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正切函数的图像和性质


正切函数的图象和性质

X

函数
y
1

y=sinx
y
1

y=cosx
??
?

图形 定义域 值域

?? 2

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

0
-1

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 2 最值 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数 2 2 单调性 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇偶性 周期 对称性 奇函数

y ?[?1,1]

x?R

x?R
y ?[?1,1]
x ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1
x?[?? ? 2k? , 2k? ]
增函数

x?[2k? , ? ? 2k? ]
偶函数

减函数

2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z

2?
对称轴: 对称中心:( ?

x ? k? , k ? Z

2

? k? , 0) k ? Z

正切函数的图像和性质
1.正切函数的定义域是什么?用区间如何表示?

思考

2.正切函数 y ? tan x 是否为周期函数?

? ? (? ? k ???? ? k ?? ?? ? ?? 2 ?

思考

由诱导公式知

? f ?x ? ? ? ? tan ?x ? ? ? ? tan x ? f ?x ?, x ? R, x ?

?
2

? k? , k ? Z

? 是它的最小正周期. ∴ y ? tan x 是周期函数,
? 思考:函数 y ? tan(2 x ? ) 的周期为多少?一般地,函数 8 y ? tan(? x ? ? )(? ? 0) 的周期是什么?

3.正切函数 y ? tan x 是否具有奇偶性?
由诱导公式知

思考

? f ?? x ? ? tan ?? x ? ? ? tan x ? ? f ?x ?, x ? R, x ?
正切函数是奇函数.

?
2

? k? , k ? Z

思考

正切函数的图象和性质

能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
T

y

o

x
(1,0)

A

x
正切线AT

o x(1,0) A
T

x

y

y
T

x

x
(1,0)

o

A
T

x

o

(1,0)

A

x

正切函数的图像和性质
由正切线的变化规律及正切函数周期性知:

? ? ? ? 正切函数在开区间 ? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z y 2 ? 2 ?
内都是增函数
O

T2

O T1

A

x

思考:正切函数在整个定义域内是增函数吗? 正切函数会不会在某一区间内是减函数?

思考:观察正切线的变化规律,说说正切函数的值域? 有没有最值? y T2

正切函数的值域是实数集R
O

没有最大值、也没有最小值

O T1

A

x

问题: 怎样得到正切函数 y

? tan x 的图象

3? 8

y

O1

? 4 ? 8
?

?

?
2

?

3? ? ? ? ? 8 4 8

O

A ?
?
8

?
8

? 4

3? 8

? 2

x

?
?

4
3? 8

利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数 ? y ? tan x, x ? R且x ? ? k? , (k ? Z )的图象 , 并把它 2 叫做正切曲线. y

?

3? 2

??

?

? 2

0

? 2

?

3? 2

x

从图中可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线

x?

?

2

? k? , (k ? Z ) 所隔的无穷多支曲线组成的.

正切函数的图像和性质
你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?y 定义域: {x | x ? 值域:

?
2

y ? tan x

? k? , k ? Z }

R

周期性: 正切函数是周期函数, 周期是 ?

? ?? 2

??

?? 2

o

? 2

?

??
2

x

奇偶性: 奇函数 tan(-x)=-tanx
单调性: 在 (?

?

2 2 内是增函数 k? 对称性: 对称中心是 ( , 0), k ? Z 2

? k? ,

?

? k? ) k ? Z

无对称轴

例1、判断下列命题的正误
(1) y ? tan x的定义域是 {x | x ?

值域为: R

?
2

? k?,k ? Z },值域是 [?1, 1]

(2) y ? tan2 x的周期是?

? y ? tan( ?x ? ? )的周期为 : T ? ?

(3)正切曲线是中心对称图形,它的对称中心是原点
k? y ? tan x的对称中心是 : ( , 0) 2

(4)正切函数在其定义域上是增函数
在(- +k?, ? k?), k ? Z是增函数 2 2

?

?

求函数y ? tan 3x的定义域.
k? ? {x | x ? ? , k ? Z} 3 6

正切函数的图象和性质
的定义域、周期和单调区间. 2 3 ? ? ? x ? ? k ? ? ,k ? Z, 解:函数的自变量 x 应满足 2 3 2 1 x ? 2k ? , k ? Z . 即 3 1 ? ? x | x ? 2 k ? , k ? Z ?. 所以,函数的定义域是 ? 3 ? ? ? ? ? ? ?? ?? f ( x ) ? tan( x ? ) ? tan( x ? ? ? ) ? tan ( x ? 2) ? ? f ( x ? 2), 由于
2 3 2 3

例2 求函数 y ? tan(

?

x?

?

)

? ?2

3? ?

因此函数的周期为2. 5 1 ? ? ? ? 由 ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z 解得 ? ? 2k ? x ? ? 2k , k ? Z . 3 3 2 2 3 2 因此,函数的单调递增区间是:

5 1 (? ? 2k , ? 2k ), k ? Z . 3 3

?? ? 变式训练 讨论函数 y ? tan ? x ? ? 的性质; 4? ? ? ? ? x ? ? x | x ? R且x ? k? ? ,k ? Z ? 1、定义域 4 ? ?
2、值域

y?R

3、单调性
4、奇偶性

5、周期性

3? ?? ? 在x ? ? k? ? , k? ? ? 上是增函数; 4 4? ? ? ? f (? x) ? tan(? x ? ) ? ? tan( x ? ) ? f ( x) 4 4 且f (? x) ? ? f ( x)是非奇非偶函数 ? ? f ( x ? ? ) ? tan( x ? ? ? ) ? tan( x ? ) ? f ( x) 4 4 最小正周期是?

例2.观察图象,写出满足下列条件的x值的范围:

(1)tan x ? 0; (2)tan x ? 0; (3)tan x ? 0
解:
y

(1) x ? (k? ,

?
2

y ? tan x

? k? )

k ?Z

(2) x ? k?
(3) x ? (?

k ?Z
? k? , k? ) k ?Z
? ?? 2
??

?
2

?? 2

o

? 2

?

??
2

x

求函数y ? tan x ? 3的定义域。

解:

y

3

T

A 0

x

求函数y ? tan x ? 3的定义域。

解:

y

3
0 ?

? x
2

3

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

例4.观察正切曲线,写出满足下列条件的x的值的范围。
(1) tanx >1 y
–?/2 0?/4 ?/2

(2)tanx? 3 y x
–?/2

1
0

x?( , ) 4 2? ? x ? (k? ? , k? ? )k ? Z 4 2

? ?

? ?? ? x ? ? k? ? , k? ? ? k ? Z 2 3? ?

? ? ?? x ??? , ? ? 2 3?

? 3

?/2

x

y

1 -3?/2 -? -?/2 0 ?/2 -1

? 3?/2

x

例5.比较下列各组数的大小 11? 13? 0 0 2. tan( ? ) 与 tan( ? ) 1 . tan167 与 tan173 4 5 11? ? 解:900<1670<1730<1800 ) ? tan( ) 解:因为 tan(? 4 4 0 0 又有y=tanx, 在(90 ,270 ) 13? 2? tan(? ) ? tan( ) 上是增函数 5 5

所以:tan1670<tan1730

又有
所以

? ? 2? ? ? ? ? ? 2 4 5 2

? 2? tan( ) ? tan( ) 4 5

即 tan(?

11? 13? ) ? tan(? ) 4 5

1 试比较tan8 和tan( 小.

28? ? ?

)的大

2 试比较tan1 tan2 tan3 tan4的 大小.

例4.判断下列函数的奇偶性:

y ? 2 ? cos x ? tan x
解: ? y ? 2 ? cos x ? tan x的定义域
? ? ? 为? x x ? k? ? ,k ? Z ?关于原点对称 2 ? ?

f (?x) ? 2 ? cos(?x) ? tan( ?x) ? f ( x)

? f ( x)为偶函数 .
说明:函数具有奇.偶性的必要条件之一是定义域 关于原点对称,故验证f(-x)=f(-x)或 f(-x)= -f(x)成立前,要先判断定义域 是否关于原点对称.

应用提升
练习1:试着画出y ?| tan x | 和y ? tan | x | 并讨论它们的单调性,周期性和奇偶性.

2.求函数y ?

tan x ? 1 3 ? tan x

的定义域

变式训练 求下列函数定义域:

cot x 1、y ? tan x ? 1 解:
? cot x ? 0 ?tan x ? 1 ? 0 ? ? x ? k? ? ? ? x ? k? ? 2 ?

?? ? ? ?? ? ? ? k? , k? ? ? ? ? k? ? , k? ? ?, k ? z 4? ? 4 2? ?

? ? ?k? ? x ? k? ? 2 ? ? ? x ? k? ? ?? 4 ? x ? k? ? ? ? x ? k? ? 2 ?

? 函数 y ? 3 tan( 2 x ? ) 的一个对称中心() 3
A.(0,0)

B.(

?

C .(?

?
6

,0 )

3 ? D.(? ,0) 3

,0 )

例题

?? ? y ? tan 3 x ? 求函数 ? ? 的定义域、值域,并指出它的 3? ?
单调性、奇偶性和周期性;

1、定义域 2、值域

3、单调性
4、奇偶性 5、周期性

1 5? ? ? x ? ? x | x ? R且x ? k? ? ,k ? Z ? 3 18 ? ? y?R ? 1 5? ? ?1 在x ? ? k? ? , k? ? ? 上是增函数; 18 3 18 ? ?3 非奇非偶函数
最小正周期是

?
3


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