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数列求和课件


2014届高三数学一轮复习课 数列的求和____错位相减法
?

五 河 一 中:

李莉莉

数列求和法
数列求和是数列的重要内容之一,数列求和是数 学中的一种常见题型,除了等差数列和等比数列用求 和公式求和外,还有一些数列的求和需要用到其他的 方法.例如其中一些常见的方法:倒序相加法、分组求 和法、错位相减法、裂项相消法等。 我们这节课就数 列求和法中的“错位相减法”进行研究

考向瞭望?把脉高考

考情分析
在数列求和的众多方法中,错位相减法求和 是高考的热点,题型以解答题为主,往往与其他 知识结合考查,在考查基本运算、基本概念的基 础上,又注重考查学生分析问题、解决问题的能 力,考查较为全面. 预测2014年高考,错位相减法仍是高考的重 点,同时应重视裂项相消法求和.

知识回顾:
直接求和法:如等差数列和等比数列均可直接套
用公式求和,这种方法也叫公式法. 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最 重要的方法.
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) 等差数列求和公式: Sn ? ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? 等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q

n?n+1? 2 1:求和 1 + 2 + 3 + …… + n =________________ 。
2:求 1 + a + a
2

+ a

3

+ …… + a

n-1 (a为非零实数)的值

解:由题知 数列{ a n -1 } 是公比为 a 的等比数列 ?设 S = 1 + a + a 2 + …… +an-1 当 a = 1 时,Sn = n
1? an 当 a ≠ 1 时,Sn ? 1 ? a

n ? ? ?` Sn ? ?1 ? a n ` ? ? 1? a

a ?1 a ?1

探究:求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1(x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应 相乘构成的新数列,这样的数列求和该如何求呢?

Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 xSn = (1-x)Sn =1 +(x + x2+ …… + xn-1
n项



x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
)-

nxn

这时等式的右边是一个等比数列

的前n项和与一个式子的和, 这样我们就可以化简求值。

求和 Sn =1+2x+3x2+ …… +nxn-1 (x≠0,1)
解:∵ Sn =1

+ 2x +3x2 +…… +nxn-1 ① ∴xSn = x + 2x2 + …… + (n-1)xn-1+nxn② ∴ ① -②,得: (1-x) Sn =1+(x+x2+ + xn-1 )- nxn 1-xn - nxn 1-(1+n)xn+nxn+1 = = 1-x 1-x
n+nxn+1 1-(1+n)x ∴ Sn= (1- x)2

归纳总结
错法位相减:设数列{an }是公差为d的等差数列(d不
等于零),数列{bn } 是公比为q的等比数列(q不等于1), cn ? anbn 则{cn }的前n项和为: {cn }满足: 数列

sn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn

qsn ? a1b2 ? a2b3 ? ? ? an?1bn ? anbn?1 ? ? ?? (1 ? q ) sn ? a1b1 ? d (b2 ? b3 ? ? ? bn ) ? anbn ?1
db2 (1 ? q n ?1 ) ? a1b1 ? ? an bn ?1 1? q a1b1 db2 (1 ? q n ?1 ) an bn ?1 ? sn ? ? ? 2 1? q (1 ? q ) 1? q

? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn ? ? ??

1 1 1 1 1 解:设Sn =1? ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? 2n ? 3? ? n ?1 ? ? 2n ? 1? ? n 2 4 8 2 2

例1:求和Sn= 1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n

1 1 1 1 1 Sn = 1? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2n ? 3? ? n ? ? 2n ? 1? ? n ?1 2 4 8 2 2 1 1 1 1 1 1 相减得, Sn =1 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?2 ? n ? ? 2n ? 1? ? n ?1

2 4 8 2 1 1 1 1 ? Sn =1 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?2 ? n ?1 ? ? 2n ? 1? ? n 2 4 2 2

2

2

1 ? 2n ? 1 ?1 1 =1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? n?1 ? ? n 2 ? 2 ?2 4 1? 1 ? ?1 ? n?1 ? 2n ? 1 2n ? 3 2? 2 ? =1 ? 2 ? ? n =3 ? n 1 2 2 1? 2

n ?1 2 an (n∈N*). 例2:(高考)已知数列{an}满足 a1 = 1 , an+1 =? an ? 2n ? 2n ? ? ? 是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式an; (1)证明:数列? ? an ? (3)设bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前n项和Sn. n n n ?1 n ?1 2 2 a a 2 2 n n?1 = 【解析】(1)由已知可得 ? ? , 即? = +1,即? -?=1. n n ? 1 an ? 2 an an?1 a an?1 2 ? 2n ? n ? ? ∴数列? 是首相为2公差为1的等差数列. n ? an ? n 2 2 2 (2)由(1)知? =? +(n-1)×1=n+1,∴an=? . an n ? 1 a1 n 2 3 n (3)由(2)知bn=n· 2 , Sn=1· 2+2· 2 +3· 2 +…+n· 2,

2Sn= 1· 2 +2· 2 +…+(n-1)· 2 +n· 2 , 2 3 n n+1 2(1 ? 2n ) n+1 n+1 n+1 相减得:-Sn=2+2 +2 +…+2 -n· 2 =? 2 - n· 2 = 2 – 2 - n· n+1 ∴S =(n-1)· 2 +2. 1 ? 2
n

2

3

n

n+1

.

1 1 1 思考 3.(2012· 烟台调研)将函数f(x)=sin4x· sin4(x+2π)·sin2(x+3π)在区间 (0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=2nan,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的表达式. 1 1 1 解:(1)f(x)=sin4x· sin4(x+2π)·sin2(x+3π)
1 =-4sin x. π 其极值点为x=kπ+ 2(k∈Z). π 它在(0,+∞)内的全部极值点构成以 2为首项,π为公差的等差数列. 2n-1 π ∴an= 2+(n-1)·π= 2 π(n∈N+).

练习:
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=(2n-1)· 3n,
则Sn=________.

答案:(n-1)· 3n+1+3
2.设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3· 22n-1 (1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.

答案: (1)

数列{an}的通项公式为an=22n-1.

1 (2) Sn= [(3n-1)22n+1+2]. 9

小结:
数列求和主要分为两种类型:一是等差或等比数列求和, 另一类是非等差、等比数列求和。 解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路: ①转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比 数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完 成. ②不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项 相消法、并项求和法、倒序相加法等来求和

作业:
完 成 课 后 练 习 及 课时练。

课件设计与制作:李莉莉
五 河 第 一 中 学


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