导学案模板选修2-1 3.1.3---1.2

青蓝工作室

高中数学

◆ 必修 3 ◆ 导学案

编写：小组名单

§3.1.3 空间向量的数量积运算
◆优效预习 （一）学习 目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两 个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问 题． （二）重点难点：
重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。 难点：.向量运算在几何证明与计算中的应用

◆高效课堂 ◎典例精析

例 1 已知：如图 3.1.6，PO，PA 分别是平面 ? 的垂线、斜
线，AO 是 PA 在平面 ? 内的摄影， l 证： l

? ? , 且 l ? OA ，求

? PA

（三）自主预习： （主要给出学生要掌握的概念与知识点）
图 3.1.6 1：什么是平面向量 a 与 b 的数量积？

2：在边长为 1 的正三角形⊿ ABC 中，求 AB ? BC . 3. 已 知 两 非 零 向 量 a , b ， 在 空 间 . 4. 已知向量 a , b ，则 叫做 a , b 的数量积，记作 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

一点 O ，作

O A? a , OB ? ，则 b ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作

a ? b ，即 a ? b ? . 5.⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？
⑵ 0?a ? （选 0 还是 0 ）

★变式 1 已知：如图 3.1.6，PO，PA 分别是平面 ? 的垂线、
斜线，AO 是 PA 在平面 ? 内的摄影， l 求证： l

⑶ 你能说出 a ? b 的几何意义吗？

? ? , 且， l ? PA

? OA

6. 空间向量数量积的性质： （1）设单位向量 e ，则 a ? e ?| a | cos ? a, e ? ． （2 ） a ? b ? a ? b ? _______. （3 ） a ? a ? _____＝____ . 7. 空间向量数量积运算律：

8.⑴ （a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 吗？举例说明.

⑵ 若 a ? b ? a ? c ，则 b ? c 吗？举例说明. 三垂线的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 ⑶ 若 a ? b ? 0 ，则 a ? 0 或 b ? 0 吗？为什么？ 一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

青蓝工作室

高中数学

◆ 必修 3 ◆ 导学案

编写：小组名单

★变式 2 用向量方法证明：已知： m, n 是平面 ? 内 的两条相交直线，直线 l 与平面 ? 的交点为 B ，且 l ? m, l ? n . 求证： l ? ? ．

图 3.1.7

小结： （自己小结）

例 2 如图 3.1.8，在空间四边形 ABCD 中， AB ? 2 ， BC ? 3 ， BD ? 2 3 ， CD ? 3 ， ?ABD ? 30 ， ?ABC ? 60 ，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
王新敞
奎屯 新疆

◎随堂练习 1. 下列命题中： ①若 a ? b ? 0 ，则 a ， b 中至少一个为 0 ②若 a ? 0 且 a ? b ? a ? c ，则 b ? c
③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a ? 4 b 正确有个数为（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个
2 2

D. 3 个

2. 已知 e1 和 e2 是两个单位向量，夹角为 与 2e2 ? e1 垂直的是（ A. e1 ? e2 C. e1 图 3.1.8 3. 已 知 向 量 ） B. e1 ? e2 D. e2

? ，则下面向量中 3

a,b

满足 a ?1 ， b ? 2 ， a ? b ? 3 ，则

a ? b ? ____.
变式：如图 3.1.9，在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，若 AB= 2 BB 1 ,则 AB 1 与 C 1 B 所成的角为（ ） A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°
4. 已知 a ? 2 2 , b ? 角大小为_____. 5. 已 知 ?ABC 中 ， ?A, ?B, ?C 所 对 的 边 为 a , b, c ， 且

2 , a ? b ? ? 2 , 则 a 与b 的夹 2

a ? 3,b ? 1, ?C ? 30? ,则 BC ? CA =
6 已知 a ? 4 ， b ? 2 ，且 a 和 b 不共线，当 a ? ? b 与

a ? ? b 的夹角是锐角时， ? 的取值范围是
图 3.1.9 图 3.1.10 7. 已知向量

.

a,b 满足

a ? 4 ， b ? 2 ， a ? b ? 3 ，则

例 3 如图 3.1.10，在平行四边形 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ? 4, AD ? 3 , AA' ? 5 , ?BAD ? 90? , ?BAA' = ?DAA' =60°,求 AC ' 的长.

a ? b ? ____

青蓝工作室

高中数学

◆ 必修 3 ◆ 导学案

编写：小组名单 A．钝角三角形 B．锐角三角形 D．不确定

§3.1.3 空间向量的数量积运算 —增效作业
◆基础巩固 一、选择题
1．若 A、B、C、D 为空间四个不同的点，则下列各式为零向 量的是 ( ）

C．直角三角形

二、填空题
9.已知空间向量 a、b、c 满足 a＋b＋c＝0，|a|＝3，

|b|＝1，|c|＝4，则 a· b＋b· c＋c· a 的值为________．
→ → → → → → 10.若AB· BE＝AB· BC，则AB与CE的位置关系为 → → → → → → 11.在空间四边形 ABCD 中，A B · C D ＋B C · A D ＋C A · BD＝ ________. 12.已知|a|＝3 2，|b|＝4，a 与 b 的夹角为 135° ，m＝a＋b，n ＝a＋λb，则 m⊥n，则 λ＝________.

① AB ? 2BC ? 2CD ? DC ② 2 AB ? 2BC ? 3CD ? 3DA ? ③ AB ? CA ? BD ④ AB ? CB ? CD ? AD A．①② B．②③ C．②④ ） C． 120° D．150° D．①④

AC

三、解答题 13..正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求证：BD1⊥平面

ACB1.

2.已知向量 a 和向量 b 的数量积为- 3，且| a |=1，| b |=2， 则向量 a 和向量 b 的夹角（ A．30° B．60°

\
[来源:学#科#网]

3.已知空间向量 a， b 满足条件： （ a +3 b）⊥（7 a -5 b） ， 且（a -4 b）⊥（7 a -2 b） ，则空间向量 a， b 的夹角＜a， b＞（ ） B．等于 45° C．等于 60° D．不确定

图 3.1.11

A．等于 30°

4.若 a，b 为非零向量，则 a· b =|a|·|b|是 a 与 b 平行的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D.不能 ) D.［0，π ］ 图 3.1.12
[来源:Z。xx。k.Com]

A.充分不必要条件 C.充要条件 A.大于 0 确定 B.

◆能力提升

5.若 a 与 b 是垂直的，则 a·b 的值一定是( C.小于 0

2. 已知线段 AB、BD 在平面 ? 内,BD⊥ AB, 线段 AC ? ? , 如果 AB＝a,BD＝b,AC＝c,求 C、D 间的距离.

6.a、b 是非零向量，则〈a，b〉的范围是 (
? A.(0， ? ) ? B.［0， ?

C.(0，π )

2 . 2 2 7.已知|a|＝2 ，|b|＝ ，a b＝- 2 ，则 a、b 所夹
的角为（ ）

A. 0

B.

? 4

C.

? 2

D.

3? 4

8. 设 A 、 B 、 C 、 D 是 空 间 不 共 面 的 四 点 ，

AB ? AC ? 0， AC ? AD ? 0， AB ? AD ? 0 ， 则
?BCD 是（ ）

青蓝工作室

高中数学

◆ 必修 3 ◆ 导学案

编写：小组名单 设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y 2 ) 则 AB ＝______________，

§3.1.4 空间向量的正交分解
及其坐标表示
◆优效预习
（一）学习目标： 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表 示； 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律； （二）重点难点： 重点：空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 难点：坐标判断两个空间向量平行。

AB

＝________________________

2.已知 a ? ( x1 , y1 ) ， b ? ( x2 , y2 ) (1) a ? b =_____________ (2) (3) ? a = ______________ （5）| a |=

则有：

a ? b =____________

(4)

a ? b =_____________

（三）自主预习： （主要给出学生要掌握的概念与知识点）
⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量 a ，均可分解为 不 共 面 的 三 个 向 量

a?a

=______________________

?1 a1 、 ?2 a2 、 ?3 a3 ， 使
，这种

（6）cos 〈a ,

b 〉=

a1 , a2 , a3 两两 a ? ?1 a1 ? ? 2 a 2? ? . a 如果 3 3
分解就是空间向量的正交分解。

a ?b | a || b |

=______________________.

⑵ 空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c、 不共面， 那么对空间任一向量

(7) a ∥ b ______________

(8) a ⊥ b _______________

p ，存在有序实数组 ?x, y, z? ，使得

p ? xa ? yb ? zc 。 ⑶ 如果三个向量 a、b、c、 不共面，那么所有空间向量
所组成的集合就是 p p ? xa ? yb ? zx，x，y，z ? R 这 个 集 合 可 看 作 是 由 向 量 a、b、c、 生成的，我们把 ___________叫做空间的一个基底，______________都叫做 基向量。 空间任何________________都可构成空间的一个基 底。

预习 1 空间向量的坐标表示:向量在空间直角坐标系中的坐 标的求法：设 A ( x1 , y1 , z1 ) ，B ( x2 , y2 , z2 ) ， 则

?

?

AB ＝______________， AB ＝___________________。

即：向量的坐标等于向量终点坐标减去起点坐标。

⑷ 设 e ，e ，e
1 2

3

为有公共起点 O 的三个两两垂直的单位

AB

=_____________________=

向量（我们称为他们为单位正交基底） ，以 e1，e2，e3 的公 共起点 O 为原点， 分别以 e1，e2，e3 的方向为 x 轴， y 轴， 的距离公式。特别地，

d

AB

，这就是空间两点间

OA ? ___________________线段 AB

z 轴的正方向建立空间

的中点坐标公式为_____________________ 归纳总结： 用向量的思想和方法推出两点间的距离公式。 2. 向量的直角坐标运算：设

a ＝ (a1 , a2 , a3 ) ， b ＝

§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
◆优效预习
（一）学习目标 1. 掌握空间向量加、减法和数乘的坐标表示； 2.掌握数量积的坐标表示； 3.能够应用空间向量的坐标表示求向量的模及夹角 （二）重点难点： 重点：向量的坐标运算；空间向量加减法和数乘的坐标表示。 难点：应用向量的坐标表示求向量长度及夹角。

(b1 , b2 , b3 ) ，则
⑴ a ? b ＝_______________；⑵ a ? b ＝_______________； ⑶λ

a ＝_______________；⑷ a ? b ___________________

3. 两个向量共线或垂直的判定： 若b

? 0 则 a / / b ? ____________ ? ____________

a ⊥ b ? ________________ ? ________________
4.向量的模长及夹角的坐标公式 设

（三）自主预习： （主要给出学生要掌握的概念与知识点）
复习 1.向量在平面直角坐标系中的坐标的求法：

a

＝

(a1 , a2 , a3 ) , b ＝ (b1 , b2 , b3 ) , 则 | a |=

a?a

青蓝工作室
=___________;cos〈 a ,

高中数学

◆ 必修 3 ◆ 导学案
=___________.

编写：小组名单

a ?b b 〉= |1 aD || b | F

所成角的余弦值； 思路启迪：根据图形特点建立空间直角坐标系，再利用空间 向量所成角的余弦公式。 解：
A1 D1 F1 E1 B1 C1

思考：当 0＜cos〈 a ,

b 〉＜1 时，夹角〈 a , b 〉的范围

____________________当-1＜cos 〈a ,

b〉 ＜0 时， 夹角 〈a ,
D C

b 〉的范围___________________
A B

当 cos 〈 ____________

a, b

〉 =0 时 ， 夹 角 〈

a

,

b

〉等于

图 3.1.13

归纳总结：通过与平面向量类比，仔细体会公式推导过 程，近而和余弦函数的值域建立联系，得到空间两向量的夹 角范围。 ◆高效课堂

★变式 2: E 是 A1B1 的一个四等分点，求证：AE∥DF1.

例 1、设 a ? (1,5, ?1), b ? (?2,3,5),
若

ka ? b ∥ a ? 3b ，求 k

★变式 3: F 是 AA1 的一个四等分点，求证 ：BF⊥DF1.

★变式 1 已知

a ? (3,0,1), b ? (k , 2, ?1),

且

a, b ?

3? 4

，求实数 k 的值

★变式 4: G 是 BB1 的一个四等分点，H 为 AA1 上的一点，若
GH⊥DF1，试确定 H 点的位置.

例 2、如图 3.1.13，在正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中，点

BE1 与 求 E1 , F1 分 别 是 A1B1 , C1D1 的 一 个 四 等 分 点 ， F 1D

青蓝工作室 ◎随堂练习
1.与 a 2.

高中数学

◆ 必修 3 ◆ 导学案

编写：小组名单 B． 点

p

关 于

平 yoz

面 对 称 的 坐 标 是

?

? ? ? ? (2,?1,2) 共线， 且满足 a ? z =-18 的 z ? ________

p2 ? x, ? y, ?z ?
C． 点 D.点

? ? ? A(1,2,1) ，B(?1,3,4) ，AP ? 2 PB ,则 OP =________

p 关于 y 轴对称点的坐标是 p3 ? x, ? y, z ?

4,1 ），C（p， 3，q) 共线，则 3.三点 A(1,5,?2) ， B(2，

p 关于原点对称点的坐标是 ? ? x, ? y, ? z ?
）

p ? ________________ q =__________________
4. 已 知

2.下列命题是真命题的是（

A(0， 2， 3）、B（- 2,1,6），C（ 1 ， - 1,5）则
? ______________。

A. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直 线，则这两个向量不是共面向量. B.若

?ABC

的面积 S

? ? ? ? 5. a ? ( x， 2,1 ），b ? (?3，x 2 ,?5) 且 a与b 的夹角为
钝角，则 X 的取值范围为_______________. 6.正方体

a ?b

，则 a,b 的长度相等而方向相同或相反. ，且

C. 若向量

AB, CD 满足 AB ? CD

AB与CD

A1 B1C1 D1 ? ABCD 的棱长为

2， E、F 分别

同向，则 AB?CD . D. 若两个非零向量

是 C1C、D1 A1 的中点，求点

A 到直线 EF 的距离。

＝0 ,则 AB与CD 满足 AB＋CD

AB ‖ CD .
3.已知点

p ? ?1,3, ?4? ，且该点在三个坐标平面 yoz 平面，

zox 平面， xoy 平面上的射影的坐标依次为 ? x1, y1, z1 ? ，

? x2 , y2 , z2 ? 和 ? x3 , y3 , z3 ? ，则（
A x1 C. 4.已知
2 2 2 ? y2 ? z3 ?0 2 2 x3 ? y12 ? z2 ?0

）
2 2 ? y3 ? z12 ? 0

B. x2

D. 以上结论都不对

P ? ?3cos? ,3sin ? ,1? 和Q ? ? 2cos ? ,2sin ? ,1? 则
PQ 的取值范围是（
） C.

§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
—增效作业
◆基础巩固
一、选择题 1.在空间直角坐标系中，已知点 P( x, y, z ) ，那么下列说法 正确 的是（ ．． A． 点 ）

A.

?0,5?

B.

?0,25?

?1,5?

D.

?1,5?

5.设 OABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上一点，且

OG=3GG1 ，若 OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为
( A.（ )

p 关于 x 轴对称的坐标是 p1 ? x, ? y, z ?

1 1 1 ， ， ） 4 4 4

B.（

3 3 3 ， ， ） 4 4 4

青蓝工作室
C.（

高中数学
D.（

◆ 必修 3 ◆ 导学案

编写：小组名单

1 1 1 ， ， ） 3 3 3

2 2 2 ， ， ） 3 3 3
)

6.已知 a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若 a， b，c 三向量共面，则实数 λ 等于( A. 62 7 63 B. 7

60 C. 7

D.

65 7

二、填空题 7. 已 知

?i, j, k?

为

单

位

正

交

基

，

且

a ? ?i ?3j ? , k

2 b?

a ? bk与向量 3i ， ?则向量 2 j?

a ? 2b 的坐标分别是______________;_________________.
8..已知 a ? (cos ? ,1,sin ? ), b ? (sin ? ,1,cos ? ), 则 向量 a ? b与a ? b 的夹角是_________ 8 9.a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且 a 与 b 的夹角的余弦为 ， 9 则 λ＝_____________. 三、解答题 10.已 a 求x?

? ? 2, 4, x ? , b ? ? 2, y, 2 ?，若 a ? 6且a ? b
y 的值.

◆能力提升 如图所示， 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中， CA=CB=1， ∠ BCA=90° ， 棱 AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点（1）求 BN 的长； （2）求 cos< BA >的值（3）求证：A1B⊥ C1M. 1 , CB 1