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放缩法技巧全总结


高考数学备考-------放缩技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而 综合地考查学生的潜能与后继学习能力, 因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。 这类问题的 求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩 技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 n n 例 1.(1)求 ? 2 的值; (2)求证: ? 1 ? 5 . 2 2 3 k ?1 4 k ? 1 k ?1 k 解析:(1)因为 (2)因为
2 4n ? 1
2

?
4

2 1 1 ,所以 n 2 1 2n ? ? ? 4k 2 ? 1 ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 k ?1

1 ? n2

1 n2 ? 1 4

?

n 1 ? ,所以 ? 1 ? 1 ? 2? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 2 ? 5 ? 1 ? ? 2 ? 2? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5 k ?1 k 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

奇巧积累:(1)

1 4 4 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? n 2 4 n 2 4 n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?
r ?1 r ? Cn ?

(2)

1 2 1 1 ? ? ? 1 2 C n ?1C n (n ? 1)n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)

(3) T

1 n! 1 1 1 1 1 ? ? r ? ? ? ? (r ? 2) r r!(n ? r )! n r! r (r ? 1) r ? 1 r n

(4) (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
n 2 ?1 3? 2

1 5 ? n(n ? 1) 2

(5)

1 1 1 ? ? 2 n (2 n ? 1) 2 n ? 1 2 n

(6)

1 ? n?2 ? n n?2
? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 1 1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 (2n ? 3) ? 2 n

(7) 2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? n ? 1)
n

(8) ? 2 ? 1 ? ? 1 ? ? ? n

(9)

1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ? , ? ? ? ? k ( n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n( n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ?
n 1 1 ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !

(10)

(11)

1 n

? 2 ( 2 n ? 1 ? 2 n ? 1) ?

2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1

?

2 1 1 n? ? n? 2 2

(11) (12)

2n 2n 2n 2n ?1 1 1 ? n ? n ? n ? ? (n ? 2) 2 n n (2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 2) (2 ? 1)( 2n ?1 ? 1) 2 n ?1 ? 1 2n ? 1
n

1 n3

?

1 n ? n2

?

1 n(n ? 1)( n ? 1)

? ? 1 1 1 ?? ?? ? ? n(n ? 1) n(n ? 1) ? n ? 1 ? n ? 1 ? ?

1 ? n ?1 ? n ?1 ? 1 ?? ? ? ?? n ?1 ? 2 n ? n ?1

1 n ?1

?

1 n ?1

(13) (14)

2n ?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ?
k?2 1 1 ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) !

2n 1 2n ? n ? 3 2 ?1 3

(15)

1 ? n ? n ? 1(n ? 2) n(n ? 1)

(15)

i2 ? 1 ? j 2 ? 1 i2 ? j 2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ?

j ? 1)
2

?

i? j i ?1 ?
2

j2 ?1

?1

例 2.(1)求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2 2
3 5

1 7 1 ? ? (n ? 2) (2n ? 1) 2 6 2(2n ? 1)

(2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 2
4 16 36 4n 2
2?4 2?4?6

4n

(3)求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1
2 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
n

(4) 求证: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1)
2 3

解析:(1)因为

1 1 1? 1 1 ? ,所以 ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? (2i ? 1)
i ?1

n

1

2

1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? 1? ( ? ) 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1

(2) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ? 1 ) 2 2 2
4 16 36 4n 4 2 n 4 n

(3)先运用分式放缩法证明出 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1

,再结合

1 n?2

? n?2 ? n

进行裂项,最后就可以得到答

案 (4)首先
1 n ? 2( n ? 1 ? n ) ? 2 n ?1 ? n

,所以容易经过裂项得到
1 n

2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

???

再证
1 n ? 2 ( 2 n ? 1 ? 2 n ? 1) ? 2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? n? 2 1 1 ? n? 2 2

而由均值不等式知道这是显然成立的,所以

1?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 1)

例 3.求证:

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)( 2n ? 1) 4 9 n 3
1 ? n2 1 n2 ? 1 4 ? 1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4
2

解析:一方面:因为

,所以

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

另一方面:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2
4 9 n 2?3 3? 4

1 1 n ? 1? ? n(n ? 1) n ?1 n ?1

当 n ? 3 时, 当 n ? 2 时,

6n 1 1 1 n 6n ,当 n ? 1 时, ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)( 2n ? 1) 4 9 n n ? 1 (n ? 1)( 2n ? 1)
6n 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? 2 ,所以综上有 (n ? 1)( 2n ? 1) 4 9 n

,

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)( 2n ? 1) 4 9 n 3

例 4.设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1 . a

n ?1

1) ? f (an ) .设 b ? (a1, ,整数 k ≥ a1 ? b

.证明: ak ?1 ? b .

a1 ln b

解析:由数学归纳法可以证明 ?an ? 是递增数列,故存在正整数 m ? k ,使 am ? b ,则
ak ?1 ? ak ? b ,否则若 am ? b(m ? k ) ,则由 0 ? a1 ? am ? b ? 1 知

am ln am ? a1 ln am ? a1 ln b ? 0 , a

k ?1

? ak ? ak ln ak ? a1 ? ? am ln am ,因为 ? am ln am ? k (a1 ln b) ,
m ?1 m ?1

k

k

于是 ak ?1 ? a1 ? k | a1 ln b |? a1 ? (b ? a1 ) ? b 例 5.已知 n, m ? N ? , x ? ?1, Sm ? 1m ? 2m ? 3m ? ? ? nm ,求证: nm ?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m ?1 ? 1 . 解析:首先可以证明: (1 ? x)n ? 1 ? nx
n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 2) m ?1 ? ? ? 1m ?1 ? 0 ? ?[k m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ] 所以要证
n k ?1

n m ?1 ? (m ? 1) Sn ? (n ? 1) m ?1 ? 1 只要证:

?[k
k ?1

n

m ?1

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? (n ? 1) m ?1 ? 1 ? (n ? 1) m ?1 ? n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? ? ? 2m ?1 ?1m ?1 ? ?[( k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ]
k ?1 k ?1 m ?1

n

n

故只要证

? [k
k ?1

n

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? ?[( k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ] ,即等价于
k ?1 k ?1

n

n

k m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ? (m ? 1)k m ? (k ? 1) m ?1 ? k m ,即等价于1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 ) m ?1 ,1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 ) m ?1 k k k k

而正是成立的,所以原命题成立. 例 6.已知 an ? 4n ? 2n , T ? n
2n a1 ? a2 ? ? ? an

,求证: T ? T ? T ? ? ? T ? 3 . 1 2 3 n
2

n n 解析: T ? 41 ? 42 ? 43 ? ? ? 4n ? (21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 4(1 ? 4 ) ? 2(1 ? 2 ) ? 4 (4n ? 1) ? 2(1 ? 2n ) n

1? 4

1? 2

3

所以
Tn ?

2n 2n 2n 3 ? 2n 3 2n ? n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? 4 n 4 4 4 2 4 ? 3 ? 2n ?1 ? 2 2 2 ? (2n ) 2 ? 3 ? 2n ? 1 n n ?1 n ?1 (4 ? 1) ? 2(1 ? 2 ) ? ?2?2 ? ?2 3 3 3 3 3
3 2n 3? 1 1 ? ? ? ? ? ? n 2 (2 ? 2 ? 1)( 2 n ? 1) 2 ? 2 n ? 1 2 n ?1 ? 1 ?

?

从而 T ? T ? T ? ? ? T ? 3 ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? 1 2 3 n n
2? 3 3 7 2 ?1

1 ? 3 ?? 2 n ?1 ? 1 ? 2

例 7.已知 x1 ? 1 , x ? ?n(n ? 2k ? 1, k ? Z ) ,求证: ? n
?n ? 1(n ? 2k , k ? Z )
1
4

1
4

x2 ? x3
1
4

?

1
4

x4 ? x5
?
4

???

x2 n x2 n ?1
?

? 2 ( n ? 1 ? 1)( n ? N *)

证明:

1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 1
4

1
4

x 2 n x 2 n ?1

4n ? 1
2

?

1
4

4n

2

? 2

1 2? n

?

2 2 n

,因为

2 n ? n ? n ? 1 ,所以

x 2 n x 2 n ?1

?

2 2 n

?

n ? n ?1

? 2( n ?1 ? n)

所以
4

1 x2 ? x3

?

1
4

x4 ? x5

???

1
4

x2 n x2 n ?1

? 2 ( n ? 1 ? 1)( n ? N *)

二、函数放缩 例 8.求证: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 5n ? 6 (n ? N * ) . n
n

2

3

4

3

6

解析:先构造函数有 ln x ? x ? 1 ? ln x ? 1 ? 1 ,从而 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3n
x x

2

3

4

3n

1 1 1 ? 3n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ) 2 3 3

因为 1 ? 1 ? ? ?
2 3

1 ?1 1? ?1 1 1 1 1 1? 1 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? 3n ? 2 3 ? ? 4 5 6 7 8 9 ? 2 ?1 3 ? ?2

?

? 3 n ?1 5 ? 3 3? ? 9 9 ? 3 n ?1 ? 5n ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 2 ? 3 n ?1 ? 3 n ? ? 6 ? 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? ? ?
n

所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 1 ? 5n ? 3n ? 5n ? 6 n
2 3 4 3 6 6
? ? ? 2 例 9.求证:(1) ? ? 2, ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 2n ? n ? 1 (n ? 2) ? ? ?

2

3

n

2(n ? 1)
n

解析:构造函数

f ( x) ?

? ln n 2 ln x ,得到 ln n ? 2 x n? n

2 ,再进行裂项 ln n ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 2

n

1 ,求和后可以得到答案 n(n ? 1)

函数构造形式: ln x ? x ? 1 , ln n? ? n? ? 1(? ? 2) 例 10.求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1
2 3 n ?1 2 n

解析:提示: ln(n ? 1) ? ln n ? 1 ? n ? ? ? 2 ? ln n ? 1 ? ln n ? ? ? ln 2
n n ?1
1 x
y

1

n

n ?1

函数构造形式:

ln x ? x, ln x ? 1 ?

当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 f ( x) ? 1 ,
x

首先: S

ABCF

?

1 ?i x n?

n

n ,从而, 1 ? i ? 1 ? ln x |n ? ln n ? ln(n ? i) n ?i ?

n

n ?i

x

E F O A n-i n

D C B x

取 i ? 1有, 1 ? ln n ? ln(n ? 1) ,
n

所以有 1 ? ln 2 , 1 ? ln 3 ? ln 2 ,…, 1 ? ln n ? ln(n ? 1) , 1 ? ln(n ? 1) ? ln n ,相加后可以得到: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln(n ? 1)
2

3

n

n ?1

2

3

n ?1

另一方面 S 取 i ? 1有,

ABDE

?

1 n ?i x

?

n

,从而有 1 ? i ?
n?i

n ?i

?

n

1 ? ln x |n ? i ? ln n ? ln(n ? i ) n x

1 ? ln n ? ln(n ? 1) , n ?1
1 1 1 ? ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ? n ?1 2 n

所以有 ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,所以综上有 1 ? 1 ? ? ?
2 n

2

3

例 11.求证: (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ) ? e 和 (1 ? 1 )(1 ?
2! 3! n!
9

. 1 1 ) ? ? ? (1 ? 2 n ) ? e 81 3

解析:构造函数后即可证明 例 12.求证: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? ? ? [1 ? n(n ? 1)] ? e 2n?3 解析:
ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ?

,叠加之后就可以得到答案 3 n(n ? 1) ? 1
3 1 ? ln(1 ? x) 3 ( x ? 0) ? ? ( x ? 0) x ?1 x x ?1

函数构造形式:

ln( x ? 1) ? 2 ?

(加强命题)

例 13.证明: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ?
3 4 5

ln n n(n ? 1) ? (n ? N *, n ? 1) n ?1 4

解析:构造函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) ,求导,可以得到:
f ' ( x) ? 1 2 ? x ,令 ?1 ? x ?1 x ?1

f ' ( x) ? 0 有1 ? x ? 2 ,令 f ' ( x) ? 0 有 x ? 2 ,

所以 f ( x) ? f (2) ? 0 ,所以 ln( x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n2 ? 1 有, ln n2 ? n2 ? 1 所以 ln n
n ?1 ? n ?1 2

,所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ?
3 4 5

ln n n(n ? 1) ? (n ? N *, n ? 1) n ?1 4

例 14. 已知 a 解析:
a n ?1 ? (1 ?

1

? 1, an?1 ? (1 ?

1 1 证明 a ? e2 . n )an ? n . n2 ? n 2

, 1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? ? )a n n(n ? 1) n(n ? 1) 2 n 2
ln a n ?1 ? ln(1 ? 1 1 ? ) ? ln a n n(n ? 1) 2 n

然后两边取自然对数,可以得到

然后运用 ln(1 ? x) ? x 和裂项可以得到答案) 放缩思路: 1 1 1 1
a n ?1 ? (1 ? n2 ? n ? 2n )a n ?

ln an?1 ? ln(1 ?

n2 ? n

?

2n

) ? ln an ?

? ln a n ?

1 1 ? n2 ? n 2n
n ?1 i ?1

。于是

ln an?1 ? ln a n ?

1 1 ? n2 ? n 2n



?
i ?1

n ?1

(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ? (

1 1 1 ? ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? n i 2 ? i 2i

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 1 n 2 1? 2

即 ln an ? ln a1 ? 2 ? an ? e 2 . 注:题目所给条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然, 本题还可用结论 2 n ? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩:
a n ?1 ? (1 ? 1 1 )a n ? ? n(n ? 1) n(n ? 1)
a n ?1 ? 1 ? (1 ? 1 )( a n ? 1) ? n(n ? 1)
n ?1 n ?1 , 1 1 1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 )? . ? ? [ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(a i ? 1)] ? ? i (i ? 1) n n(n ? 1) n(n ? 1) i ?2 i ?2

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

即 ln(a n ? 1) ? 1 ? ln 3 ? a n ? 3e ? 1 ? e 2 . 例 15. 已知函数 f (x) 是在 (0,??) 上处处可导的函数,若 x ? f ' ( x) ? (I)求证:函数
g ( x) ? f ( x) 在(0,??) x

f ( x) 在 x ? 0 上恒成立.

上是增函数;

(II)当 x1 ? 0, x2 ? 0时, 证明 : f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ; (III)已知不等式 ln(1 ? x) ? x在x ? ?1且x ? 0 时恒成立, 求证:
1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 3 2 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)( n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2 (n ? N * ).

解析:(I) g ' ( x) ? (II)因为
g ( x) ? f ( x) 在(0,??) x

,所以函数 上是增函数 f ' ( x) x ? f ( x) f ( x) ?0 g ( x) ? 在(0,??) x2 x 上是增函数,所以

f ( x1 ) f ( x1 ? x 2 ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x 2 ) x1 x1 ? x 2 x1 ? x 2
f ( x 2 ) f ( x1 ? x 2 ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x 2 ) x2 x1 ? x 2 x1 ? x 2

两式相加后可以得到 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) (3)
f ( x1 ) f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) x1 x1 ? x 2 ? ? ? x n x1 ? x 2 ? ? ? x n

f ( x 2 ) f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) x2 …… ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) x2 x1 ? x 2 ? ? ? x n x1 ? x 2 ? ? ? x n

f ( x n ) f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) xn ? ? f ( xn ) ? ? f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) xn x1 ? x 2 ? ? ? x n x1 ? x 2 ? ? ? x n

相加后可以得到:
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn )

所 以 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x3 ln x3 ? ? ? xn ln xn ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) l n ( 1 ? x2 ? ? ? xn ) x
? 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? 2 ln 2 2 ? 2 ln 3 2 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? ? 2 3 4 (n ? 1) 2 ? ?



xn ?

1 (1 ? n) 2

,有

? 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ??? ?2 3 4 (n ? 1) 2 ?
? 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ??? ?2 3 (n ? 1) 2 ?

? ? 1 1 1 ? ? ln ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?2 3 (n ? 1) 2 ? ?

? ? ? ?

? ? 1 1 1 ? ? ? ln ? ? ? ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1)n ? ? ? ?

1 ?? 1 1 ? n ? ? ?? ?? ? ??? 2(n ? 1)( n ? 2) ? n ? 1 ?? 2 n ? 2 ?

所以

1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 3 2 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)( n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2
? ln(n ? 1) 2 ln 4 1 ? ? 1 ? ? ln 4? ? ? (n ? 1)( n ? 2) (n ? 1)( n ? 2) ? n ?1 n ? 2 ?

(n ? N * ).

(方法二) ln(n ? 1) 2
(n ? 1)
2

所以

1 1 1 1 1 ? n ln 4 ?1 ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? ln 4? ? ?? 22 3 4 (n ? 1) 2 ? 2 n ? 2 ? 2(n ? 2)

又 ln 4 ? 1 ?

1 ,所以 1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 3 2 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? (n ? N * ). n ?1 2(n ? 1)( n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2

例 16. 已知函数 f ( x) ? x ln x. 若 a ? 0, b ? 0, 证明 : f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b). 解析:设函数 g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x), (k ? 0)
? f ( x) ? x ln x, ? g ( x) ? x ln x ? (k ? x) ln(k ? x), ? 0 ? x ? k. ? g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln(k ? x) ? 1 ? ln x , k?x x 2x ? k k 令g ?( x) ? 0, 则有 ?1? ? 0 ? ? x ? k. k?x k?x 2
k g ( x)在[ , k 2

∴函数

)上单调递增,在 (0, k ] 上单调递减.
2
k g( ) 2

∴ g (x) 的最小值为 而 g( k ) ?
2

,即总有 g ( x) ? g ( k ).
2

k k k f ( ) ? f (k ? ) ? k ln ? k (ln k ? ln 2) ? f (k ) ? k ln 2, 2 2 2

? g ( x) ? f (k ) ? k ln 2,

即 f ( x) ? f (k ? x) ? f (k ) ? k ln 2. 令 x ? a, k ? x ? b, 则 k ? a ? b.
? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2.
? f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).

三、分式放缩 姐妹不等式: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0)
a a?m a a?m

记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之. 例 19. 姐妹不等式: (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 2n ? 1 和
3 5 2n ? 1
1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 6 2n 1 2n ? 1
1 2n ? 1

也可以表示成为

和 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? 2n ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1)
a

解析: 利用假分数的一个性质 b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 可得
a?m

2 4 6 2n ? ? ? ? 3 ? 5 ? 7 ? 2n ? 1 ? 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? (2n ? 1) 2 4 6 2n

? ( 2 ? 4 ? 6 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ?

1 3 5

2n ? 1

3

5

1 ) ? 2n ? 1. 2n ? 1

1 1 1 例 20.证明: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2 解析: 运用两次次分式放缩:
2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n ? ? ??? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ? 1
2 5 8 3n ? 1 4 7 10 3n ? 1 ? ? ??? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 3 6 9 3n

(加 1) (加 2)

相乘,可以得到:
3n ? 1 ? 4 7 10 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2 ?2 5 8 ? ? ? ??? ? (3n ? 1) ? ? ? ??? ? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 ? 2 5 8 3n ? 1 2 5 8 3n ? 1 ?
2

所以有 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 3 3n ? 1.
4 7 3n ? 2

四、分类放缩 例 21.求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3 1 n ? 2n ? 1 2

解析: 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( ? ) ? ( 3 ? 3 ? 3 ? 3 ) ??? 2 4 4 2n ? 1 2 2 2 2

(

1 1 1 1 n 1 n ? n ? ? ? n ) ? n ? ? (1 ? n ) ? n 2 2 2 2 2 2 2

例 22.
OAn ? OBn ?

在平面直角坐标系 xoy 中, y 轴正半轴上的点列 ?A ? 与曲线 y ?
n

2x

( x ≥0)上的点列 ?Bn ? 满足

1 ,直线 n

An Bn 在 x 轴上的截距为 a n .点 Bn 的横坐标为 bn , n ? N ? .
b1 b2 bn ?1 bn

(1)证明 a n > an?1 >4, n ? N ? ; (2)证明有 n0 ? N ? ,使得对 ?n ? n0 都有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008 . 解析:(1) 依题设有: A
bn 2 ? 2bn ?

n

? 1? ,由 OB ? 1 得: n ? 0, ? , Bn bn , 2bn , ? bn ? 0 ? n ? n?

?

?

,又直线 An Bn 在 1 1 ,? bn ? 2 ? 1 ? 1, n ? N * n2 n
1? ? 1? 2bn ? ? ? ? 0 ? ? ? bn ? 0 ? n? ? n?

x 轴上的截距为 an 满足
? 2n 2bn ? 1 ? n 2bn 2 ? 0, bn ? 2 ? 1 n 2bn

? an ? 0 ? ? ?
?

an ?

bn 1 ? n 2bn

? an ?

bn 1 ? n 2bn

?

bn 1 ? n 2bn 1 ? 2n2bn

?

??

1 2 ? ? bn ? 2 ? 2bn ? 4 ? an ? 12 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 12 ? 1 n n n2bn n bn

显然,对于 1 ?
n

1 ,有 an ? an?1 ? 4, n ? N * ?0 n ?1

(2)证明:设
1 ?1 ? n2

cn ? 1 ?

,则 bn ?1 ,n? N* bn
?1 ? 1 1 ? ?n ? 2 ? ? ? n ? n ? 1?2 ? ? ?
2

1

cn ?

? n ? 1?

2

1 ?1 ?1 n2

1 ?1 ?1 n2 1 1 ?1 ? ?1 2 n2 ? n ? 1?

?

2n ? 1

? n ? 1?

2

? ? 1 ?1 ?1 ? 2n ? 1 ? 1 1 2n ? 1 n2 ? ? ?? ? 2 2 1 ? n ? 1? ? 2 2 1 ? 1 ? 2 ? n ? 1? 2 2 ?1 ? ? 2 n n ? ?

? ? 2n ? 1?? n ? 2 ? ? 2 ? n ? 1? ? n ? 0,? cn ?
2

1 , n? N* n?2

设 Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , n ? N * ,则当 n ? 2k ? 2 ? 1? k ? N * ? 时,
1 1 1 1 ?1 1? ? 1 1? ? 1 1 ? Sn ? ? ? ? ? k ? ? ? ? ??? ? ? ? 3 ? ? ? k ?1 ??? k ? 3 4 2 ? 1 2k ? 3 4 ? ? 2 2 ? 1 2 ? ? 2 ?1 2 ?
? 2? 1 1 1 k ?1 。 ? 22 ? 3 ? ? ? 2k ?1 ? k ? 22 2 2 2
0

所以,取 n0 ? 24009 ? 2 ,对 ?n ? n 都有:
? b2 ?1 ? ? b 1 ? ? ? b3 ? ? ?1 ? ? ? b 2 ? ? ? b ? ? 4017 ? 1 ? ? ? ? ?1 ? n ?1 ? ? S n ? S n0 ? ? 2008 ? ? bn ? 2 ? ? ?

故有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008 成立。
b1 b2 bn ?1 bn

例 23. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) , f (x) 的定义域为[-1, 值域也为[-1, 若 0], 0].若数列 {bn } 满足 b
n

?

f ( n) (n ? N * ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,问是否存在正常数 n3

A,使得对于任意正整数 n 都有 Tn ? A ?

并证明你的结论。 解析:首先求出 f ( x) ? x 2 ? 2 x ,∵ b
n

?

f ( n) n 2 ? 2n 1 ? ? n3 n3 n

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,∵ 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 1 ,… 2 3 n 8 2 3 4 4 2 5 6 7 8
k 1 1 1 1 1 k ? ? ? ? k ? 2k ?1 ? k ? ,故当 n ? 2 时, Tn ? ? 1 , 2k ?1 ? 1 2k ?1 ? 2 2 2 2 2

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数, 则当 n ? 22m?2 时,必有 T ? 2m ? 2 ? 1 ? m ? A . n
2

故不存在常数 A 使 Tn ? A 对所有 n ? 2 的正整数恒成立. 例 24. 设不等式组 ? x ? 0, ?
? y ? 0, ? y ? ? nx ? 3n ?

表示的平面区域为 D ,设 D 内整数坐标点的个数为 a n .设
n n

Sn ?

1 1 1 ? ??? a n ?1 a n ? 2 a2n

,

当 n ? 2 时,求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7n ? 11 .
a1 a2 a3 a 2n 36

解析:容易得到 an ? 3n ,所以,要证 1
a1

?

1 1 1 7n ? 11 只要证 S n ? ??? ? 2 a 2 a3 a 2n 36

?1?

1 1 1 7n ? 11 ,因为 ? ??? n ? 2 3 2 12

S2 n ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? ( n ?1 ? ??? n 2 3 4 5 6 7 8 2 ? 1 2n ?1 ? 2 2

? 1?

1 3 7 7n ? 11 ,所以原命题得证. ? T 1 ? T2 2 ? ? ? T2 n ?1 ? ? (n ? 1) ? 2 2 2 12 12

五、迭代放缩 例 25. 已知 x ? x n ? 4 , x ? 1 ,求证:当 n ? 2 时, n ?1 1 ?| x
n

xn ? 1

i ?1

i

? 2 | ? 2 ? 21? n

解析:通过迭代的方法得到 x n ? 2 ? 1 ,然后相加就可以得到结论 n ?1
2

例 26. 设 S 解析:
?|

n

?

sin1! sin 2! sin n! ,求证:对任意的正整数 ? 2 ??? n 21 2 2
sin(n ? 1)! sin(n ? 2)! sin(n ? k ) ? ??? | 2 n?1 2 n?2 2 n?k

k,若 k≥n 恒有:|Sn+k-Sn|<

1 n

| S n? k ? S n |?|

sin(n ? 1)! sin(n ? 2)! s i nn(? k ) 1 1 1 |?| | ? ?? | |? n?1 ? n? 2 ? ? ? n? k 2 n?1 2 n?2 2 n?k 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? k ) ? n ? (1 ? k ) ? n 2n 2 22 2 2 2 2
0 1 n ? (1 ? 1) n ? C n ? C n ? ? ? C n ? n

?

又 2n

所以 | S

n? k

? S n |?

1 1 ? 2n n

六、借助数列递推关系 例 27.求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 2 ? 1

解析: 设 a
a n ?1 ?

n

?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 1 a n ? 2(n ? 1)a n ?1 ? 2nan ? a n ,从而 2(n ? 1)

a n ? 2(n ? 1)a n ?1 ? 2nan ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2(n ? 1)a n ?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ? 1 2n ? 3 ? 1 ? (2n ? 2) ? 1 2n ? 2 ?1

所以 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 2 ? 1

例 28. 求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 1 ? 1

解析: 设 a ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
a n ?1 ? 2n ? 1 ,从而 a n ? [2(n ? 1) ? 1]a n ?1 ? (2n ? 1)a n ? a n ?1 2(n ? 1)

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n ?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 1 ? 1 2

例 29. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1 ,求证: 1 ?
a1

1 1 ??? ? 2( n ? 1 ? 1) a2 an

解析:

a n ? 2 ? a n ?1 ? n ? 2 ? a n ? a n ?1 ? 1 ?

1 ? an?2 ? an a n ?1

所以就有 1
a1

?

1 1 1 ??? ? ? a n ?1 ? a n ? a 2 ? a1 ? 2 a n ?1 a n ? a 2 ? 2 n ? 1 ? 2 a2 a n a1

七、分类讨论 例 30.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? 1. 证明:对任意的整数
m ? 4 ,有
1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8

解析:容易得到 a

n

?

2 n?2 , 2 ? (?1) n ?1 . 3

?

?

由于通项中含有 (?1) ,很难直接放缩,考虑分项讨论: 当 n ? 3 且 n 为奇数时
?
1 1 3 1 1 3 2 n ? 2 ? 2 n ?1 ? ? ( ? )? ? a n a n ?1 2 2 n ? 2 ? 1 2 n ?1 ? 1 2 2 2 n ?3 ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? 1

n

3 2 n ? 2 ? 2 n ?1 3 1 1 (减项放缩) ,于是 ? ? ? ( n ? 2 ? n ?1 ) 2 2 2 2 2 n ?3 2

①当 m ? 4 且 m 为偶数时 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 )
a4 a5 a6 a 4 a5 am 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ? ( 3 ? 4 ? ? ? m?2 ) ? ? ? ? (1 ? m?4 ) ? ? ? . 2 2 2 2 2 4 2 8 8 2 2 2 a m ?1 am

②当 m ? 4 且 m 为奇数时 得证。 八、线性规划型放缩

1 1 1 ? ??? ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 a 4 a5 a m a 4 a5 a m a m?1

(添项放缩)由①知 1
a4

?

1 1 1 7 由①② ??? ? ? . a5 a m a m ?1 8

例 31. 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 .若对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值。
x2 ? 2

解析:由

1 ?( x ? 2) 2 ( x ? 1) 2 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ? 2 2( x 2 ? 2) 2

知 ( f ( x) ? 1 )( f (1) ? 1) ? 0
2



?

1 ? f ( x )? 1 2

由此再由 f ( x) 的单调性可以知道 f ( x) 的最小值为 ? 1 ,最大值为 1
2

因此对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 的充要条件是, ??3 ? ? 1 a ? b ? 3 ?
2 ? ??3 ? a ? b ? 3 ?

即 a , b 满足约束条件 ?a ? b ? ?3 ,
?a ? b ? 3 ? ? 1 ?? a ? b ? ?3 ? 2 ? 1 ?? a ? b ? 3 ? 2

由线性规划得, a ? b 的最大值为 5. 九、均值不等式放缩 例 32.设 S n
? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) . 求证 n(n ? 1)
2 ? Sn ? (n ? 1) 2 . 2

解析: 此数列的通项为 ak

? k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.

k ? k ?1 1, n n 1 , ? k ? k (k ? 1) ? ?k? ? ? k ? S n ? ? (k ? ) 2 2 2 k ?1 k ?1

即 n(n ? 1) ? S
2

n

?

n(n ? 1) n (n ? 1) 2 ? ? . 2 2 2
ab ? a?b 2

注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式 则得 S
n

,若放成

k (k ? 1) ? k ? 1

? ? (k ? 1) ?
k ?1

n

(n ? 1)( n ? 3) (n ? 1) 2 ? 2 2

,就放过“度”了!

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
a ? ? ? an n ? n a1 ? a n ? 1 ? 1 1 n ??? a1 an
2 a12 ? ? ? a n n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 33. 已 知 函 数 f ( x) ?
f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ? 1 1 ? . 2 n?1 2

1 ,若 1 ? a ? 2 bx

f (1) ?

4 5

,且

f (x)

在 [0 , 1] 上 的 最 小 值 为 1 , 求 证 :
2

解析:

f ( x) ?

4x 1 1 1 ?1? ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) 2? 2 1? 4x 1? 4x 2 ? 2x

? (1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n?1 ) ? n ? n?1 ? . 2 n 4 2 2 2? 2 2? 2 2 2

例 34.已知 a, b 为正数,且 1 ? 1 ? 1 ,试证:对每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .
a b

解析: 由 1 ? 1 ? 1 得 ab ? a ? b ,又 (a ? b)( 1 ? 1 ) ? 2 ? a ? b ? 4 ,故 ab ? a ? b ? 4 ,而
a b

a

b

b

a

0 1 r n (a ? b) n ? C n a n ? C n a n ?1b ? ? ? C n a n?r b r ? ? ? C n b n ,

1 r n 令 f (n) ? (a ? b) n ? a n ? b n ,则 f (n) = C n a n?1b ? ? ? C n a n?r b r ? ? ? C n ?1abn?1 ,因为 Cni ? C nn?i ,倒序相加得 1 2 f (n) = Cn (a n?1b ? abn?1 ) ? ? ? Cnr (a n?r b r ? a r b n?r ) ? ? ? C nn?1 (abn?1 ? a n?1b) ,

而 a n?1b ? abn?1 ? ? ? a n?r b r ? a r b n?r ? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n?1 ,
1 r n 则 2 f (n) = (C n ? ? ? C n ? ? ? C n ?1 )( a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2 n ? 2)( a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2 n ? 2) ? 2 n?1 ,所以 f (n) ? (2 n ? 2) ? 2 n ,

n

即对每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2 n ? 2 n?1 .
1 2 3 n 例 35.求证 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 2 n ?1 2

(n ? 1, n ? N )
n ?1 2

1 2 3 n 解析: 不等式左 C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? 2 n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? n ? n 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 = n ? 2



原结论成立. 例 36.已知 f ( x) ? e x ? e ? x ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2 解析: f ( x ) ? f ( x
1 2

n

) ? (e x1 ?

1 1 e x1 e x2 1 ) ? (e x2 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x1 x2 ? e x1 ? x2 ? 1 x1 e e e e e ?e
n

经过倒序相乘,就可以得到 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2 例 37.已知 f ( x) ? x ? 1 ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2n) ? 2n (n ? 1)n
x

解析: (k ? 1 )(2n ? 1 ? k ?
k

1 k 2n ? 1 ? k 1 ) ? k ( 2n ? 1 ? k ) ? ? ? ? 2(2n ? 1 ? k ) ? 2 2n ? 1 ? k 2n ? 1 ? k k k ( 2n ? 1 ? k )

其中: k ? 1,2,3,?,2n ,因为 k ? 2n ? k (1 ? k ) ? 2n ? (k ? 1)(2n ? k ) ? 0 ? k (2n ? 1 ? k ) ? 2n 所以 (k ? 1 )(2n ? 1 ? k ?
k 1 ) ? 2n ? 2 2n ? 1 ? k

从而 [ f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (2n)]2 ? (2n ? 2)2n ,所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2n) ? 2n (n ? 1)n . 例 38.若 k ? 7 ,求证: Sn ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
n n ?1 n?2 1 3 ? . nk ? 1 2

解析: 2Sn ? ( 1 ?
n

1 1 1 1 1 1 1 )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n
x y xy

因为当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ? 2 xy , 1 ? 1 ? 2 ,所以 ( x ? y )( 1 ? 1 ) ? 4 ,所以 1 ? 1 ?
x y x y

4 ,当且仅当 x ? y 时取到 x? y

等号. 所以 2S 所以
n

?

4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 n ? nk ? 1 n ? nk ? 1

Sn ?

2(k ? 1) 2(k ? 1) 4 3 ? ? 2? ? 1 k ?1 k ?1 2 1? k ? n

所以

Sn ?

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2

例 39.已知 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,求证: a . f (0) ? f (1) ?
2

16

解析: f (0) ? f (1) ? a 2[ x (1 ? x )][ x (1 ? x )] ? a .
2 1 1 2 2

16

例 40.已知函数 f(x)=x2-(-1)k· 2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时, n n-1 n n n 求证: [f’(x)] -2 · )≥2 (2 -2). f’(x 解析: 由已知得 f ?( x) ? 2 x ? 2 ( x ? 0) ,
x

(1)当 n=1 时,左式= (2 x ? 2 ) ? (2 x ? 2 ) ? 0 右式=0.∴不等式成立.
x x

(2) n ? 2 , 左式= [ f ?( x)] n ? 2 n?1 ? f ?( x n ) ? (2 x ? 2 ) n ? 2 n?1 ? (2 x n ? 2 ) n
x x
1 2 n ? 2 n (C n x n?2 ? C n x n?4 ? ? ? C n ?2

1 1 n ? C n ?1 n?2 ). x n?4 x

令 S ? C1 x n?2 ? C 2 x n?4 ? ? ? C n?2 1 ? C n?1 1 n n n n n?4 n?2
x x

由倒序相加法得:
1 2S ? C n ( x n ? 2 ?

1 1 1 2 n ) ? C n ( x n?4 ? n?4 ) ? ? ? C n ?1 ( n?2 ? x n?2 ) x n?2 x x

1 2 n ? 2(C n ? C n ? ? ? C n ?1 ) ? 2(2 n ? 2) ,

所以 S ? (2 n ? 2). 所以 [ f ?( x)] n ? 2 n?1 ? f ?( x n ) ? 2 n (2 n ? 2)成立. 综上,当 k 是奇数, n ? N 时,命题成立 例 41. 已知函数 f ( x) ? a x ? x(a ? 1) (1)求函数 f (x) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围;
1 (2)令 S (n) ? C n f ' (1) ? C n2 f ' (2) ? ? ? Cnn?1 f ' (n ? 1) 求证: S (n) ? (2 n ? 2) ? f ' ( n )

?

2

(1)由f ' ( x) ? a x ln a ? 1, f ' ( x) ? 0, 即:a x ln a ? 1,? a x ? 同理:f ' ( x) ? 0, 有x ? ? log a ln a,

1 , 又a ? 1? x ? ? log a ln a ln a

所以f ' ( x)在(??,? log a ln a )上递减,在(? log a ln a,??)上递增; 所以f ( x) min ? f (? log a ln a ) ? 若f ( x) min ? 0, 即 1 ? ln ln a ln a

1 ? ln ln a 1 ? 0, 则 ln ln a ? ?1,? ln a ? ln a e
1

? a的取值范围是1 ? a ? e e
1 2 n (2) S (n) ? C n (a ln a ? 1) ? C n (a 2 ln a ? 1) ? ? ? C n ?1 (a n ?1 ln a ? 1) 1 2 n 1 2 n ? (C n a ? C n a 2 ? ? ? C n ?1 a n ?1 ) ln a ? (C n ? C n ? ? ? C n ?1 )

1 1 2 n ? [C n (a ? a n ?1 ) ? C n (a 2 ? a n ? 2 ) ? ? ? C n ?1 (a n ?1 ? a )] ln a ? (2 n ? 2) 2
n

? a 2 (2 n ? 2) ln a ? (2 n ? 2) n ? (2 n ? 2)( a 2 ln a ? 1) ? (2 n ? 2) f ' ( ), 2 所以不等式成立。
n

★例 42. 已知函数 f

? x? ?

1 1 ax , x ? ? 0, ? ? ? .对任意正数 ? ? ax ? 8 1? x 1? a

a ,证明:1 ? f ? x ? ? 2 .

解析:对任意给定的 a ? 0 , x ? 0 ,由
f ( x) ?

,
1 1 ? ? 1? x 1? a 1 1? 8 ax

若令 b ? 8 ,则 abx ? 8 ① ,而
ax

f ? x? ?

1 1 1 ? ? 1? x 1? a 1? b



(一) 、先证 f ? x ? ? 1 ;因为

1 1 , 1 1 , 1 , 1 ? ? ? 1? x 1? x 1? b 1? b 1? a 1? a

又由 2 ? a ? b ? x ? 2 2a ? 2 bx ? 4 4 2abx ? 8 ,得 a ? b ? x ? 6 . 所以 f ? x ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 2(a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? b
? 9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) 1 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx ? ?1. (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)

(二) 、再证 f ? x ? ? 2 ;由①、②式中关于 x, a, b 的对称性,不妨设 x ? a ? b .则 0 ? b ? 2 (ⅰ) 、当 a ? b ? 7 ,则 a ? 5 ,所以 x ? a ? 5 ,因为
1 , ?1 1? b

1 1 2 ,此时 f ? x ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 . ? ? ?1 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? 5

(ⅱ) 、当 a ? b ? 7 ③,由①得 , 因为 同理得 今证明 只要证

x?

8 , 1 ? ab 1? x

ab , ab ? 8

1 b b2 b 2 所以 ?1 ? ? ?1 ? [ ] 1? b 1 ? b 4 ( 1 b2 ) ? 2 ?1 (b )
1 a ⑤ ? 1? 2(1 ? a) 1? a

1 b ④ ? 1? 2(1 ? b) 1? b

,于是

1? a b ab ? ⑥ f ? x? ? 2 ? ? ? ?2 ? 2 ?1? a 1? b ab ? 8 ? ? ?

a b ab ⑦, ? ?2 1? a 1? b ab ? 8

因为

a b ab ? ?2 1? a 1? b (1 ? a )(1 ? b)



ab a b ,即 ab ? 8 ? (1 ? a)(1 ? b) ,也即 a ? b ? 7 ,据③,此为显然. ? ( 1? a ) ( ? b ) a b? 8 1
f ( x) ? 2 .

因此⑦得证.故由⑥得

综上所述,对任何正数 a, x ,皆有1 ? f ? x ? ? 2 . 例 43.求证:1 ?
1 1 1 ? ??? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1
1 1 1 1 ?1 1? 1 2 ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?1 n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4

解析:一方面: (法二)

1 1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ?? n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ?? n ? 1 3n ? 1 ? ? n ? 2 3n ? ? 3n ? 1 n ? 1 ?? ?

?

? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 ? ?? ? ??? 2 ? (3n ? 1)( n ? 1) 3n(n ? 2) (n ? 1)(3n ? 1) ? ? ?

? ? (2n ? 1) 2 1 1 1 ? ?2n ? 1? ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n 2 ? (2n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n 2 ? ? (2n ? 1) 2 ? 1 ? ? ?

另一方面: 十、二项放缩

1 1 1 2n ? 1 2n ? 2 ? ??? ? ? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1 n ? 1 n ?1

0 1 n 0 1 2 n ? (1 ? 1) n ? C n ? C n ? ? ? C n , 2 n ? C n ? C n ? n ? 1 ,

0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)( n ? 2)

例 44. 已知 a

1

? 1, an?1 ? (1 ?

2 1 1 )an ? n . 证明 an ? e n2 ? n 2

解析:

a n ?1 ? (1 ?

1 1 1 )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? )( a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

n ?1 n ?1 1 1 , 1 1 )? . ? ? [ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ? ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 n(n ? 1) n(n ? 1) i (i ? 1) n i ?2 i ?2

即 ln(a n ? 1) ? 1 ? ln 3 ? a n ? 3e ? 1 ? e 2 . 例 45.设
1 ,求证:数列 {a n } 单调递增且 a n a n ? (1 ? ) n n

? 4.

解析: 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 b n?1 ? a n?1 ? (n ? 1)b n (b ? a) (证略) 整理上式得 a n?1 ? b n [( n ? 1)a ? nb]. ( ? ) 以 a ? 1? 以
1 n ?1 1 1 代入( ? )式得 1 (1 ? ) ? (1 ? ) n . ,b ? 1? n ?1 n ?1 n n
1 代入( 2n

即 {a n } 单调递增。
a ? 1, b ? 1 ?

? )式得1 ? (1 ?

1 n 1 1 ) ? ? (1 ? ) 2 n ? 4. 2n 2 2n
n

此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有 (1 ? 1 ) n ? 4 ,又因为数列 {a n } 单调递增,所以对一切正 整数 n 有 (1 ? 1 ) n ? 4 。
n

注:①上述不等式可加强为 2 ? (1 ? 1 ) n ? 3. 简证如下:
n
1 利用二项展开式进行部分放缩: an ? (1 ? 1 ) n ? 1 ? C n ? 1 ? C n2 ? 1 ? ? ? C nn 1 . 2 n

n

n

n

n

只取前两项有 a ? 1 ? C ? 1 ? 2. 对通项作如下放缩: n n 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 k 1 Cn k ? ? ? ?? ? ? ? . k! n n n k! 1 ? 2? 2 2 k ?1 n n ?1 故有 a n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? (1 / 2) ? 3. 2 n ?1 2 2 2 1 ? 1/ 2 2
1 n

②上述数列 {a n } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景:
i 已知 i, m, n 是正整数,且 1 ? i ? m ? n. (1)证明 n i Am ? m i Ani ; (2)证明 (1 ? m) n ? (1 ? n) m . (01 年全国卷 理科第 20 题)

简析 对第(2)问:用 1 / n 代替 n 得数列 {b } : b
n

1 n

? (1 ? n) n

是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:数

即 (1 ? m) n ? (1 ? n) m 。 当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、贝努力不等式、 甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。 例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a n ? b n ? 21? n. 解析: 因为 a+b=1,a>0,b>0,可认为 a, 1 , b 成等差数列,设 a ? 1 ? d , b ? 1 ? d , 2 2 2
? (1 ? n) ,

列 {(1 ? n) } 递减,且 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m)

1 n

1 m

1 n

从而 a n ? b n ? ? 1 ? d ? n ? ? 1 ? d ? n ? 21? n
? ?2 ? ? ? ?2 ? ?

例 47.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2 ) n ?
3

8 . (n ? 1)( n ? 2)

3 2 2 1 n 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 , 1 1 2 3 (1 ? ) ? 1 ? C n ? ? C n ? 2 ? C n ? 3 ? ? ? 1 ? ? ? 2 2 2 8 8 2 2

解析: 观察 ( 2 ) n 的结构,注意到 ( 3 ) n ? (1 ? 1 ) n ,展开得

即 (1 ? 1 ) n
2

?

(n ? 1)( n ? 2) ,得证. 8

例 42. 已知函数 y ? f ( x), x ? N* , y ? N* ,满足: ①对任意 a, b ? N* , a ? b ,都有 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ;

②对任意 n ? N* 都有 f [ f (n)] ? 3n . (I)试证明: f (x) 为 N* 上的单调增函数; (II)求 f (1) ? f (6) ? f (28) ; (III)令 an ? f (3n ), n ? N* ,试证明:.
n 1 1 1 1 ≤ ? ?? ? ? 4n ? 2 a1 a2 an 4

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ,所以可以得到 (a ? b) f (a) ? (a ? b) f (b) ? 0 , 也就是 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,不妨设 a ? b ,所以,可以得到 f (a) ? f (b) ,也就是说 f (x) 为 N* 上的单调增 函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思 路了! 由(1)可知 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,令 b ? 1, a ? f (1) ,则可以得到 ( f ( x) ? 1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 ,又 f ( f (1)) ? 3 ,所以由不等式可以得到1 ? f (1) ? 3 ,又 f (1) ? N * ,所以可以得到 f (1) ? 2 ① 接下来要运用迭代的思想: 因为 f (1) ? 2 ,所以 f (2) ? f [ f (1)] ? 3 , f (3) ? f [ f (2)] ? 6 , f (6) ? f [ f (3)] ? 9 ② f (9) ? f [ f (6)] ? 18 , f (18) ? f [ f (9)] ? 27 , f (27) ? f [ f (18)] ? 54 , f (54) ? f [ f (27 )] ? 81 在此比较有技巧的方法就是: 81 ? 54 ? 27 ? 54 ? 27 ,所以可以判断 f (28) ? 55 ③

当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然 后就可以得到结论. 所以,综合①②③有 f (1) ? f (6) ? f (28) = 55 ? 9 ? 2 ? 66 (3)在解决 {an } 的通项公式时也会遇到困难.
f [ f (3n )] ? 3n ?1 , f (3n ?1 ) ? f { f [ f (3n )]} ? 3 f (3n ), ? an ?1 ? 3an ,所以数列 an ? f (3n ), n? N* 的方程为 an ? 2 ? 3n ,从而

1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? n ) , a1 a2 an 4 3
0 1 一方面 1 (1 ? 1 ) ? 1 ,另一方面 3n ? (1 ? 2)n ? Cn ? 20 ? Cn ? 21 ? 2n ? 1 n

4

3

4

所以 1 (1 ? 1 ) ? 1 (1 ? n
4 3 4

1 1 2n n ,所以,综上有 )? ? ? 2n ? 1 4 2n ? 1 4n ? 2

n 1 1 1 1 ≤ ? ?? ? ? . 4n ? 2 a1 a2 an 4

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件: ① 对于任意 x?[0,1],总有 f ? x ? ? 3 ,且 f ?1? ? 4 ; ② 若x
? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1, 则有

1

f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ( x2 ) ? 3.

(Ⅰ)求 f?0?的值; (Ⅱ)求证:f?x?≤4; (Ⅲ)当 x ? ( 1 , 时,试证明: 1 ](n ? 1,2,3, ???) 3n 3n?1
f ( x) ? 3 x ? 3 .

解析: (Ⅰ)解:令 x1 ? x2 ? 0 , 由①对于任意 x?[0,1],总有 f ? x ? ? 3 , ∴ f (0) ? 3 又由②得 f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; ∴ f (0) ? 3. (Ⅱ)解:任取 x1 , x2 ?[0,1], 且设 x1 ? x2 , 则 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 3, 因为 x2 ? x1 ? 0 ,所以 f ( x ? x ) ? 3 ,即 f ( x2 ? x1 ) ? 3 ? 0, ∴ f (x ) ? f (x ) .
2 1
1 2

∴当 x?[0,1]时, f ( x) ? f (1) ? 4 . (Ⅲ)证明:先用数学归纳法证明: f ( 1?1 ) ? 1?1 ? 3(n ? N *) n n
3 3

(1) 当 n=1 时, f ( 1 ) ? f (1) ? 4 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ,不等式成立; 0 0
3 3

(2) 假设当 n=k 时, f ( 由 f(

1 1 )? ? 3(k ? N *) 3k ?1 3k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ) ? f [ k ? ( k ? k )] ? f ( k ) ? f ( k ? k ) ? 3 3k ?1 3 3 3 3 3 3

? f(

1 1 1 )? f ( k )? f ( k )?6 3k 3 3
1 1 ) ? 6 ? k ?1 ? 9. 3k ?1 3

得3f ( 1 ) ? f (
3k

即当 n=k+1 时,不等式成立 由(1)(2)可知,不等式 f ( 、 于是,当 x ? ( 1 ,
1 1 )? ? 3 对一切正整数都成立. 3n?1 3n?1

1 1 1 1 ](n ? 1,2,3, ???) 时, 3x ? 3 ? 3 ? n ? 3 ? n?1 ? 3 ? f ( n?1 ) , 3n 3n?1 3 3 3

而 x?[0,1], f ? x ? 单调递增 ∴ f( 1 )?
3n f( 1 ) 3n ?1

所以, f ( x) ?

f(

1 ) ? 3x ? 3. 3n?1

例 50. 已知: a1 ? a2 ? ? ? an ? 1, ai ? 0 求证:
2 1 2 2 2 n ?1

(i ? 1,2?n)
2 n

a a a a 1 ? ?? ? ? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an ?1 ? an an ? a 1 2

解析:构造对偶式:令 A ? a12
B?
2 2 2 3

a1 ? a 2

?

2 2 2 a n ?1 an a2 ??? ? a 2 ? a3 a n ?1 ? a n a n ? a1

2 a an a a12 ? ??? ? a1 ? a 2 a 2 ? a3 a n ?1 ? a n a n ? a1

2 2 2 2 2 2 2 2 则 A ? B ? a1 ? a 2 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ?1 ? a n ? a n ? a1

a1 ? a 2

a 2 ? a3

a n ?1 ? a n

a n ? a1

= (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 ) ? 0,? A ? B 又? ai
?A?
2

? a2 j

ai ? a j

?

1 (ai ? a j ) 2

( i, j ? 1,2?n)

2 2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? a n a n ? a12 1 1 a 2 ? a2 ( A ? B) ? ( 1 )? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 2 a1 ? a 2 a 2 ? a3 a n ?1 ? a n a n ? a1

?

1 ?(a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 )? ? 1 4 2

十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指,定义在 ? a, b ? 上的可积函数 f ? x ? ? ? ? ? 0 ,则

? f ? x ? dx ? ? ?? 0 .
b a

例 51.求证: ? e ? e? . ? 解析: ? e ? e? ? ln ? ? ln e ,∵ ln ? ? ln e ? ? ln x ? ? ? d ? ln x ? ? ? 1 ? ln x dx , ? ? ?e ? x ? ?e x2 ? x ? ? ? e ? e ? e
x ? ? e, ? ? 时, 1 ? ln x ? 0 ,
x2

?

?

e

1 ? ln x , dx ? 0 x2

∴ ln ? ? ln e , ? e ? e? .
?
e

利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和. 例 52. 求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? n ? 1 ? 1? , ? n ? 1, n ? N ? .
2 3 n

解析: 考虑函数 f ? x ? ?

1 x

在区间 ?i, i ? 1? ? i ? 1, 2,3,?, n ? 上的定积分.

如图,显然 1 ? 1 ?1 ? i ?1 1 dx -① ?i
i i x

对 i 求和, ? 1 ? ? i ?1 1 dx ? n ?1 1 dx ?1 ?i
i ?1

n

n

i

i ?1

x

x

? ?2 x ? ? 2 ? ?1

n ?1

?

n ?1 ?1 .

?

例 53. 已知 n ? N , n ? 4 .求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7 .
n ?1 n ? 2
i? ? n , n? ? ?

n?3

2n

10

解析:考虑函数 f ? x ? ? 1 在区间 ? i ? 1
1? x

? i ? 1, 2,3,?, n ? 上的定积分.



1 n?i

1 1 ? ? n 1? i n

? ?in 1 ?
n

i

1 dx -② 1? x



1 n ? n?i ??1? 1 i ?1
i ?1

n

? ? ?in 1 ?
i ?1 n

n

i

n 1? i n

1 1 1 1 dx ? ? dx ? ?ln ?1 ? x ? ? 0 ? ln 2 ? 7 . ? ? 0 1? x 1? x 10

例 54. 设 a ? 0 ,如图,已知直线 l : y ? ax 及曲线 C : y ? x 2 ,C 上的点 Q1 的横坐标为 a1 ( 0 ? a1 ? a ).从 C 上 的点 Qn ? n ? 1? 作直线平行于 x 轴, 交直线 l 于点 Pn?1 , 再从点 Pn ?1 作直线平行于 y 轴, 交曲线 C 于点 Qn ?1 . Qn ? n ? 1, 2,? , n ? 的横坐标构成数列 ?an ? . (Ⅰ)试求 an ?1 与 an 的关系,并求 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)当 a ? 1, a ? 1 时,证明 1 ? (a
n

2

k ?1

k

? a k ?1 )a k ? 2 ?

1 ; 32

n (Ⅲ)当 a ? 1 时,证明 ? (a ? a )a ? 1 . k k ?1 k ?2 k ?1

3

解析: an ? a(

a1 2 n?1 ) (过程略). a
1

证明(II) :由 a ? 1 知 an?1 ? an2 ,∵ a ∵当 k ? 1 时, a
n ∴ ? (a k ?1

?

1 ,∴ 1 1 . a2 ? , a3 ? 2 4 16

k ?2

? a3 ?

1, 16

k

? ak ?1 )ak ? 2 ?

1 n 1 1 . ? (ak ? ak ?1 ) ? (a1 ? an?1 ) ? 16 k ?1 16 32
2 ? ak .

证明(Ⅲ) :由 a ? 1 知 a

k ?1

∴ (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? (ak ? ak ?1 )ak2?1 恰表示阴影部分面积, 显然 ∴
? (a
k ?1 n

2 (ak ? ak ?1 )ak ?1 ? ?

ak

ak ?1

x 2 dx


n

k

2 ? ak ?1 )ak ? 2 ? ? (ak ? ak ?1 )ak ?1 ? ? ? k ?1
k ?1

n

ak

ak ?1

2 x 2 dx ? ?0 x dx ?

a1

1 3 1. a1 ? 3 3

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如: ① 1 ?? i ?1 1 dx ? 2 ? ?i
i x
i ?1 ? i

?;

② 1

n?i

? ?in 1 ?
n

i

i? ? ? i ?1 ? ; 1 dx ? ln ?1 ? ? ? ln ?1 ? ? n ? 1? x ? n? ?

③ sin ? i ? sin ? i ?1 ?
1 ? sin ? i ?1
2

?

sin ? i

1 1 ? x2

sin ? i?1

dx ? ? i ? ? i ?1 ;

④ (a

k

2 ? ak ?1 )ak ?1 ? ?

ak

ak ?1

x 2 dx ?

1 3 ? ak ? ak3?1 ? . 3

十二、部分放缩(尾式放缩) 例 55.求证: 解析:
1 1 1 4 ? ??? ? 3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 n?1 ? 1 7

1 1 1 1 1 1 11 1 1 ? ??? ? ? ??? ? ? ??? n ?1 n ?1 2 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 4 7 3 ? 2 ? 1 28 3 ? 2 3 ? 2 n?1
? 1 11 1 4 47 48 4 ? ? ? ? ? 1 84 84 7 28 3 1? 2

例 56. 设 a

n

? 1?

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: a n ? 2. n 2a 3
3 n 2 3 n

解析: a ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 . n a a 2 2 2 a 又 k 2 ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 (只将其中一个 k 变成 k ? 1 ,进行部分放缩) ? 1 ? , 2
k
2

1 1 1 ? ? , k (k ? 1) k ? 1 k

于是 a

n

? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 ? ? 2. n 2 2 3 n ?1 n 2 2 32 n

2 例 57. 设 数 列 ?a n ? 满 足 a n?1 ? a n ? nan ? 1?n ? N ? ? , 当 a1 ? 3 时 证 明 对 所 有 n ? 1,

有 (i)an ? n ? 2 ;

(ii)

1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2

解析: (i ) 用数学归纳法:当 n ? 1时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 a k ? k ? 2 ,则当 n ? k ? 1时 a k ?1 ? a k (a k ? k ) ? 1 ? a k (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。

(ii)

利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 a k ?1 ? 2a k ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得
1 1 ? . a k ? 1 2 k ?1

a k ?1 ? 1 ? 2(a k ? 1) ? a k ? 1 ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 2 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ?

?
i ?1

n

n 1 1 1 ?? ? ? 1 ? a i i ?1 2 i ?1 4

1 1? ( ) n 2 ? 1. 1 2 1? 2

注:上述证明 (i ) 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: ak ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ; 证明 (ii) 就直接使用了部分放缩的结论 a k ?1 ? 2a k ? 1 十三、三角不等式的放缩 例 58.求证: | sin x |?| x | ( x ? R) . 解析:(i)当 x ? 0 时, | sin x |?| x | (ii)当 0 ? x ? ? 时,构造单位圆,如图所示:
2
y P A

因为三角形 AOB 的面积小于扇形 OAB 的面积 所以可以得到 sin x ? x ?| sin x |?| x | 当 x ? ? 时 | sin x |?| x |
2

O

T

B

x

所以当 x ? 0 时 sin x ? x 有 | sin x |?| x | (iii)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,由(ii)可知: | sin x |?| x | 所以综上有 | sin x |?| x | ( x ? R) 十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对 所 证 不 等 式 的 同 一 方 向 ( 可 以 是 左 侧 , 也 可 以 是 右 侧 ) 进 行 加 强 . 如 要 证 明 f ( x) ? A , 只 要 证 明 f ( x) ? A ? B( B ? 0) ,其中 B 通过寻找分析,归纳完成.
n 例 59.求证:对一切 n(n ? N*) ,都有 ? 1 ? 3 . k ?1

k k

解析:

1 1 ? ? k k k3

1 k (k ? 1)
2

?

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? (k ? 1)k (k ? 1) ? (k ? 1)k k (k ? 1) ? k ? 1 ? k ? 1 ? ?

? ? 1 1 1 1 ? 1 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ( k ? 1) k 2 k (k ? 1) ? k ? 1 ? k ? 1 k ? k ?1 k ?1 ? ? ?

?

1 ? 1 1 ? 2k ? ? ? ?? 2 k ? k ?1 k ?1 ?

1 1 ? k ?1 k ?1

从而

?k
k ?1

n

1 k

? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? 1? ? ? ?3 2 1 3 2 4 3 5 k ?1 k ?1 k k ?1

当然本题还可以使用其他方法,如:
1 1 ? ? k k k k ?1 ? 1 1 1 ? 1 1 k ? k ?1 ? 1 1 ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? 1 k ? k ? k ? 1 ? k (k ? 1) k k? ? k ?1 k 2 ? k ? k ?1 ? ?

1 ? ? 1 ? 2?? ? ? k? ? k ?1
n n 所以 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2(1 ? 1 ) ? 3 . k ?1

k k

k ?2

k k

k

(ii)异侧加强(数学归纳法)

(iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从 而顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明 A ? f ( x) ? B ,只要证明: A ? C ? f ( x) ? B ? C(C ? 0, A ? B) . 例 60.已知数列 {an } 满足: a ? 1, a ? a ? 1 ,求证: 2n ? 1 ? an ? 3n ? 2 (n ? 2). 1 n ?1 n
an

解析:

2 2 ? 1 ? 2 ? ? ak ?12 ? 2 ,从而 a n ? a n ?1 ? 2 ,所以有 an ? ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? ?

2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2n ? 1 ,所以 a n ? 2n ? 1
2 2 2 2 2 2 2 2

又a
2

2 n

2 2 ? 1 ? ? ? a k ?1 2 ? 3 ,所以 a n ? a n ?1 ? 3 ,所以有 ? ? a n ?1 ? ? a n ?1 ? ? ?

2

an ? (a n ? an?1 ) ? (a n?1 ? a n?2 ) ? ? ? (a 2 ? a1 ) ? a1 ? 3(n ? 1) ? 1 ? 3n ? 2 所以 an ? 3n ? 2
2 2 2 2 2 2 2

所以综上有 2n ? 1 ? an ? 3n ? 2 (n ? 2). 引申:已知数列 {an } 满足: a ? 1, a ? a ? 1 ,求证: n 1 1 n ?1 n ?a a
n
k ?1

? 2n ? 1

.
2

k

解析:由上可知 an ? 从而

2n ? 1 ,又

2n ? 1 ?

2n ? 1 ? 2n ? 3 2

,所以 1
an

?

1 2n ? 1

?

2n ? 1 ? 2n ? 3

? 2n ? 1 ? 2n ? 3

?a
k ?1

n

1
k

? 1 ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 3 ? 2n ? 1(n ? 2)

n 又当 n ? 1时, 1 ? 1 ,所以综上有 1 ? 2n ? 1 . ?

a1

k ?1

ak

同题引申: 已知数列 ?a ?, an ? 0 , a1 ? 0 , a n?1 2 ? a n?1 ? 1 ? a n 2 (n ? N ? ) .
n

记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , T (1) an ? an?1 ; (2) S n

n

?

.求证:当 n ? N ? 时. 1 1 1 ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ?(1 ? a n ) ★(3) Tn ? 3 .

? n ? 2;

解析:(1) an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 ,猜想 an ? 1 ,下面用数学归纳法证明: (i)当 n ? 1时, a1 ? 1 ,结论成立; (ii)假设当 n ? k (k ? 1) 时, ak ? 1 ,则 n ? k ? 1(k ? 1) 时, ak ?12 ? ak ?1 ? 1 ? ak 2 从而 ak ?12 ? ak ?1 ? 2 ? an?1 ? 1 ,所以 0 ? ak ?1 ? 1 所以综上有 0 ? an ? 1 ,故 an?12 ? an 2 ? 0 ? an?1 ? an (2)因为 an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 则 a2 2 ? a12 ? 1 ? a2 , a3 2 ? a2 2 ? 1 ? a3 ,…, an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 ,相加后可以得到:
2 2 2 an?1 ? a1 ? n ? (a2 ? a3 ? ? ? an?1 ) ? S n?1 ? n ? an?1 ,所以

S n ? n ? 1 ? an ? n ? 2 ,所以 S n ? n ? 2
2

(3)因为 an?12 ? an?1 ? 1 ? an 2 ? 2an ,从而 a

n ?1

?1 ?

2a n ,有 1 a ? n ?1 ,所以有 a n?1 1 ? an ?1 2a n

a a a a 1 ? n?1 ? n ? 3 ? n?1 ,从而 (1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2an 2an?1 2a2 2 n?1 a2 a a 1 1 ? n?1 ? ? n?1 ,所以 (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2 n?1 a2 1 ? a2 2 n?1 an a 1 1 ? ? ? n ,所以 (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) 2 n 21 a2 1 ? a2 2 n?2 Tn ? 1 ? a a a 1 1 1 1 1 2 ? 3 ? 4 ? ? ? nn 2 ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ?1?1 ? 3 2 ? 1 ? a2 2 2 1 ? a2 2 2 2 2 5 ?1

所以综上有 Tn ? 3 . 例 61. 已知数列 {an } 的首项 a
? 3,a n ?1 5

1

?

3an , n ? 1 2, . ,? 2an ? 1

(1)证明:对任意的 x ? 0 , a ≥ 1 ? n
1? x
2 (2)证明: a ? a ? ? ? a ? n . 1 2 n

1 ?2 ? , n ? 1,? ; 2, ? ? x? (1 ? x) 2 ? 3n ?

n ?1

n 解析:(1)依题,容易得到 an ? 3

2 ? 3n

? 1?

2 ,要证 x ? 0 , 1 1 ?2 ? , n ? 1,? , 2, an ≥ ? ? ? x? 3n 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3n ?

即证1 ? 2 ? 1 ? n
3 1? x

1 ? 2 2 2 1 ? ? ? ? ? x ? 1 ? 1? ? 1 ? x 3n (1 ? x) 2 (1 ? x) 2 (1 ? x) 2 ? 3n ?
2

n 即证 2 ? 2 ? 3 n

1? x

3 (1 ? x)
3n

?

1 所以即证明 2 2 ? 3n 2 ? 1 ? 0 ,设 t ? ? (t ) ? ? n ? t 2 ? 2t ? n ? 1 ? 0(0 ? t ? 1) n 1? x 3 3 3
2 ,这是显然成立的. ?1 ? 0 3n
≥ 1 1 ?2 ? , n ? 1 2, ,? ? ? ? x? 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3n ?

从而 ? (1) ? 0 ,即 ? 2 ? 3n

?2?

所以综上有对任意的 x ? 0 , a (法二)

n

1 1 ? 2 ? 1 1 ?2 ? ? ? ? ? x? ? ? ?1?1? x ? 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3n ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ?
2

?

2 1 ? 1 ? 1 1 1 ?1 ≤ an ? ? ? ? (1 ? x) ? ? 1 ? x ? a (1 ? x) 2 ? ? a ? 1 ? x ? an ? ? an 1 ? x (1 ? x) 2 ? an ? n n ? ?

,?原不等式成立.

(2)由(1)知,对任意的 x ? 0 ,有
a1 ? a2 ? ? ? an ≥ 1 1 ?2 ? 1 1 ?2 1 1 ?2 ? ? ? ? ? ? ? x? ? ? ? x ? ??? ? ? x? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 ? 1 ? x (1 ? x) 2 ? 32 ? 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3n ?
? n 1 ?2 2 2 ?. ? ? ? ? ? ? n ? nx ? 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3 32 3 ?

?取

2? 1? , 1? 1?2 2 2 ? 3 ? 3n ? 1 ? ? ? ? 1? 1 ? x ? ? ? 2 ?? ? n ? ? ? ? n?3 3 3 ? ? 1 ? n ? 3n ? n ?1 ? ? ? 3?


a1 ? a2 ? ? ? an ≥ n 1? 1 1 ? ?1 ? n n? 3 ? ? ? ? n2 n ?1? 1 3n ? n2 n ?1



?原不等式成立.
十四、经典题目方法探究 探 究 1. 已 知 函 数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x . 若 f (x) 在 区 间 [0, n]( n ? N *) 上 的 最 小 值 为 bn , 令 an ? ln(1 ? n) ? bn . 求 证: a1 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ? 2a ? 1 ? 1 . n
a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n

证明:首先:可以得到 an ? nn .先证明 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1
2n ? 1 2n ? 1

2 (方法一) ?1? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? 1? 3 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1)( 2n ? 1) ? 1 ? 1 2 2 2 ? ?

? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ?

2

4

( 2n)

所以 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1
4 ?1 2n ? 1 2n ,相乘得: 2n ? 1

(方法二)因为 1 ? 1 ? 1 ? 2 , 3 ? 3 ? 1 ? 4 , ? , 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 ?
2 2 ?1 3 4 5 2n

1 ,从而 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ?

2

1 . 2n ? 1

(方法三)设 A= 1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ,B=
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
2

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ,因为 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1)

A<B,所以 A2<AB,

所以 ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? ?
? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ?

1 ,从而 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 . 2n ? 1

下面介绍几种方法证明 a1 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ? 2a ? 1 ? 1 n
a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n

(方法一)因为

2n ? 1 ?

2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以 1 ,所以有 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2 2n ? 1

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法二) n ? 2 ? n ? 令 n ? 2n ? 1 ,可以得到
1

2 ,因为 n?2 ? n
? 2n ? 1 ? 2n ? 1

1 ? n?2

2 n?2 ? n

,所以

1 ? n?2 ? n n?2

,所以有

2n ? 1

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

( 方 法 三 ) 设 a ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) , a ? 2n ? 1 a 所 以 2(n ? 1)an ?1 ? an ?1 ? (2n ? 1)an ? an ?1 , 从 而 n n ?1 n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 2
an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an ?1 ? (2n ? 1)an ,从而 an ? (2n ? 1)an ? (2n ? 1)an?1

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (2n ? 1)an ? (2n ? 1)an?1 ? (2n ? 1)an?1 ? (2n ? 3)an?2 ? ? ? 5a2 ? 3a1 ? (2n ? 1)an ?

3 2

又a

n

?

1 2n ? 1

,所以

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2n ? 1 ?

3 ? 2n ? 1 ? 1 2

(方法四)运用数学归纳法证明: (i)当 n ? 1时,左边=
1 3

?
k ?1

n

1 2k ? 1

? 2n ? 1 ? 1

,右边=
3 ?1 ? 2 3 ?1 ? 1 3 ?1 2

显然不等式成立;

(ii)假设 n ? k (k ? 1) 时,
1 3 ? 1 5 ??? 1 2k ? 1 ?

?
i ?1

k

1 2i ? 1

? 2k ? 1 ? 1

,则 n ? k ? 1时,
1 2k ? 3

1 2k ? 3

? 2k ? 1 ? 1 ?

,所以要证明 k ?1
i ?1

?

1 2i ? 1

? 2k ? 3 ? 1

,只要

证明
2k ? 1 ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 3 ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 3 ? 2k ? 1 ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 1 2

,这是成立的.

这就是说当 n ? k ? 1时,不等式也成立,所以,综上有

a1 a1 ? a3 a ? a ? a ? ? ? a2 n ?1 ? ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n

探究 2. 设函数 f ( x) ? 解析:因为 f ( x) ? 设 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则

sin x .如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 2 ? cos x

a 的取值范围.

sin x ,所以 cos x(2 ? cos x) ? sin 2 x 1 ? 2 cos x f ' ( x) ? ? 2 ? cos x (cos x ? 2) 2 (cos x ? 2) 2
g ' ( x) ? f ' ( x) ? a ?

g (0) ? 0 1 ? 2 cos x cos x ? 2 ? cos x ? 2 ? 1 ? 2 2 3 ?a? ?a? ? ?a (cos x ? 2) 2 (cos x ? 2) 2 cos x ? 2 (cos x ? 2) 2

,

因为 | cos x |? 1 ,所以 (i)当 a ? 1 时,
3
g ' ( x) ? 0

2 3 1? ? ? ? ? 1, ? cos x ? 2 (cos x ? 2) 2 ? 3? ?

恒成立,即 g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以当 a ? 1 时, f ( x) ≤ ax 恒成立.
3

(ii)当 a ? 0 时, f (? ) ? 1 ? 0 ? a ? (? ) ,因此当 a ? 0 时,不符合题意.
2 2 2

(iii)当 0 ? a ? 1 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a 故当 x ? ?0, arccos3 a ? 时, h?( x) ? 0 .
3

因此 h( x ) 在 ?0, 3a ? 上单调增加.故当 x ? (0, arccos 3a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , arccos 即 sin x ? 3ax .于是,当 x ? (0, arccos 3a) 时, f ( x) ? 所以综上有 a 的取值范围是 ? 1
? ? 3 ,?? ? ? ?

sin x sin x ? ? ax 2 ? cos x 3

变式:若 0 ? xi ? arccos3a ,其中 i ? 1,2,3,?, n

1 且 0 ? a ? , x1 ? x 2 ? x3 ? ? ? x n ? arccos3a ,求证: 3 x x x x 3a tan 1 ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a . 2 2 2 2 2 x sin xi sin xi 证明:容易得到 tan i ? ? 2 cos xi ? 1 2
由上面那个题目知道 sin xi ? 3axi 就可以知道 tan

x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a 2 2 2 2 2
1? x

★同型衍变: 已知函数 f ( x) ? 1 ? x e? ax .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a 的取值范围. 解析:函数 f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 f ?( x) ? ax 2 ? 2 ? a e ?ax .
(1 ? x) 2

(ⅰ) 当 0< a≤2 时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意 x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时 a 满足要求. (ⅱ) 当 a>2 时, f (x) 在区间 (x0 ? 1 2
a?2, a
a?2 a

,

a?2 a

)为减函数, 故在区间(0,

a?2 a

) 内任取一点, 比如取

就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时 a 不满足要求.

(ⅲ) 当 a≤0 时, 对于任意 x∈(0, 1) 恒有
f ( x) ? 1 ? x ? ax ≥ 1 ? x , 这时 a 满足要求. e ?1 1? x 1? x

综上可知, 所求 a 的取值范围为 a≤2.


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