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函数的奇偶性知识点


函数的奇偶性
1.偶函数: 如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)就叫偶函数. 奇函数: 如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x)就叫奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴 对称 判断函数的奇偶性,包括两个必备条件:一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所 以先考虑定义域是解决问题的前提, 如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称, 那么这个函数就失去了是奇函 数或是偶函数的条件; 二是判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性 的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:(1)首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;(2)确定 f(-x)与 f(x)的关系;(3)作出相应结论. 说明:根据奇偶性,函数可划分为四类: ①偶函数 ②奇函数 ③既奇又偶函数 ④非奇非偶函数 2.偶函数的性质:○ 1 定义域关于原点对称;○ 2 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0○ 3 图象关于 y 轴对称;○ 4 在关于 原点对称的区间上具有相反的单调性。 奇函数的性质:○ 1 定义域关于原点对称;○ 2 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0;○ 3 图象关于原点对称;○ 4 在关 于原点对称的区间上具有相同的单调性;○ 5 如果 0 在 f(x)的定义域内,则一定有 f(0)=0 3.判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在 x 轴上所示的区间是否关于原点对称呢?答: 由定义知, 若 x 是定义 域内的一个元素,-x 也一定是定义域内的一个元素,所以函数 y=f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是: 定义域在 x 轴上所示的区间关于原点对称.即:如果所给函数的定义域在 x 轴上所示的区间不是关于原点对称, 这个函数一定不具有奇偶性.例如:函数 f(x)=x 在 R 上是奇函数,但在[-2,1]上既不是奇函数也不是偶函数.
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4.函数奇偶性的判断:定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。判断函数的奇偶性,首先要检验其定 义域是否关于原点对称,若关于原点对称,再严格按照奇偶性的定义或其等价形式进行推理判断.函数定义域影 响奇偶性,若首先求得定义域不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数; 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1)考查定义域是否关于原点对称; (2)考查表达式 f(-x)是否等于 f(x)或-f(x) : 若 f(-x)= - f(x) ,则 f(x)为奇函数; 若 f(-x)= f(x) ,则 f(x)为偶函数; 若 f(-x)= f(x) ,且 f(-x)=- f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数; 若 f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x) ,则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数. 5.函数奇偶性定义的理解:(1)函数的奇偶性与单调性的差异.奇偶性是函数在定义域上的对称性,单调性是反 映函数在某一区间上函数值的变化趋势. 奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的, 这一点与函数的单调性不同, 从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对定义域中的 每一个 x,都有 f(-x)=-f(x)[或 f(-x)=f(x)],才能说 f(x)是奇(偶)函数.(2)定义域关于原点对称是函数 具有奇偶性的前提条件.由函数奇偶性的定义知,若 x 是定义域中的一个数值,则-x 必然在定义域中,因此, 函数 y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称.换言之,若

所给函数的定义域不关于原点对称,则函数一定不具有奇偶性.如函数 y=2x 在(-∞,+∞)上是奇函数,但在 [-2,3] 上则无奇偶性可言.(3)既奇又偶函数的表达式是 f(x)=0,x∈A,定义域 A 是关于原点对称的非空数 集.(4)若奇函数在原点处有定义,则有 f(0)=0. 6.奇、偶函数的图象特征:(1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称 图形.反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.(2)如果一 个函数是偶函数, 则这个函数的图象关于 y 轴成轴对称图形. 反之, 如果一个函数的图象关于 y 轴成轴对称图形, 则这个函数是偶函数.(3)由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因而研究这类函数的 性质时,只需通过研究函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上的情形,便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图 象).(4)从奇、偶函数图象可以看出:奇函数在对称的两个区间上的单调性是一致的;偶函数在对称的两个区间 上的单调性是相反的. 7.设 f(x),g(x)有公共的定义域,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶, 偶×偶=偶,奇×偶=奇 例 1:判断下列函数是否具有奇偶性. 3 5 2 2 (1)f(x)=x+x +x ;(2)f(x)=x +1;(3)f(x)=x+1;(4)f(x)=x ,x∈[-1,3]. 分析:先求定义域,再判断 f(-x)与 f(x)的关系 3 5 3 5 3 5 解析:(1)函数 f(x)=x+x +x 的定义域为 R.当 x∈R,-x∈R.∵f(-x)=-x-x -x =-(x+x +x )=- 3 5 f(x).∴f(x)=x+x +x 为奇函数. 2 2 2 2 (2)函数 f(x)=x +1 的定义域为 R,当 x∈R,-x∈R.∵f(-x)=(-x) +1=x +1=f(x),∴f(x)=x +1 是偶 函数. (3)函数 f(x)=x+1 的定义域是 R,当 x∈R 时,-x∈R,∵f(-x)=-x+1=-(x-1),-f(x)=-(x+1), f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x),(x∈R)∴f(x)=x+1 既不是奇函数,也不是偶函数. 2 (4)因为函数的定义域关于原点不对称,存在 3∈[-1,3],而-3 不属于[-1,3].∴f(x)=x ,x∈[-1,3]既不 是偶函数,也不是奇函数. 例 2:判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=x +2x(奇函数) (2) f(x)= 2x +3x (偶函数)(3) f(x)= x ? 1 ? 1 ? x (既非奇函数又非偶函数)
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(4) f(x)= x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 (既是奇函数又偶函数) (6) f(x)= x ?

(5) f(x)=︱x︱(x +1) (既是奇函数又偶函数)

2

1 (既非奇函数又非偶函数) x

例 3:若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x(1-x),求当 x≥0 时,函数 f(x)的解析式. 分析:将 x<0 时,f(x)的解析式转化到 x>0 上,这是解决本题的关键. 解: 由 f(x)是奇函数, 当 x>0 时, f(x)=-f(-x)=-{(-x)[1-(-x)]}=x(1+x); 当 x=0 时, f(0)=-f(0) f(0)+ f(0)=0 2 f(0)=0 即 f(0)=0.∴当 x≥0 时,f(x)=x(1+x). 例 4:奇 函 数 f ( x ) 满 足 : ① f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 内 单 调 递 增 ; ② f ( 1 ) =0 ; 求 ( x-1 ) f ( x ) > 0 的解集 解 : 分 类 讨 论 , 当 x > 1 时 , f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 内 单 调 递 增 , 又 f ( 1 ) =0 , 则 f ( x ) > 0 , 当 0 < x < 1 时 , f ( x ) < 0 , 又 函 数 f ( x ) 为 奇 函 数 , 则 f ( -1 ) =0 且 f ( x ) 在 ( - ∞ , 0 ) 内 单 调 递 增 , 则 当 -1 < x < 0 时 , f ( x ) > 0 , 当 x < -1 时 , f ( x ) < 0 故 答 案 为 : ( - ∞ , -1 ) ∪ ( 0 , 1 ) ∪ ( 1, +∞ ) 例 5:已知 f(x)是偶函数,且在[a,b]上是减函数,试判断 f(x)在[-b,-a]上的单调性,并给出证明 解:在[-b,-a]上单调递增. 证明:任取 x1,x2,使-b≤x1<x2≤-a,∴a≤-x2<-x1≤b.∵已知 f(x)是偶函数, ∴f(x2)-f(x1)=f(-x2)-f(-x1).又∵ f(x) 在[a,b]上是减函数,∴ f(-x2)-f(-x1)>0∴f(-x2)>f(-x1). 即 f(x2)>f(x1)∴y=f(x)在[-b,-a]上单调递增


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