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浙江省杭州二中2010-2011学年高二上学期期中考试数学文科试题


杭州二中 2010 学年第一学期高二年级期中考数学试卷(文)
时间 90 分钟 命题 孙惠华 注意:本试卷不得使用计算器,作图 时必须使用尺规。 一.选择题(本大题共 10 小题,每个小题 3 分,共 30 分)本题从 4 个选项中选出 1 个正确 的答 案. 1.直线 x ? 3 y ?1 ? 0 的倾斜角的度数是( A. 30
0

) D. 150
0

B. 60

0

C. 120

0

2.两条异面直线 a , b 在平面 ? 上的投影不可能的是( A.一点和一条直线 B .两条平行线

) D.两个点

C.两条相交直线

3. 直线 l 通过 l1 : x ? y ? 2, l2 : x ? y ? 4 的交点,且平分线段 AB ,其中 A(?1,3), B(5,1) ,则 直线 l 的方程是( A. 3x ? y ? 8 ? 0 C. 3x ? y ? 8 ? 0 ) B. 3x ? y ? 8 ? 0 D. 3x ? y ? 8 ? 0 [来源:Z*xx*k.Com] )

4.已知直线 l , a, b ,平面 ? , ? ,下列命题正确的是( A.若 l ? a , l ? b ,且 a, b ? ? ,则 l ? ? . B.若 a ? ? , b ? a ,则 b / /? . C.若 ? / / ? , a ? ? ,则 a ? ? .k*s5u D.若 ? ? ? , a ? ? ,则 a / /? .

5. 已知方程 x ? y ? 2x ? 2 y ? a ? 0 表示圆,则实数 a 的取值范围是(
2 2



A. ? 2,???

B. ? ?2, ?? ?

C. ? ??,2?

D. ? ??,1?

6. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几 何体的表面积及体积为( )
5

A 24? cm , 12? cm
2 2

3

B 15? cm , 12? cm
2

5 6 正视图

5 6 侧视图

5

3

C 24? cm , 36? cm

3

D 以上都不正确

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

7. 直线 l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 l2 : ax ? y ? a ? 0 交于点 P , l1 与 y 轴交于点 A ,l2 与 x 轴交于点 B ,若 A, B, P, O 四点在同一圆
俯视图

周上(其中 O 为坐标原点) ,则实数 a 的值是( A. 2 B. ?2 C.



1 2

D. ?

1 2

8. 如图, 已知正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 3 , E , F 在线 段 AB 上, M 在线段 B1C1 点 点 1 上,点 N 在线段 C1D1 上,且 EF ? 1 , D1 N ? x , AE ? y , M 是 B1C1 的中点,则四面体 MNEF 的体积( ) A.与 x 有关,与 y 无关 B.与 x 无关,与 y 无关[来源:学*科*网] C.与 x 无关,与 y 有关 D.与 x 有关,与 y 有 关 9. 过正方体 ABCD ? A B1C1D1 的顶点 A 作直线 l , l 与棱 AB, AD, AA1 使 1 所在直线所成的角都相等,这样的直线 l 可以作( A.1 条 B.2 条 C.3 条 ) D.4 条

D A D1 N A1 B1 E F

C

B C1 M

?x ? 0 ? 10 . 如 果 实 数 x, y 满 足 ? y ? 0 , 对 任 意 的 正 数 a, b , 不 等 式 ?2 x ? y ? 2 ?
ax ? by ? 1 恒成立,则 a ? b 的取值范围是(
A. ? 0, ? 2 )k*s5u

? ?

3? ?

B. ? 0, 4?

C. ? , ?? ?

?3 ?2

? ?

D. ? 0, 2 ? [来源:学§科§网 Z§X

§X§K] 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.球的表面积扩大为原来的 4 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍 12.如果不同的三条直线 x ? y ? 1 , x ? y ? 1 , ax ? y ? 1 不能构成三角形,则实数 a 的值 是 . . 象限.[来

13.正方 体 ABCD ? A B1C1D1 中,直线 AD1 与平面 BB1D1D 所成角的大小是 1 14.当 0 ? k ?

1 时,两条直线 kx ? y ? k ? 1 、 ky ? x ? 2k 的交点在 第 2

源:ZXXK] 15.已知棱长为 a 的实心正四面体模型的一条棱 AB 在桌面 ? 内,设点 P 是模型表面上任意 一点,记 P 到桌面 ? 的距离的最大值为 h ,则 h 的取值范围是 .

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

三.解答题(本大题共 4 小题,共 50 分) 16. (本小题满 分 12 分) )在如图的坐标系中作出同时满足约束条件: x ? y ? 1 ? 0 ; (Ⅰ

x ? y ? 1 ? 0 ; 4 x ? y ? 2 ? 0 的可行性区域;
(Ⅱ )若实数 x, y 满足(Ⅰ)中约束条件,求目标函数

x? y 的取值范围. x

2
[来源:Z&xx&k.Com]

1.5

1

0.5

-3

-2

-1

1

2

3

-0.5

-1

17 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 四 棱 锥 P ? A B C D 底 面 是 边 长 为 2 的 菱 形 , 且 ( 的

?ABC ? 600 , PA ? PC ? 2, PB ? PD .
(Ⅰ )若 O 是 AC 与 BD 的交点,求证: PO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ )若点 M 是 PD 的中点,求异面直线 AD 与 CM 所成角的余弦值.
P

A

D

[来源:Zxxk.Com]

B

C

18.本小题满分 13 分) ( 已知 ?ABC 与 ?DBC 都是边长为 平面 DBC ,过点 A 作 PA ? 平面 ABC ,且 AP ? 2 . (Ⅰ )求证: PA / / 平面 DBC ; (Ⅱ )求直线 PD 与平面 ABC 所成角的大小.

2 3 的等边三角形, 且平面 ABC ? 3

P

D

B

C

A

19. (本小题满分 13 分)已知直线 l : x ? ay ? 1 ? a ? 0 . (Ⅰ )若 l 与线段 AB 有交点,其中 A ? ?2, ?1? , B ?1,1? ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )若 l 与 x 轴的负半轴交 M 点,交 y 轴正半轴于 N ,求 ?OMN 的面积最小时直线 l 的方 程.

[来源:学|科|网] [来源:Zxxk.Com]

解答参考

三.解答题 16. (Ⅰ )

(Ⅱ )点 A ? , ? ,令 t ? 则

?1 6? ?5 5?

y ? ? ?1, 6? x

x? y ? 1 ? t ? ? 0, 7 ? x

17.解答: )连接 AC 与 BD 交于点 O,连 OP. (Ⅰ ∵ PA ? PC , PD ? PB ,且 O 是 AC 和 BD 的中点, ∴ PO ? AC, PO ? BD ∴ PO ? 平面 ABCD .

(Ⅱ )取 PA 的中点 N ,连接 MN ,则 MN / / AD ,则 ?NMC 就是所求的角,根据题 意得 MN ? 1, NC ? 3, PD ? 6 所以, MC ?

PC 2 ? PM 2 ? 4 ?

6 10 ? 4 2



cos ?NMC ?

MN 2 ? MC 2? NC 2 10 ? 2MN ?MC 20

18. (Ⅰ )取 BC 的中点 O ,连接 DO ,则 DO ? BC 又∵平面 DBC ? 平面 ABC ,∴ DO ? 平面 ABC . 而 AP ? 平面 ABC ,∴ DO / / PA ,又 ∵ DO 在平面 DBC 内, ∴ PA / / 平面 DBC .[来源:] (Ⅱ )∵ D 在平面 ABC 的射影是 O , P 在平面 ABC 的射影是 A, ∴ DP 在平面 ABC 的射影是 OA , 即直线 PD 与平面 ABC 所成 角就是直线 PD 与直线 OA 所成的角,过 D 作 DM / / OA 交 PA 于 M ,由(Ⅰ )可知 DO / / PA , ∴ DM ? OA ? 1, DO ? MA ? 1 ? PM ? 1

∴ cos ?PDM ? 即 ?PDM ? 45
0

DM 2 ? PD 2

19. (Ⅰ )直线 l 过定点 P ? ?1,1? , KPA ? 2, KPB ? 0 要使 l 满足条件,必须 当 a ? 0 时,满足条件

1 1 ? 2或? ? 0 a a 1 1 即 a ? 0 或 0 ? a ? ? ,综上得 a ? ? 2 2
当 a ? 0 时, l 的斜率 ?

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