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2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考数学(理科)


秘密★启用前

2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考

数 学 试 题 卷(理科)2014.3
特别提醒:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分。 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只
有 一项是符合题目要求的)

(1)已知复数 z ? (A) i

2i ( i 是虚数单位),则复数 z 的虚部为( 1? i (B)1 (C) ?i (D) ?1



(2)已知条件 p : ? 是两条直线的夹角,条件 q : ? 是第一象限的角。则“条件 p ”是“条件 q ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 甲组 2



(3)(原创)以下茎叶图记录了甲、乙两组各 6 名学生在一次数学测试中的 成绩(单位:分)。已知甲组数据的众数为 124,乙组数据的平均数即为甲组 数据的中位数,则 x 、 y 的值分别为( ) (A)4、5 (C)4、4 (B)5、4 (D)5、5 )

乙组 9 4 4 11 12 13 6 5 4 6

x
7

y

8

(4)(原创)已知实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 1 ,则 xy 的值域为( (A) ? 0,

? 1? ? ? 16 ?

(B) ? ?

? 1 1? , ? 16 16 ? ?

(C) ? ??, )

? ?

1? ? 16 ?

(D) ? ??, ? 8

? ?

1? ?

(5)某几何体的三视图如右图所示,则它的表面积为( (A) 45? (B) 54? (C) 63? (D) 69?

(6)已知一个四面体的一条棱长为 6 ,其余棱长均为 2,则这个四面体的体积 为( ) (B)

(A)1

4 3
3

(C) 2 2

(D)3 )

(7)已知函数 f ? x ? ? x ? 3x ? c 的图像与 x 轴恰好有三个不同的公共点,则实数 c 的取值范围是( (A) ? ?1,1? (B) ? ?1,1? (C) ? ?2, 2 ? (D) ? ?2, 2? )

(8)执行如右图所示的程序框图,则输出的 s 的值等于( (A)13

(B)15 (C)36 (D)49 (9) tan 800 ? 4 cos100 ?

?

?

3 ? sin 700 ?( 2 ? cos 2 100
(C) 2 3



(A) 3

(B)2

(D)4

(10) (原创)已知 D, E , F 分别是 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 上的点,且满足

??? ? ???? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 3 ???? ???? ? ? AB AC ? ? ???? AF ? AB , AE ? AC , AD ? ? ? ??? ? ?? ? R? , 3 4 ? | AB | cos B | AC | cos C ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ? BD sin B AD cos B ? ? ? ???? ? ? ? ? R ? 。则 | EF |:| BC |? ( DE ? DA ? DE ? DC , DF ? ? ? ??? | AD | ? ? | BD |
(A) )

1 3

(B)

1 2

(C)

3 3

(D)

2 2

二.填空题(本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案写在答题卡相应位置上)
(11)正项等比数列 ? an ? 中, a12 a13 ? 9 ,则 log9 a1 ? log9 a2 ? ? ? log9 a24 ? 。 。

(12)已知集合 A ? x ? R | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B ? ? x ? R || x |? 2? ,则集合 A ? B ?
2

?

?

(13)(原创)小钟和小薛相约周末去爬尖刀山,他们约定周日早上 8 点至 9 点之间(假定他们在这一时间段内任一 时刻等可能的到达) 在华岩寺正大门前集中前往, 则他们中先到者等待的时间不超过 15 分钟的概率是 数字作答)。 (用

特别提醒:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,
若三题全做,则按前两题给分。 (14)(原创)如图,在 ?ABC 中, AB ? 3 , BC ? 4 , CA ? 5 , D 是 BC 的中 点,BE ? AC 于 E , 则 EF 的长为 。 BE 的延长线交 ?DEC 的外接圆于 F , (15)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系。已 知 点 P ? ?1 , 0 ? , 若 极 坐 标 方 程 为 ? ? 6 cos ? ? 6sin ? ?

9

?

的曲线与直线

? x ? ?1 ? 4t ( t 为参数)相交于 A 、 B 两点,则 | PA | ? | PB |? ? ? y ? ?3t



(16)若关于实数 x 的不等式 |1 ? 5 x | ? |1 ? 3x |? a | x | 无解,则实数 a 的取值范围是



三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤)

(17) (本小题满分 13 分,⑴小问 6 分,⑵小问 7 分)设 f ? x ? ? e x ax 2 ? 7 x ? 13 ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与直线 l : 2ex ? y ? e ? 0 平行。⑴确定 a 的值; ⑵求函数 f ? x ? 的单调区间。

?

?

?

?

(18)(本小题满分 13 分,⑴小问 5 分,⑵小问 8 分)(原创)小张有 4 张 VCD 光盘和 3 张 DVD 光盘,小王有 2 张 VCD 光盘和 1 张 DVD 光盘,所有 10 张光盘都各不相同。现小张和小王各拿一张光盘互相交换,求:⑴小张恰有 4 张 VCD 光盘的概率;⑵小张的 DVD 光盘张数 X 的分布列与期望。

(19)(本小题满分 13 分,⑴小问 5 分,⑵小问 8 分)(原创)如图,在四面 体 A ? BCD 中, AD ? 平面 BCD , BC ? CD , CD ? 2 , AD ? 4 。 M 是 AD 的 中点, P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ ? 3QC 。⑴证明 : PQ // 平面

A

M P B Q C
y D B

BCD;⑵若异面直线 PQ 与 CD 所成的角为 450 ,二面角 C ? BM ? D 的大小为 ? ,
求 cos ? 的值。 (20)(本小题满分 12 分,⑴小问 5 分,⑵小问 7 分)(原创)在 ?ABC 中,

D

n i B ? as n i A ? c ? 3 as n i 内角 A 、B 、C 的对边分别是 a 、 且bs b 、c ,
2

?

?C



⑴求角 B 的大小;⑵设 b ? 4b cos ? A ? C ? ? 4 ? 0 ,求 ?ABC 的面积 S 。

(21) (本小题满分 12 分,⑴小问 5 分,⑵小问 7 分) (原创)如图所示, 椭圆 ? :

F1 C A

O

F2

x

x y ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,椭圆 ? 上的点到 2 a b

2

2

F1 , F2 的距离之差的最大值为 2,且其离心率 e 是方程 4 x2 ? 8x ? 3 ? 0 的根。⑴
求椭圆 ? 的方程;⑵过左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 ? 相交于 A, B 两点,与圆

x 2 ? y 2 ? a 2 相交于 C , D 两点,求

| AB | 的最小值,以及取得最小值时直线 l 的方程。 | CD |

(22) (本小题满分 12 分,⑴小问 3 分,⑵小问 4 分,⑶小问 5 分) (原创)在数列 ? an ? 中,已知 a1 ? 1 ,a2 ? 3 ,

其前 n 项和 S n 满足 Sn ?

n ? a1 ? an ? ? n ? N ? ? 。⑴求 a3 , a4 , a5 的值;⑵求 an 的表达式;⑶对于任意的正整数 n ? 2 ,求 2
n ?1 2 。

证: a1a2 ?an ? ? 2n ? 1?

命题人:薛廷兵 审题人:梁 波

2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考

数 学 答 案(理科)2014.3
一.选择题:BDACB ACDCD 二.填空题:11.12;12. ? x | ?1 ? x ? 2? ;13.

7 14 ;14. ;15.2;16. ? ??,8? 16 15

x 2 x x 2 17.解:⑴由题 f ? ? x ? ? e ax ? 7 x ? 13 ? e ? 2ax ? 7 ? ? e ? ? ax ? ? 2a ? 7 ? x ? 6 ? ? ,故 f ? ?1? ? e ? 3a ? 1? 。因

?

?

直线 l 的斜率为 2e ,故 e ? 3a ? 1? ? 2e ,从而 a ? 1 ;
x 2 x ⑵ f ? ? x ? ? e x ? 5 x ? 6 ? e ? x ? 2 ?? x ? 3? ,由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 2 或 x ? 3 ,由 f ? ? x ? ? 0 得 2 ? x ? 3 。故

?

?

f ? x ? 的单增区间为 ? ??, 2 ? 和 ? 3, ?? ? ,单减区间为 ? 2, 3 ? 。

则 A, B 互斥,且 P ? A? ?

4?2 8 3 ?1 3 11 ? , P ? B? ? ? ,故所求概率为 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? ? ; 7 ? 3 21 7 ? 3 21 21 3? 2 2 4 ? 2 ? 3 ?1 11 ⑵ X 所有可能取值为 2,3, 4 ,且 P ? X ? 2 ? ? ? , P ? X ? 3? ? ? , 7 ?3 7 7 ?3 21 3 X 2 4 ?1 4 2 11 4 61 2 11 。 P ? X ? 4? ? ? 。故 X 的分布列如右表, X 的期望 EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? P 7 ? 3 21 7 21 21 21 7 21 19.法一:⑴如图,连 AP 并延长交 BD 于 E ,连 CE ,过 M 作 MN // BD 交 AP 于 N ,
, 从而 PQ // CE 。 因 PQ ? 平面 BCD , CE ?

18. 解: ⑴记事件 A 为 “小张和小王各拿一张 VCD 光盘交换” , 事件 B 为 “小张和小王各拿一张 DCD 光盘交换” ,

4

4 21

则 AN ? NE , 故A NP ? PE 。 P ?P E 3 平面 BCD ,故 PQ // 平面 BCD ;

A

⑵过 C 作 CF ? BD 于 F ,作 CR ? BM 于 R ,连 FR 。因 AD ? 平面 BCD , 故平面 ABD ? 平面 BCD ,故 CF ? 平面 ABD ,因此 CF ? BM ,从而 BM ? 平面

RCF , 所 以 ?CRF ? ? 即 为 二 面 角 C ? BM ? D 的 平 面 角 。 因 PQ // CE , 故
?DCE ? 450 ,因此 CE 即为 ?BCD 的角平分线。由⑴易知 DE ? 2MN ? 2EB ,故
2 ? 。由题易知 BC ? 平面 ACD ,故 DC ? 2BC ,从而 BC ? 1 , CF ? 5 12 ? 22 1? 2

N R B F P Q E C
A

M

D

BC ? CM 。由题 CM ? 2 2 ,故 CR ?
1 10 ? 。 10 10

1? 2 2 2 2 CF ? 。所以 sin ? ? ? 3 CR 1? 8

3 , 10

z

从而 cos ? ?

M P Q B C D x

法二: 如图建立空间直角坐标系, 则 C ? 0, 0, 0 ? ,D ? 2, 0, 0 ? ,A ? 2, 0, 4 ? ,M ? 2, 0, 2 ? , y

Q ?1 2, 0,1? 。
??? ? ??? ?

⑴设 B ? 0, y, 0 ? ,则 P ?1, y 2,1? ,因此 QP ? ?1 2, y 2, 0 ? 。显然 DA ? ? 0, 0, 4 ? 是平面 BCD 的一个法向量,且

??? ? ??? ? QP ? DA ? 0 ,所以 PQ // 平面 BCD ;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 y2 QP ? CD 0 ? ??? ? 得 y ? 1,因此 B ? 0,1, 0 ? ,从而 ? ⑵由⑴ QP ? CD ? 1 , | QP |? , | CD |? 2 ,故由 cos 45 ? ??? 4 4 | QP || CD |
??? ? ???? ? ?? ? 2 x1 ? y1 ? 0 BD ? ? 2, ?1, 0 ? , BM ? ? 2, ?1, 2 ? 。设 m ? ? x1 , y1 , z1 ? 是平面 BMD 的法向量,则 ? ,取 x1 ? 1 得 ? 2 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ?? ? ? ? y1 ? 0 m ? ?1, 2, 0 ? 。设 n ? ? x2 , y2 , z2 ? 是平面 BMC 的法向量,则 ? ,取 x1 ? 1 得 n ? ?1, 0, ?1? 。故 ? 2 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ?? ? m?n 10 cos ? ?| ?? ? |? 。 10 | m || n |

2 2 2 20.解:⑴由正弦定理可得 b ? a ? c ? 3a c ,即 3ac ? a ? c ? b ,故由余弦定理得
2 2

?

?

cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 3 0 ,因此 B ? 30 ; ? 2ac 2
2

⑵因 ? ? 16 cos

0 ? A ? C ? ? 16 ? ?16sin 2 ? A ? C ? ? 0 ,故 sin 2 ? A ? C ? ?

,得 A ? C ,且 b ?

4cos

? A?C? ? 2 。
2

故 22 ? 2a 2 ? 2a 2 cos300 ,得 a 2 ?

4 1 ? 8 ? 4 3 ,故 S ? a 2 sin 300 ? 2 ? 3 。 2 2? 3
2

21.解:⑴设 P 是椭圆 ? 上任意一点,则 | PF1 | ? | PF2 |?| F1F2 |? 2c ,故 c ? 1 。解方程 4 x ? 8x ? 3 ? 0 得 x ? 或x?

1 2

x2 y2 3 1 c 2 。因 0 ? e ? 1,故 ? e ? ,因此 a ? 2 ,从而 b ? 3 。所以椭圆 ? 的方程为 ? ? 1; 4 3 2 2 a
a2 3 3 , | F1 A |? ,故 ? c ? 3 ,设 ?OF1 B ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ,则 | F1B |? c 2 ? cos ? 2 ? cos ?

⑵法一:焦准距 p ?

12 | AB |2 1 36 2 2 2 | CD | ? 2 2 ? sin ? ? 2 3 ? cos ? 。易知 ,故 。令 | AB |? ? ? 2 2 2 4 ? cos ? | CD | 3 ? cos ? ? 4 ? cos 2 ? ?2
t ? 4 ? cos 2 ? ? ?3, 4? , 则

| AB |2 36 t ? 2 。 令 f ?t ? ? 2 | CD | t ?7 ? t ?

2

t ?, t 2? 1 4 t ?t 1 4 0 则 f ? ?t ? ?? 3 ?7 ? ? ?3t ??

, 故 f ?t ? 在

?3, 4? 单调递增,从而 f ? t ? ? f ? 4 ? ? 48 ,得


| AB | 2 36 3 | AB| 3 ? ? ? ? ? ,当且仅当 t ? 4 即 ? ? 时取等号。所 2 | CD | 48 4 | CD| 2 2

3 | AB | 的最小值为 ,取得最小值直线 l 的方程为 x ? ?1 。 2 | CD |
法二:当 l ? x 轴时易知 | AB |? 3 , | CD |? 2 3 ,有

| AB | 3 。当 l 与 x 轴不垂直时,设 l : y ? k ? x ? 1? ,代 ? | CD | 2



x2 y2 ? ? 1 并整理得 ? 4k 2 ? 3? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,故 4 3
2 2

| AB | ? ?1 ? k

?? x ? x ?
1 2

2

2 ?? ?8k 2 ?2 |k| 4k 2 ? 12 ? ? 12k 2 ? 12 ? , 故 ? ?1 ? k ? ?? 2 ??? ? ? 4? 2 ? 。圆心 O 到 l 的距离 d ? 2 2 4 k ? 3 4 k ? 3 4 k ? 3 k ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? 2

? k 2 ? 12k 2 ? 16 | AB |2 2 | CD |2 ? 4 ? 4 ? 2 ? ? ,令 ,则 t ? k ? 1 ? k ?1? k 2 ?1 | CD |2 ?

36t 3

? 4t ? 1? ? 3t ? 1?
2

?

36 1 ?1? ?1? ? ? ? 5 ? ? ? 8 ? ? 48 t ?t? ?t ?
3 2

。令 s ?

1 3 2 ,且 f ? s ? ? s ? 5s ? 8s ? 48 ,则 t

f ? ? s ? ? 3s 2 ? 10s ? 8 ? ? 3s ? 2 ?? s ? 4 ? 。因 t ? 1 ,故 s ? ? 0,1? ,因此 f ? ? s ? ? 0 ,从而 f ? s ? ? f ? 0 ? ? 48 ,可知
为 x ? ?1 。 22.解:⑴依次令 n ? 3, 4,5 可得 a3 ? 5 , a4 ? 7 , a5 ? 9 ; ⑵法一: 由⑴猜想 an ? 2n ? 1, 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1, 2 时结论显然成立; ②假设 n ? k ? k ? N , k ? 2 ? 时结论成立,即 ak ? 2k ? 1 ,则 ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ?

| AB |2 36 3 | AB | 3 3 | AB | ? ? ? ? 。综上知 的最小值为 ,取得最小值直线 l 的方程 2 | CD | 48 4 | CD | 2 2 | CD |

k ?1 ?1 ? ak ?1 ? 2

?

k ? 2k ? 1? k 1 k ?1 ak ?1 ? ? ? k ? 1? ak ?1 ? 2k 2 ? k ? 1 ? ak ?1 ? 2k ? 1 , 故当 n ? k ? 1 时结论成立。 综上 ?1 ? ak ? ? ? 2 2 2 2
法二:猜想 an ? 2n ? 1,下面用第二数学归纳法证明:①当 n ? 1, 2 时结论显然成立;②假设 n ? k ? k ? N , k ? 2 ?

知结论成立。

时结论成立,即 am ? 2m ? 1 m ? k , m ? N

?

?

? ,则 k 2?1 ?1? a

k ?1

??

Sk ?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? 2k ? 1? ? ak ?1 ? k 2 ? ak ?1 ? ? k ? 1? ak ?1 ? 2k 2 ? k ? 1 ? ak ?1 ? 2k ? 1 ,故当 n ? k ? 1 时结论成立。
综上知结论成立。 法三:由题 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ?

n ?1 n ?1 ? an?1 ? ? ?1 ? an ? ? nan ? ? n ? 1? an?1 ? 1 ,当 n ? 2 时, 2 2

n ?1 an a a ? n ?1 ? 1 1 ? 1 1 1 ? a ? n ?1 ? ? ? ,故 ? ? i ? i ?1 ? ? ? ? ? ? ,因此 n ?1 n n ? n ? 1? n ? 1 n i ? i ?2 ? i ? 1 i ? i ?2 ? i ? 1

a2 ?

an 1 ? 1? ? an ? 2n ? 1? n ? 2 ? 。又 a1 ? 1 ,故 an ? 2n ? 1。 n ?1 n ?1

⑶法一:由⑵知 ? an ? 为等差数列,故 a1 ? an ?1 ? a2 ? an ? ? ? an ? a2 ? an ?1 ? a1 。由

? x ? y? xy ?
4

2

? x ? y? ?
4

2



x ? y 一定时,要使 xy 最小,则 | x ? y | 最大。显然 | a1 ? an ?1 |?
| ak ? an ? 2? k | ? 2 ? k ? n ? ,故 ? a1a2 ? an ?1 ? ? ? a1an ?1 ?? a2 an ?? ? an ?1a1 ? ? ? a1an ?1 ?
2 n ?1

,因此

a1a2 ?an?1 ? ? a1an?1 ?
k n

n ?1 2

? ? 2n ? 1?
k

n ?1 2 ,从而

a1a2 ?an ? ? 2n ? 1?
k

n ?1 2 。

n ? n ? 1?? ? n ? k ? 1? ? 1 ? ? 2 ? 法二:因为 C ? ? ? ? ? ? 1? k ? N ,1 ? k ? n ? ,所以 k! ? 2n ? 1 ? ?n?
n 2 ? 2 ? n n ?1 ? k ? 1 ? ? ? ? ? Cn ? ? ? n ? 1 ? 2n ? 1 ,故 ? 2n ? 3? ? ? 2n ? 1? ,因此 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ? k ?0 n k

? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1? 2
n ?1

n

,从而

? ? 2i ? 1? ? ?
i ?1 i ?1

n ?1

n ?1

? 2i ? 3? 2 ? 2i ? 1? 2
i ?1

i

? ? 2n ? 1?

n ?1 2

,即 a1a2 ?an ? ? 2n ? 1?

n ?1 2 。

法三:①当 n ? 2 时不等式显然成立;②假设 n ? k ? k ? 2 ? 时不等式成立,即
k ?1 2

a1a2 ?ak ? ? 2k ? 1?

,则如“法二”可证 ak ?1 ? 2k ? 1 ?

? 2k ? 3 ? 2 ? 2k ? 1?
k ?1 2

k

,故 a1a2 ? ak ?1 ?

? 2k ? 1?

k ?1 2

? 2k ? 3 ? 2 ? ? 2k ? 1? 2

k

k ?1

? ? 2k ? 3? 2 ,即当 n ? k ? 1 时不等式成立。综上得证。

k


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