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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】2.1.2椭圆的几何性质(二)


2.1.2(二)

2.1.2 椭圆的几何性质(二)
【学习要求】
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熟练掌握椭圆的几何性质及简单应用; 利用椭圆的知识解决一 些简单的实际应用问题. 【学法指导】 灵活运用方程思想、函数思想、对称思想.学会利用运动变化 的观点思考问题,提高分析问题、解决问题的能力.

试一试·双基题目、基础更牢固

2.1.2(二)

1.与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点,且短轴长为 4 5的椭圆方程 是
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x2 y2 A. + =1 25 20 x2 y2 C. + =1 20 45

x2 y2 B. + =1 20 25 x2 y2 D. + =1 80 25

( B )

试一试·双基题目、基础更牢固

2.1.2(二)

x2 y2 2.方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的 25-m 16+m 取值范围是
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( C ) 9 B.-16<m< 2 9 D.m> 2

A.-16<m<25 9 C. <m<25 2

?25-m>0, ? 解析 由题意知?16+m>0, ?16+m>25-m. ?

9 解得 <m<25. 2

试一试·双基题目、基础更牢固

2.1.2(二)

3.(1)中心在原点,长半轴长与短半轴长的和为 9 2,离心率为 3 的椭圆的方程为________; 5 3 (2)对称轴是坐标轴,离心率等于 ,且过点(2,0)的椭圆的方 2
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程是________.

?c 3 ? = ?a 5 解析 (1)由题意知?a+b=9 2 ? ?a2-b2=c2 ? 由于焦点位置不确定. 所以椭圆的方程有两种形式, x2 y2 x2 y2 即50+32=1 或32+50=1.

?a=5 ? 解得? ?b=4 ?

2, 2.

试一试·双基题目、基础更牢固
3 c 3 (2)由 e= ,即 = 且 a2-b2=c2 得 a=2b. 2 a 2 x2 y2 x2 y2 故可设所求的方程为 2+ 2=1 或 2+ 2=1. 4b b b 4b
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2.1.2(二)

点(2,0)分别代入方程得两方程中 b2 的值分别为 b2=1,b2=4. x2 2 x2 y2 所以椭圆的方程为 +y =1 或 + =1. 4 4 16

答案

x2 y2 x2 y2 (1)50+32=1 或32+50=1;

x2 2 x2 y2 (2) 4 +y =1 或 4 + 16=1

试一试·双基题目、基础更牢固

2.1.2(二)

x2 y2 4.已知椭圆 + 2 = 1 的焦距为 4,则这个椭圆的焦点在 2a a ________轴上,坐标是________.

解析
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由题意得 2c=4,c=2.因 2a-a2=4,

即 a2-2a+4=0 无解. 知焦点在 y 轴上,且焦点坐标为(0,-2),(0,2). 答案 y (0,-2)和(0,2)

试一试·双基题目、基础更牢固
x2 y2 1 5.已知椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m=______. m 4 2

2.1.2(二)

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m-4 1 2 解析 (1)若 m>4,则 =( ) , 2 m 16 即 4m-16=m,因此 m= 3 ; 4-m 1 2 (2)若 m<4,则 =( ) , 4 2 即 16-4m=4,因此 m=3. 16 综上所述,m=3 或 m= . 3 16 答案 3 或 3

研一研·题型解法、解题更高效

2.1.2(二)

椭圆中的最值问题 x2 y2 例 1 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,点 P a b 本 专 为椭圆上的任意一点,求|PF1|· 2|的最大值和最小值. |PF
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题型一

解 设|PF1|=x,由椭圆的定义知,|PF2 |=2a-x. ∴|PF1|· 2 |=x(2a-x)=-(x-a)2+a2. |PF 又由椭圆的几何性质可知,a-c≤x≤a+c. ∴当 x=a 时,|PF1 |· 2 |取得最大值 a2. |PF 当 x=a+c 或 x=a-c 时,|PF1|· 2 |取得最小值 a2-c2=b2. |PF 所以|PF1|· 2 |的最大值为 a2,最小值为 b2. |PF

研一研·题型解法、解题更高效

2.1.2(二)

小结

求椭圆中某一量的最值,关键是通过椭圆的几何性质

建立起函数关系,使问题转化为函数的最值问题.
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研一研·题型解法、解题更高效

2.1.2(二)

x2 y2 跟踪训练 1 若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦 4 3 点, P 为椭圆上的任意一点, 点 则OP · 的最大值为________. FP

→→

解析 由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0),
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→· =(x0,y0)· 0+1,y0)=x2+x0+y2. → 则OP FP (x 0 0
x2 y2 0 0 ∵P 为椭圆上一点,∴ 4 + 3 =1. x2 →→ 2 0 ∴OP · =x0+x0+3(1- ) FP 4 x2 1 0 = 4 +x0+3=4(x0+2)2+2. ∵-2≤x0≤2,

→· 的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于 6. → ∴OP FP

研一研·题型解法、解题更高效
x2 例 2 如图,已知 A(4,0),B(2,2)是椭圆25 + y2 =1 内的两个点,M 是椭圆上的动点, 9 求|MA|+|MB|的最大值和最小值.
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2.1.2(二)

x2 y2 解 由25+ 9 =1 得 a=5,b=3,c=4,点 A(4,0)为椭圆的一 个焦点, 另一个焦点 F(-4,0), ∴|MA|+|MF|=2a=10, ∴|MA| +|MB|=10-|MF|+|MB|,在△BMF 中,两边之差的绝对值 小于第三边,且|BF|=2 10, ∴-2 10=-|FB|≤|MB|-|MF|≤|FB|=2 10, ∴10-2 10≤|MA|+|MB|≤10+2 10, ∴最小值为 10-2 10,最大值为 10+2 10.

研一研·题型解法、解题更高效

2.1.2(二)

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小结

本题关键要运用椭圆的定义将 P 到左焦点距离转化为

P 到右焦点距离解决.

研一研·题型解法、解题更高效

2.1.2(二)

x2 y2 跟踪训练 2 已知点 A(1,1), 而且 F1 是椭圆 + =1 的左焦 9 5 点, 是椭圆上任意一点, P 求|PF1|+|PA|的最小值和最大值.
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|PF1|+|PA|=2a-|PF2|+|PA|

=2a-(|PF2 |-|PA|)≥2a-|AF2|=6- 2(当且仅当 F2 、A、P 三点共线且点 A 在点 P、F2 之间时取等号). |PF1|+|PA|=2a-|PF2|+|PA|≤2a+|AF2 |=6+ 2(当且仅当 P、 F2、A 三点共线且点 F2 在点 A、P 之间时取等号). ∴|PF1|+|PA|的最小值、最大值分别为 6- 2和 6+ 2.

研一研·题型解法、解题更高效

2.1.2(二)

题型二 例3
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求离心率的范围问题 x2 y2 设 P 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上的一 a b

点,F1、F2 是其左、右焦点.已知∠F1PF2 =60° ,求椭圆离心率的取值范围.

研一研·题型解法、解题更高效
解 方法一 在△F1PF2 中,由余弦定理,得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 1 cos 60° = = , 2|PF1||PF2 | 2
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2.1.2(二)

根据椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a.①

即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1||PF2|.② ①式平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.③ 4b2 由②③得|PF1||PF2|= .④ 3 由①和④运用基本不等式, ?|PF |+|PF | ? 4b2 2 2 ?2 得|PF1||PF2|≤ ? 1 ? ? ,即 3 ≤a . 2 ? ? 4 2 2 c 1 2 2 2 2 由 b =a -c ,得 (a -c )≤a ,解得 e= ≥ . 3 a 2 ?1 ? 又∵e<1,∴该椭圆的离心率的取值范围是? ,1?. ?2 ?

2.1.2(二) 研一研·题型解法、解题更高效 方法二 设椭圆与 y 轴交于 B1,B2 两点,则当点 P 位于 B1 或

B2 处时,点 P 对两焦点的张角最大,故∠F1B2F2≥∠F1PF2= 60° ,从而∠OB2F2≥30° . c 1 在 Rt△OB2F2 中,e= =sin∠OB2F2≥sin 30° . = a 2 1 又∵e<1,∴ ≤e<1. 2 ?1 ? ∴该椭圆的离心率的取值范围是? ,1?. ?2 ? 小结 在求椭圆离心率的取值范围时,常需建立不等关系,
通过解不等式来求离心率的取值范围,建立不等关系的途径 有基本不等式,利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间 的大小关系或基本量的范围,点与椭圆的位置关系所对应的 不等关系,椭圆上点的横、纵坐标的有界性等),判别式,极 端情况等等.

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研一研·题型解法、解题更高效

2.1.2(二)

x2 y2 跟踪训练 3 椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的两个焦点是 F1(-c, 0)、 a b F2(c,0),M 是椭圆上一点,且F1M· 2M=0,则离心率 e 的取 F
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→ →

值范围是__________. 解析 设点 M 的坐标为(x,y),

则F1M=(x+c,y),F2M=(x-c,y). 由F1M· 2M=0,得 x2-c2+y2=0.① F





→→

研一研·题型解法、解题更高效
b2x2 又由点 M 在椭圆上,得 y2=b2- 2 , a a2 b2 代入①,解得 x2=a2- 2 . c a2 b 2 ∵0≤x2≤a2,∴0≤a2- 2 ≤a2, c 2c2-a2 1 即 0≤ ≤1,0≤2- 2≤1. c2 e 2 ∵e>0,解得 ≤e≤1. 2 2 又∵e<1,∴ ≤e<1. 2

2.1.2(二)

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答案

? ? ? ?

2 ? ? ,1? 2 ?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.2(二)

x2 y2 1.椭圆 + =1 上点 P 到右焦点的 25 9
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( D )

A.最大值为 5,最小值为 4 B.最大值为 10,最小值为 8 C.最大值为 10,最小值为 6 D.最大值为 9,最小值为 1

解析 椭圆上的点到焦点的最大距离为 a+c,最小距离 为 a-c.

练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.如图,直线 l:x-2y+2=0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B,该椭圆的离心率为( D ) 1 2 A. B. 5 5 5 2 5 C. D. 5 5 1 b 1 解析 ∵x-2y+2=0,∴y=2x+1,而 =2, c a2-c2 1 a2 5 c 2 5 即 = ,∴ 2= , = . 2 5 c2 c 4 a

2.1.2(二)

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2.1.2(二) 练一练·当堂检测、目标达成落实处 x2 2 3.设 F1、F2 为椭圆 +y =1 的左、右焦点,过椭圆中心任 4

作一直线与椭圆交于 P、Q 两点,当四边形 PF1QF2 面积 → → 最大时,PF1· 2的值等于 PF ( D )
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A.0

B.2

C.4

D.-2

解析 又

由题意,得 c= a2-b2= 3, =2 1 =2× ×|F1F2|· 为 h(h 2 取最大

F1F2 边上的高),∴当 h=b=1 时, 值,此时∠F1PF2=120° .
→ → → → ∴PF1· 2=|PF1|· 2|· 120° PF |PF cos ? 1? =2×2×?- ?=-2. ? 2?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.2(二)

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x2 y2 4.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c, a b a 0) , F2(c,0) , 若 椭 圆 上 存 在 一 点 P 使 = sin∠PF1F2 c , 则该椭圆的离心率的取值范围为__________. sin∠PF2F1
解析 ∵在△PF1F2 中,由正弦定理,得 PF2 PF1 a c = ,则由已知,得 = , PF2 PF1 sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 c 即 a· 1=c· 2,则 PF1= PF2. PF PF a

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.2(二)

c 由椭圆的定义,知 PF1+PF2=2a,则 PF2+PF2=2a,即 PF2 a 2a2 2a2 = .由椭圆的几何性质,知 PF2<a+c,则 <a+c,即 c+a c+a
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c2+2ac-a2>0,∴e2+2e-1>0,解得 e<- 2-1 或 e> 2-1. 又 e∈(0,1),故椭圆的离心率 e∈( 2-1,1).

答案 ( 2-1,1)

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.1.2(二)

1.解决椭圆的最值与范围问题常见的解法有两种:几何法和 代数法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,
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则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.若题目的条 件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标 函数,再求这个函数的最值,这就是代数法. x2 y2 2.解决椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中的范围问题常用的关系有 a b (1)-a≤x≤a,-b≤y≤b; (2)离心率 0<e<1.


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