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正弦函数、余弦函数的性质——周期性


这些都给我们循环往复、周而复始的感觉,这种变化规律称为 这些都给我们循环往复、周而复始的感觉 这种变化规律称为 周期性.我们知道 函数是刻画客观世界变化规律的数学模型,那么 我们知道,函数是刻画客观世界变化规律的数学模型 周期性 我们知道 函数是刻画客观世界变化规律的数学模型 那么 在数学中又如何刻画这种周期性的变化规律呢? 在数学中又如何刻画这种周期性的变化规律呢

正弦函数、 正弦函数、余弦函数的性质 ——周期性 周期性
襄樊四中 朱天斌

一、复习回顾
如何根据正弦线作出正弦函数的图像? 如何根据正弦线作出正弦函数的图像? y=sinx y x0 x0 +2π 0 ? 2π x?2π 4π x+4π x 2π x+ 2π



x

左右无限延展的; 左右无限延展的; 图像特点: 重复出现,即周而复始 重复出现 即周而复始. 即周而复始 自变量 由任意值 增加到 x + 2 , 由任意值x增加到 π 函数值 相等 即 ( x + 2 ) = sin x . 相等, sin π 一般函数f(x)若满足: 若满足: 一般函数 若满足 自变量 由定义域内x增加到 x+TT为非零常数) 由定义域内 增加到 + ( 为非零常数 相等, f 函数值 相等 即 (x+T) = f (x ).

二、周期函数的定义
定义:对于函数 定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数 ,使得对 ,如果存在一个非零常数T, 定义域中每一个值x,都有f(x+T)=f(x),那么函数 定义域中每一个值 ,都有 ,那么函数f(x)就 就 叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期 叫做这个函数的周期. 叫做周期函数,非零常数 叫做这个函数的周期. 1.周期 应该是非零常数.可以是正数,也可以是负数. 周期T应该是非零常数 说明 1.周期 应该是非零常数.可以是正数,也可以是负数.

2.周期函数 ( )=f( 值都恒成立. 2.周期函数f(x+T)= (x)对定义域中每个 值都恒成立 周期函数 )= )对定义域中每个x值都恒成立 ( 思考① y=sinx y 思考①.对y=sinx,有 sin π + π ) = sinπ , 那么π是y=sinx的周期吗? , 的周期吗? 的周期吗 4 2 4 2
? 2π



0

π











x

都是y=sinx的周期. 的周期. 的周期 2π , 4π , 6π , L以及 ?2π , ?4π , ?6π , L 都是 都是y=sinx的周期. 的周期. 事实上 2kπ (k ∈Z, k ≠ 0) 都是 的周期 T为f(x)的周期,那么 、 是它的周期吗? 的周期, 若周期函数的周期不止一个. 是它的周期吗 为 的周期 那么2T 3.周期函数的周期不止一个 若T是f(x)的一个周期,则 的一个周期, 3.周期函数的周期不止一个-T是它的周期吗? 是 的一个周期 kT(k∈Z且k≠0)都是 都是f(x)的周期 的周期. ∈ 且 都是 的周期

二、周期函数的定义
y=sinx
? 2π

y
0



π











x

都是y=sinx的周期. 的周期. 的周期 2π ,4π ,L, ?2π , ?4π ,L, 2kπ (k ∈Z, k ≠ 0) 都是

如果函数周期中有最小的正数, 如果函数周期中有最小的正数,那么这个最小的正 数叫做函数的最小正周期. 数叫做函数的最小正周期.
思考②:f(x)=a(a是常数 是周期函数吗?它有最小正周期吗? 是常数)是周期函数吗 它的周期是多少? 思考② 是常数 是周期函数吗?它有最小正周期吗? 它的周期是多少? c是任意非零常数 都有 是任意非零常数,都有 是任意非零常数 都有f(x+c)=a=f(x). y f(x)=a 书中提到的周期,若无特 书中提到的周期 若无特 别说明,是指最小正周期 是指最小正周期. 别说明 是指最小正周期 x 0

三、正弦、余弦函数的周期性 正弦、
y
?6π ?4π ?2π

0







x

最小正周期是 2 . π
?6π ?4π

正弦函数是周期函数, 都是它的周期, 正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z,且k ≠0)都是它的周期, ∈ 且 都是它的周期

y
0



?2π



x

余弦函数是周期函数, 都是它的周期, 余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z,且k ≠0)都是它的周期 ∈ 且 都是它的周期 最小正周期是 2 . π

四、例题分析
求下列函数的周期. 求下列函数的周期.

( 1 ) y = 3 cos x ( x ∈ R) ( 2 ) y = sin 2 x ( x ∈ R) ( 3 ) y = 2 sin( 1 x ? π ) ( x ∈ R) 2 6

T = 2π T =π T = 4π

探究1:你能从解答过程中归纳一下这些函数的周期 探究1:你能从解答过程中归纳一下这些函数的周期 1: 与解析式中的哪些量有关吗? 与解析式中的哪些量有关吗? 正弦型、余弦型函数的周期只与自变量的系数有关. 正弦型、余弦型函数的周期只与自变量的系数有关.

究: sin , 探 2 y = A (ωx+?), x∈R(Aω,?为 数且 ≠0, 常 , A

ω>0)的 期 什 ? 周 是 么

sin x ( , 是 数 论 函 y 结 : 数 = A (ω +?), x∈R Aω,? 常 , A ω>0且 ≠0)的 期 = 2π . 周 T

ω 同 可 : 数= A ω +?), x∈R 理 证 函 y cos( x (Aω,?是 数ω>0 A≠0)的 期 = 2 . , 常 , 且 周 T π ω

五、巩固练习
1.求下列函数的周期 . (1) y = 3 sin 2 x , x ∈ R
( 2 ) y = sin( π x + π ), x ∈ R T =4 2 3 ( 3 ) y = ? 2 cos( 1 x ? 1 ), x ∈ R T = 6 π 3 2 .函数 y = 2 sin( ω x + π ), x ∈ R (ω > 0 )的最小正周期 3 ω= 1 是 4π , 求 ω 的值 . 2

T =π

3.你认为我们应当如何利用函数的周期性来认识 . 周期函数的其他性质? 周期函数的其他性质? 先在一个周期的区间上研究函数的其他性质, 先在一个周期的区间上研究函数的其他性质,再利 用函数的周期性,将性质推广到整个定义域. 用函数的周期性,将性质推广到整个定义域.

六、课堂总结
1.周期函数的定义: 1.周期函数的定义: 周期函数的定义
对于函数f(x),如果存在一个非零常数 ,使得对定义域中每一 ,如果存在一个非零常数T,使得对定义域中每一 对于函数 非零常数 那么函数f(x)就叫做周期函数 非零常数T 就叫做周期函数, 个值,都有f(x+T)=f(x),那么函数 就叫做周期函数,非零常数 个值,都有 那么函数 叫做这个函数的周期. 叫做这个函数的周期.

2.正弦、余弦函数都是周期函数, ( ∈ 且 2.正弦、余弦函数都是周期函数,2kπ k∈Z,且k ≠0) 正弦 ) 都是它们的周期,最小正周期都是 都是它们的周期 最小正周期都是 2π . 3.函数 3.函数 是常数, 是常数,且 及函数 的周期

七、课后作业
1.课后36页练习1 1.课后36页练习1、2; 课后36页练习 2.课后47页习题3. 2.课后47页习题3. 课后47页习题

八、课后思考
证明:如果函数f(x)的周期为 ,那么函数 的周期为T, 证明:如果函数 的周期为 y=f(ωx)的周期是 ω . 的周期是
T

感谢各位专家的指导
祝同学们学习进步


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