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含参数不等式的解法


含参数不等式总结 含参数不等式总结

一、通过讨论解带参数不等式 例 1: x ? x ? a ( a ? 1) > 0 :
2

例 2:关于 x 的不等式 ax + ( a ? 1) x + a ? 1 < 0 对于 x ∈ R 恒成立,求 a 的取值范围。
2

二、已知解集的参数不等式 例 3:已知集合 :
的取值范围. 三、使用变量分离方法解带参数不等式 例 4:若不等式 x +ax+1 ≥ 0 对于一切 x ∈ (0, ) 成立,则 a 的取值范围.
2

A = { x | x 2 ? 5 x + 4 ≤ 0}



B = { x | x 2 ? 2ax + a + 2 ≤ 0}

,若 B ? A ,求实数 a

例 5:设 f ( x ) = lg ?

? 1 + 2 x + L + (n ? 1) x + n x a n ?

(

1 2

)? ,其中 a 是实数,n 是任意给定的自然数 ?
?

且 n≥2,若 f ( x ) 当 x ∈ (? ∞,1] 时有意义, 求 a 的取值范围。 例 6: 已知定义在 R 上函数 f(x)为奇函数,且在 [0,+∞ ) 上是增函数,对于任意 x ∈ R 求实 数 m 范围,使 f (cos 2θ ? 3) + f (4m ? 2m cos θ ) > 0 恒成立。 思考:对于(0,3)上的一切实数 x,不等式 ( x ? 2 )m < 2 x ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范 围。如何求解? (1) 参数与变量能分离; (2) 函数的最值易求出。 分离参数法适用题型: 四、主参换位法解带参数不等式 某些含参不等式恒成立问题, 在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数 与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置, 再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果。 一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。 一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。 例 7:若对于任意 a ∈ (? 1,1] ,函数 f ( x ) = x + (a ? 4 )x + 4 ? 2a 的值恒大于 0,求 x 的
2

取值范围。 分析: 分析:此题若把它看成 x 的二次函数,由于 a, x 都要变,则函数的最小值很难求出,思路 受阻。若视 a 为主元,则给解题带来转机。 例 8:已知 ? 9 ≤ a ≤ 1 ,关于 x 的不等式: ax ? 5 x + 4 < 0 恒成立,求 x 的范围。
2

例 9: 若对一切 p ≤ 2 ,不等式 (log 2 x ) + p log 2 x + 1 > 2 log 2 x + p 恒成立,求实
2

数 x 的取值范围。 10: 例 10: 对于(0,3)上的一切实数 x,不等式 ( x ? 2 )m < 2 x ? 1 恒成立,求实数 m 的取 值范围。 分析: 分析: 一般的思路是求 x 的表达式,利用条件求 m 的取值范围。但求 x 的表达式时, 两边必须除以有关 m 的式子,涉及对 m 讨论,显得麻烦。 五、数形结合法 11: 例 11:若不等式 3 x ? log a x < 0 在 x ∈ ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。
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? 1? ? 3?

六、构建函数、猜想、归纳、证明等其他方法 构建函数、猜想、归纳、


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