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[名校联盟]福建省长泰县第一中学2012届高三数学二轮复习专题03 函数背景下的不等式问题


函数背景下的不等式 问题

第一课时:
函数与不等式中的恒成立问题

第一课时:
函数与不等式中的恒成立问题

[课前引导]

第一课时:
函数与不等式中的恒成立问题

[课前引导]
1. 对一切实数x , f ( x ) ? x ? 4 ? x ? 2 ? a恒成立, 则实数a的取值范围是 ( )

A. ( ??,6] C. (6,??)

B. ( ??,?6) D. [6,??)

[解析] 在数轴上x、 2、 ? 4的对应点

分别为P、A、B , 则 f ( x) ? x ? 4 ? x ? 2 ? PA ? PB ? ? AB ? ?6, ? a的取值范围是( ??,?6).

[解析] 在数轴上x、 2、 ? 4的对应点

分别为P、A、B , 则 f ( x) ? x ? 4 ? x ? 2 ? PA ? PB ? ? AB ? ?6, ? a的取值范围是( ??,?6).
[答案] B

2. 对于满足0 ? p ? 4的所有实数p, 使不等式x ? px ? 4 x ? p ? 3都成立的
2

x的取值范围是 ( )
A. ( 3,??) C. ( ??,?1) ? ( 3,??) D. ( ??,?1] ? [3,??) B. ( ??,?1)

[解析] 由已知有( x ? 1) p ? x ? 4 x ? 3 ? 0
2

令f ( p ) ? ( x ? 1) p ? x ? 4 x ? 3,由已知有
2

? f ( 0) ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ? ? 2 ? f (4) ? 4( x ? 1) ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ?
2

解之得:x ? ?1或x ? 3.

[解析] 由已知有( x ? 1) p ? x ? 4 x ? 3 ? 0
2

令f ( p ) ? ( x ? 1) p ? x ? 4 x ? 3,由已知有
2

? f ( 0) ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ? ? 2 ? f (4) ? 4( x ? 1) ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ?
2

解之得:x ? ?1或x ? 3.
[答案] C

[链接高考]

[链接高考]
) [例1] ( 2005年辽宁高考题 在R上定义 运算? : x ? y ? x(1 ? y ), 若不等式( x ? a ) ? ( x ? a ) ? 1对任意实数x成立, 则 ( )
A. ? 1 ? a ? 1 1 3 C. ? ? a ? 2 2 B. 0 ? a ? 2 3 1 D. ? ? a ? 2 2

[解析] 由( x ? a )(1 ? x ? a ) ? 1得 :

a ? a ? 1 ? x ? x.
2 2

1 ? ( x ? x )min ? ? , 4 1 1 3 2 故a ? a ? 1 ? ? , 即 ? ? a ? , 4 2 2 故选C.
2

) [例2] ( 2005年天津市高考题 已知 m ? R, 设命题p : x1和x 2是方程x ? ax ?
2

2 ? 0的两个实根, 不等式 m ? 5m ? 3 ?
2

x1 ? x 2 对任意实数a ? [?1,1]恒成立, 求 使p正确的m的取值范围 .

) [例2] ( 2005年天津市高考题 已知 m ? R, 设命题p : x1和x 2是方程x ? ax ?
2

2 ? 0的两个实根, 不等式 m ? 5m ? 3 ?
2

x1 ? x 2 对任意实数a ? [?1,1]恒成立, 求 使p正确的m的取值范围 .
[解析] 由题意x1和x2是方程

x ? ax ? 2 ? 0的两个实根得:
2

x1 ? x 2 ? a且x1 x 2 ? ?2, ? x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2

? a ? 8.
2

当a ? [?1,1]时, a ? 8的最大值为 , 9
2

即 x1 ? x 2 ? 3. 由题意, 不等式 m ? 5m ? 3 ? x1 ? x 2
2

对任意实数a ? [?1,1]恒成立的m的解 集等于不等式m ? 5m ? 3 ? 3的解集,
2

由此不等式得: m ? 5m ? 3 ? 3或
2

m ? 5m ? 3 ? ?3. 解得m ? ?1或0 ? m ? 5或m ? 6时,
2

p是正确的.

) [例3] (2004年天津高考题 已知函数 f ( x ) ? ax ? cx ? d (a ? 0)是R上的奇函 数 , 当x ? 1时, f ( x )取得极值 ? 2. (1) 求f ( x )的单调区间和极大值; ( 2) 证明对任意x1 , x 2 ? ( ?1,1), 不等
3

式 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4恒成立.

) [例3] (2004年天津高考题 已知函数 f ( x ) ? ax ? cx ? d (a ? 0)是R上的奇函 数 , 当x ? 1时, f ( x )取得极值 ? 2. (1) 求f ( x )的单调区间和极大值; ( 2) 证明对任意x1 , x 2 ? ( ?1,1), 不等
3

式 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4恒成立.
[解析] (1)由奇函数的定义 应有 ,

f ( ? x ) ? ? f ( x ), x ? R.

即 ? ax ? cx ? d ? ?ax ? cx ? d ,? d ? 0.
3 3

因此f ( x ) ? ax ? cx , f ' ( x ) ? 3ax ? c .
3 2

由条件f (1) ? ?2为f ( x )的极值, ?a ? c ? ? 2 必有f ' ( x ) ? 0, 故 ? , ?3a ? c ? 0 解得:a ? 1, c ? ?3, 因此f ( x ) ? x ? 3 x .
3

f ' ( x ) ? 3 x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1), f ' ( ?1) ? f ' (1) ? 0
2

当x ? ( ??,?1)时, f ' ( x ) ? 0, 故f ( x )在单调区间 ??,?1)上递增; ( 当x ? ( ?1,1)时, f ' ( x ) ? 0, 故 f ( x )在单调区间 ?1,1)上递减; ( 当x ? (1,??)时, f ' ( x ) ? 0, 故 f ( x )在单调区间 1,??)上递增. (

? f ( x )在x ? ?1时f ( x )取得极大值 为f ( ?1) ? ?2.

? f ( x )在x ? ?1时f ( x )取得极大值 为f ( ?1) ? ?2. 3 ( 2)由(1)知f ( x ) ? x ? 3 x( x ? [?1,1]) 是减函数, 且f ( x )在[?1,1]上的最大值M ? f ( ?1) ? 2, f ( x )在[?1,1]上的最小值m ? f (1) ? ?2. ? 对任意的x1、x 2 ? ( ?1,1)
恒有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? M ? m ? 2 ? ( ?2) ? 4.

) [例4] ( 2004年福建高考题 已知f ( x ) 2 3 ? 4 x ? ax ? x ( x ? R )在区间[?1,1] 3 上是增函数. (1) 求实数a的值组成的集合 ; A 1 3 ( 2) 设关于x的方程f ( x ) ? 2 x ? x 3 的两个非零实数根为 1、x 2 , 试问:是 x
2

否存在实数m , 使得不等式m ? tm ? 1 ? x1 ? x 2 对任意a ? A及t ? [?1,1]也成立?
2

若存在, 求m 的取值范围, 若不存在, 请说 明理由.

否存在实数m , 使得不等式m ? tm ? 1 ? x1 ? x 2 对任意a ? A及t ? [?1,1]也成立?
2

若存在, 求m 的取值范围, 若不存在, 请说 明理由.
[解析] (1) f ' ( x ) ? 4 ? 2ax ? 2 x
2

? f ( x )在[?1,1]上是增函数, ? f ' ( x ) ? 0对x ? [?1,1]恒成立. 即x ? ax ? 2 ? 0对x ? [?1,1]恒成立
2

1

设? ( x ) ? x ? ax ? 2 ?a ? ?0 1 ? ?2 ?? ( ?1) ? 1 ? a ? 2 ? 0 ? ?a ? ?0 或? 2 ? 0?a ?1 ?? (1) ? 1 ? a ? 2 ? 0 ? 或 ? 1 ? a ? 0 ? ?1 ? a ? 1.
2

? 对x ? [?1,1], 只有当a ? 1时, f ' ( ?1) ? 0 以及当a ? ?1时, f ' (1) ? 0, ? A ? {a | ?1 ? a ? 1}.

? 对x ? [?1,1], 只有当a ? 1时, f ' ( ?1) ? 0 以及当a ? ?1时, f ' (1) ? 0, ? A ? {a | ?1 ? a ? 1}. 2 3 1 3 2 ( 2)由4 x ? ax ? x ? 2 x ? x , 3 3 2 得 : x ? 0或x ? ax ? 2 ? 0.
? ? ? a ? 8 ? 0, ? x1 , x 2是方程 x ? ax
2 2

? 2 ? 0的两个非零实根 .

? x1 ? x 2 ? a ? 2 ?? , 从而 x1 ? x 2 ? a ? 8 ? 3. ? x1 x 2 ? ?2 ? 要使不等式m ? tm ? 1 ? x1 ? x 2 对任意
2

a ? A及t ? [?1,1]恒成立, 当且仅当m ?
2

tm ? 1 ? 3对任意t ? [?1,1]恒成立. 即 m ? tm ? 2 ? 0对任意t ? [?1,1]恒成立 2
2

[法一] 设g ( t ) ? m ? tm ? 2
2

? g( ?1) ? m ? m ? 2 ? 0 2 ?? 2 ? g(1) ? m ? m ? 2 ? 0 ? m ? 2或m ? ?2. ? 存在实数m , 使
2

不等式m ? tm ? 1 ? x1 ? x 2 对任意
2

a ? A及t ? [?1,1]恒成立, 其取值范围 是{m | m ? 2或m ? ?2}.

[法二] 当m ? 0时, 2 显然不成立;

当m ? 0时, ?m ? 0 2 ?? 2 ? g( ?1) ? m ? m ? 2 ? 0 ?m ? 0 或? 2 ? g( ?1) ? m ? m ? 2 ? 0 ? m ? 2或m ? ?2, 下同法一.

第二课时:

函数与不等式的综合应用

第二课时:

函数与不等式的综合应用

[课前引导]

第二课时:

函数与不等式的综合应用

[课前引导]
1. 不等式log a ( x ? 2 x ? 3) ? ?1在
2

x ? R上恒成立, 则a的取值范围是( ) 1 1 A. [2,??) B. (1,2] C. [ ,1] D. (0, ] 2 2

[解析] 设f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)
2

2

? 2, 则f ( x )的最小值为 . 2 (1) 当0 ? a ? 1时, 函数 y ? log a x 是减函数, ? log a ( x ? 2 x ? 3) ? ?1对x ? R恒成立,
2

1 只需 log a 2 ? ?1,? ? a ? 1; 2

( 2) 当a ? 1时, 函数 y ? log a x 是增函数, ? log a ( x ? 2 x ? 3) ? log a 2 ? 0,
2

此时, 不等式 log a ( x ? 2 x ? 3) ? ?1
2

不成立. 1 综上, a的取值范围是 ,1]. [ 2

2. 已知a ? 0且a ? 1, 函数f ( x ) ? x 1 ? a 当x ? ( ?1,1)时恒有f ( x ) ? 成立, 2 则实数a的取值范围是 ( )
x

2

1 A. (0, ] ? [2,??) 2 1 C. [ ,1) ? (1,2] 2

1 B. [ ,1) ? (1,4] 4 1 D. (0, ] ? [4,??) 4

1 [解析] 设函数g ( x ) ? x , h( x ) ? a ? , 2 1 则当x ? ( ?1,1)时, 不等式 f ( x ) ? 等价 2 转化为g ( x ) ? h( x ). 在同一坐标系内做 函数 g ( x )、h( x ) 的
2 x

图象, 如图, 当a ? 1时,

1 a ? ? 1得1 ? a ? 2; 2 当0 ? a ? 1时, 1 a ? ? 1, 2 1 得 ? a ? 1. 2
1

1 ? 2

[链接高考]

[链接高考] ?1 ) [例1] ( 2005年天津高考题 设f ( x )是 1 x ?x 函数f ( x ) ? (a ? a )( a ? 1)的反函数, 2 ?1 则使f ( x ) ? 1成立的取值范围为 ( ) 2 2 a ?1 a ?1 A. ( ,??) B. ( ??, ) 2a 2a 2 a ?1 C. ( , a) D. [a ,??) 2a

1 x ?x [解析] ? a ? 1,? f ( x ) ? (a ? a )为 2 增函数, 根据函数与反函数的定 义域、 值域之间的关系 f ( x ) ? 1, 即在f ( x ) , 中, 在x ? 1的条件下, 求f ( x )的范围. 1 a ?1 ?1 ? f ( x ) ? f (1) ? (a ? a ) ? . 2 2a
2 ?1

) [例2] (2005年江苏高考题 函数y ? log 0.5 (4 x ? 3 x )的定义域为______ .
2

) [例2] (2005年江苏高考题 函数y ? log 0.5 (4 x ? 3 x )的定义域为______ .
2

[解析]

偶次根下不能为负 ,
2

? log 0.5 (4 x ? 3 x ) ? 0. 3 ? x ? 或x ? 0 2 ? ?4 x ? 3 x ? 0 ? 4 ?有 ? 2 得? , 1 4x ? 3x ? 1 ? ?? ? x ? 1 ? 4 ?

1 3 ? 定义域是 ? ? x ? 0或 ? x ? 1. 4 4 1 3 故答案为 ? ,0) ? ( ,1]. [ 4 4

[例3]

(2005年全国高考题) 设函数
x ? 1 ? x ?1

f ( x) ? 2

, 求使 f ( x ) ? 2 2的x

取值范围.

[例3]

(2005年全国高考题) 设函数
x ? 1 ? x ?1

f ( x) ? 2

, 求使 f ( x ) ? 2 2的x

取值范围.
[解析] 由于y ? 2 是增函数, f ( x ) ?
x

3 2 2等价于 x ? 1 ? x ? 1 ? * 2 (1) 当x ? 1时, x ? 1 ? x ? 1 ? 2,

? * 式恒成立; ( 2) 当 ? 1 ? x ? 1时, x ? 1 ? x ? 1 ? 2 x , 3 3 * 式可化为2 x ? , 即 ? x ? 1; 2 4 ( 3) 当x ? ?1时, x ? 1 ? x ? 1 ? ?2, * 式无解. 3 综上, x的取值范围是 ,??). [ 4

) [例4] (2005年江西高考题 已知函数 x f ( x) ? (a , b为常数), 且方程f ( x ) ax ? b ? x ? 12 ? 0有两个实根x1 ? 3, x 2 ? 4. (1) 求函数f ( x )的解析式; ( 2) 设k ? 1, 解关于x的不等式:f ( x ) ( k ? 1) x ? k ? . 2? x
2

[解析] (1) 将x1 ? 3, x 2 ? 4分别代入

? 9 ? ?9 2 ? 3a ? b x ? 方程 ? x ? 12 ? 0, 得 ? , 16 ax ? b ? ? ?8 ? 4a ? b ? 2 x ?a ? ? 1 解得 : ? ,? f ( x ) ? ( x ? 2). 2? x ?b ? 2

x ( k ? 1) x ? k ( 2) 不等式即为 ? , 2? x 2? x
2

x ? ( k ? 1) x ? k 可化为 ? 0, 即 2? x
2

( x ? 1)( x ? 2)( x ? k ) ? 0 1 当1 ? k ? 2时, 解集为 x ? (1, k ) ? ( 2,??);

2 当k ? 2时, 不等式 为( x ? 2) ( x ? 1) ? 0,
2

解集为x ? (1,2) ? ( 2,??); 3 当k ? 2时, 解集为 x ? (1,2) ? ( k ,??).


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