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1.2.1《任意角的三角函数》PPT课件(新人教必修4)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
必修4

1.2.1《任意角的三角函数》

? 1、知识与技能 ? (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种 三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);(2)理解 任意角的三角函数不同的定义方法;(3)了解如何利用与 单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函 数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)掌握 并能初步运用公式一;(5)树立映射观点,正确理解三角 函数是以实数为自变量的函数. ? 2、过程与方法 ? 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数 值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和 角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角 三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角 函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要 是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法, 巩固练习.

教学目标

? 3、情态与价值 ? 任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都 有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值” 来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角 的三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出 发学习三角函数,但它对准确把握三角函数的本质有一定的 不利影响,“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生 熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突, 而且“比值”需要通过运算才能得到,这与函数值是一个确 定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理 解. ? 二、教学重、难点 ? 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角 函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的 同一三角函数值相等(公式一). ? 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角 函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角函数线的正 确理解.

1.2

任意角的三角函数

1.2.1

任意角的三角函数
第一课时

问题提出
1.角的概念是由几个要素构成的,具体怎样理解?

(1)角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置 旋转到另一个位置所组成的图形. (2)按逆时针方向旋转形成的角为正角,按顺时 针方向旋转形成的角为负角,没有作任何旋转形成 的角为零角. (3)角的大小是任意的.

b = a + 2k p (k

Z)

2.什么叫做1弧度的角?度与弧度是怎样换算的? (1)等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的 角. (2)180°= rad. ?

3. 与角α 终边相同的角的一般表达式是什么?

β =α +k·360°(k∈Z)或

b = a + 2k p (k

Z)

4.如图,在直角三角形ABC中,sinα ,cosα ,tanα 分别叫 做角α 的正弦、余弦和正切,它们的值分别等于什么?

BC sin a = AB
BC t an a = AC

AC cos a = AB

B

α C A

5.当角α 不是锐角时,我们必须对sinα ,cosα ,tanα 的 值进行推广,以适应任意角的需要.

知识探究(一):任意角的三角函数

思考1:为了研究方便,我们把锐角α 放到直角坐标系中,并使角α 的顶点与 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 在角α 的终边上取一点P(a,b),设点 P与原点的距离为r,那么,sinα , cosα ,tanα 的值分别如何表示?

sin ? ? cos ? ? tan

A b y sin ? ? P(a,b) r a r cos ? ? r α b Bx o tan ? ? a 思考2:对于确定的角α ,上述三个比值 是否随点P在角α 的终边上的位置的改变 而改变呢?为什么?
b b a r a r

思考3:为了使sinα ,cosα 的表示式更 简单,你认为点P的位置选在何处最好? 此时,sinα ,cosα 分别等于什么?

sin ? ? b
cos ? ? a
b tan ? ? a
o

y

1
α

P(a,b)

x

思考4:在直角坐标系中,以原点O为圆 心,以单位长度为半径的圆称为单位圆. 对于角α 的终边上一点P,要使|OP|=1, 点P的位置如何确定?
α 的终边

y

P

O

x

思考5:设α 是一个任意角,它的终边 与单位圆交于点P(x,y),为了不与 当α 为锐角时的三角函数值发生矛盾, 你认为sinα ,cosα ,tanα 对应的值 应分别如何定义? y

sin ? ? y
cos ? ? x

α 的终边 P(x,y)

y tan ? ? ( x ? 0) x

O

x

思考6:对于一个任意给定的角α ,按 照上述定义,对应的sinα ,cosα , tanα 的值是否存在?是否惟一?

sin ? ? y
cos ? ? x

α 的终边
P(x,y)

y

O

x

y tan ? ? ( x ? 0) x

cos 思考7:对应关系 sin ? ? y , ? ? x , y tan ? ? ( x ? 0) 都是以角为自变量,以单位圆
x

上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数, 并统称为三角函数,在弧度制中,这三个三 角函数的定义域分别是什么? 正、余弦函数的定义域为R, 正切函数的定义域是 {a 喂R | a
p + k p, k 2 Z}

思考8:若点P(x,y)为角α 终边上任 意一点,那么sinα ,cosα ,tanα 对应 的函数值分别等于什么? y y
sin ? ? x ?y
2 2
tan ? ? y x

cos ? ?

x x ?y
2 2

O

x
P(x,y)

y tan ? ? x

知识探究(二):三角函数符号与公式 思考1:当角α 在某个象限时,设其终 边与单位圆交于点P(x,y),根据三 角函数定义,sinα ,cosα ,tanα 的 函数值符号是否确定?为什么?

sin ? ? y
cos ? ? x

α 的终边 P(x,y)

y

y tan ? ? ( x ? 0) x

O

x

思考2:设α 是一个任意的象限角,那么 当α 在第一、二、三、四象限时,sinα 的取值符号分别如何?cosα ,tanα 的 取值符号分别如何?

sin ? ? y

cos ? ? x
y tan ? ? ( x ? 0) x

思考3:综上分析,各三角函数在各个象限 的取值符号如下表:
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ?
cos

sin ?
cos? sin ?

+

+


- +


+ -

cos?
tan ?

+
+




你有什么办法记住这些信息?

思考4:如果角α 与β 的终边相同,那么 sinα 与sinβ 有什么关系?cosα 与cosβ 有 什么关系?tanα 与tanβ 有什么关系?
k ?Z

思考5:上述结论表明,终边相同的角的同 名三角函数值相等,如何将这个性质用一组 数学公式表达? sin(? ? 2k? ) ? sin ? 公式一: cos(? ? 2k? ) ? cos ? ( tan(? ? 2k? ) ? tan ? k ? Z)

2p

思考6:若sinα =sinβ ,则角α 与β 的 终边一定相同吗? 思考7:在求任意角的三角函数值时,上 述公式有何功能作用?
2p

可将求任意角的三角函数值,转化为求0~2p (或0°~360°)范围内的三角函数值.
思考8:函数的对应形式有一对一和多对一两 种,三角函数是哪一种对应形式?

例1 求
5? 3

5? 的正弦、余弦和正切值. 3

理论迁移
y

y x

x O
P(-3,-4)

O
1 3 P( ,) 2 2

例2 已知角的终边过点P(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.

例3 求证:当且仅当不等式组
?sin ? ? 0 成立时,角θ 为第三象限角. ? ? tan ? ? 0

例4 确定下列三角函数值的符号. ? ? ? (1)cos 250 ;(2)sin(? ) ;(3)tan(?672 ) ;
4
(4) tan3?

9? ; (5)cos 4

11? tan( ;(6) ? ) 6

.

小结作业

1.三角函数都是以角为自变量,在弧度 制中,三角函数的自变量与函数值都是 在实数范围内取值. 2.三角函数的定义是三角函数的理论基 础,三角函数的定义域、函数值符号、 公式一等,都是在此基础上推导出来的.

3.若已知角α的一个三角函数符号,则 角α所在的象限有两种可能;若已知角 α的两个三角函数符号,则角α所在的 象限就惟一确定. 4.一个任意角的三角函数只与这个角的 终边位置有关,与点P(x,y)在终边上 的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈 周期性变化,即角的终边绕原点每旋转 一周,函数值重复出现.

作业:

P15 练习:1,2,5,7.
3,4,6 做在书上

1.2

任意角的三角函数

1.2.1

任意角的三角函数
第二课时

问题提出

cos? ? x

1.设α 是一个任意角,它的终边与单位 圆交于点P(x,y),角α 的三角函数 是怎样定义的? y sin ? ? y cos ? ? x tan ? ? ( x ? 0)
x

2.三角函数在各象限的函数值符号分别 如何?
一全正,二正弦,三正切,四余弦.

tan(? ? 2k? ) ? tan ?

3.公式 sin(? ? 2k? ) ? sin ?, ? ? 2k? ) ? cos ? , cos( tan(? ? 2k? ) ? tan ? k ? Z).其数学意义如何? (

终边相同的角的同名三角函数值相等. 4.角是一个几何概念,同时角的大小也 具有数量特征.我们从数的观点定义了 三角函数,如果能从图形上找出三角函 数的几何意义,就能实现数与形的完美 统一.

知识探究(一):正弦线和余弦线

思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 cos sin ? ? y, ? ? x都是正数,你能分 别用一条线段表示角α 的正弦值和余弦 y 值吗?

| MP |? y ? sin ?

P(x,y)

| OM |? x ? cos ?

O

M

x

思考2:若角α 为第三象限角,其终边 与单位圆的交点为P(x,y),则 sin ? ? y , ? ? x 都是负数,此时 cos 角α 的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示? y
? | MP |? y ? sin ?

? | MP |? y ? sin ?
? | OM |? x ? cos ?

M

O

x

P(x,y)

思考3:为了简化上述表示,我们设想 将线段的两个端点规定一个为始点,另 一个为终点,使得线段具有方向性,带 有正负值符号.根据实际需要,应如何 规定线段的正方向和负方向? 规定:线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向,反向时为负方向.

思考4:规定了始点和终点,带有方向的线 段,叫做有向线段.由上分析可知,当角α 为第一、三象限角时,sinα 、cosα 可分 别用有向线段MP、OM表示,即MP= sinα , OM=cosα ,那么当角α 为第二、四象限角 时,你能检验这个表示正确吗? y y
P(x,y)

M

O

x

M

O

P(x,y)

x

思考5:设角α 的终边与单位圆的交点 为P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,称 有向线段MP,OM分别为角α 的正弦线和 余弦线.当角α 的终边在坐标轴上时, 角α 的正弦线和余弦线的含义如何? y y
P M O x P O x

P

思考6:设α 为锐角,你能根据正弦线和 余弦线说明sinα +cosα >1吗?
y
P

O

M

x

MP+OM>OP=1

知识探究(二):正切线

思考1:如图,设角α 为第一象限角,其 终边与单位圆的交点为P(x,y),则 y tan ? ? 是正数,用哪条有向线段表示 x 角α 的正切值最合适?
y P T

y tan ? ? ? AT x

O

M

A x

思考2:若角α 为第四象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y

y tan ? ? ? AT x

A
M

O

x
P T

思考3:若角α 为第二象限角,其终边 y 与单位圆的交点为P(x,y),则 tan ? ? x 是负数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适? T

y tan ? ? ? AT x

y

P A

A Tx

M O

思考4:若角α 为第三象限角,其终边 y tan ? ? x 与单位圆的交点为P(x,y),则 是正数,此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适?
y T

y tan ? ? ? AT x

A M
O
T

A

x

P

思考5:根据上述分析,你能描述正切线 的几何特征吗?
y T y P O A x P O A T x

过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α 的终边或其反向延长线相交于点T,则 AT=tanα .

思考6:当角α 的终边在坐标轴上时,角 α 的正切线的含义如何? y
P
P
sin p p p < < tan 4 4 4

O

x

当角α的终边在x轴上时,角α的正切线 是一个点;当角α的终边在y轴上时,角 α的正切线不存在.

思考7:观察下列不等式:
p p p sin < < t an 6 6 6

p p p sin < < t an 4 4 4 p p p sin < < t an 3 3 3

你有什么一般猜想?

思考8:对于不等式 sin a < a < tan a (其中α 为锐角),你能用数形结合 思想证明吗? y T
P
O M A x

理论迁移

例1 作出下列各角的正弦线、余弦 线、正切线: ? 5? (1) ; (2) ? ;
4
6
2? (3) 3



12? (4) ? . 5

成立的α 的取值范围.
y =
2p

3 例2 在0~ 2? 内,求使 sin a > 2
y P P1

3 2

P2

p 2p a ? ( , ) 3 3

O M

x

例3 求函数 f (a ) = 2 cos a - 1 的定义域.
y P2 P
1 x (= ) = f a 2

O
2 cos a - 1

M

x P1

p p a ?[ + 2k p, + 2k p ](k 3 3

1 x = 2

Z)

小结作业 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示,即用有 向线段表示三角函数值,是今后进一步研究三角函 数图象的有效工具. 2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化,余 弦线和正切线的始点都是定点,分别是原点O和点A (1,0).

3.利用三角函数线处理三角不等式问题,是一种重 要的方法和技巧,也是一种数形结合的数学思想.

作业:

P17 练习:1,2. P21习题1.2A组:5,7.


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