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空间几何体的概念与结构


结构:各个组成部分的搭配和排列
特征:可以作为人或事物特点的征象、标志等

多面体

由若干个平面多边 形围成的几何体

一、多面体
(1)由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。 (2)围成多面体的各个多边形称为多面体的面, 两个面的公共边叫做多面体的棱, 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

食盐

明矾

石膏

凸多面体:
把多面体的任何一个面伸展为平面,如果所有其他 各面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多 面体。 V

C
D A B

问:以上多面体,哪个为凸多面体?

E

(1.)把一个多面体的任一个面伸展成平面,如果其余 的面都位于这个平面的同一侧,这样的多面体叫 做凸多面体

高中阶段,我们主要讨论的是多面体中的 棱柱与棱锥.
实际生活中的一类几何体:

题型一、考查基本概念

由若干个平面多边形围成的空间图形 1、—————————————————————————叫做多面体。 把一个多面体的任一个面伸展成平面,如果其余的 2、——————————————————————————————— 面都位于这个平面的同一侧,这样的多面体 ————————————————————————————叫做凸多面体。 3、每个面都是有相同边数的正多边形,每个顶点为端点 ———————————————————————————————————— 都有相同棱数的凸多面体 叫做正多面体。 ———————————————— 正四面体、正六面体、正八面体、 4、正多面体只有5种: 正十二面体、正二十面体 5、欧拉定理: V+F-E=2

例1、给出下列命题,其中正确的是( B ) ①底面是正多边形,而侧棱长与底面边长相等的棱锥是正多面体。 ②正多面体的面不是三角形就是正方形 ③长方体的各个面是正方形时,它就是正多面体 ④正三棱锥就是正四面体 A、 ① ② B、 ③ C、 ② ③ D、 ③ ④ 例2、已知凸多面体每个面都是正五边形,每个顶点都有三条棱 相交,试求该凸多面体的面数、顶点数和棱数。 变式:已知凸多面体的每个面都是正三角形,且 每个顶点都有4条棱相交,试问这是什么多面体? 例3、一个正多面体,各个面的内角总和为3600o, 求它的面数、顶点数和棱数

一、有关概念:
1、概念:围成多面体的各个多边形叫做多面体的面, 两个相邻面的公共边叫做多面体的棱, 棱和棱的公共点叫做多面体的顶点, 连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做 多面体的对角线. 2、分类:

(2.)一个多面体至少有四个面. 多面体按照它的面数分别 叫做四面体、五面体、 六面体等.

旋转体
B’

A’

由一个平面图形绕它 所在平面内的一条定 直线旋转所形成的封 闭几何体叫做旋转体
A

O’



B O

棱柱的概念
定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每 相邻两个四两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成 的几何体叫做棱柱. 两个互相平行的面 棱柱的底面:

除底面外的其余各面 棱柱的侧面:

两个侧面的公共边 棱柱的侧棱:
侧面与底面的公共顶点 棱柱的顶点: 不在同一个面上的两 棱柱的对角线: 个顶点的连线

两个底面的距离 棱柱的高:
过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面

观察下面的几何体,哪些是棱柱?

三棱柱

五面体

长方体

圆柱体

四棱柱

六面体

四面体

棱柱的分类 1.按侧棱与底面位置关系分类可分为斜棱柱、 直棱柱、正棱柱。 2. 按底面多边形的边数分类可分为三棱柱、 四棱柱、五棱柱等等。

斜三棱柱

直四棱柱

正五棱柱

3、棱柱的表示法(下图)

用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如:棱柱 ABCDE- A1B1C1D1E1 。或用表示一条对角线的端点的字 母来表示,例如棱柱AC'.

问题1:长方体ABCD-A’B’C’D’中,你能说出它 的底面吗?
D’ A’ B’ C’

D C A B

变式:长方体ABCD-A’B’C’D’按如图截去 一部分,其中FG∥A’D’.你能说出这两部分 的几何体是什么吗?
D’ A’ F G

C’
B’ F’ H

G’

C’

H’

D E A B C E’

问题1:有两个面互相平行,其余各面都是四边形 的几何体是棱柱吗?

问题2:有两个面互相平行,其余各面都是平行四 边形的几何体是棱柱吗?

3.棱柱的性质 (1)侧棱都平行且相等,侧面都是平行四边形;

过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;
E?

A? B?
E D A B
C C?

D?

特殊的棱柱 (1)直棱柱的每一个侧面都是矩形; A? 正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.

E? D?

(2)过直棱柱不相邻的两条侧棱的截面 都是矩形.
(3)正棱柱的两个底面与平行于底面的截 A 面是对应边互相平行的全等多边形.
B

B?
E

C?

D
C

思考:

1、有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱? 有两个侧面是矩形的棱柱呢?有两个相邻侧 面是矩形的棱柱呢?为什么? 2、有一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱? 每个侧面都是全等的矩形的四棱柱是正四棱柱? 3、底面是菱形且一个顶点处的三条棱两两互相垂直 的棱柱是正棱柱;

D1

C1

A1

B1

A
1

C
1

B1

D A

C
B

A B

C

几种特殊四棱柱的转化情况:
底面变为 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是
矩形

底面为 正方形

侧棱与底面
边长相等

长方体

正四棱柱

正方体

常见的四棱柱

平行六面体

直平行六面体

长方体

正方体

?正方体? ?长方体? ?直平行六面体? ?平行六面体?

棱锥与它的性质

1、棱锥的概念
有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶 点的三角形, 由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 这个多边形面叫做棱锥的底面。
S

有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面。
棱锥的顶点
棱锥的侧棱

各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。

相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。
棱锥的 高 E A B D 棱锥的侧面 C 棱锥的底面

S A

B

D C

2、棱锥的分类: 按底面多边形的边数,可以分为三 棱锥、四棱锥、五棱锥、……
3、棱锥的表示方法:用表示顶点和底面 的字母表示,如四棱锥S-ABCD。

1.下面图形中,为棱锥的是

(1)

(2)

(3)

四、棱锥的性质
定理 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似,截面面 积与底面面积的比等于顶点到截面的 距离与棱锥的高的平方比。 S

已知: 如图,在棱锥S—AC中,SH是 D1 高。截面A1B1C1D1E1 平行于底面 , E1 H1 A1 并与SH交于H1。 求证: B1 E 截面A1B1C1D1E1∽ 底面ABCDE,且

.

C1

D
C

s

s

A 1B1C1D1E1 ABCDE

=

s H1 sH

2

A B

.H

2

正棱锥:

如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底 面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
S

练习:下列说法是否正确 1、底面是正多边形的棱锥是正棱锥;错 2、正棱锥的侧面是正三角形; 错 3、底面是正多边形,各侧面都是等腰

E A O D

三角形的棱锥是正棱锥.



B

C


4、顶点在底面的射影为底面多边形的外心的棱锥是正棱 锥.

正棱锥的性质
正棱锥的斜高 S 1.各侧棱相等,各侧面 都是全等的等腰三角形.
A

O

2.棱锥的高、侧棱和 C 侧棱在底面内的射影也组 M 成一个直角三角形.
B

3.棱锥的高、斜高和斜 高在底面内的射影组成 一个直角三角形;

S

E

A
M B

O C

几个重要的直角三角形 1.Rt?SBO:由高、侧棱和 侧棱在底面的射影组成 2.Rt?SMO:由高、斜高和 斜高在底面的射影组成 3.Rt?OMB:由底面中心O 与底边中点M连线,与半条 D 底边MB,还有中心与底面 顶点连线组成 4.Rt?SMB:由斜高、侧棱、 半条底边组成

有一个正棱锥所有的棱长都相等,则这个正棱锥不 可能是( D )
A,正三棱锥 B,正四棱锥

C,正五棱锥

D,正六棱锥

有没有侧棱长和底面边长相等的正四棱锥?
有没有侧棱长和底面边长相等的正五棱锥? 有没有侧棱长和底面边长相等的正六棱锥?

五、棱台的结构特征
棱锥:有一个面是多边形,其余各 面是有一个公共顶点的三角形,由这 些面所围成的几何体叫做棱锥。
D1 B1

A1

D1

B1

C1

A1

C1

4、棱台的上下底面的面积比为4:9,则这个棱台的高 与截得此棱台的原棱锥的高的比______;该棱台与截得 此棱台的棱锥的体积比为_____ 答:1:3和19:27

1、棱台的概念:用一个平行于棱锥底面 的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分 叫做棱台。
A1 D1 C1 上底面 侧面 侧棱 下底面 顶点

B1

2、由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得 的棱台,分别叫做三棱台,四棱台, 五棱台… 3、棱台的表示法: 棱台用表示上、下底面各顶点的字 母来表示,如右图,棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1 B1

C1

判断下列几何体是不是棱台,并说明 为什么.

探究:棱柱、棱锥、棱台都是多面体,它
们在结构上有哪些相同点和不同点?三者关 系如何?当底面发生变化时,它们能否相互 转化?
上下底面一样

棱柱

棱台
上底面变成一个点

棱锥

圆柱、圆锥、圆台的概念与性质
在日常生活中,我们经常会遇见下面几何体, 请同学们猜一猜它们像什么?
粮囤 铅锤 柱子

一、圆柱、圆锥、圆台的概念
①圆柱: 以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边 旋转而成的曲面所围成的几何体;
②圆锥: 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴, 其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体; 以直角梯形中垂直于底面的腰所在的直线为旋转轴, ③圆台: 其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体。 O’ O’ O’

O

O

O

二、圆柱、圆锥、圆台的相关概念
B’ O’ A’ S
O’ A’ B’

B

O

A
B

O

A

O
B

A

⒈轴:旋转前不动的一边 所在的直线; 如图中的:直线OO’ 、 直线SO ⒉高: 旋转前不动的一边的 长度;

如图中的: 线段OO′、 线段SO的长

⒊底面: 垂直于轴的边旋转而成的圆面 如图中的: 线段OA、O’A’旋转所得的 ⊙O 或⊙O′ ⒋侧面: 不垂直于轴的边旋转而成的曲 面 如图中的: 线段A’A或SA旋转所得的 曲 面 ⒌侧面的母线: 不垂直于轴的边;

如图中的: 线段AA’、 BB’、 SB SA、

B’

O’

A’

S

B’

O’ A’

B

O

A B

O

A

O

A

B

三、圆柱、圆锥、圆台的表示法

(用表示轴的字母来表示)
O S O’

O 记作: 圆柱O’O 记作:

O

O 记作:

圆锥SO

圆台O’O

四、圆柱、圆锥、圆台的性质 性质1: 平行于底面的截面都是圆,

过旋转轴的截面 称为旋转体的轴截面 定 义:
性质2:圆柱的轴截面是 全等的 矩形 圆锥的轴截面是 全等的 等腰三角形 圆锥的轴截面是 全等的 等腰梯形 S

O’

O’

O

O

O

拓广与迁移
比较 轴截面 例2: 直截面、中截面、 P。

P。

P。

P。

P。

P。

轴截面区别如下表: 答: 直截面、 中截面、 截面类型 定 义 适用范围 棱柱 棱柱、棱锥、棱台 圆柱、圆锥、圆台 圆柱、圆锥、圆台

直截面

垂直于侧棱并与每条 侧棱都相交的截面 过高的中点平行于 底面的截面 经过旋转轴的截面

轴截面 中截面

例3:圆柱、圆锥、圆台的截面一般要掌握三类: 一是平行于底面的截面,二是经过旋转轴 的截面即:(即:轴截面),三是经过两条 母线的截面,试说出这些截面的形状。

答:平行于底面的截面都是 圆 , 圆柱、圆锥、圆台的轴截面依次是: 矩形、等腰三角形 、 等腰梯形 , 经过两条母线截面依次是: 矩形、等腰三角形 、 等腰梯形 ,

七、小结
一、常见旋转体—圆柱、圆锥、圆台由来及相关概念

用表示轴的字母来表示 二、圆柱、圆锥、圆台的表示法:
三、圆柱、圆锥、圆台的性质: 性质1:平行于底面的截面都是圆 性质2:圆柱的轴截面是全等的矩形 圆锥的轴截面是全等的等腰三角形 圆锥的轴截面是全等的等腰梯形

说明:在解题过程中,如果问题都集中在某个截面上, 为了直观起见,不妨将该截面移出来单独研究, 这种将立体问题转化为平面问题的方法在今后 应用极为广泛,必须牢牢掌握并能熟练运用。

圆柱与棱柱统称为柱体。 圆台与棱台统称为台体。 圆锥与棱锥统称为锥体。

七、球的结构特征
1、球的定义:以半圆的直径所在直线为旋转 轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体, 简称球。 (1)半圆的半径叫做球的半径。 (2)半圆的圆心叫做球心。

A O

(3)半圆的直径叫做球的直径。

半径
2、球的表示: 用表示球心的字 球心 母表示,如球O

B

球的画法

O

1、用一个平面截一个球,所 得截面是一个圆面。 O 2、球心和截面圆心的连线垂 R d 直于截面. r 3、球心到截面的距离 d 与球 的半径 R及截面的半径 r 有下面的关系:

球的性质

r?

R ?d
2

2

4、 把经过球心的截面圆叫做大圆; 把不经过球 心的截面圆叫做小圆。

两平行平面截半径为13的球,若截面面积分别 144 为 25? 、 ? ,则这两个平面间的距离是 _______________.
BN=5,AM=12 B A 13 O 13 O N

M

.

F
ON=12,OM=5

大圆和小圆
?球面被经过球心的平面截得的 圆叫做大圆. ?如⊙O(浅蓝色圆面).

o
? 球面被不经过球心的平面截 得的圆叫做小圆. ? 如⊙O′(黄色圆面).
O?

两点间的球面距离
1.定义:球面上两点之间的最短连线的长度,
就是经过这两点的大圆在这两点间 的一段劣孤的长度. 即:球面距离是球面上过 两点的大圆在这两点之间 的劣弧的长度.
O P Q

(四)地球的经度与纬度
地理知识
90° 60° 40° 20° 30° 0° 20° 40° 60° 90° 南极圈 66.5° 60°

66.5°北极圈

23.5° 北回归线 90°
120° 150°

赤道
23.5° 南回归线

1.地球的经度
? 地球的经线就是球面上从 北极到南极的半个大圆. ?某点的经度是经过这点 的经线和地轴确定的半 平面与0度经线(本初子 午线)和地轴确定的半 平面所成二面角的度数.
?由地理知识知:?AOB为 P点所在经线的经度.
A B 初 子 午 线 P 本

北极

地 轴 O

道 赤

2.地球的纬度
? 赤道是一个大圆, 其它的纬线都是小圆. ?某点的纬度就是经过 这点的球半径与赤道 面所成角的度数. ?由地理知识知: ?AOP为P点纬度.
P

北极

地 轴 O

道 赤 A

开普勒说:“我珍视类比胜过任何 别的东西,它是我最可信赖的老师,它 能揭示自然界的秘密。” 波利亚曾指出:“类比是一个伟人 的引路人,求解立体几何问题往往有赖 于平面几何中的类比问题。”

1.以长为4,宽为3的矩形的一边所在直线为旋转
轴旋转而成的圆柱,其上下底面的面积为多少,母 线长为多少? 2.以边长分别为3,4,5的直角三角形一边所在直线 为旋转轴旋转而成的几何图形分别是什么? 3.将一个边长为2和5,两邻边夹角为60度的平行四 边形绕其边长为5的边上的高所在直线旋转一周形 成的几何体是什么? 4.一个圆台的母线长为12;两底面面积分别为4∏ 和25∏,求圆台的高和截得此圆台的圆锥的母线长.

七、简单几何体的结构特征

简单组合体
日常生活中我们常用到的日用品,比如:消毒液、 暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么? 由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体.认 识它们的结构特征要注意整体与部分的关系.
圆柱 圆台

圆柱

简单组合体
走在街上会看到一些物体,它们的主要几何结构特 征是什么?

简单组合体
蒙古大草原上遍布蒙古包,那么蒙古包的主要几 何结构特征是什么?

简单组合体
居民的住宅又有什么主要几何结构特征?

简单组合体
下图是著名的中央电视塔和天坛,你能说说它们的 主要几何结构特征吗?

你能从旋转体的概念说说它们是由什么图形旋转而 成的吗?

简单几何体的结构特征



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