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考点04 函数的概念(定义域、值域、解析式、分段函数)-2016届高三数学(理)33个黄金考点总动员(原卷版)


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考点 4

函数的概念(定义域和值域、解析式和分段函数) 【考点剖析】

1.最新考试说明:
(1)了解函数、映射的概念; (2)理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法; (3)会求一些简单函数的定义域; (4)分段函数及其应用:了 解简单的分段函数,并能简单应用.

2.命题方向预测:
预计 2016 年高考对函数及其表示的考查仍以函数的表示法、分段函数、函数的定义域等基本知识点为主, 题型延续选择题、填空题的形式,分值为 4 分到 5 分.

3.课本结论总结:
中学数学的很多领域都涉及定义域,忽视定义域将对后续的复习带来困难, 由函数的解析式求函数的定义 域的解题过程可总结为:考察 ? 整合 ? 化简 ? 结论,即先对解析式中的各部位进行必要的考察,得到自 变量 x 应满足的条件,再把上述条件整合成自变量 x 应满足的不等式(组),解这个不等式(组)得到的解 集即为函数的定义域.

4.名师二级结论:
形如 y ? ax ? b 1 ? x 的函数的值域的求法:可令 x ? cos ? (0 ? ? ? ? ) 或 x ? sin ? (?
2

?
2

?? ?

?
2

) ,利用

三角换元求解,如果是更复杂的式子,如: y ? ax ? b ? c m ? nx 2 ,可令 x ?

m cos ? (0 ? ? ? ? ) , n

y ? ax ? b ? c m ? nx 2 ,可令 x ?
5.课本经典习题:

m tan ? 利用三角公式或其他方法解决. n

(1)新课标 A 版第 17 页,例 1 已知函数 f ( x ) ? (1)求函数的定义域; (2)求 f (?3) , f ( ) 的值; (3)当 a ? 0 时,求 f (a) , f (a ? 1) 的值

x?3 ?

1 , x?2

2 3

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【经典理由】对于函数定义域的求解给出了总结,也从抽象-具体的给出函数值的概念及其当自变量取定义 域内某一值时,函数值的求法. (2)新课标 A 版第 18 页,例 2 下列函数中哪个与函数 y ? x 相等? (1) y ? ( x )2 ;(2) y ?
3

x3 ;(3) y ? x 2 ;(4) y ?

x2 . x

【经典理由】给出了函数相等的定义,并对如何判断两个函数相等作出了总结.

6.考点交汇展示: (1)函数与方程相结合
例 1. 【2015 高考江苏,13】已知函数 f ( x) ?| ln x | , g ( x) ? ? 实根的个数为

? 0,0 ? x ? 1 ,则方程 | f ( x) ? g ( x) |? 1 2 ?| x ? 4 | ?2, x ? 1

(2)函数与不等式相结合

[来源:学_ 科_网 Z_X_X_K]

例2 【2015 高考北京, 理 7】 如图, 函数 f ? x ? 的图象为折线 ACB , 则不等式 f ? x ? ≥ log 2 ? x ? 1? 的解集是 (
y 2 C



A -1

O

B 2

x

A. ? x | ?1 ? x ≤ 0? C. ? x | ?1 ? x ≤ 1?

B. ? x | ?1 ≤ x ≤ 1? D. ? x | ?1 ? x ≤ 2?

(3)函数与集合相结合
例 3 设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 2 的定义域为 M, 则 CR M 为( A. [-1,1] B. (-1,1) C. (??, ?1] [1, ??) )
(1, ??)

D. (??, ?1)

【考点分类】
热点 1 函数的定义域和值域

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1.【2015 高考福建,理 14】若函数 f ? x ? ? ? 则实数 a 的取值范围是 .

?? x ? 6, x ? 2, ( a ? 0 且 a ? 1 )的值域是 ? 4, ?? ? , ?3 ? log a x, x ? 2,

2.【2014 山东高考理第 3 题 】函数 f ( x) ?

1 (log 2 x) 2 ? 1

的定义域为(



A. (0, )

1 2

B. ( 2,?? )

C. (0, ) ? (2,??)

1 2

D. (0, ] ? [2,??)

1 2

3. 下列函数中,与函数 y=

3

1 定义域相同的函数为( x



A.y=

1 sin x

B.y=

1nx x

C. y ? xe

x

D.

sin x x


4. 已知函数 f ( x) 的定义域为 (?1, 0) ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域( A. (?1,1) B. (?1, ? )

1 2

C. (?1, 0)

D. ( ,1)

1 2

【方法规律】与定义域有关的 几类问题 第一类是给出函数的解析式,这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围; 第二类是实际问题或几何问题,此时除要考 虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题或几何问题有意义; 第三类是不给出函数的解析式,而由 f ( x) 的定义域确定函数 f [ g ( x)] 的定义域或由 f [ g ( x)] 的定义域确定 函数 f ( x) 的定义域 . 第四类是已知函数的定义域,求参数范围问题,常转化为恒成立问题来解决.
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

【解题技巧】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般 有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于 0:(4)实际问题还需要考虑 使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对 数,偶次根式等的函数的定义域的求法 【易错点睛】求复合函数 y ? f (t ) , t ? q ( x) 的定义域的方法: ①若 y ? f (t ) 的定义域为 (a, b) ,则解不等式得 a ? q( x) ? b 即可求出 y ? f (q( x)) 的定义域;②若

y ? f ( g ( x)) 的定义域为 (a, b) ,则求出 g ( x) 的值域即为 f (t ) 的定义域,如第 4 题,首先根据条件 f ( x)
的定义域为 (?1,0) ,可令 ? 1 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? ?

1 1 ,即 f (2 x ? 1) 的定义域为 ( ?1,? ) . 2 2

热点 2

函数的解析式


1. 【2015 高考浙江,理 7】存在函数 f ( x) 满足,对任意 x ? R 都有(

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A. f (sin 2 x) ? sin x

B. f (sin 2 x) ? x ? x
2

C. f ( x ? 1) ? x ? 1
2

D. f ( x ? 2 x) ? x ? 1
2

2.【2014 江西高考理第 3 题】已知函数 f ( x) ? 5 , g ( x) ? ax ? x(a ? R) ,若 f [ g (1)] ? 1 ,则 a ? (
| x| 2



A.1

B. 2

C. 3

D. -1

3. 【2014 高考安徽卷理第 6 题】 设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x. 当 0 ? x ? ? 时,f ( x) ? 0 , 则 f(

23? ) ?( 6
B.



A.

1 2

3 2

C.0

D. ?

1 2
3 2

4.【2014 浙江高考理第 6 题】已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 且0 ? f (?1) ? f (?2) ? f (?3) ? 3, 则 ( ) B. 3 ? c ? 6 C. 6 ? c ? 9 D. c ? 9

A. c ? 3

【解题技巧】 (1)配凑法:由已知条件 f ( g ( x)) ? F ( x) ,可将 F ( x) 改写成关于 g ( x ) 的表达式,然后以 x 替 代 g ( x ) ,便得 f ( x) 的解析式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f ( g ( x)) 的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (4)方程思想:已知关于 f ( x) 与 f ( ) 或 f (? x) 的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方 程组,通过解方程组求出 f ( x) . 【易错点睛】解决函数解析式问题,必须优先考虑函数的定义域,用换元法解题时,应注意换元前后的等 价性,例如第 11 题,在利用换元法 保证换元前后的等价性,

1 x

2 ? 1 ? t 进行整体代换后,由 x ? 0 可知 t ? 1 ,因此必须说明 t ? 1 从而 x

热点 3

分段函数

1. 【2015 高考新课标 2,理 5】设函数 f ( x) ? ? A. 3 B.6 C.9 D.12

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

, f (?2) ? f (log 2 12) ? (

)

? x 2 ? 1, x ? 0 2.【2014 高考福建卷第 7 题】已知函数 f ? x ? ? ? 则下列结论正确的是( ?cos x, x ? 0
A. f ?x ? 是偶函数 B. f ?x ? 是增函数



C. f ?x ? 是周期函数 D. f ?x ? 的值域为 ?? 1,???

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3. 【2014 浙江高考理第 15 题】 设函数 f ?x ? ? ?

2 ? ? x ? x, x ? 0 , 若 f ? f ?a ?? ? 2 , 则实数 a 的取值范围是______. 2 ? ? x , x ? 0 ?

4.【2014 高考上海理科第题】设 f ( x ) ? ?

? x, x ? (??, a ),
2 ? x , x ? [a,?? ],

若 f (2) ? 4 ,则 a 的取值范围为_____________.

[来

源:学科网]

【方法规律】对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的函数值 就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量 x 的取值对应着哪一段区间,就使用哪一段解析式,体现 考纲中要求了解简单的分段函数并能应用,来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式, 千万别代错解析式. 【解题技巧】求分段函数的值域,关键在于“对号入座”:即看清待求函数值的自变量所在区域,再用分 段函数的定义即可解决。求分段函数解析式主要是指已知函数在某一区间上的图象或解析式,求此函数在 另一区间上的解析式,常用解法是利用函数性质、待定系数法及数形结合法等.画分段函数的图象要特别注 意定义域的限制及关键点(如端点、最值点)的准确性.分段函数的性质主要包括奇偶性、单调性、对称性 等,它们的判断方法有定义法、图象法等.总而言之,“分段函数分段解决”,其核心思想是分类讨论,如 第 14 题,即通过 x ? 0 或 x ? 0 分类讨论,从而求解.

【热点预测】
1.已知函数 f ( x ? 1) ? log 2 (2 x ? 1) ,那么 f ( x) 的定义域是( A. ? x | x ? ? ? )

? ?

1? 2?

B. ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

C. ? x | x ? ? ?

? ?

2? 3?

D. ?x | x ? 0?
x

2.已知函数 f ( x) 在 R 上是单 调函数,且满足对任意 x ? R ,都有 f [ f ( x) ? 3 ] ? 4 ,则 f (4) 的值是( ) A.85 3.已知函数 f ? x ? ? ? A. ? ?1,1? B.82 C.80 D.76 )

? x 2 ? 2 x, x ? 0
2 ? x ? 2 x, x ? 0

.若 f (? a ) ? f ? a ? ? 0 ,则 a 的取值范围是( C. ?0, 2? D. ? ?2, 2?

[来源:Zxxk.Com]

B. [?2, 0]

4.【湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度上学期高三起点考试】已知 f , ( x )l ?? n ( 1 x ) ?? l n ( 1 x )

x?? (1 ,1 ),现有下列命题:

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2 x ①f );③ | f( ( ? x x ) ) ? | ? ? 2 f |x () x;② f ( 2 ) ?2f (x |.其中的所有正确命题的序号是( x? 1
A.①②③ 5.若函数 f ? x ? ? A. ? ?2, 2 ? B.②③ C.①③ D.①② ) D. ? ?2, 2 ?

)

x 2 ? ax ? 1 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是(
B. ? ??, ?2 ?

? 2, ?? ?

C. ? ??, ?2? .

? 2, ?? ?

6.已知 f (0) ? 1 , f (n) ? nf (n ? 1) , n ? N ? ,则 f (3) ? 7.函数 f ( x) ?

1 a 2 ? 2 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的定义域为 {x | x ? ? } ,则 a ? 2

.

2 ? ? x ? ? 3, x ? 1 8.【2015 高考浙江,理 10】已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?3)) ? x ?lg( x 2 ? 1), x ? 1 ?
是 .

, f ( x) 的最小值

9. 二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 ,则 f ( x) ? ________. 10.湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度上学期高三起点考试】以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,

B 表示具有如下性质的函数 ? ( x ) 组成的集合:对于函数 ? ( x ) ,存在一个正数 M ,使得函数 ? ( x ) 的值域
包含于区间 [? 时, ? ( x )? s i n x )?A, ? )?B。现有如下命题: ) ? x3, ? MM , ]。例如,当 ? 2 1(x 2(x 1(x
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

a?D, f (a b?R, ? ①设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,则“ f (x ”的充要条件是“ ? )? ) ?b”; A
②函数 f (x )? B的充要 条件是 f ( x ) 有最大值和最小值; ③若函数 f ( x ) , g ( x ) 的定义域相同,且 f (x ,g () x (x ? )? )? g () x ? B,则 f A B ④若函数

x f( x )? a l n ( x ? 2 ) ?2 2, a ? R )有最大值,则 f (x ( x ?? )? B. x? 1

其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的序号). 11.定 义在实数集 R 上的函数 f ( x) ,如果存在函数 g ( x) ? Ax ? B ( A、 ? B 为常数),使得 f ( x) ? g ( x) 对 一切实数 x 都成立,那么称 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个承托函数.给出如下四个结论: ①对于给定的函数 f ( x) ,其承托函数可能不存在,也可能有无数个; ②定义域和值域都是 R 的函数 f ( x) 不存在承托函数;

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③ g ( x) ? 2 x 为函数 f ( x) ? 3x 的一个承托函数; ④ g ( x) ?

1 x 为函数 f ( x) ? x 2 的一个承托函数. 2

其中所有正确结论的序号是___________. 12.设 S , T 是 R 的两个非空子集,如果存在 一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足:(i) T ? { f ( x) | x ? S } ; .. (ii)对任意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下 4 对集合. ① S ? R, T ? {?1,1} ;② S ? N , T ? N ;③ S ? {x | ?1 ? x ? 3}, T ? {x | ?8 ? x ? 10} ;④
*

S ? {x | 0 ? x ? 1}, T ? R ,其中,“保序同 构”的集合对的对应的序号是
集合对的对应的序号).

(写出所有“保序同构”的

? 2x ? a ? x ? 1? ? 13.【2015 高考北京,理 14】设函数 f ? x ? ? ? ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥ 1.
①若 a ? 1 ,则 f ? x ? 的最小值为 ; .

②若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是 14.已知函数 g ( x) ?

h( x ) ? x ?1 ,

1 , 其中 a 为常数且 a ? 0 , 令函数 f ( x) ? g ( x) ? h( x) . x ? (?3, a] , x?3

(1)求函数 f ( x) 的表达式,并求其定义域; (2)当 a ?

1 时,求函数 f ( x) 的值域. 4


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