3986.net
小网站 大容量 大智慧
相关标签
当前位置:首页 >> 高三数学 >>

2016新课标创新人教A版数学选修2-3 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用


[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P91~P96 的内容,回答下列问题. 阅读教材 P91“探究”的内容,思考: (1)是否吸烟、是否患肺癌是什么变量? 提示:分类变量. (2)吸烟与患肺癌之间的关系还是前面我们研究的线性相关关系吗? 提示:不是. (3)如何研究吸烟是否对患肺癌有影响? 提示:独立性检验. 2.归纳总结,核心必记 (1)分类变量和列联表 ①分类变量 变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量. ②列联表 (ⅰ)定义:列出的两个分类变量的频数表,称为列联表. (ⅱ)2×2 列联表. 一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频 数列联表(称为 2×2 列联表)为 y1 x1 x2 a c y2 b d 总计 a+b c+d

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

总计 (2)等高条形图

a+c

b+d

a+b+c+d

①等高条形图和表格相比, 更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响, 常用等高 条形图展示列联表数据的频率特征. a c ②观察等高条形图发现 和 相差很大,就判断两个分类变量之间有关系. a+b c+d (3)独立性检验 定义 公式 利用随机变量 K2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验 n(ad-bc)2 K2= ,其中 n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ①确定 α,根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错 误概率的上界 α,然后查表确定临界值 k0. 具体 步骤 ②计算 K2,利用公式计算随机变量 K2 的观测值 k. ③下结论,如果 k≥k0,就推断“X 与 Y 有关系”,这种推断犯错误的概率不 超过 α;否则,就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”,或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X 与 Y 有关系”

[问题思考] (1)有人说: “在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为吸烟和患肺癌有关, 是指每 100 个吸烟者中就会有 99 个患肺癌的.”你认为这种观点正确吗?为什么? 提示:观点不正确.犯错误的概率不超过 0.01 说明的是吸烟与患肺癌有关的程度,不 是患肺癌的百分数. (2)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的吗? 提示:不一定.所有的推断只代表一种可能性,不代表具体情况. (3)下面是 2×2 列联表.

y1 x1 x2 总计 则表中 a,b 处的值应为多少? 33 a b

y2 21 13 34

总计 54 46

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

提示:a=46-13=33,b=33+a=33+33=66.

[课前反思] 1.分类变量的定义是什么? ; 2.列联表的定义是什么?2×2 列联表中的各个数据有什么意义? ; 3.什么是等高条形图,有什么作用? ; 4.独立性检验的内容是什么? .

?讲一讲 1.在对人们饮食习惯的一次调查中,共调查了 124 人,其中六十岁以上的 70 人,六十 岁以下的 54 人.六十岁以上的人中有 43 人的饮食以蔬菜为主,另外 27 人则以肉类为主; 六十岁以下的人中有 21 人饮食以蔬菜为主, 另外 33 人则以肉类为主. 请根据以上数据作出 a c 饮食习惯与年龄的列联表,并利用 与 判断二者是否有关系. a+b c+d [尝试解答] 2×2 列联表如下:

年龄在六 十岁以上 饮食以蔬菜为主 饮食以肉类为主 总计 43 27 70

年龄在六 总计 十岁以下 21 33 54 64 60 124

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

将表中数据代入公式得 a 43 c 27 = =0.671 875. = =0.45. a+b 64 c+d 60 显然二者数据具有较为明显的差距, 据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系.

(1)作 2×2 列联表时,关键是对涉及的变量分清类别.计算时要准确无误. (2)利用 2×2 列联表分析两个分类变量间的关系时,首先要根据题中数据获得 2×2 列 d ? a c ? b 与 联表,然后根据频率特征,即将 与 的值相比,直观地反映出两个分类 a+b c+d?a+b c+d? 变量间是否相互影响,但方法较粗劣. ?练一练 1.假设有两个分类变量 X 与 Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其 2×2 列联表为:

y1 x1 x2 10 m

y2 18 26 ) D.19

则当 m 取下面何值时,X 与 Y 的关系最弱( A.8 B.9 C.14

解析:选 C 由 10×26≈18m,解得 m≈14.4,所以当 m=14 时,X 与 Y 的关系最弱.

?讲一讲 2.某学校对高三学生作了一项调查发现:在平时的模拟考试中,性格内向的学生 426 人中有 332 人在考前心情紧张, 性格外向的学生 594 人中有 213 人在考前心情紧张, 作出等 高条形图,利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系. [尝试解答] 作列联表如下:

性格内向

性格外向

总计

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

考前心情紧张 考前心情不紧张 总计 相应的等高条形图如图所示:

332 94 426

213 381 594

545 475 1020

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的人数的比例, 从图中可 以看出考前心情紧张的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向 的人数占的比例高,可以认为考前紧张与性格类型有关.

利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤:

?练一练 2.在调查的 480 名男人中有 38 人患色盲,520 名女人中有 6 名患色盲,试利用图形来 判断色盲与性别是否有关? 解:根据题目给出的数据作出如下的列联表:

色盲 男 女 总计 38 6 44

不色盲 442 514 956

总计 480 520 1000

根据列联表作出相应的等高条形图:

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

从等高条形图来看,在男人中患色盲的比例要比在女人中患色盲的比例大得多,因此, 我们认为患色盲与性别是有关系的.

?讲一讲 3.研究人员选取 170 名青年男女大学生为样本,对他们进行一种心理测验.发现有 60 名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是:作肯定的有 22 名,否定的有 38 名;110 名男生在相同的项目上作肯定的有 22 名,否定的有 88 名.问:性别与态度之间是否存在某 种关系?用独立性检验的方法判断.(链接教材 P95-例 1) 附:

P(K2≥k0) k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

[尝试解答] 根据题目所给数据建立如下 2×2 列联表:

肯定 男生 女生 总计 根据 2×2 列联表中的数据得到: 22 22 44

否定 88 38 126

总计 110 60 170

170×(22×38-22×88)2 k= ≈5.622>5.024. 110×60×44×126 所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下,认为“性别与态度有关系”.

根据题意列出 2×2 列联表,计算 K2 的观测值,如果 K2 的观测值很大,说明两个分类 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

变量有关系的可能性很大;如果 K2 的观测值比较小,则认为没有充分的证据显示两个分类 变量有关系. 练一练 3.在一次天气恶劣的飞机航程中,调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:男乘客晕机 的有 24 人,不晕机的有 31 人;女乘客晕机的有 8 人,不晕机的有 26 人.请你根据所给数 据判定:在天气恶劣的飞机航程中,男乘客是否比女乘客更容易晕机? 附:

P(K2≥k0) k0 解:根据题意,列出 2×2 列联表如下:

0.10 2.706

0.05 3.848

晕机 男乘客 女乘客 总计 24 8 32

不晕机 31 26 57

总计 55 34 89

假设在天气恶劣的飞机航程中男乘客不比女乘客更容易晕机. 由公式可得 K2 的观测值 n(ad-bc)2 k= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 89(24×26-31×8)2 = 55×34×32×57 ≈3.689>2.706, 故在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下,认为“在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女 乘客更容易晕机”. ——————————[课堂归纳· 感悟提 升]———————————————————

1. 本节课的重点是用 2×2 列联表、 等高条形图分析两个分类变量间的关系以及独立性 检验. 2.本节课要重点掌握的规律方法 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(1)用 2×2 列联表分析两分类变量间的关系,见讲 1; (2)用等高条形图分析两分类变量间的关系,见讲 2; (3)独立性检验,见讲 3. 3.解决一般的独立性检验问题的步骤: (1)通过列联表确定 a,b,c,d,n 的值,根据实际问题需要的可信程度确定临界值 k0; (2)利用 K2= n(ad-bc)2 求出 K2 的观测值 k; (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(3)如果 k≥k0,就推断“两个分类变量有关系”,这种推断犯错误的概率不超过 α,否 则就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下不能推断“两个分类变量有关系”. 其中第(2)步易算错 K2 的值,是本节课的易错点.

课下能力提升(十八) [学业水平达标练] 题组 1 用 2×2 列联表分析两分类变量间的关系 1.分类变量 X 和 Y 的列联表如下: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

则下列说法正确的是(

)

A.ad-bc 越小,说明 X 与 Y 关系越弱 B.ad-bc 越大,说明 X 与 Y 关系越强 C.(ad-bc)2 越大,说明 X 与 Y 关系越强 D.(ad-bc)2 越接近于 0,说明 X 与 Y 关系越强 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

解析: 选 C |ad-bc|越小, 说明 X 与 Y 关系越弱, |ad-bc|越大, 说明 X 与 Y 关系越强. 2.假设有两个变量 X 与 Y,它们的取值分别为 x1,x2 和 y1,y2,其列联表为:

y1 x1 x2 总计 a c a+c

y2 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d )

以下各组数据中,对于同一样本能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为( A.a=50,b=40,c=30,d=20 B.a=50,b=30,c=40,d=20 C.a=20,b=30,c=40,d=50 D.a=20,b=30,c=50,d=40

n(ad-bc)2 解析: 选 D 当(ad-bc)2 的值越大, 随机变量 K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 的值越大,可知 X 与 Y 有关系的可能性就越大.显然选项 D 中,(ad-bc)2 的值最大. 3.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名 电视观众,相关的数据如下表所示:

文艺节目 20 至 40 岁 大于 40 岁 总计 40 15 55

新闻节目 18 27 45

总计 58 42 100

由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关: ________( 填“是”或 “否”). 解析:因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目,而大于 40 岁的 42 b 18 d 27 名观众中有 27 名观众收看新闻节目,即 = , = ,两者相差较大,所以经直观 a+b 58 c+d 42 分析,收看新闻节目的观众与年龄是有关的. 答案:是 题组 2 用等高条形图分析两分类变量间的关系 4.如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

分比,从图中可以看出(

)

A.性别与喜欢理科无关 B.女生中喜欢理科的百分比为 80% C.男生比女生喜欢理科的可能性大些 D.男生不喜欢理科的比为 60% 解析:选 C 从图中可以分析,男生喜欢理科的可能性比女生大一些. 5.观察下列各图,其中两个分类变量 x,y 之间关系最强的是( )

解析:选 D 在四幅图中,D 图中两个深色条的高相差最明显,说明两个分类变量之间 关系最强. 6. 为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系, 调查了一千多名青少年及其家长, 数据如下: 父母吸烟 子女吸烟 子女不吸烟 总计 237 678 915 父母不吸烟 83 522 605 总计 320 1 200 1 520

利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响? 解:等高条形图如图所示:

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子女吸烟的比 例高,因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”. 题组 3 独立性检验 7.在一项中学生近视情况的调查中,某校男生 150 名中有 80 名近视,女生 140 名中有 70 名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( )

A.平均数与方差 B.回归分析 C.独立性检验 D.概率 解析:选 C 判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验. 8.对于分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k,下列说法正确的是( A.k 越大, “X 与 Y 有关系”的可信程度越小 B.k 越小, “X 与 Y 有关系”的可信程度越小 C.k 越接近于 0, “X 与 Y 没有关系”的可信程度越小 D.k 越大, “X 与 Y 没有关系”的可信程度越大 解析:选 B k 越大, “X 与 Y 没有关系”的可信程度越小,则“X 与 Y 有关系”的可信 程度越大,即 k 越小, “X 与 Y 有关系”的可信程度越小. 9.在吸烟与患肺病是否相关的判断中,有下面的说法: ①若 K2 的观测值 k>6.635,则在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为吸烟与患肺 病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病; ②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为吸烟与患肺病有关系 时,若某人吸烟,则他有 99%的可能患有肺病; ③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为吸烟与患肺病有关系 时,是指有 5%的可能性使得推断错误.其中说法正确的是________. 解析:K2 是检验吸烟与患肺病相关程度的量,是相关关系,而不是确定关系,是反映 有关和无关的概率, 故说法①不正确; 说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn )

错误;说法③正确. 答案:③ 10. 为了解决高二年级统计案例入门难的问题, 某校在高一年级的数学教学中设有试验 班,着重加强统计思想的渗透,下面是高二年级统计案例的测验成绩统计表(单位:分)的一 部分,试分析试验效果.

70 及 70 分以下 对照班 试验班 总计 附: 32 12 44

70 分以上 18 38 56

总计 50 50 100

P(K2≥k0) k0

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

解:根据列联表中的数据,由公式得 K2 的观测值 n(ad-bc)2 k= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 100(32×38-18×12)2 ≈16.234. 50×50×44×56

因为 16.234>6.635,所以,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为高二年级统计案 例的测试成绩与高一年级数学教学中增加统计思想的渗透有联系. [能力提升综合练] 1.利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时,若有 99.5%的把握认为事 件 A 和 B 有关系,则具体计算出的数据应该是( A.k≥6.635 B.k<6.635 C.k≥7.879 D.k<7.879 解析:选 C 有 99.5%的把握认为事件 A 和 B 有关系,即犯错误的概率为 0.5%,对应 的 k0 的值为 7.879,由独立性检验的思想可知应为 k≥7.879. 2.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系,随机抽查 了 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( 表1 表2 ) )

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

成绩性别 男 女 总计

不及格 6 10 16

及格 14 22 36

总计 20 32 52

视力性别 男 女 总计

好 4 12 16

差 16 20 36

总计 20 32 52

表3

表4

智商性别 男 女 总计

偏高 8 8 16

正常 12 24 36

总计 20 32 52

阅读量性别 男 女 总计

丰富 14 2 16

不丰富 6 30 36

总计 20 32 52

A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量 52×(6×22-14×10)2 解析:选 D 因为 K2 = 1 16×36×32×20 = 52×82 , 16×36×32×20 52×(4×20-16×12)2 52×1122 = , 16×36×32×20 16×36×32×20 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

2 K2 =

2 K3 = 2 K4 =

52×(8×24-12×8)2 52×962 = , 16×36×32×20 16×36×32×20 52×(14×30-6×2)2 52×4082 = , 16×36×32×20 16×36×32×20

2 2 2 则有 K2 4>K2>K3>K1,

所以阅读量与性别有关联的可能性最大. 3.下列关于 K2 的说法中,正确的有________. ①K2 的值越大,两个分类变量的相关性越大; n(ad-bc) ②K2 的计算公式是 K2= ; (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ③若求出 K2=4>3.841,则有 95%的把握认为两个分类变量有关系,即有 5%的可能性 使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误; ④独立性检验就是选取一个假设 H0 条件下的小概率事件,若在一次试验中该事件发生 了,这是与实际推断相抵触的“不合理”现象,则作出拒绝 H0 的推断. 解析:对于①,K2 的值越大,只能说明我们有更大的把握认为二者有关系,却不能判 断相关性大小,故①错;对于②,(ad-bc)应为(ad-bc)2,故②错;③④对. 答案:③④ 4.某班主任对全班 50 名学生作了一次调查,所得数据如表: 认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总计 18 8 26 认为作业不多 9 15 24 总计 27 23 50

由表中数据计算得到 K2 的观测值 k≈5.059, 于是________(填“能”或“不能”)在犯错 误的概率不超过 0.01 的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关. 解析:查表知若要在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作 业多有关,则临界值 k0=6.635,本题中,k≈5.059<6.635,所以不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关. 答案:不能 5.随着生活水平的提高,人们患肝病的越来越多,为了解中年人患肝病与经常饮酒是 否有关,现对 30 名中年人进行了问卷调查得到如下列联表:

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

常饮酒 患肝病 2 不患肝病 18 合计 30

不常饮酒

合计

4 已知在全部 30 人中随机抽取 1 人,抽到肝病患者的概率为 . 15 (1)请将上面的列联表补充完整, 并判断是否有 99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关? 说明你的理由; (2)现从常饮酒且患肝病的中年人(恰有 2 名女性)中,抽取 2 人参加电视节目,则正好抽 到一男一女的概率是多少? 参考数据:

P(K2≥k) k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

x+2 4 解:(1)设患肝病中常饮酒的人有 x 人, = ,x=6. 30 15

常饮酒 患肝病 不患肝病 合计 6 4 10

不常饮酒 2 18 20

合计 8 22 30

30×(6×18-2×4)2 由已知数据可求得 K2= ≈8.523>7.879, 10×20×8×22 因此有 99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关. (2)设常饮酒且患肝病的男性为 A,B,C,D,女性为 E,F,则任取两人有 AB,AC, AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 种.其中一男一 女有 AE,AF,BE,BF,CE,CF,DE,DF,共 8 种. 8 故抽出一男一女的概率是 P= . 15 6.某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各 抽取 40 件产品作为样本称出它们的质量(单位: 克), 质量值落在(495, 510]的产品为合格品, 否则为不合格品.表 1 是甲流水线样本频数分布表,图 1 是乙流水线样本频率分布直方图. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

表 1 甲流水线样本频数分布表

产品质量/克 (490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515]

频数 6 8 14 8 4

(1)根据上表数据作出甲流水线样本频率分布直方图; (2)若以频率作为概率,试估计从两条流水线分别任取 1 件产品,该产品恰好是合格品 的概率分别是多少; (3)由以上统计数据作出 2×2 列联表,并回答在犯错误的概率不超过多少的前提下认为 “产品的包装质量与两条要自动包装流水线的选择有关” . 解:(1)甲流水线样本频率分布直方图如下:

(2)由表 1 知甲样本合格品数为 8+14+8=30, 由图 1 知乙样本中合格品数为(0.06+0.09 30 36 +0.03)×5×40=36,故甲样本合格品的频率为 =0.75,乙样本合格品的频率为 =0.9, 40 40 据此可估计从甲流水线任取 1 件产品,该产品恰好是合格品的概率为 0.75. 从乙流水线任取 1 件产品,该产品恰好是合格品的概率为 0.9. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(3)2×2 列联表如下:

甲流水线 合格品 不合格品 总计 因为 K2 的观测值 a=30 c=10 40

乙流水线 b=36 d=4 40

总计 66 14 n=80

n(ad-bc)2 80×(120-360)2 k= = ≈3.117>2.706, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 66×14×40×40 所以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的 选择有关.

版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn


推荐相关:

...选修2-3 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 作...

2015-2016学年人教A版选修2-3 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 作业_医学_高等教育_教育专区。选修 2-3 一、选择题 3.2 独立性检验的基本思想及其...


...3导学案:3.2独立性检验的基本思想及其初步应用

2015-2016学年高二人教A版数学选修2-3导学案:3.2独立性检验的基本思想及其初步应用_数学_高中教育_教育专区。32 独立性检验的基本思想及其初步应用 3.2.1 独立...


...3导学案:3.2独立性检验的基本思想及其初步应用

2015-2016学年高二人教A版数学选修2-3导学案:3.2独立性检验的基本思想及其初步应用_高二数学_数学_高中教育_教育专区。32 独立性检验的基本思想及其初步应用 3....


2016新课标三维人教A版数学选修2-3 3.1 回归分析的基本...

2016新课标三维人教A版数学选修2-3 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2016新课标三维人教A版数学选修2-3 3.1 回归分析的...


2016新课标创新人教A版数学选修1-2 1.2 独立检验的基本...

2016新课标创新人教A版数学选修1-2 1.2 独立检验的基本思想及其初步应用_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2016新课标创新人教A版数学选修1-2 1.2 独立检验的...


...3配套练习:3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

【志鸿优化】人教A版高中数学选修2-3配套练习:3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用_高中教育_教育专区。【志鸿优化】人教A版高中数学选修2-3配套练习:3.2 独...


...3.2独立性检验的基本思想及其初步应用学案 新人教A...

2015-2016学年高中数学 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用学案 新人教A版选修2-3_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年高中数学 3.2 独立性检验的基本...


...3.2独立性检验的基本思想及其初步应用课后训练 新人...

2015-2016学年高中数学 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用课后训练 新人教A版选修2-3_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年高中数学 3.2 独立性检验的...


...A版选修2-3 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用(...

数学:新人教A版选修2-3 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用(同_数学_高中教育_教育专区。学而思网校 www.xueersi.com 高中新课标选修(2-3)3.2 测试题一、...


...选修2-3 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用同步...

人教新课标版(A)高二选修2-3 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用同步训练题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。人教新课标版(A)高二选修 2-3:3.2 独立性...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com