3986.net
小网站 大容量 大智慧
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

4.2.1 直线与圆的位置关系 学案(人教A版必修2)


4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 【课标要求】 1.理解直线和圆的三种位置关系. 2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系. 【核心扫描】 1. 直线与圆位置关系的判定与分类, 以及解析法研究几何问题的思想的体会与应用. (重 点) 2.能解决直线与圆位置关系的综合问题.(易错点、难点)

新知导学 1.直线与圆有三种位置关系 (1)直线与圆相交,有两个公共点(交点); (2)直线与圆相切,只有一个公共点(切点); (3)直线与圆相离,没有公共点. 温馨提示:(1)若直线经过圆内一点,则直线与圆相交; (2)若直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 的交点 P(x0,y0)在圆内,则过交 点的所有直线都与圆相交; (3)若两条平行线与圆相切,则两平行线间的距离等于圆的直径. 2.直线与圆的位置关系的判定方法 (1)代数法:直线与圆的方程联立消去 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程,此方程 的判别式为 Δ,则 直线与圆相交?Δ>0; 直线与圆相切?Δ=0; 直线与圆相离?Δ<0. (2)几何法:设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,则 直线与圆相交?d<r; 直线与圆相切?d=r; 直线与圆相离?d>r. 温馨提示: (1) 若直线 l 与圆 C 相交于 A(x1 , y1) 、 B(x2 , y2) 两点,则弦长 |AB| = ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 1 1+k2|x1-x2|= 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2= 1+ 2· |y -y |(其中,k 为直线 l 的斜率). k 1 2 l ?2 2 2 (2)若直线与圆相交,则半弦长、弦心距、半径构成直角三角形,故有? ?2? +d =r (其中 l、d、r 分别是弦长、弦心距、圆半径). 互动探究 探究点 1 过平面一点 P 可作几条圆的切线? 提示 当点 P 在圆内时,切线不存在;当点 P 在圆上时,只能作一条圆的切线;当点 P 在圆外时,可作两条圆的切线. 探究点 2 (1)写出过点 P(a+r,b-r)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 相切的切线方程. (2)过圆 C 外一点 P 的两条切线与圆 C 相切于 A、B 两点,则 P、A、C、B 四点共圆吗? 提示 (1)x=a+r,y=b-r; (2)P、A、C、B 四点共圆,因为四边形 PACB 对角互补.

类型一 直线与圆位置关系的判定 【例 1】 已知直线方程 mx-y-m-1=0, 圆的方程 x2+y2-4x-2y+1=0.当 m 为何值 时,圆与直线

(1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点. [思路探索] (1)几何方法:利用圆心到直线的距离与半径之间的关系求解. (2)代数方法:联立方程组,消元后利用一元二次方程组的判别式求解. 解 法一 将直线 mx-y-m-1=0 代入圆的方程化简整理得, (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. ∵Δ=4m(3m+4), 4 ∴当 Δ>0 时,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点; 3 4 当 Δ=0 时,即 m=0 或 m=- 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点; 3 4 当 Δ<0 时,即- <m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 3 法二 已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为 C(2,1),半径 r=2. 圆心 C(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 |2m-1-m-1| |m-2| d= = . 1+m2 1+m2 4 当 d<2 时,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点; 3 4 当 d=2 时,即 m=0 或 m=- 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点; 3 4 当 d>2 时,即- <m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 3 [规律方法] 已知直线和圆的位置关系,求直线中参数的取值范围时,可利用代数法也 可利用几何法,而数形结合(几何法)往往会使运算更简单. 【活学活用 1】 已知圆 C:x2+y2-4x=0,l 是过点 P(3,0)的直线,则( ). A.l 与 C 相交 B.l 与 C 相切 C.l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能 解析 将点 P(3,0)的坐标代入圆的方程, 得 32+02-4×3=9-12=-3<0, ∴点 P(3,0) 在圆内. ∴过点 P 的直线 l 必与圆 C 相交. 答案 A 类型二 圆的切线问题 【例 2】 过点 A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1 的切线,求此切线的方程. [思路探索] 利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜率,进而求出切线方程. 解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1, 所以点 A 在圆外. (1)若所求直线的斜率存在,设切线斜率为 k, 则切线方程为 y+3=k(x-4). 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1, |3k-1-3-4k| 所以 =1,即|k+4|= k2+1, 2 k +1 15 2 所以 k +8k+16=k2+1.解得 k=- . 8 15 所以切线方程为 y+3=- (x-4), 8 即 15x+8y-36=0. (2)若直线斜率不存在, 圆心 C(3,1)到直线 x=4 的距离也为 1, 这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是 x=4.

综上,所求切线方程为 15x+8y-36=0 或 x=4. [规律方法] 求过某一点的圆的切线方程,首先判定点与圆的位置关系,以确定切线的 数目. (1)求过圆上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率 k,则由垂直关 1 系,切线斜率为- ,由点斜式方程可求得切线方程.如果 k=0 或斜率不存在,则由图形可 k 直接得切线方程为 y=b 或 x=a. (2)求圆外一点 P(x0,y0)圆的切线时,常用几何方法求解: 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径, 可求得 k,进而切线方程即可求出.但要注意,若求出的 k 值只有一个时,则另一条切线的 斜率一定不存在,可由数形结合求出. 【活学活用 2】 (1)过点 A(3,1)和圆(x-2)2+y2=1 相切的直线方程是( ). A.y=1 B.x=3 C.x=3 或 y=1 D.不确定 (2) 过 点 A(4,1) 的 圆 C 与 直 线 x - y - 1 = 0 相 切 于 点 B(2,1) , 则 圆 的 方 程 为 ____________________. 解析 (1)由题意知,点 A 在圆外,故过点 A 的切线应有两条.当所求直线斜率存在时, 设其为 k,则直线方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0.由于直线与圆相切,所以 d= |2k-0+1-3k| =1,解得 k=0,所以切线方程为 y=1.当所求直线斜率不存在时,x=3 也符 1+k2 合条件.综上,所求切线方程为 x=3 或 y=1. (2)由题意知 A、B 两点在圆上, ∴直线 AB 的垂直平分线 x=3 过圆心. 又圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1), ∴kBC=-1. ∴直线 BC 的方程为 y-1=-(x-2), 即 y=-x+3,将 y=-x+3 与 x=3 联立 得圆心 C 的坐标为(3,0), ∴r=|BC|= ?3-2?2+?0-1?2= 2,∴圆 C 的方程为(x-3)2+y2=2. 答案 (1)C (2)(x-3)2+y2=2 类型三 圆的弦长问题 【例 3】 已知圆的方程为 x2+y2=8,圆内有一点 P(-1,2),AB 为过点 P 且倾斜角为 α 的弦. (1)当 α=135° 时,求 AB 的长; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 AB 的方程. [思路探索] (1)几何法:半弦长、弦心距、半径三者之间构成直角三角形,利用勾股定 理求解;代数法:联立方程组求解. (2)利用弦中点和圆心连线与弦垂直的性质解决. 解 (1)法一 (几何法)

如图所示,过点 O 作 OC⊥AB. 由已知条件得直线的斜率为 k=tan 135° =-1, ∴直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1), 即 x+y-1=0. ∵圆心为(0,0),

∴|OC|=

|-1| 2 = , 2 2 8-? 30 2?2 = , 2 ?2?

∵r=2 2,∴|BC|=

∴|AB|=2|BC|= 30. 法二 (代数法)当 α=135° 时,直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1), 2 2 即 y=-x+1,代入 x +y =8, 得 2x2-2x-7=0. 7 ∴x1+x2=1,x1x2=- , 2 2 ∴|AB|= 1+k |x1-x2| = ?1+1?[?x1+x2?2-4x1x2]= 30.

(2)如图所示,当弦 AB 被点 P 平分时,OP⊥AB, 1 ∵kOP=-2,∴kAB= , 2 1 ∴直线 AB 的方程为 y-2= (x+1), 2 即 x-2y+5=0. [规律方法] 圆的弦长的计算,一般不用弦长公式或两点距离公式,以避开联立方程涉 及到交点的有关繁琐运算,而常用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形直接求解. 【活学活用 3】 (1)直线 y=kx+3 与圆(x-3)2+(y-2)2=4 相交于 M,N 两点,若 |MN|≥2 3,则 k 的取值范围是( ). 3 3 ? ? ? A.? ?-4,0? B.?-∞,-4?∪[0,+∞) 2 ? 3 3 C.?- , ? D.? ?-3,0? ? 3 3? (2)过原点的直线与圆 x2+y2-2x-4y+4=0 相交所得弦的长为 2,则该直线的方程为 ________.

解析 (1)设圆心为 C,弦 MN 的中点为 A,当|MN|=2 3时, |AC|= |MC|2-|MA|2= 4-3=1. |3k-2+3| ∴当|MN|≥2 3时, 圆心 C 到直线 y=kx+3 的距离 d≤1.∴ ≤1, ∴(3k+1)2≤k2 2 k +1 +1. 3 ∴- ≤k≤0. 4 (2)圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-2)2=1,又相交所得弦长为 2,故相交弦为圆 的直径,由此得直线过圆心(1,2),故所求直线方程为 2x-y=0. 答案 (1)A (2)2x-y=0 方法技巧 “设而不求”技巧的应用 解析几何中直线与曲线相交的有关问题, 我们常设出交点坐标, 但很多情况下并不需要 求出交点的坐标, 而直接利用根与系数的关系整体代入来解决问题, 从而避开求交点坐标的 复杂计算. 【示例】 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相交于 P,Q 两点,O 为原

点,且 OP⊥OQ,求实数 m 的值. [思路分析] 设出 P、Q 的坐标,联立方程组整体代入由 OP⊥OQ 得出的坐标关系即可 求出参数 m 的值. 解 设点 P,Q 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). y1 y2 由 OP⊥OQ,得 kOP· kOQ=-1,即 · =-1. x1 x2 ∴x1x2+y1y2=0.① ?x+2y-3=0, ? 又(x1,y1),(x2,y2)是方程组? 2 2 的实数解,即 x1,x2 是方程 5x2+ ?x +y +x-6y+m=0 ? 10x+4m-27=0② 的两个根. 4m-27 ∴x1+x2=-2,x1x2= .③ 5 ∵P,Q 在直线 x+2y-3=0 上, 1 1 ∴y1y2= (3-x1)·(3-x2) 2 2 1 = [9-3(x1+x2)+x1x2].④ 4 m+12 将③代入④,得 y1y2= .⑤ 5 将③⑤代入①,解得 m=3.将 m=3 代入方程②,检验 Δ>0 成立,∴m=3. [题后反思] “设而不求”技巧的实质,设交点坐标但并不解出交点坐标,只是将它作为 转化中的桥梁以达到求参数的目的, 但应特别注意运用这种技巧求得参数后一定要检验 Δ> 0 以保证直线与曲线有两个交点.

课堂达标 1. (2012· 昆明高一检测)直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m(m>0)相切, 则 m 的值为( ). A.0 或 2 B.2 C. 2 D.无解 |-m| 解析 由直线与圆的距离 d= = m,解得 m=2. 2 答案 B 2.(2012· 湛江高二检测)直线 x-ky+1=0 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( ). A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 1 解析 圆心(0,0)到直线 x-ky+1=0 的距离 d= ≤1. 1+?-k?2 答案 C 3.由点 P(1,3)引圆 x2+y2=9 的切线的长是________. 解析 点 P 到原点 O 的距离为|PO|= 10,∵r=3,∴切线长为 10-9=1. 答案 1 4.以点 P(-4,3)为圆心的圆与直线 l:2x+y-5=0 相离,则圆的半径 r 的取值范围是 ________. |2×?-4?+3-5| 解析 P 点到直线 l 的距离 d= =2 5, 22+1 若满足 P 点为圆心的圆与直线 l 相离,则 0<r<2 5. 答案 (0,2 5) 5.求实数 m 的取值范围,使直线 x-my+3=0 与圆 x2+y2-6x+5=0 分别满足: (1)相交;(2)相切;(3)相离.

解 圆的方程化为标准式为(x-3)2+y2=4,故圆心(3,0)到直线 x-my+3=0 的距离 d 6 = ,圆的半径 r=2. m2+1 6 (1)若相交,则 d<r,即 <2, m2+1 所以 m<-2 2或 m>2 2; 6 (2)若相切,则 d=r,即 =2,所以 m=± 2 2; m2+1 6 (3)若相离,则 d>r,即 >2, m2+1 所以-2 2<m<2 2. 课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中,几何法要结合圆的几何性质进行判断,一 般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元,计算量大,不如几何法简捷. 2.一般地,在解决圆和直线相交时,应首先考虑圆心到直线的距离,弦长的一半,圆 的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组,消去 x 或 y,组成一个一元二次方程,利用 方程根与系数的关系表达出弦长 l= k2+1· ?x1+x2?2-4x1x2= k2+1|x1-x2|. 3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时,要考 虑该点是否在圆上.当点在圆上,切线只有一条;当点在圆外时,切线有两条.


推荐相关:

人教A版数学必修二4.2.1《直线与圆的位置关系》学案2

人教A版数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系学案2_教学案例/设计_教学研究_教育专区。高中数学 4.2.1 直线与圆的位置关系学案人教 A 版必修 2 学习目标...


4.2.1 直线与圆的位置关系 学案(人教A版必修二)

4.2.1 直线与圆的位置关系 学案(人教A版必修二)_数学_高中教育_教育专区。4.2...直线的距离; (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 2、过程与...


4.2.1 直线与圆的位置关系 学案(人教A版必修2)

4.2.1 直线与圆的位置关系 学案(人教A版必修2)_数学_高中教育_教育专区。4.2...Δ<0. (2)几何法:设圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,则 直线与圆...


...高中数学必修二:4.2.1直线与圆的位置关系学案设计 ...

【人教A版】高中数学必修二:4.2.1直线与圆的位置关系学案设计 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。第四章 4.2 4.2.1 圆与方程 直线、圆的位置关系 直线...


...4.2.1直线与圆的位置关系导学案 新人教A版必修2(清...

精品教案学案吉林省舒兰市第一中学高中 4.2.1直线与圆的位置关系导学案 新人教A版必修2(清风语文)_高中教育_教育专区。第四章 4.2.1 直线与圆的位置关系 【...


4.2.1直线与圆的位置关系教案 新人教A版必修2

4.2.1直线与圆的位置关系教案 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。4.2.1 直线与圆的位置关系一,教学目标 (1)理解直线与圆的位置关系,明确直线与圆的三种...


高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系导学案 新人教A版必修2

高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系导学案 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。第四章 4.2.1 直线与圆的位置关系 【学习目标】1.能根据给定的直线、圆的...


...(4.2.1 直线与圆的位置关系)优秀教案(精品)

最新人教A版必修2高中数学 (4.2.1 直线与圆的位置关系)优秀教案(精品)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 ...


数学:4.2《直线和圆的位置关系》学案(新人教A版必修2)

数学:4.2直线和圆的位置关系学案(人教A版必修2)_数学_高中教育_教育专区。4.2直线和圆的位置关系》学案 直线和圆的位置关系教学设计 知识点: 直线和圆...


人教A版数学必修二4.2.1《直线与圆的位置关系》导学案

人教A版数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系》导学案_教学案例/设计_教学研究_教育专区。高中数学《4.2.1 直线与圆的位置关系》导学案 新人教 A 版必修 2 ...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com