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导学案模板选修2-1 3.1.3---1.2


青蓝工作室

高中数学

◆ 必修 3 ◆ 导学案

编写:小组名单

§3.1.3 空间向量的数量积运算
◆优效预习 (一)学习 目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两 个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问 题. (二)重点难点:
重点:两个向量的数量积的计算方法及其应用。 难点:.向量运算在几何证明与计算中的应用

◆高效课堂 ◎典例精析

例 1 已知:如图 3.1.6,PO,PA 分别是平面 ? 的垂线、斜
线,AO 是 PA 在平面 ? 内的摄影, l 证: l

? ? , 且 l ? OA ,求

? PA

(三)自主预习: (主要给出学生要掌握的概念与知识点)
图 3.1.6 1:什么是平面向量 a 与 b 的数量积?

2:在边长为 1 的正三角形⊿ ABC 中,求 AB ? BC . 3. 已 知 两 非 零 向 量 a , b , 在 空 间 . 4. 已知向量 a , b ,则 叫做 a , b 的数量积,记作 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

一点 O ,作

O A? a , OB ? ,则 b ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作

a ? b ,即 a ? b ? . 5.⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量?
⑵ 0?a ? (选 0 还是 0 )

★变式 1 已知:如图 3.1.6,PO,PA 分别是平面 ? 的垂线、
斜线,AO 是 PA 在平面 ? 内的摄影, l 求证: l

⑶ 你能说出 a ? b 的几何意义吗?

? ? , 且, l ? PA

? OA

6. 空间向量数量积的性质: (1)设单位向量 e ,则 a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2 ) a ? b ? a ? b ? _______. (3 ) a ? a ? _____=____ . 7. 空间向量数量积运算律:

8.⑴ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 吗?举例说明.

⑵ 若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 吗?举例说明. 三垂线的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的 ⑶ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 吗?为什么? 一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

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◆ 必修 3 ◆ 导学案

编写:小组名单

★变式 2 用向量方法证明:已知: m, n 是平面 ? 内 的两条相交直线,直线 l 与平面 ? 的交点为 B ,且 l ? m, l ? n . 求证: l ? ? .

图 3.1.7

小结: (自己小结)

例 2 如图 3.1.8,在空间四边形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 3 , BD ? 2 3 , CD ? 3 , ?ABD ? 30 , ?ABC ? 60 ,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
王新敞
奎屯 新疆

◎随堂练习 1. 下列命题中: ①若 a ? b ? 0 ,则 a , b 中至少一个为 0 ②若 a ? 0 且 a ? b ? a ? c ,则 b ? c
③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a ? 4 b 正确有个数为( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个
2 2

D. 3 个

2. 已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 与 2e2 ? e1 垂直的是( A. e1 ? e2 C. e1 图 3.1.8 3. 已 知 向 量 ) B. e1 ? e2 D. e2

? ,则下面向量中 3

a,b

满足 a ?1 , b ? 2 , a ? b ? 3 ,则

a ? b ? ____.
变式:如图 3.1.9,在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,若 AB= 2 BB 1 ,则 AB 1 与 C 1 B 所成的角为( ) A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°
4. 已知 a ? 2 2 , b ? 角大小为_____. 5. 已 知 ?ABC 中 , ?A, ?B, ?C 所 对 的 边 为 a , b, c , 且

2 , a ? b ? ? 2 , 则 a 与b 的夹 2

a ? 3,b ? 1, ?C ? 30? ,则 BC ? CA =
6 已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,当 a ? ? b 与

a ? ? b 的夹角是锐角时, ? 的取值范围是
图 3.1.9 图 3.1.10 7. 已知向量

.

a,b 满足

a ? 4 , b ? 2 , a ? b ? 3 ,则

例 3 如图 3.1.10,在平行四边形 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, AB ? 4, AD ? 3 , AA' ? 5 , ?BAD ? 90? , ?BAA' = ?DAA' =60°,求 AC ' 的长.

a ? b ? ____

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◆ 必修 3 ◆ 导学案

编写:小组名单 A.钝角三角形 B.锐角三角形 D.不确定

§3.1.3 空间向量的数量积运算 —增效作业
◆基础巩固 一、选择题
1.若 A、B、C、D 为空间四个不同的点,则下列各式为零向 量的是 ( )

C.直角三角形

二、填空题
9.已知空间向量 a、b、c 满足 a+b+c=0,|a|=3,

|b|=1,|c|=4,则 a· b+b· c+c· a 的值为________.
→ → → → → → 10.若AB· BE=AB· BC,则AB与CE的位置关系为 → → → → → → 11.在空间四边形 ABCD 中,A B · C D +B C · A D +C A · BD= ________. 12.已知|a|=3 2,|b|=4,a 与 b 的夹角为 135° ,m=a+b,n =a+λb,则 m⊥n,则 λ=________.

① AB ? 2BC ? 2CD ? DC ② 2 AB ? 2BC ? 3CD ? 3DA ? ③ AB ? CA ? BD ④ AB ? CB ? CD ? AD A.①② B.②③ C.②④ ) C. 120° D.150° D.①④

AC

三、解答题 13..正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求证:BD1⊥平面

ACB1.

2.已知向量 a 和向量 b 的数量积为- 3,且| a |=1,| b |=2, 则向量 a 和向量 b 的夹角( A.30° B.60°

\
[来源:学#科#网]

3.已知空间向量 a, b 满足条件: ( a +3 b)⊥(7 a -5 b) , 且(a -4 b)⊥(7 a -2 b) ,则空间向量 a, b 的夹角<a, b>( ) B.等于 45° C.等于 60° D.不确定

图 3.1.11

A.等于 30°

4.若 a,b 为非零向量,则 a· b =|a|·|b|是 a 与 b 平行的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D.不能 ) D.[0,π ] 图 3.1.12
[来源:Z。xx。k.Com]

A.充分不必要条件 C.充要条件 A.大于 0 确定 B.

◆能力提升

5.若 a 与 b 是垂直的,则 a·b 的值一定是( C.小于 0

2. 已知线段 AB、BD 在平面 ? 内,BD⊥ AB, 线段 AC ? ? , 如果 AB=a,BD=b,AC=c,求 C、D 间的距离.

6.a、b 是非零向量,则〈a,b〉的范围是 (
? A.(0, ? ) ? B.[0, ?

C.(0,π )

2 . 2 2 7.已知|a|=2 ,|b|= ,a b=- 2 ,则 a、b 所夹
的角为( )

A. 0

B.

? 4

C.

? 2

D.

3? 4

8. 设 A 、 B 、 C 、 D 是 空 间 不 共 面 的 四 点 ,

AB ? AC ? 0, AC ? AD ? 0, AB ? AD ? 0 , 则
?BCD 是( )

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◆ 必修 3 ◆ 导学案

编写:小组名单 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 则 AB =______________,

§3.1.4 空间向量的正交分解
及其坐标表示
◆优效预习
(一)学习目标: 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表 示; 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律; (二)重点难点: 重点:空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 难点:坐标判断两个空间向量平行。

AB

=________________________

2.已知 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) (1) a ? b =_____________ (2) (3) ? a = ______________ (5)| a |=

则有:

a ? b =____________

(4)

a ? b =_____________

(三)自主预习: (主要给出学生要掌握的概念与知识点)
⑴ 空间向量的正交分解:空间的任意向量 a ,均可分解为 不 共 面 的 三 个 向 量

a?a

=______________________

?1 a1 、 ?2 a2 、 ?3 a3 , 使
,这种

(6)cos 〈a ,

b 〉=

a1 , a2 , a3 两两 a ? ?1 a1 ? ? 2 a 2? ? . a 如果 3 3
分解就是空间向量的正交分解。

a ?b | a || b |

=______________________.

⑵ 空间向量基本定理:如果三个向量 a、b、c、 不共面, 那么对空间任一向量

(7) a ∥ b ______________

(8) a ⊥ b _______________

p ,存在有序实数组 ?x, y, z? ,使得

p ? xa ? yb ? zc 。 ⑶ 如果三个向量 a、b、c、 不共面,那么所有空间向量
所组成的集合就是 p p ? xa ? yb ? zx,x,y,z ? R 这 个 集 合 可 看 作 是 由 向 量 a、b、c、 生成的,我们把 ___________叫做空间的一个基底,______________都叫做 基向量。 空间任何________________都可构成空间的一个基 底。

预习 1 空间向量的坐标表示:向量在空间直角坐标系中的坐 标的求法:设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) , 则

?

?

AB =______________, AB =___________________。

即:向量的坐标等于向量终点坐标减去起点坐标。

⑷ 设 e ,e ,e
1 2

3

为有公共起点 O 的三个两两垂直的单位

AB

=_____________________=

向量(我们称为他们为单位正交基底) ,以 e1,e2,e3 的公 共起点 O 为原点, 分别以 e1,e2,e3 的方向为 x 轴, y 轴, 的距离公式。特别地,

d

AB

,这就是空间两点间

OA ? ___________________线段 AB

z 轴的正方向建立空间

的中点坐标公式为_____________________ 归纳总结: 用向量的思想和方法推出两点间的距离公式。 2. 向量的直角坐标运算:设

a = (a1 , a2 , a3 ) , b =

§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
◆优效预习
(一)学习目标 1. 掌握空间向量加、减法和数乘的坐标表示; 2.掌握数量积的坐标表示; 3.能够应用空间向量的坐标表示求向量的模及夹角 (二)重点难点: 重点:向量的坐标运算;空间向量加减法和数乘的坐标表示。 难点:应用向量的坐标表示求向量长度及夹角。

(b1 , b2 , b3 ) ,则
⑴ a ? b =_______________;⑵ a ? b =_______________; ⑶λ

a =_______________;⑷ a ? b ___________________

3. 两个向量共线或垂直的判定: 若b

? 0 则 a / / b ? ____________ ? ____________

a ⊥ b ? ________________ ? ________________
4.向量的模长及夹角的坐标公式 设

(三)自主预习: (主要给出学生要掌握的概念与知识点)
复习 1.向量在平面直角坐标系中的坐标的求法:

a



(a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) , 则 | a |=

a?a

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=___________;cos〈 a ,

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◆ 必修 3 ◆ 导学案
=___________.

编写:小组名单

a ?b b 〉= |1 aD || b | F

所成角的余弦值; 思路启迪:根据图形特点建立空间直角坐标系,再利用空间 向量所成角的余弦公式。 解:
A1 D1 F1 E1 B1 C1

思考:当 0<cos〈 a ,

b 〉<1 时,夹角〈 a , b 〉的范围

____________________当-1<cos 〈a ,

b〉 <0 时, 夹角 〈a ,
D C

b 〉的范围___________________
A B

当 cos 〈 ____________

a, b

〉 =0 时 , 夹 角 〈

a

,

b

〉等于

图 3.1.13

归纳总结:通过与平面向量类比,仔细体会公式推导过 程,近而和余弦函数的值域建立联系,得到空间两向量的夹 角范围。 ◆高效课堂

★变式 2: E 是 A1B1 的一个四等分点,求证:AE∥DF1.

例 1、设 a ? (1,5, ?1), b ? (?2,3,5),


ka ? b ∥ a ? 3b ,求 k

★变式 3: F 是 AA1 的一个四等分点,求证 :BF⊥DF1.

★变式 1 已知

a ? (3,0,1), b ? (k , 2, ?1),



a, b ?

3? 4

,求实数 k 的值

★变式 4: G 是 BB1 的一个四等分点,H 为 AA1 上的一点,若
GH⊥DF1,试确定 H 点的位置.

例 2、如图 3.1.13,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,点

BE1 与 求 E1 , F1 分 别 是 A1B1 , C1D1 的 一 个 四 等 分 点 , F 1D

青蓝工作室 ◎随堂练习
1.与 a 2.

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◆ 必修 3 ◆ 导学案

编写:小组名单 B. 点

p

关 于

平 yoz

面 对 称 的 坐 标 是

?

? ? ? ? (2,?1,2) 共线, 且满足 a ? z =-18 的 z ? ________

p2 ? x, ? y, ?z ?
C. 点 D.点

? ? ? A(1,2,1) ,B(?1,3,4) ,AP ? 2 PB ,则 OP =________

p 关于 y 轴对称点的坐标是 p3 ? x, ? y, z ?

4,1 ),C(p, 3,q) 共线,则 3.三点 A(1,5,?2) , B(2,

p 关于原点对称点的坐标是 ? ? x, ? y, ? z ?


p ? ________________ q =__________________
4. 已 知

2.下列命题是真命题的是(

A(0, 2, 3)、B(- 2,1,6),C( 1 , - 1,5)则
? ______________。

A. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直 线,则这两个向量不是共面向量. B.若

?ABC

的面积 S

? ? ? ? 5. a ? ( x, 2,1 ),b ? (?3,x 2 ,?5) 且 a与b 的夹角为
钝角,则 X 的取值范围为_______________. 6.正方体

a ?b

,则 a,b 的长度相等而方向相同或相反. ,且

C. 若向量

AB, CD 满足 AB ? CD

AB与CD

A1 B1C1 D1 ? ABCD 的棱长为

2, E、F 分别

同向,则 AB?CD . D. 若两个非零向量

是 C1C、D1 A1 的中点,求点

A 到直线 EF 的距离。

=0 ,则 AB与CD 满足 AB+CD

AB ‖ CD .
3.已知点

p ? ?1,3, ?4? ,且该点在三个坐标平面 yoz 平面,

zox 平面, xoy 平面上的射影的坐标依次为 ? x1, y1, z1 ? ,

? x2 , y2 , z2 ? 和 ? x3 , y3 , z3 ? ,则(
A x1 C. 4.已知
2 2 2 ? y2 ? z3 ?0 2 2 x3 ? y12 ? z2 ?0


2 2 ? y3 ? z12 ? 0

B. x2

D. 以上结论都不对

P ? ?3cos? ,3sin ? ,1? 和Q ? ? 2cos ? ,2sin ? ,1? 则
PQ 的取值范围是(
) C.

§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
—增效作业
◆基础巩固
一、选择题 1.在空间直角坐标系中,已知点 P( x, y, z ) ,那么下列说法 正确 的是( .. A. 点 )

A.

?0,5?

B.

?0,25?

?1,5?

D.

?1,5?

5.设 OABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上一点,且

OG=3GG1 ,若 OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为
( A.( )

p 关于 x 轴对称的坐标是 p1 ? x, ? y, z ?

1 1 1 , , ) 4 4 4

B.(

3 3 3 , , ) 4 4 4

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C.(

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D.(

◆ 必修 3 ◆ 导学案

编写:小组名单

1 1 1 , , ) 3 3 3

2 2 2 , , ) 3 3 3
)

6.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a, b,c 三向量共面,则实数 λ 等于( A. 62 7 63 B. 7

60 C. 7

D.

65 7

二、填空题 7. 已 知

?i, j, k?

















a ? ?i ?3j ? , k

2 b?

a ? bk与向量 3i , ?则向量 2 j?

a ? 2b 的坐标分别是______________;_________________.
8..已知 a ? (cos ? ,1,sin ? ), b ? (sin ? ,1,cos ? ), 则 向量 a ? b与a ? b 的夹角是_________ 8 9.a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且 a 与 b 的夹角的余弦为 , 9 则 λ=_____________. 三、解答题 10.已 a 求x?

? ? 2, 4, x ? , b ? ? 2, y, 2 ?,若 a ? 6且a ? b
y 的值.

◆能力提升 如图所示, 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, CA=CB=1, ∠ BCA=90° , 棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点(1)求 BN 的长; (2)求 cos< BA >的值(3)求证:A1B⊥ C1M. 1 , CB 1


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