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3.2.1立体几何中的向量方法:平行和垂直(上课用)


3.2.1立体几何中的向量方法 ——平行和垂直

复习1、方向向量与法向量
? 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a ? 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

1.直线的方向向量

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A?

?

l

? a

P

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面

的法向量

l

? a

?

A
P

? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x , y , z )

求平面的法向量的步骤:

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程 ? ? ?n ? a ? 0 ? 组 ?? ? ?n ? b ? 0 ?

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

?? ?? ?? ?? 线线平行 l1 // l2 ? e1 // e2 ? e1 ? ? e2 ; ?? ?? ? ?? ?? ? 线面平行 l1 // ?1 ? e1 ? n1 ? e1 ? n1 ? 0 ; ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? 面面平行 ?1 // ? 2 ? n1 // n2 ? n1 ? ? n2 . ? 设直线l的方向向量为e ? (a1 , b1 , c1 ), 平面?的 ? 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 法向量为n ? (a2 , b2 , c2 ),则 ? ? 包括线在面内,面面平行包括面面重合. l // ? ? e ? n ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0;

?? ?? 设直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面 ?? ?? ? ? ?1 , ? 2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则

1、平行关系:

?? ?? 设直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面 ?? ?? ? ? , n ?? ?1 , ? 2 的法向量分别为 n1?? 2 ,则 ?? ??
线线垂直 l1 ? l2 ? e1 ? e2 ? e1 ? e2 ? 0 ;
?? ?? ? ?? ?? ? 线面垂直 l1 ? ?1 ? e1 // n1 ? e1 ? ? n1 ;

2、垂直关系:

?? ?? ? ? ?? ? ?? ? 面面垂直 ? 1 ? ? 2 ? n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0. ? ? 若e ? (a1 , b1 , c1 ), n ? (a2 , b2 , c2 ),则 ? ? ? ? l ? ? ? e // n ? e ? ? n ? a1 ? ? a2 , b1 ? ?b2 , c1 ? ?c2 .
? ? a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 ? 0时,e // n ? ? ? a2 b2 c2

巩固性训练1
1.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行或重合 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

平行或重合

巩固性训练2 1.设

u, v

分别是平面α,β的法向量,根据

下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4) (2)u ? (1,2,?2), v ? ( ?2,?4,4) (3)u ? ( 2,?3,5), v ? (?3,1,?4)

垂直 平行或重合

相交

巩固性训练3
1、设平面 ? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量为 (-2,-4,k),若 ? // ? ,则k= 4 ;若 ? ? ? 则 k= 。 -5 2、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 ? -8 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ? ? ,则m= 4 .

练习
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, 侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1 ,E是PC的中点, Z 求平面EDB的一个法向量.

P

E
D A

C B

Y

X

二、 立体几何中的向量方法
——证明平行与垂直

例2 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的中点, DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE//FG. 证 :如图所示, 建立空间直 Z 角坐标系. P A(6,0,0), E(3,3,3),

F(2,2,0), G(0,4,2), ?? ? ?? ? AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2) ?? 3 ?? ? ? ?? ? ?? ? AE = FG AE // FG 2 AE与FG不共线
AE//FG
A X

几何法呢?

E
D

G
C Y

F

B

例3 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正 方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点, (1)求证:PA//平面EDB. P 解1 立体几何法 E
Z

D A X
G

C B

Y

解法2 如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1 (1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), Z 1 1 1 1 G( , ,0) E (0, , ) 2 2 2 2 P ??? ? ??? ? 1 1 PA ? (1, 0, ?1), EG ? ( , 0, ? ) 2 2

所以PA ? 2 EG,即PA // EG

E

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB
D A X
G

C B

Y

所以,PA // 平面EDB

解3:如图所示建立空间直角坐标系,

点D为坐标原点,设DC=1 1 1 1,0) (1)证明: 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, 2 2 ??? ? ?? ? ???? 1 1 Z PA ? (1, 0, ?1), DE ? (0, , ) DB =(1, 1,0) ? 2 2 设平面EDB的法向量为 n ? ( x, y,1) P
? ???? ? ??? ? 则n ? DE , n ? DB
1 ?1 ? y? ?0 ? 于是 ? 2 ? n ? ?1, ? 1, 1? 2 ?x ? y ? 0 ?

E

??? ? ? ??? ? ? ? PA?n ? 0 ? PA ? n

而PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB

D A X B

C

Y

解4:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1

1 1 1,0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明: 2 2 ??? ? ???? ?? ? 1 1 PA ? (1, 0, ?1), DE ? (0, , ) Z DB =(1, 1,0) 2 2

??? ? ???? ??? ? 设 PA ? xDE ? yDB

P E

解得 x=-2,y=1 ??? ? ???? ??? ? 即PA ? ?2 DE ? DB ??? ? ???? ??? ? 于是PA、 DE、 DB共面
而PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB
A X D

C B

Y

例4

正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别

是BB1,,CD中点,求证:D1F ? 平面ADE. 正交 基底,建立如图所示坐标系D-xyz,
??? ? ???? 1 DA ? (1, 0, 0), ? (1,1, , ) DE 2 ???? ? 1 D1 F ? (0, , ?1) 2 ???? ??? ? ???? ???? 则 1 ? DA ? 0??, 1 ? DE ? 0 DF ?? DF ???? ??? ???? ???? ? 则 1 ? DA?, 1 ? DE. DF ?? DF
z
D1

??? ???? ???? ? ? 以 ?? 证明:设正方体棱长为1, DA??,DC ??,??DD1为单位

C1 B1 E

A1

D A
x

F B

C y

所以

D1 F ? 平面ADE

例5 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 求证:平面EBD ? 平面C1BD. E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)

,E是AA1中点,

证明: 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系

??? ? EB ? (2, 0, ?1) ??? ? ED ? (0, 2, ?1)

E

设平面EBD的一个法向量是

? ??? ? ??? ? ? 由u ? EB ? u ? ED ? 0
? ? ???? 1 1 得u ? ( , ,1) 平面C1BD的一个法向量是 v ? CA ? (?1, ?1,1) 1 2 2

? u ? ( x, y,1)

? ? u ? v ? 0,

平面EBD ? 平面C1BD.

练习.在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别是BB1,, CD中点,求证:D1F ? 平面ADE
??? ? ???? 1 DA ? (1, 0, 0), ? (1,1, , ) DE 2 设平面ADE的一个法向量 ? 为n=(x,y,z ) ? ??? ? ? ??? ? 则由n ? DA ? 0??, ? DE ? 0得 ??n
D1

z

C1 B1 E

A1 D A
x

F B

C y

???? ? 1 又因为D1 F ? (0, , ?1) 2 所以 D1 F ? 平面ADE

?x ? 0? 0 ? 0 则x=0,不妨取y ? 1,得z ? ?2 ? ? 1 ? 1, ? x ? y ? 2 z ? 0 所以n=(0, - 2) ?

???? ? ? 所以D1 F //n



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