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高中数学:指数函数、对数函数基本公式、基本结论全面总结


指数函数和对数函数 1、指数函数: ? a 0a ? ? 叫指数函数。 定义:函数 y a? ?且1 x 定义域为 R,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数 y ? a x 中的 a 必须 a ?0 a ?1。 且 x 因为若 a ?0时, y ? ? ? 4 ? ,当 x ? x 1 4 时,函数值不存在。 a?0, y ? 0 ,当 x ?0,函数值不存在。 a ?1时, y ? 1 对一切 x 虽有意义,函数值恒为 1,但 x y ? 1 的反函数不存在, x 因 为 要 求 函 数 y?a x 中 的 a ?0 a ?1。 且 ?1 ? x 1、对三个指数函数 y?2 , ?? ? , ?1 的图象的 y y 0 ?2 ? x x 认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 (1)图象都位于 x 轴上方; (2)图象都经过点(0,1) ; (3) y?2 , ?1 在第一象限内的纵坐 y 0 x x 函数性质 (1)x 取任何实数值时,都有 a ? 0 ; x (2)无论 a 取任何正数, x ?0时, y ? 1 ; ? x ? 0,则a x ? 1 ? (3)当 a ?1时, ? x ? x ? 0,则a ? 1 ? 标都大于 1, 在第二象限内的纵坐标都小于 1, ? 1? y ? ? ? ? 2? x 的图象正好相反; ? x ? 0,则a x ? 1 ? 当0 a 1 ? ? 时, ? x ? x ? 0,则a ? 1 ? (4) y?2 , ?1 的图象自左到右逐渐 (4)当 a ?1时, y ? a 是增函数, y 0 x x x ? 1? 上升, y ? ? ? ? 2? x 的图象逐渐下降。 当0 a 1 ? ? 时, y ? a 是减函数。 x 对图象的进一步认识, (通过三个函数相互关系的比较) : ①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1) ,如 y ? 2 和 y ? 10 相交于 ( 0 , 1) ,当 x ?0时, y ? 10 x x x 1 的图象在 y ? 2 的图象的上方,当 x ?0,刚好相反,故有 1 2 ? 22 及 1 ?2 。 0 0 x ? 2 ? 2 ②y ? 2 与y ? ? x ? 1? ? ? 2? x 的图象关于 y 轴对称。 ③通过 y ? 2 , y ? 10 , y ? ? x x ? 1? ? ? 2? x 三个函数图象,可以画出任意一个函数 y ? a ( a ?0 a ?1)的 且 x ? 1? 示意图,如 y ? 3 的图象,一定位于 y ? 2 和 y ? 10 两个图象的中间,且过点 ( 0 , 1) ,从而 y ? ? ? ? 3? x x x x 也由 ? 1? 关于 y 轴的对称性,可得 y ? ? ? ? 3? x 的示意图,即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: 定义:如果 a b ? N ( a ? 0 且 a ? 1) ,那么数 b 就叫做以 a 为底的对数,记作 b?lo a N(a 是底数,N 是 g 真数, log a N 是对数式。 ) 由于 N?a ?0 log a N 中 N 必须大于 0。 故 b 当 N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 求 lo g 0 . 3 2 ? ?5 2? ? ? 4 ? ?5 2? ? ? x ,


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