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第3课时等差与等比数列的运用


第三章 数列

第三章





等差、 第3课时 等差、等比数列的运用

北京大峪中学高三数学组石玉海

2011年3月5日星期六

要点·疑点· 要点·疑点·考点
1.等差数列前 项和的最值 等差数列前n项和的最值 等差数列前 的前n项和 的前 项和, 为等差数列 设Sn是{an}的前 项和,则{an}为等差数列 Sn=An2+Bn,其中 、B是常数 是常数. ,其中A 是常数 {an}为等差数列, 为等差数列, 为等差数列 0,d<0, 若a1>0,d<0,则Sn有最大值,n可由 有最大值,n可由 有最小值, 可由 若a1<0,d>0,则Sn有最小值,n可由 , , 或根据S 的图象确定最值. 或根据 n的图象确定最值
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第三章 数列

an ≥0 an+1≤0 an≤0 an+1≥0

确定

确定. 确定

2011年3月5日星期六

要点·疑点· 要点·疑点·考点
2.递推数列 递推数列 可用a 可用 n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)或 或

第三章 数列

a2 a3 an an = a1 ? ? ?L ? 求数列的通项公式. 求数列的通项公式 a1 a2 an?1

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2011年3月5日星期六

基础题例题

第三章 数列

1.{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且b1=0,Cn=an+bn,若 为等比数列, 为等差数列, 为等比数列 为等差数列 或 数列{C 是 , , , 则 的前6项和为 数列 n}是1,1,5,…则{Cn}的前 项和为 30或334 的前 项和为___________. 2.如果 是a,c的等差中项,y是x与z的等比中项,且x,y, 如果b是 , 的等差中项 是 与 的等比中项 的等差中项, 的等比中项, 如果 0 z都是正数,则(b-c)lnx+(c-a)lny+(a-b)lnz=_______. 都是正数, 都是正数 3.下列命题中正确的是 B 下列命题中正确的是( 下列命题中正确的是 )

A.数列 n}的前 项和是 n=n2+2n-1,则{an}为等差数列 数列{a 的前 项和是S 的前n项和是 数列 , 为等差数列 B.数列 n}的前 项和是 n=3n-c,则c=1是{an}为等比数列的 数列{a 的前 项和是S 的前n项和是 数列 , 是 为等比数列的 充要条件 C.常数列既是等差数列,又是等比数列 常数列既是等差数列, 常数列既是等差数列 是递增数列, 大于1 D.等比数列 n}是递增数列,则公比 大于 等比数列{a 是递增数列 则公比q大于 等比数列
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能力·思维· 能力·思维·方法

第三章 数列

4.设{an}是首项为 的正项数列,且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an 设 是首项为1的正项数列 是首项为 的正项数列, =0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是 n=_____ ,则它的通项公式是a 1/n. 解题分析:观察条件 等式是二次三项式 考虑因式分解. 等式是二次三项式,考虑因式分解 解题分析:观察条件,等式是二次三项式 考虑因式分解 由条件因式分解得[(n+1) [(n+1)a ](a 解:由条件因式分解得[(n+1) n+1-nan]( n+1+an)=0 ∴(n+1)a =0,或 ∴(n+1) n+1-nan=0,或an+1+an=0

an+1 n ∴ = 或an+1 = ?an 因an} 正 数 , ) ( { 为 项 列 舍 an n+1 又a1=1

an a2 a3 ? ∴an = a ? ? ?L 1 a1 a2 an?1 1 2 n?1 1 =1? ? ?L ? = 2 3 n n
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能力·思维· 能力·思维·方法

第三章 数列

4.设{an}是首项为 的正项数列,且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an 设 是首项为1的正项数列 是首项为 的正项数列, =0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是 n=_____ ,则它的通项公式是a 1/n.

解题回顾】这是2000年高考题,因是填空题, 2000年高考题 【 解题回顾 】 这是 2000 年高考题 , 因是填空题 , 本题也 可由条件求出a 可由条件求出 1=1,a2=1/2,a3=1/3,a4=1/4…后,猜想 后 an = 1 / n

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能力·思维· 能力·思维·方法

第三章 数列

5.一个首项为正数的等差数列中 , 前 3项和等于前 项和 , 一个首项为正数的等差数列中, 项和等于前11项和 一个首项为正数的等差数列中 项和等于前 项和, 问此数列前多少项的和最大? 问此数列前多少项的和最大 解题分析:用函数的观点看待等差数列前n项和公式, 解题分析:用函数的观点看待等差数列前n项和公式,它是 3×2 11×10 的二次函数,基于此, n解 因 S3,基于此,可用二次函数求最值的方法考查当 的二次函数 = S11,所 3a1 + : 为 以 d =11a1 + d 2 2 为何值时,S 取得最大值. n为何值时,Sn取得最大值.

2 即d = ? a1 < 0 13 n(n?1 ) a1 49 2 故 n = na1 + S d = ? (n?7) + a1 2 13 13 a1 因 a1 > 0, 所 ? < 0 为 以 13

故当n=7时,Sn取得最大值 时 取得最大值. 故当
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能力·思维· 能力·思维·方法

第三章 数列

5.一个首项为正数的等差数列中 , 前 3项和等于前 项和 , 一个首项为正数的等差数列中, 项和等于前11项和 一个首项为正数的等差数列中 项和等于前 项和, 问此数列前多少项的和最大? 问此数列前多少项的和最大 另解:∵ 是等差数列, 另解 ∵{an}是等差数列 是等差数列 项和S 其中p,q为常数 ∴{an}前n项和 n=pn2+qn,其中 为常数 且Sn满足 前 项和 其中 为常数,且 S1=a1>0, S3=S11 Sn 作出Sn的大致图象如下 由二次函数的性质 7最大 由二次函数的性质,S 作出 的大致图象如下,由二次函数的性质 最大.


O
1




3


7


11

. .

n

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能力·思维· 能力·思维·方法

第三章 数列

5.一个首项为正数的等差数列中 , 前 3项和等于前 项和 , 一个首项为正数的等差数列中, 项和等于前11项和 一个首项为正数的等差数列中 项和等于前 项和, 问此数列前多少项的和最大? 问此数列前多少项的和最大 解题回顾】另外, 【 解题回顾 】 另外, 本例还可通过考查项的符号确定 n取 取得最大值,即寻求这样的一项: 何值时Sn取得最大值,即寻求这样的一项:使得这项及它 前面所有项皆取正值或0 而它后面所有各项皆取负值, 前面所有项皆取正值或 0, 而它后面所有各项皆取负值 , 则第一项起到该项的和为最大. 则第一项起到该项的和为最大 . 这是寻求 Sn 最大值或最小 值的基本方法之一.还可以利用S 的图象. 值的基本方法之一.还可以利用Sn的图象.

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能力·思维· 能力·思维·方法
试求S 试求 110

第三章 数列

6.设等差数列 n}的前 项和为 n,且S10=100,S100=10, 设等差数列{a 的前 项和为S 的前n项和为 设等差数列 ,

法一: 解:法一:因S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差 , 数列,且其前n项和 项和T 设公差为d, 数列,且其前n项和Tn=S10n,设公差为d, 由T10=S100,得 得

10×9 ∴d=10×100+ d =10 ∴d=-22 2

11×10 ∴S110 =T =11×100+ d = ?110 11 2

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能力·思维· 能力·思维·方法
试求S 试求 110 法二:设数列{ 的公差为d, 解:法二:设数列{an}的公差为d, 则S110=(a1+a2+…+a10)+a11+a12+…+a110 +a +a

第三章 数列

6.设等差数列 n}的前 项和为 n,且S10=100,S100=10, 设等差数列{a 的前 项和为S 的前n项和为 设等差数列 ,

+10d)+…+(a =S10+(a1+10d)+(a2+10d)+ +(a100+10d) +100×10d=110+10× =S10+S100+100×10d=110+10×100d 10×9 100×99 又S10 =10a1 + d =100 S100 =100a1 + d =10 2 2 100×99 100×9 由S100 ?10S10,得 d? d =10?10×100 2 2 即100d=-22,得S110=110-22×10=-110 - , -22×10=北京大峪中学高三数学组石玉海 2011年3月5日星期六

能力·思维· 能力·思维·方法
试求S 试求 110

第三章 数列

6.设等差数列 n}的前 项和为 n,且S10=100,S100=10, 设等差数列{a 的前 项和为S 的前n项和为 设等差数列 ,

【 解题回顾 】本例解法一是依据等差数列均匀分段求和后 解题回顾】 组成的数列仍为等差数列; 组成的数列仍为等差数列 ;解法二是利用数列的求和定义 及等差数列中两项的关系, 及等差数列中两项的关系 ,熟记等差数列的这些性质常可 起到简化解题过程的作用. 起到简化解题过程的作用.

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误解分析

第三章 数列

在利用a 求等差数列前n项和 在利用 n≥0 , an+1≤0或 an≤0 、 an+1≥0求等差数列前 项和 n 或 求等差数列前 项和S 的最值时,符号不能丢掉. 的最值时,符号不能丢掉

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第三章 数列

变式题1 等差数列{a >0, 变式题1 等差数列{an}中,a1>0,且3a8=5a13,则Sn中 最大的是 ( C. ) C.S20 2 提示:由3a8=5a13,得 d = ? a1 提示: 得 39 再由an≥0 且an+1< 0,得 n=20 再由 , 变式题2 等差数列{a >0, 变式题2 等差数列{an}中,S6=S13,且a1>0,则{Sn}中 的最大项是 (A ) A.第9项或第 项 第 项或第 项或第10项 C. 第10项 项 B. 第11项或第 项 项或第10项 项或第 D.第9项或第 项 项或第8项 第 项或第 A.S10 B.S11 D.S21

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