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湖北省安陆市第一高级中学人教A版选修2-1课本例题习题改编


人教 A 版选修 2-1 课本例题习题改编 1. 原题(选修 2-1 第四十一页例 3)改编 已知点 A、B 的坐标分别是 A(0,-1) ,B(0,1) , 直线 AM、BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是-t,t∈(0,1].求 M 的轨迹方程,并说明 曲线的类型. 解:设 M(x,y) ,则 k BM ?

y ?1 y ? (?1) y ?1 (x≠0), k AM ? (x≠0), k BM k AM =-t, x?0 x?0 x?0

?

x2 y ? (?1) 2 =-t(x≠0),整理得 y ? ? 1(x≠0)(1)当 t∈(0,1)时,M 的轨迹为椭圆(除 1 x?0 t
在直线 l : x ? y ? 4 ? 0 上任取一点 M,过点 M 且

去 A 和 B 两点)(2)当 t=1 时,M 的轨迹为圆(除去 A 和 B 两点) ; . 2. 原题(选修 2-1 第四十七页例 7)改编 以双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的焦点为焦点作椭圆.(1)M 点在何处时,所求椭圆长轴最短; (2)求长 3

轴最短时的椭圆方程. 解:(1) a ? 1, b ? 3,? c ? a ? b ? 4. 故双曲线
2 2 2 2 2

x2 ?

y2 ? 1 的两焦点 F1 (?2,0), F2 (2,0), 过 F2 向 l 引垂直 3

‘ ‘ ‘ 线 l : y ? x ? 2 ,求出 F2 关于 l 的对称点 F 2 ,则 F 2 的

坐标为 2)如图) 直线 F1 F (4,( ,

‘ 2

的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 。

5 ? ?x ? 2 , ? x ? 3 y ? 2 ? 0, ? ∴? ,解得 ? ? x ? y ? 4 ? 0. ?y ? 3 . ? 2 ?

∴ M ( , ) 即为所

5 3 2 2

求的点.此时, MF1 ? MF2 ? MF1 ? MF ' 2 ? F1 F ' 2 = 2 10 (2)设所求椭圆方程为

[来源:学§科§网]

x2 y2 ? ? 1 ,∴ a ? 10 , c ? 2, ∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6. ∴所 a2 b2

求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 10 6
已知椭圆与双曲线 2 x ? 2 y ? 1 共
2 2

3. 原题 (选修 2-1 第四十九页习题 2.2A 组第八题) 改编

焦点,且过( 2 ,0) (1)求椭圆的标准方程. (2)求斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹方 程.
[来源:学§科§网]

x2 y 2 解: (1)依题意得,将双曲线方程标准化为 ? =1,则 c=1.∵椭圆与双曲线共焦点,∴ 1 1 2 2
设椭圆方程为

x2 y2 2 0 ,∴ 2 ? 2 =1,即 a 2 =2,∴椭圆方程 ? 2 =1,∵椭圆过( 2 ,0) 2 a a ?1 a a ?1



x2 ? y 2 =1. 2

(2)依题意,设斜率为 2 的弦所在直线的方程为 y=2x+b,弦的中点坐标为(x,y) ,则 y=2x+b 且

x2 8b 2b 4b b ∴ . x= ? 即 , y= , ? y 2 =1 得 9 x 2 ? 8bx ? 2b 2 ? 2 ? 0 , x1 ? x2 ? ? , 1 ? y2 ? y 2 9 9 9 9

1 2 2 x.令△=0, 64b ? 36(2b ? 2) ? 0 ,即 b=±3,所以斜率为 2 且与椭圆 4 4 相切的直线方程为 y=2x±3, 即当 x=± 时斜率为 2 的直线与椭圆相切. 所以平行弦得中点轨迹 3 1 4 4 方程为:y= ? x( ? ≤x≤ ) . 4 3 3
两式消掉 b 得 y= ? 4.原题(选修 2-1 第六十一页习题 2.3A 组第一题)改编

F1 、 F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1的 16 20
[来

焦点, P 在双曲线上, 点 若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9, 则点 P 到焦点 F2 的距离等于
源:学科网 ZXXK]

解:∵双曲 线

x2 y 2 ? ? 1 得:a=4,由双曲线的定义知||P F1 |-|P F2 ||=2a=8,|P F1 |=9, 16 20

∴|P F2 |=1<(不合,舍去)或|P F2 |=17,故|P F2 |=17. 5.原题(选修 2-1 第六十二页习题 2.3B 组第四题)改 编 线x ?
2

经过点 A(2,1)作直线 L 交双曲

y2 ? 1 于 P , P2 两点,求线段 P P2 的中点 P 的轨迹方程. 1 1 2

解 : 设 直 线 L 的 方 程 为 y=k ( x-2 ) +1 , 1 ) 将 ( 1 ) 式 代 入 双 曲 线 方 程 , 得 : ( ; (2) (2 ? k 2 ) x 2 ? (4k 2 ? 2k ) x ? 4k 2 ? 4k ? 3 ? 0 , ; 又设 P ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) , ,P(x,y),则 x1 , x2 必须是(2)的两个实根,所以有 1

x1 + x2 =

4k 2 ? 2k 2k 2 ? k x ? x2 ( k 2 -2≠0).按题意,x= 1 ,∴x= 2 .因为(x,y)在直线(1)上, k2 ? 2 k ?2 2

所以 y=k(x-2)+1= k (

2k 2 ? k 2(2k ? 1) .再由 x,y 的表达式相除后消去 k 而得所求轨 ? 2) +1= 2 2 k ?2 k ?2
2

1 4( y ? ) 2 8( x ? 1) 2 ? 1 ,这就是所求的轨迹方程. 迹的普通方程为 ? 7 7
6.原题(选修 2-1 第七十二页练习题 3)改编 过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与抛 物线 y ? 2 px( p ? 0) 交于不同的两点 A、B,试确定实数 a 的取值范围,使 | AB |? 2 p .
2

解:由题意,直线 l 的方程为 y ? x ? a ,将 y ? x ? a代入y ? 2 px ,得
2

x 2 ? 2(a ? p ) x ? a 2 ? 0 .
设直线 l 与抛物线的两个交点的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,
[来源:Z*xx*k.Com]



?4(a ? p ) 2 ? 4a 2 ? 0, ? ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p ), ? 2 ? x1 x 2 ? a .

又 y1 ? x1 ? a, y 2 ? x 2 ? a ,

∴ | AB |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p ( p ? 2a ) .
∴ 0?

∵ 0 ?| AB |? 2 p, 8 p ( p ? 2a ) ? 0 , 解得 ?

8 p ( p ? 2a ) ? 2 p .

[来源:Z_xx_k.Com]

p p p p ? a ? ? . 故 a ? (? ,? ] 时,有 | AB |? 2 p . 2 4 2 4
直线 l 与抛物线 y ? 2 x 相交于 A、
2

7. 原题 (选修 2-1 第七十三页习题 2.4A 组第六题) 改编 B 两点,O 为抛物线的顶点,若 OA⊥OB.则直线 l 过定点 解:设点 A,B 的坐标分别为( x1 , y1 )( x2 , y2 ) ,

(I)当直线 l 存在斜率时,设直线方程为 y=kx+b,显然 k≠0 且 b≠0. 联立方程得:

y ? kx ? b, y 2 ? 2 x 消 去 y 得 k 2 x 2 ? (2kb ? 2) x ? b 2 ? 0 , 由 题 意 : x1 x2 =

b2 , k2

y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ?

b 2 2b 2b ? 0 ,解得 b=0 , 又由 OA⊥OB 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即 2? k k k

(舍去)或 b=-2k,故直 线 l 的方程为:y=kx-2k=k(x-2) ,故直线过定点(2,0) (II)当直线 l 不存在斜率时,设它的方程为 x=m,显然 m>0,联立方程 x ? m, y ? 2 x 解得
2

y ? ? 2m ,即 y1 y2 =-2m,又由 OA⊥OB 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 m 2 ? 2m =0,解得 m=0(舍
去)或 m=2,可知直线 l 方程为:x=2,故直线过定点(2,0)综合(1) (2)可知,满足条件 的直线过定点(2,0) .

8. 原题(选修 2-1 第八十一页复习参考题 B 组第一题)改编 已知 F1、F2 分 别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点,求 16 9

?PF1 F2 的 面积.
解:依题意,可知当以 F1 或 F2 为三角形的直角顶点时,点 P 的坐标为 ? ? 7, ?

? ?

9? ? ,则点 P 4?

到 x 轴的距离为

9 7 9 ,此时 ?PF1 F2 的面积为 ;当以点 P 为三角形的直角顶点时,点 P 的 4 4

坐标为

9 7 9 7 . ? 3 ,舍去。故 ?PF1 F2 的面积为 7 4

9. 原题(选修 2-1 第八十七页例题)改编 已知 O、A、B 三点共线,且 OP ? mOA ? nOB

(m、n ? R且mn ? 0) ,则

1 4 ? 的最小值为 m n

.

解:由 O、A、B 三点共 线,且 OP ? mOA ? nOB 得, m ? n ? 1 。故

1 4 n 4m 1 4 1 4 n 4m ? ? 9 (当且 ,又 mn ? 0 ,? ? ? 5 ? 2 ? ? (m ? n) ? ( ? ) =5+ ? m n m n m n m n m n
仅当 n 2 ? 4m 2 时取等号) ,故

1 4 ? 的最小值为 9. m n


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