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2015-2016学年高中数学 2.2.2第2课时 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)课件 新人教B版必修3


第二章 2.2 用样本估计总体
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 用样本的数字特征估计总体 的数字特征(二)习题课 第2课时

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

思想方法技巧

3

易错疑难辨析

5

课 时 作 业

课前自主预习

在一次人才招聘会上,有一家公司的招聘人员告诉你,
“我们公司的收入水平很高”“去年,在50名员工中,最高年 收入达到了100万,他们年收入的平均数是3.5万”. 你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者?

计算样本数据x1、x2、?、xn的标准差的算法步骤为: S1 算出样本数据的__________ 平均数- x ;

xi-- x ,其中i=1,2,?,n; S2 算出________ xi-- x 的平方,其中i=1,2,?,n; S3 算出________
S4 算出样本方差;

样本标准差 . S5 算出____________

1.为了解我国13岁男孩的平均身高,从北方抽取了300个男 孩,平均身高1.60 m;从南方抽取了200个男孩,平均身高1.5 ) m,由此可推断我国13岁的男孩平均身高为(

A.1.54 m
C.1.56 m [答案] C

B.1.55 m
D.1.57 m

300×1.6+200×1.5 - [解析] x = =1.56.故选 C. 300+200

2.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,得
95分的有1人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75 分的各1人,则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别 为( ) A.85,85,85 B.87,85,86

C.87,85,85

D.87,85,90

[答案] C

[ 解析 ]

100+95+90×2+85×4+80+75 平均数= = 87 10

分,众数为 85,中位数为 85.故选 C.

3.(2015·甘肃白银育正中学高一月考)下列说法正确的是 ( ) A.数据5、4、4、3、5、2的众数是4

B.一组数据的标准差是该组数据的方差的平方
C.数据2、3、4、5的标准差是数据4、6、8、10的标准差 的一半 D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的 频数

[答案] C
[解析] 选项A中,数据的众数是4和5;选项B中,一组数 据的标准差应是该组数据的方差的算术平方根;选项D中,频

率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率,故选
C.

4.甲、乙两同学在高考前各作5次立定跳远测试,测得甲
的成绩如下(单位:m):2.20、2.30、2.30、2.40、2.30.若甲、 乙两人的平均成绩相同,乙的成绩的方差是0.005,那么甲、乙 两人成绩较稳定的是________. [答案] 甲

[解析] 求得甲的平均成绩为2.3,甲的成绩的方差是
0.004.由已知得甲、乙平均成绩相同,但甲的成绩的方差比乙 的小,∴甲的成绩较稳定.

5. 某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝 尔物理学奖的 6 位华人的姓名,为此出了一份考卷.该卷共有 六道单选题,每题答对得 20 分,答错、不答得 0 分,满分 120 分.阅卷完毕后,校方公布每题答对率如下: 题号 一 二 三 四 五 六

答对率 80% 70% 60% 50% 40% 30% 则此次调查全体同学的平均分数是________分.
[答案] 66

[解析] 假设全校一共有 x 人,则每道题答对人数及总分 分别为: 题号 一 二 三 四 五 六

答对人数 0.8x 0.7x 0.6x 0.5x 0.4x 0.3x 每题得分 16x 14x 12x 10x 8x 6x

66x ∴6 道题的总分为 66x,平均分为 =66. x

6.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药、B药)的疗 效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位 患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单 位:h).试验的观测结果如下: 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2
3.5 2.3 3.2 1.4 2.5 2.4 1.7 1.6 1.9 0.5 0.8 1.8 0.9 0.6 2.4 2.1 1.2 1.1 2.6 2.5 1.3 1.2 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:

2.7 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的

疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的 疗效更好?

A药 0. 1. 2. 3.

B药

[解析] (1)设 A 药观测数据的平均数为- x ,B 药观测数据 的平均数为- y. 由观测结果可得 1 - x = (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4 20 +2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3. 1 - y = (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4 20 +1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6. 由以上计算结果可得- x >- y, 因此可看出 A 药的疗效更好.

(2)由观测结果可绘制如下茎叶图: A药 6 85522 5210 0. B药 55689 14567 2 1. 1 2 2 3 4 6 7 8 9 3.

9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2.

7 从以上茎叶图可看出,A 药疗药的试验结果有 的叶集中 10 7 在茎“2”、 “3”上, 而 B 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎“0”、 10 “1”上,由此可看出 A 药的疗效更好.

课堂典例讲练

总体特征数的估计及应用

假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数: 甲:10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 乙:8 10 14 7 10 11 10 8 15 12 估计两个供货商的交货情况,并问哪个供货商交货时间短 一些,哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性.

1 - [解析] x 甲= (10+9+?+10)=10.1, 10 1 s甲= (102+92+?+102)-10.12=0.49; 10
2

1 - x 乙= (8+10+?+12)=10.5, 10 1 2 s乙= (8 +?+122)-10.52=6.05>s2 甲. 10
2

从交货天数的平均值来看,甲供货商的交货天数短一些; 从方差来看,甲供货商的交货天数较稳定,因此是较具一致性 与可靠性的供货商.

甲、乙两台机床同时生产一种零件,在 10 天中,两台机床 每天出的次品数分别是: 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 分别计算两个样本的平均数与方差,从计算结果看,哪台 机床 10 天生产中出次品的平均数较小?出次品的波动较小?

[ 解析 ]

平均数反映的是平均水平,方差反映的是波动

性.因为本例中的数据较少,且重复的数据较多,故算平均数 时可采用加权平均数的计算方法,计算方差可以采用简化公式 来计算. 1 - x 甲= (0×3+1×2+2×3+3×1+4×1)=1.5; 10 1 - x 乙= (0×2+1×5+2×2+3×1)=1.2; 10

1 2 s甲= (0 ×3+ 12×2+22×3+32×1+42×1-10×1.52)= 10
2

1.65; 1 2 s乙= (0 ×2+12×5+22×2+32×1-10×1.22) 10
2

=0.76. 从结果看乙台机床 10 天生产出次品的平均数较小, 出次品 的波动也较小.

平均数与方差

对划艇运动员甲、 乙两人在相同的条件下进行了 6 次测试,测得他们最大速度(m/s)的数据如下: 甲:27、38、30、37、35、31; 乙:33、29、38、34、28、36. 根据以上数据,试判断他们谁更优秀.

[解析] 这显然是要计算两组数据的 x 与 s2, 然后加以比较 并作出判断. 1 198 - x 甲= (27+38+30+37+35+31)= =33, 6 6 1 s甲= [(27-33)2+(38-33)2+?+(31-33)2] 6
2

1 = ×94≈15.7; 6

1 198 - x 乙= (33+29+38+34+28+36)= =33, 6 6 1 s乙= [(33-33)2+(29-33)2+?+(36-33)2] 6
2

1 = ×76≈12.7. 6
2 ∴- x 甲=- x 乙, s 2 甲 > s 乙.说明甲、乙二人的最大速度的平均

值相同,但乙比甲更稳定,故乙比甲更优秀.

甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量 如下(单位:t/hm2): 品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 甲 乙 9.8 9.4 9.9 10.3 10.1 10.8 10 9.7 10.2 9.8

哪一种小麦品种的产量比较稳定?

[解析]

由题设知甲、乙两种冬小麦平均单位面积产量的

平均值都是 10,其方差分别为: 1 s甲= (0.04+0.01+0.01+0+0.04)=0.02, 5
2

1 2 s乙= (0.36+0.09+0.64+0.09+0.04)=0.244, 因此, s2 甲<s乙, 5
2

表明甲种冬小麦的产量比较稳定.

频率分布直方图

为了了解中学生的体能情况,抽出了某校一个
年级的部分学生进行一次跳绳次数测试,将所得的数据整理 后,画出频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右前三个 小组的频率分别为0.1、0.3、0.4,第一小组的频数为5. (1)求第四小组的频率; (2)参加这次测试的学生数是多少? (3)若次数为75次以上(含75次)为达标,试估计该年级学生 跳绳测试的达标率是多少?

(4)这次测试中,学生跳绳的次数的中位数落在四个小组中 的哪个小组内?说明理由.

[解析]

(1)由各个小组的频率之和等于 1,得第四小组的

频率为:1-(0.1+0.3+0.4)=0.2 (2)由第一小组的频数为 5,所以参加这次跳绳测试的学生 5 数为 =50(人). 0.1 50-5 (3)跳绳测试的达标率为 ×100%=90%,可估计该年 50 级学生跳绳测试的达标率为 90%.

(4)第一小组的频数为 5,即有 5 个数据. 第二小组的频数为 50×0.3=15,即有 15 个数据. 第三小组的频数为 50×0.4=20,即有 20 个数据. 将这些数据从小到大排列,位于第 25 位、第 26 位的数据 落在第三小组内.因此,这次测试中,学生跳绳次数的中位数 落在第三小组内.

[点评]

频率分布反映了样本数据在各个范围内所占比例

的大小,它揭示了样本数据的分布规律.在频率分布表中,各 组的频数之和等于样本容量,频率之和等于 1,在频率分布直 方图中,各个小长方形面积之和为 1.

在育民中学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班的参 赛学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组,绘制出如图 所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第 四、第五小组的频率分别是0.30、0.15、0.10、0.05,第二小组

的频数是40.
(1)求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)求这两个班参赛的学生人数是多少?

(3) 这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组 内?(不必说明理由)

[解析] (1)各小组的频率之和为 1.00,第一、三、四、五 组的频率分别是 0.30、0.15、0.10、0.05, ∴第二小组的频率为 1-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.4. ∵第二小组的频率为 0.4, 频率 0.4 ∴落在 59.5~69.5 的第二小组的小长方形的高= = 组距 10 =0.04,由此可补全直方图,补全的频率分布直方图如图所示.

(2)设九年级两个班参赛的学生人数为 x 人, ∵第二小组的频数为 40,频率为 0.40, 40 ∴ =0.40,x=100(人). x 所以九年级两个班参赛的学生人数为 100 人. (3)九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小 组内.

易错疑难辨析

已知下列结论: ①一组数据 x1,x2,?,xn 的平均数是- x ,则(x1-- x )+(x2 -- x )+?+(xn-- x )=0; ②众数是一组数据中相同数据出现最多的次数; ③给定的一组数据的平均数一定只有一个; ④给定的一组数据的众数一定只有一个. 其中正确的结论是( )

A.①②③ C.①③ [错解] A

B.①④ D.③④

[辨析] 没有正确理解众数的意义.
[正解] C 众数是一组数据中出现次数最多的那个数, 而不是相同数据出现最多的次数,故②不对,只有①③正确,

故选C.

思想方法技巧

数形结合思想 某工厂有工人 1 000 名, 其中 250 名工人参加过 短期培训(称为 A 类工人),另外 750 名工人参加过长期培训(称 为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类、B 类分两层)从该工 厂的工人中共抽查 100 名工人, 调查他们的生产能力(生产能力 指一天加工的零件数). (1)A 类工人中和 B 类工人中各抽查多少人? (2)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分 别如下表 1 和表 2.

表 1: 生产能 力分组 人数 表 2: 生产能 力分组 人数 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 6 y 36 18 [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 4 8 x 5 3

①先确定x、y的值,再补齐频率分布直方图.就生产能力

而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异
程度哪个更小(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)?

②分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估 计该工厂工人的生产能力的平均数 (同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表).

100 [解析] (1)A 类工人和 B 类工人中分别抽查 250× =25 1000 100 名和 750× =75 名. 1000 (2)①由 4+8+x+5+3=25,得 x=5;由 6+y+36+18= 75,得 y=15. 频率分布直方图如图(1)(2)所示.

从频率分布直方图可以判断,A 类工人中个体间的差异程 度更小. 4 8 5 5 3 - ② x A= ×105+ ×115+ ×125+ ×135+ ×145 25 25 25 25 25 =123, 6 15 36 18 - x B= ×115+ ×125+ ×135+ ×145=133.8, 75 75 75 75 25 75 - x = ×123+ ×133.8=131.1. 100 100 A 类工人生产能力的平均数、B 类工人生产能力的平均数 以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 123,133.8 和 131.1.


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