湖北省安陆市第一高级中学人教A版选修2-1课本例题习题改编

人教 A 版选修 2-1 课本例题习题改编 1. 原题（选修 2-1 第四十一页例 3）改编 已知点 A、B 的坐标分别是 A（0，-1） ，B（0，1） ， 直线 AM、BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是-t，t∈（0，1]．求 M 的轨迹方程，并说明 曲线的类型． 解：设 M（x，y） ，则 k BM ?

y ?1 y ? (?1) y ?1 (x≠0)， k AM ? (x≠0)， k BM k AM =-t， x?0 x?0 x?0

?

x2 y ? (?1) 2 =-t(x≠0)，整理得 y ? ? 1(x≠0)（1）当 t∈（0，1）时，M 的轨迹为椭圆（除 1 x?0 t
在直线 l ： x ? y ? 4 ? 0 上任取一点 M，过点 M 且

去 A 和 B 两点）（2）当 t=1 时，M 的轨迹为圆（除去 A 和 B 两点） ； ． 2. 原题（选修 2-1 第四十七页例 7）改编 以双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的焦点为焦点作椭圆．(1)M 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长 3

轴最短时的椭圆方程． 解：(1) a ? 1, b ? 3,? c ? a ? b ? 4. 故双曲线
2 2 2 2 2

x2 ?

y2 ? 1 的两焦点 F1 (?2,0), F2 (2,0), 过 F2 向 l 引垂直 3

‘ ‘ ‘ 线 l ： y ? x ? 2 ，求出 F2 关于 l 的对称点 F 2 ，则 F 2 的

坐标为 2）如图） 直线 F1 F （4，（ ，

‘ 2

的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 。

5 ? ?x ? 2 , ? x ? 3 y ? 2 ? 0, ? ∴? ，解得 ? ? x ? y ? 4 ? 0. ?y ? 3 . ? 2 ?

∴ M ( , ) 即为所

5 3 2 2

求的点.此时， MF1 ? MF2 ? MF1 ? MF ' 2 ? F1 F ' 2 = 2 10 (2)设所求椭圆方程为

[来源:学§科§网]

x2 y2 ? ? 1 ，∴ a ? 10 , c ? 2, ∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6. ∴所 a2 b2

求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 10 6
已知椭圆与双曲线 2 x ? 2 y ? 1 共
2 2

3. 原题 （选修 2-1 第四十九页习题 2.2A 组第八题） 改编

焦点，且过（ 2 ，0） （1）求椭圆的标准方程． （2）求斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹方 程．
[来源:学§科§网]

x2 y 2 解： （1）依题意得，将双曲线方程标准化为 ? =1，则 c=1．∵椭圆与双曲线共焦点，∴ 1 1 2 2
设椭圆方程为

x2 y2 2 0 ，∴ 2 ? 2 =1，即 a 2 =2，∴椭圆方程 ? 2 =1，∵椭圆过（ 2 ，0） 2 a a ?1 a a ?1

为

x2 ? y 2 =1． 2

（2）依题意，设斜率为 2 的弦所在直线的方程为 y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y） ，则 y=2x+b 且

x2 8b 2b 4b b ∴ ． x= ? 即 ， y= ， ? y 2 =1 得 9 x 2 ? 8bx ? 2b 2 ? 2 ? 0 ， x1 ? x2 ? ? ， 1 ? y2 ? y 2 9 9 9 9

1 2 2 x．令△=0， 64b ? 36(2b ? 2) ? 0 ，即 b=±3，所以斜率为 2 且与椭圆 4 4 相切的直线方程为 y=2x±3， 即当 x=± 时斜率为 2 的直线与椭圆相切． 所以平行弦得中点轨迹 3 1 4 4 方程为：y= ? x（ ? ≤x≤ ） ． 4 3 3
两式消掉 b 得 y= ? 4．原题（选修 2-1 第六十一页习题 2.3A 组第一题）改编

F1 、 F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1的 16 20
[来

焦点， P 在双曲线上， 点 若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9， 则点 P 到焦点 F2 的距离等于
源:学科网 ZXXK]

解：∵双曲 线

x2 y 2 ? ? 1 得：a=4，由双曲线的定义知||P F1 |-|P F2 ||=2a=8，|P F1 |=9， 16 20

∴|P F2 |=1＜（不合，舍去）或|P F2 |=17，故|P F2 |=17． 5．原题（选修 2-1 第六十二页习题 2.3B 组第四题）改 编 线x ?
2

经过点 A（2，1）作直线 L 交双曲

y2 ? 1 于 P ， P2 两点，求线段 P P2 的中点 P 的轨迹方程． 1 1 2

解 ： 设 直 线 L 的 方 程 为 y=k （ x-2 ） +1 ， 1 ） 将 （ 1 ） 式 代 入 双 曲 线 方 程 ， 得 ： （ ； （2） (2 ? k 2 ) x 2 ? (4k 2 ? 2k ) x ? 4k 2 ? 4k ? 3 ? 0 ， ； 又设 P （ x1 ， y1 ） P2 （ x2 ， y2 ） ， ，P(x，y)，则 x1 ， x2 必须是（2）的两个实根，所以有 1

x1 + x2 =

4k 2 ? 2k 2k 2 ? k x ? x2 ( k 2 -2≠0)．按题意，x= 1 ，∴x= 2 ．因为(x，y)在直线（1）上， k2 ? 2 k ?2 2

所以 y=k(x-2)+1= k (

2k 2 ? k 2(2k ? 1) ．再由 x，y 的表达式相除后消去 k 而得所求轨 ? 2) +1= 2 2 k ?2 k ?2
2

1 4( y ? ) 2 8( x ? 1) 2 ? 1 ，这就是所求的轨迹方程． 迹的普通方程为 ? 7 7
6．原题（选修 2-1 第七十二页练习题 3）改编 过动点 M（ a ，0）且斜率为 1 的直线 l 与抛 物线 y ? 2 px( p ? 0) 交于不同的两点 A、B，试确定实数 a 的取值范围，使 | AB |? 2 p ．
2

解：由题意，直线 l 的方程为 y ? x ? a ，将 y ? x ? a代入y ? 2 px ，得
2

x 2 ? 2(a ? p ) x ? a 2 ? 0 ．
设直线 l 与抛物线的两个交点的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ，
[来源:Z*xx*k.Com]

则

?4(a ? p ) 2 ? 4a 2 ? 0, ? ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p ), ? 2 ? x1 x 2 ? a .

又 y1 ? x1 ? a, y 2 ? x 2 ? a ，

∴ | AB |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p ( p ? 2a ) ．
∴ 0?

∵ 0 ?| AB |? 2 p, 8 p ( p ? 2a ) ? 0 ， 解得 ?

8 p ( p ? 2a ) ? 2 p ．

[来源:Z_xx_k.Com]

p p p p ? a ? ? ． 故 a ? (? ,? ] 时，有 | AB |? 2 p ． 2 4 2 4
直线 l 与抛物线 y ? 2 x 相交于 A、
2

7. 原题 （选修 2-1 第七十三页习题 2.4A 组第六题） 改编 B 两点，O 为抛物线的顶点，若 OA⊥OB．则直线 l 过定点 解：设点 A，B 的坐标分别为（ x1 ， y1 ）（ x2 ， y2 ） ，

（I）当直线 l 存在斜率时，设直线方程为 y=kx+b，显然 k≠0 且 b≠0． 联立方程得：

y ? kx ? b, y 2 ? 2 x 消 去 y 得 k 2 x 2 ? (2kb ? 2) x ? b 2 ? 0 ， 由 题 意 ： x1 x2 =

b2 ， k2

y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ?

b 2 2b 2b ? 0 ，解得 b=0 ， 又由 OA⊥OB 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ， 即 2? k k k

（舍去）或 b=-2k，故直 线 l 的方程为：y=kx-2k=k（x-2） ，故直线过定点（2，0） （II）当直线 l 不存在斜率时，设它的方程为 x=m，显然 m＞0，联立方程 x ? m, y ? 2 x 解得
2

y ? ? 2m ，即 y1 y2 =-2m，又由 OA⊥OB 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ，即 m 2 ? 2m =0，解得 m=0（舍
去）或 m=2，可知直线 l 方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1） （2）可知，满足条件 的直线过定点（2，0） ．

8. 原题（选修 2-1 第八十一页复习参考题 B 组第一题）改编 已知 F1、F2 分 别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点，求 16 9

?PF1 F2 的 面积.
解：依题意，可知当以 F1 或 F2 为三角形的直角顶点时，点 P 的坐标为 ? ? 7, ?

? ?

9? ? ，则点 P 4?

到 x 轴的距离为

9 7 9 ，此时 ?PF1 F2 的面积为 ；当以点 P 为三角形的直角顶点时，点 P 的 4 4

坐标为

9 7 9 7 . ? 3 ，舍去。故 ?PF1 F2 的面积为 7 4

9. 原题（选修 2-1 第八十七页例题）改编 已知 O、A、B 三点共线，且 OP ? mOA ? nOB

(m、n ? R且mn ? 0) ，则

1 4 ? 的最小值为 m n

.

解：由 O、A、B 三点共 线，且 OP ? mOA ? nOB 得， m ? n ? 1 。故

1 4 n 4m 1 4 1 4 n 4m ? ? 9 （当且 ,又 mn ? 0 ，? ? ? 5 ? 2 ? ? (m ? n) ? ( ? ) =5+ ? m n m n m n m n m n
仅当 n 2 ? 4m 2 时取等号） ，故

1 4 ? 的最小值为 9. m n