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高一上学期函数的单调性-奇偶性及周期性知识点和题型



(一)函数的单调性
知识梳理
1.函数单调性定义:对于给定区间 D 上的函数 f(x),若对于任意 x 1 ,x 2 ∈D, 当 x 1 <x 2 时,都有 f(x 1 ) <f(x 2 ),则称 f(x)是区间 D 上的增函数,D 叫 f(x)单调递增区间. 当 x 1 <x 2 时,都有 f(x 1 )> f(x 2 ),则称 f(x)是区间 D 上的减函数,D 叫 f(x)单调递减区间. 2.函数单调性的判断方法: (1)从直观上看,函数图象从左向右看,在某个区间上,图象是上升的,则此函数是增函数,若图象是下降的, 则此函数是减函数。 (2)一般地, 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I . 如果对于属于定义域 I 内某个区间 A 上的任意两个自变量的值 x1 ,

x2 ,且 x1 ? x 2 ,则 x1 ? x2 ? 0
(1) f ?x1 ? - f ?x2 ? ? 0则 ? (2) f ?x1 ? ? f ?x2 ?则 ?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ? x1 ? x2 ? 即f ( x) 在区间 A 上是增函数; x1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ? x1 ? x2 ? 即f ( x) 在区间 A 上是减函数. x1 ? x2

如果函数 y ? f ( x) 在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)的单调性, 这一区间叫做 y ? f ( x) 的单调区间. 单调区间是函数定义域的子区间,因此函数单调性是函数的局部性质,应以定义域为前提;必须指明在某个区间 上函数是增函数或减函数 (3)复合函数单调性判断方法:设 y ? f ?u ? , u ? g ? x ? , x ??a, b?, u ??m, n? 若内外两函数的单调性相同,则 y ? f ? ? g ? x ?? ? 在 x 的区间 D 内单调递增, 若内外两函数的单调性相反时,则 y ? f ? ? g ? x ?? ? 在 x 的区间 D 内单调递减. (同增异减) 3.常见结论 若 f(x)为减函数,则-f(x)为增函数 ; 若 f(x)>0(或<0)且为增函数,则函数
1 在其定义域内为减函数. f ( x)

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【题型一、单调性的判断】
例、写出下列函数的单调区间 (1) y ? kx ? b, (2) y ?

k , x

(3) y ? ax2 ? bx ? c .

如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上, 它是增函 数还是减函数?

【题型二、用定义法证明单调性】
例、定义法证明函数 y=2x+3 在 (??,??) 的单调性.

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例、判断函数 f(x)= x ?

1 在(0,1)上的单调性. x

【变式训练 1】证明函数 f ( x) ?

x?2 在 (?1,??) 上是增函数. x ?1

【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别,记好步骤。

【题型三、单调性的运用】
例、已知 f ( x) ? (?k 2 ? 3k ? 4) x ? 2k ?1 在 R 上是增函数,则 k 的取值范围 .

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例、函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在 ( ??, 4] 上是减函数,则求 a 的取值范围



【变式训练 2】已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ???5,5? 上是单调函数, a 的取值范围是
2



【变式训练 3】函数 f(x)是 R 上的减函数,求 f(a2-a+1)与 f(

3 )的大小关系 4



【题型四、抽象函数的单调性及其应用】
例、已知 y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若 f(m-1)<f(1-2m),则 m 的取值范围是 .

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例、设 f(x)定义在 R+上,对于任意 a、b∈R+,有 f(ab)=f(a)+f(b) 求证: (1)f(1)=0; (2)f( 1 )=-f(x) ; x

(3)若 x∈(1,+∞)时,f(x)<0,则 f(x)在(1,+∞)上是减函数.

【题型五、复合函数的单调性】 例、求函数 f ( x) ?

x 2 ? 2 x ? 3 的单调递减区间。

求 f(x)= x 2 ? 4x ? 5 的单调区间

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课后作业: 一、选择题 1、函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是( A.(-∞,0],(-∞,1] C.[0,+∞),(-∞,1] )

B.(-∞,0],[1,+∞) D.[0,+∞),[1,+∞)

2、当 | x |? 1 时,函数 y ? ax ? 2a ? 1 的值有正也有负,则实数 a 的取值范围是( ) A. a ? ?

1 3

B. a ? ?1

C. - 1 ? a ? ?

1 3

D. - 1 ? a ? ?

1 3


3、 若函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上为增函数, 在区间 (b, c) 上也是增函数, 则函数 f ( x) 在区间 (a, c) 上 ( A. 必是增函数 二、填空题 B. 必是减函数 C. 是增函数或是减函数 D. 无法确定增减性

4、函数 f ( x) ? 2 x 2 ? mx ? 3 ,当 x ? [?2,??) 时,是增函数,当 (??,?2] 时是减函数,则 f(1)=_____________ 5、已知 f ( x) 在定义域内是减函数,且 f ( x) ? 0 ,在其定义域内判断下列函数的单调性: ① y ? f ( x) ? a ( a 为常数)是___________; ③y? ② y ? a ? f ( x) ( a 为常数)是___________; ④ y ?| f ( x) | 是__________.
2

1 是____________; f ( x)

6、函数 f(x) = ax2+4(a+1)x-3 在[2,+∞]上递减,则 a 的取值范围是__
?2x+1,x≥1, ? 7、若函数 f(x)=? 则 f(x)的递减区间是________. ?5-x,x<1, ?



三、解答题 8、讨论函数 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性。

9、设 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,f(2)=1 ,且 f(xy)=f(x)+f(y),求满足不等式 f(x)+f(x-3)≤2 的 x 的取值范 围.

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(二)函数的奇偶性 知识梳理
1、函数奇偶性定义: 1、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为偶函数. 偶函数图象关于 y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为奇函数. 奇函数图象关于原点对称. 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数; 如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数,又是偶函数. 2、函数奇偶性的判定方法:定义法、图像法 (1)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域是否关于原点对称; ②确定 f(-x)与 f(x)的关系; ③作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0 或 f(x)=-f(-x),则 f(x)是奇函数. (2)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对称. (3)利用图像判断函数奇偶性的方法: 图像关于原点对称的函数为奇函数,图像关于 y 轴对称的函数为偶函数. 3、函数奇偶性的性质: 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性. 4、 (1)奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。若 x 是定义域中的一个数值,则 ?x 也必然在定义域中,因此, 函数 y ? f ( x) 是奇函数或是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。换言之,所给函数的定义域 若不关于原点对称,则这个函数必不具奇偶性。 (2)若奇函数 f ( x) 在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 。 (3) F 1 ( x) ? f ( x) ? f (? x) 为偶函数, F2 ( x) ? f ( x) ? f (? x) 为奇函数。 (4)函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的,而单调性是相对于定义域内某个区间而言的,是局部性质。

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【题型一、有关函数奇偶性的判断或证明的问题】
例、判断下列函数的奇偶性。 ①

f ( x) ? ( x ? 1)

1? x , 1? x

② f (x ) ? 9 ? x 2 ,

③ f ( x) ? ?

2 ? ? x ? x ( x ? 0) 2 ? ? x ? x ( x ? 0)

④ f ( x) ?

x2 ?1 1 ? x2

⑤ f ( x) ?

1 ? x2 | x ? 2 | ?2

【方法技巧】判断函数的奇偶性,第一步是要先判断函数的定义域是否关于原点对称,如果不对称,就是非奇 非偶函数,如果对称,接下去再去找f(x)与f(-x)之间的关系,牢记好, f(x)=f(-x)则为偶函数,f(-x)=-f(x) 在 定 义 域 内

则为奇函数。
【变式训练 4】函数 f ( x ) ? x ? A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

1 ( x ? 0) 是( x

) B.偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

【变式训练 5】若函数 y ? x ? bx ? c 是偶函数,则有 (
2

) D. b ? 0, c ? R

A. b ? R, c ? R

B. b ? R, c ? 0

C. b ? 0, c ? 0

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【变式训练 6】设函数 f ( x) ? ax3 ? 2bx ? 1,且 f (?1) ? 3, 则 f (1) 等于( A.-3 B.3 C.-5 D. 5



【题型二、应用函数奇偶性求值、求解析式】
例、 (1)已知偶函数

f ( x) 的定义域是 (??,0) ? (0,??) ,当 x ? 0 时 f ( x) ? x 3 ? 1 ,求 f ( x) 的解析式.

(2)已知奇函数 g ( x ) 的定义域是 R,当 x ? 0 时 g ( x) ? x 2 ? 2 x ,求 g ( x ) 的解析式.

2 【变式训练 7】已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,求 f ( x) 的解析

式。

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【题型三、抽象函数的奇偶性的判断】
例、设函数 f(x),g(x)的定义域为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 )

【变式训练 8】设 f ( x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,在 R 上一定是( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.偶函数 D.非奇非偶函数.

)

【题型四、有关函数奇偶性的综合问题】
例 、 设 奇 函 数 f ( x) 在 (0, ??) 上 为 增 函 数 , 且 f (1) ? 0 , 则 不 等 式

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为 x



) B、 (??, ?1) ? (0,1) C、 (?1, 0) ? (1, ??) D、 (?1, 0) ? (0,1)

A、 (??, ?1) ? (1, ??)

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例、已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 是定义在 ?2a,1 ? a ? 上的偶函数,则 a ?

, b ? ________ .

例、设函数 f ( x) 对任意 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求证 f ( x) 是奇函数;

【变式训练 9】设 f(x)=ax +bx +cx-5(a,b,c 是常数)且 f (?7) ? 7 ,则 f(7)=

5

3



若 y=(m-1)x2+2mx+3 是偶函数,则 m =_________.

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?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? 已知函数 f(x)= ?0, x ? 0, 是奇函数.求实数 m 的值; ? x 2 ? mx, x ? 0 ?

(三)函数的周期性
1.周期函数 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就 称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 例、设 f ( x) 是 (??, ??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,求 f (7.5) 的值。

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例、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则 ( A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

)

【变式训练】设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.

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课后作业
1.函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,则 f(1)等于( A.-7 B.1 C.17 D.25 ) )

2.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]内( A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根

D.必有唯一的实根 ( )

3.已知函数 f(x)=8+2x-x2,如果 g(x)=f( 2-x2 ),那么函数 g(x) A.在区间(-1,0)上是减函数 C.在区间(-2,0)上是增函数 B.在区间(0,1)上是减函数 D.在区间(0,2)上是增函数

4. 若函数 y ? f ( x )( x ? R ) 是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数 y ? f ( x ) 图象上的是( A. (a, ? f (a )) B. ( ? a, ? f (a )) ) C. y ? x
2



C. ( ? a, ? f ( ? a ))

D. (a,f ( ? a ))

5.下列函数中为偶函数的是( A. y ?

x

B. y ? x

D. y ? x ? 1
3

a ? 2x ? a ? 2 6. 已知函数 f ( x) ? 2x ?1
A. ? 1 B. ? 2

( x ? R) 是奇函数,则 a 的值为(
C. 1 D. 2



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7. 设偶函数 f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? ?0,??? 时, f ( x) 是增函数,则 f (?2), ( ) B f (? ) ? f (?2) ? f (?3) D

f (? ) , f (?3) 的大小关系是

A f (? ) ? f (?3) ? f (?2) C f (? ) ? f (?3) ? f (?2)

f (? ) ? f (?2) ? f (?3)

8.若函数 y ? f ( x) 是奇函数, f (1) ? 3 ,则 f (?1) 的值为____________ . 9.已知分段函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? [0,??) 时的解析式为 y ? x 2 ,则这个函数在区间 (??,0) 上的解析式 为 .

10. 判断下列函数是否具有奇偶性: (1) f ( x) ? x ? x3 ? x5 ; (2) f ( x) ? x2 , x ? (?1,3) ;

(3) f ( x) ? ? x 2 ;

(4) f ( x) ? 5 x ? 2 ;

(5) f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 1) .

a 11. 已知函数 f(x)=x2+ (x≠0). x (1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性.

3 3 x+ ?=-f(x),且函数 y=f?x- ?为奇函数,给出以下四个命 12. 已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f? ? 2? ? 4? 题: ①函数 f(x)是周期函数; 3 ? ②函数 f(x)的图象关于点? ?-4,0?对称; ③函数 f(x)为 R 上的偶函数; ④函数 f(x)为 R 上的单调函数.

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其中真命题的序号为________.

变式训练答案: 1、

2、

3、

4、

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5、

6、

7、

8、

9、

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