin∠ DAO 的值为 ( A )

2 A. 5
二、填空题

3 B. 5

4 C. 5

3 D. 4

x = 1 + cos θ , y = sin θ . 13. C: 圆 ( θ 为参数) 的圆心坐标是 圆 C 相切,则 a 的值为 0 .

(1, 0)

; 若直线 ax + y + 1 = 0 与

14.如图,点 A、B、C 是圆 O 上的点,且 AB=4, ∠ACB = 30 ,则圆 O 的面积等于 16π
o

15. 上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科) ( 已知实数 a, b, c 成等差数列, P (1,0) 点 在直线 ax + by + c = 0 上的射影是 Q,则 Q 的轨迹方程是____ x + ( y + 1) = 2 ____。
2 2

16 . ( 上 海 市 松 江 区 2010 年 4 月 高 考 模 拟 文 科 ) 已 知 直 线 l : ax + by + c = 0 与 圆

O : x 2 + y 2 = 1 相交于 A 、 B 两点, | AB |= 3 ,则 OA OB =
三、解答题



1 2

2 2 17.已知 A 是圆 x + y = 4 上任一点,AB 垂直于 x 轴,交 x 轴于点 B.以 A 为圆心、AB

为半径作圆交已知圆于 C、D,连结 CD 交 AB 于点 P. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)若(1)所求得的点 P 的轨迹为 M,过点 Q( 3 ,0)作直线 l 交轨迹 M 于 E、G 两点,O 为坐 标原点,求△EOG 的面积的最大值,并求出此时直线 l 的倾斜角. 解答:(1)设点 A 的坐标为 A(2cosα,2sinα),

则以 A 为圆心、AB 为半径的圆的方程为 (x-2cosα)2 + (y-2sinα)2 = 4sin2α.……………… 1 分 联立已知圆 x2 + y2 = 4 的方程,相减, 可得公共弦 CD 的方程为 xcosα + ysinα = 1+ cos2α. (1) ………………3 分 而 AB 的方程是 x = 2cosα. (2) 所以满足(1)、(2)的点 P 的坐标为(2cosα,sinα),消去α,即得 点 P 的轨迹方程为 x2 + 4y2 = 4. ……………… 5 分 说明: 设 A(m,n)亦可类似地解决. (2) △EOG 的最大面积为 1. ……………… 9 分 此时直线 l 的倾斜角为 45或 135. ……………… 10 分 18.设

P ( a, b )( a b ≠ 0 )



R ( a, 2 )

为坐标平面 xoy 上的点,直线 OR ( O 为坐标原点)与

抛物线

y2 =

4 x ab 交于点 Q (异于 O ).

若对任意 ab ≠ 0 ,点 Q 在抛物线 圆上,并求出该圆方程 M ; 若点

y = mx 2 + 1( m ≠ 0 )

上,试问当 m 为何值时,点 P 在某一

P(a, b) ( ab ≠ 0 )

2 2 在椭圆 x + 4 y = 1 上,试问:点 Q 能否在某一双曲线上,若能,求

出该双曲线方程,若不能,说明理由; 对(1)中点 P 所在圆方程 M ,设 A 、 B 是圆 M 上两点,且满足 是否存在一个定圆 S ,使直线 AB 恒与圆 S 相切.

OA OB = 1

,试问:

2 y= x a 2 a Q Q , b b y2 = 4 x ab ,-------------2 分 解答: (1)
2 a y = mx + 1∴ = m + 1 b b ma 2 + b 2 2b = 0 -非所问------ 4 分 代入
2
2 m = 1 时,点 P (a, b) 在圆 M : x + ( y 1) = 1 上- --------5 分 当 2

2

(2)

Q P ( a, b )

2 2 a + ( 2b ) = 1 在椭圆 x + 4 y = 1 上,即 2 2

1 a = cos θ , b = sin θ 2 ∴ 可设 -- -------------------7 分

a xQ = b ∴ 2 2 2 2 a 2 2 2 y = 2 yQ mxQ = 2 m a = 4 m 2 cos θ QQ , Q b b b, b b sin θ sin θ 又 于是 16 4m cos 2 θ = = 16 sin 2 θ sin 2 θ (令 m = 4 )
2 2 ∴ 点 Q 在双曲线 y 4 x = 16 上 ------------10 分

x 2 + ( y 1) = 1 (3)Q 圆 M 的方程为
2



AB : x = ky + λ , A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,



OA OB = 1

2 2 2 x12 + y12 x2 + y2 = 1 ( y1 1) + y12 1 ( y2 1) + y2 = 2 y1 2 y2 = 1 2 2



y1 y2 =

1 4 --------------------------12 分

x 2 + ( y 1)2 = 1 Q x = ky + 1 又
( k + 1) y + 2 ( k λ 1) y + λ = 0
2 2 2

∴ y1 y2 =


λ2
k +1
2

=

λ 1 1 = 4 k 2 + 1 2 ------------14 分

d=
又原点 O 到直线 AB 距离

λ
1+ k
2

∴d =

1 1 2 ,即原点 O 到直线 AB 的距离恒为 2

∴ 直线 AB 恒与圆

S : x2 + y 2 =

1 4 相切。


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