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2014年北京市海淀区高三第一学期期末数学(理)试题及答案


2014.01 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.复数 i(i ? 1) 等于 A. 1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D. ?1 ? i 开始 2.设非零实数 a, b 满足 a ? b ,则下列不等式中一定成立的是 A.

海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(理科)

1 1 ? a b

B. ab ? b 2

C. a ? b ? 0

D. a ? b ? 0

输入 n i=0

3.下列极坐标方程表示圆的是 A. ? ? 1 B. ? ?

?

2

C. ? sin ? ? 1

D. ? (sin ? ? cos? ) ? 1
n 是奇数



4.阅读如右图所示的程序框图,如果输入的 n 的值为 6,那么运行相应程序,输出 的 n 的值为 A. 3 B. 5 C. 10 D. 16


n=3n+1 i=i+1

2? ? 5. ? x 2 ? ? 的展开式中的常数项为 A. 12 x? ?

3

n?

B. ?12

C. 6

D. ?6

n 2

? x ? y ? 2 ? 0, 6.若实数 x, y 满足条件 ? 则 z ? 3x ? 4 y 的最大值是 ? x ? y ? 0, ? y ? 3, ?
A. ?13 C. ?1 D. 1 2 2 x y 7. 已 知 椭 圆 C : ? ? 1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 椭 圆 C 上 点 A 满 足 4 3 ???? ???? ? AF 1 P ? F2 A 的最大值为 2 ? F 1F 2. 若点 P 是椭圆 C 上的动点,则 F B. ?3



i<3


输出 n 结束

9 15 3 3 3 A. B. C. D. 4 4 2 2 8.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果,且从这周的第二天开始,每天所吃水果的个数与前一天相比, 仅存在三种可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”,那么,小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 A.50 种 B.51 种 C.140 种 D.141 种 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.已知点 F (1,0) 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点,则 p ? _______.
10.在边长为 2 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M , 用随机模拟方法来估计不规则图形的面积.若在正方形 ABCD 中随机产生了 10000 个点,落在不规则图形 M 内的点数恰有 2000 个,则在这次模拟中,不规则图形 M 的面积的估计值 为__________.

? x ? 2 cos ? , ( ? 为参数)的圆心坐标为__________;直线 l : y ? 2 x ? 1 被圆 C 所截得的弦长为__________. ? y ? 1 ? 2sin ? 12. 如 图 , AB 与 圆 O 相 切 于 点 B , 过 点 A 作 圆 O 的 割 线 交 圆 O 于 C , D 两 点 , BC ? AD , D AB ? 2 AC ? 2 ,则圆 O 的直径等于______________. 13. 已知直线 l 过双曲线的左焦点 F ,且与以实轴为直径的圆相切,若直线 l 与双曲线的一条渐近线恰
11.圆 C : ? 好平行,则该双曲线的离心率是_________. 14. 已知某四棱锥,底面是边长为 2 的正方形,且俯视图如右图所示. (1)若该四棱锥的左视图为直角三角形,则它的体积为__________; (2)关于该四棱锥的下列结论中:①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直; ②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形;③四棱锥中不 可能存在四组互相垂直的侧面. . 所有正确结论的序号是___________. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 15.(本小题共 13 分)函数 f ( x) ?
O C A B

1 1

3 cos2 x ? 2sin x .(Ⅰ)在 ?ABC 中, cos A ? ? , 5 sin x ? cos x

求 f ( A) 的值;(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.

2

16.(本小题共 13 分)根据以往的成绩记录,甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示.
频率
0.45 0.30 0.25 0.29 0.19 0.20 0.15 0.10

频率 0.35

a
0.01

0.05

O

甲击中环数

O

乙击中环数

假设每名队员每次射击相互独立.(Ⅰ)求上图中 a 的值;(Ⅱ)队员甲进行三次射击,求击中目标靶的环数不低于 8 环 的次数 X 的分布列及数学期望(频率当作概率使用);(Ⅲ)由上图判断,在甲、乙两名队员中,哪一名队员的射击成 绩更稳定?(结论不需证明) P

F
17.(本小题共 14 分)如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面四边形 ABCD 是菱形,

D
O C

AC ? BD ? O , ?PAC 是边长为 2 的等边三角形, PB ? PD ? 6 , AP ? 4 AF .(Ⅰ) 求证: PO ? 底面 ABCD ;(Ⅱ)求直线 CP 与平面 BDF 所成角的大小;(Ⅲ)在线段
PB 上是否存在一点 M ,使得 CM ∥平面 BDF ?如果存在,求

A

B

BM 的值,如果不存在,请说明理由. BP

18.(本小题共 13 分)已知关于 x 的函数 f ( x ) ?

F ( x) ? f ( x) ? 1 没有零点,求实数 a 取值范围.

ax ? a (a ? 0) (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 的极值;(Ⅱ)若函数 ex

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过椭圆 G 右焦点 F 的直线 m : x ? 1 与椭圆 G 2 2 a b 交于点 M (点 M 在第一象限).(Ⅰ)求椭圆 G 的方程;(Ⅱ)已知 A 为椭圆 G 的左顶点,平行于 AM 的直线 l 与椭圆 相交于 B, C 两点.判断直线 MB, MC 是否关于直线 m 对称,并说明理由.
19.(本小题共 14 分)已知椭圆 G :

20.(本小题共 13 分)若函数 f ( x) 满足:集合 A ? { f (n) | n ? N*} 中至少存在三个不同的数构成等比数列,则称函数 f ( x)

1 ;③ y ? log2 x 中,哪些是等比源函数?(不需证明) x (Ⅱ)判断函数 f ( x) ? 2 x ? 1 是否为等比源函数,并证明你的结论;(Ⅲ)证明: ?d , b ? N* ,函数 g ( x) ? dx ? b 都是等 比源函数.
是等比源函数.(Ⅰ)判断下列函数:① y ? x 2 ;② y ?

海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理)参考答案及评分标准 2014.1
阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步 骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 D D A B A C B D 答案 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 9. 2 12. 2 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题共 13 分)解:(Ⅰ)由 sin x ? cos x ? 0 得 x ? kπ ? 因为, f ( x ) ? 10.

4 5

11. 14.

(0,1) ;4

13. 2

4 ;①②③ 3

π ,k ?Z . 4

cos2 x ? sin 2 x cos2 x ? 2sin x -----------------------------------2 分 ? 2sin x ? sin x ? cos x sin x ? cos x π ? cosx ? sin x ? 2 sin( x ? ) , --------------------------4 分 4 3 π 4 因为在 ?ABC 中, cos A ? ? ? 0 ,所以 ? A ? π ,------------5 分 所以 sin A ? 1 ? cos2 A ? ,-------------------7 分 2 5 5 4 3 1 所以 f ( A) ? sin A ? cos A ? ? ? .---------------------------8 分 5 5 5 π (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( x) ? 2 sin( x ? ) ,所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2π . ------------10 分 4
因为函数 y ? sin x 的对称轴为 x ? kπ+ 所以 f ( x ) 的对称轴的方程为 x ? kπ+

π π π π , k ? Z , ---------------11 分 又由 x ? ? kπ+ , k ? Z ,得 x ? kπ+ , k ? Z , 2 4 2 4

π , k ? Z .----------------------------------13 分 4 16.(本小题共 13 分)解:(Ⅰ)由上图可得 0.01 ? a ? 0.19 ? 0.29 ? 0.45 ? 1 , 所以 a ? 0.06 . ---------------------3 分 (Ⅱ)由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于 8 环的概率为 0.45 ? 0.29 ? 0.01 ? 0.75 --------------------4 分
由题意可知随机变量 X 的取值为:0,1,2,3. ---------------------5 分 事件“ X ? k ”的含义是在 3 次射击中,恰有 k 次击中目标靶的环数不低于 8 环.
k ? 3? P( X ? k ) ? C3 ? ? ?4? k

X

0

1

2

3

? 3? ?1 ? ? ? 4?

3? k

P

( k ? 0,1, 2,3) --------------------8 分

1 64

9 64

27 64

27 64

1 9 27 27 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? . ------------------------10 分 64 64 64 64 4 (Ⅲ)甲队员的射击成绩更稳定. -------------------------13 分 17.(本小题共 14 分)解:(Ⅰ)因为底面 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O ,所以 O 为 AC, BD 中点.------------------1 分 又因为 PA ? PC, PB ? PD ,所以 PO ? AC , PO ? BD , ----------------3 分 所以 PO ? 底面 ABCD --------------4 分 z (Ⅱ)由底面 ABCD 是菱形可得 AC ? BD ,又由(Ⅰ)可知 PO ? AC, PO ? BD .

X 的分布列如右表

所以 X 的期望是 E ( X ) ? 0 ?

如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz .由 ?PAC 是边长为 2 的等边三角形, PB ? PD ? 可得 PO ? 3, OB ? OD ? 3 .所以 A(1,0,0), C ( ?1,0,0), B(0, 3,0), P(0,0, 3) .---------------5 分 所以 CP ? (1,0, 3) , AP ? ( ?1,0, 3) .由已知可得 OF ? OA ?

6,

P

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

D ??? ? ? 3 y ? 0, ? C ? n ? OB ? 0, ? x A O 设平面 BDF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? 即?3 ? 3 By z ? 0. ? ? n ? OF ? 0, ? x ? ?4 4 ??? ? ??? ? CP ? n 1 ? 令 x ? 1 ,则 z ? ? 3 ,所以 n ? (1,0, ? 3) .---------------8 分 因为 cos ? CP ? n ?? ??? ? ? , -------------9 分 2 | CP | ? | n |

? 1 ??? 3 3 AP ? ( ,0, ) ------------6 分 4 4 4

F

1 ,所以直线 CP 与平面 BDF 所成角的大小为 30? .--------------------10 分 2 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? BM (Ⅲ)设 ? ? (0 ? ? ? 1) ,则 CM ? CB ? BM ? CB ? ? BP ? (1, 3(1 ? ? ), 3? ) --------------11 分 BP
所以直线 CP 与平面 BDF 所成角的正弦值为 若使 CM ∥平面 BDF ,需且仅需 CM ? n ? 0 且 CM ? 平面 BDF , --------12 分 所以在线段 PB 上存在一点 M ,使得 CM ∥平面 BDF .此时 18.(本小题共 13 分)解:(Ⅰ) f '( x ) ?

???? ?

解得 ? ?

1 ? [0,1] ,-----------13 分 3

BM 1 = . -------------------------14 分 BP 3

?ae x ( x ? 2) ? a ( x ? 2) , x ? R . --------------------------2 分 ? (e x ) 2 ex
x
f '( x ) f ( x)

当 a ? ?1 时, f ( x ) , f '( x ) 的情况如左下表:

(2, ??) 2 ? f '( x ) 0 ? f ( x) ↘ 极小值 ↗ 所以,当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 的极小值为 ?e?2 .
x
(Ⅱ) F '( x ) ? f '( x ) ?

( ??, 2)

( ??, 2)
?


2 0 极小值

(2, ??) ?


-----------------------------------------6 分

?a ( x ? 2) .①当 a ? 0 时, F ( x ), F '( x ) 的情况如右上表:--------------------------7 分 ex
若使函数 F ( x ) 没有零点,需且仅需 F (2) ?

因为 F (1) ? 1 ? 0 , ------------8 分

所以此时 ?e2 ? a ? 0 ;-----------------10 分 ②当 a ? 0 时, F ( x ), F '( x ) 的情况如右表:-------11 分

10 e 因为 F (2) ? F (1) ? 0 ,且 F (1 ? ) ? a

1?

10 a

? 10

e

10 1? a

?

e ? 10 e
1? 10 a

? 0 ,----------------12 分

a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?e2 ,------------9 分 e2 x ( ??, 2) (2, ??) 2 ? f '( x ) 0 ? f ( x) ↗ 极大值 ↘

所以此时函数 F ( x ) 总存在零点. -----------------13 分

综上所述,所求实数 a 的取值范围是 ?e2 ? a ? 0 . 由

19.(本小题共 14 分)解:(Ⅰ)由题意得 c ? 1 ,------------1 分 所以 b2 ? a 2 ? c2 ? 3 ,----------------3 分 所以椭圆的方程为

c 1 ? 可得 a ? 2 , -----------------2 分 a 2

(Ⅱ)由题意可得点 A( ?2,0), M (1, ) , ------------6 分

3 2

x2 y2 ? ? 1 .--------------4 分 4 3 1 所以由题意可设直线 l : y ? x ? n , n ? 1 .----------------7 分 2

? x2 y 2 ? ? 1, ?4 设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) , 由 ? 得 x 2 ? nx ? n2 ? 3 ? 0 . 由 题 意 可 得 ? ? n 2 ? 4(n 2 ? 3) ? 12 ? 3n 2 ? 0 , 即 3 ? ? y ? 1 x?n ? ? 2

n ? (?2,2) 且 n ? 1 . ------------------8 分

2 x1 ? x 2 ? ?n, x x 1 ? 2 n ? 3 .-------------9 分

3 3 y2 ? 2? 2 -------------10 分 因为 kMB ? kMC ? x1 ? 1 x2 ? 1 1 3 1 3 x1 ? n ? x2 ? n ? 2?2 2 ? 1 ? n ? 1 ? n ? 1 ? 1 ? (n ? 1)( x1 ? x2 ? 2) ? 1 ? (n ? 1)(n ? 2) ? 0 , --------13 分 ?2 n2 ? n ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 所以直线 MB, MC 关于直线 m 对称. -------------------14 分 y1 ?
20.(本小题共 13 分)解:(Ⅰ)①②③都是等比源函数. --------------3 分 (Ⅱ)函数 f ( x) ? 2 x ? 1 不是等比源函数. -----------------4 分 证明如下:假设存在正整数 m, n, k 且 m ? n ? k ,使得 f (m), f (n), f (k ) 成等比数列, (2n ? 1)2 ? (2m ? 1)(2k ? 1) ,整理得

22n ? 2n?1 ? 2m?k ? 2m ? 2k , ------------5 分 等式两边同除以 2m , 得 22n?m ? 2n?m?1 ? 2k ? 2k ?m ? 1 .因为 n ? m ? 1, k ? m ? 2 ,所以等式左边为偶数,等式右边为奇数, 所以等式 22n?m ? 2n?m?1 ? 2k ? 2k ?m ? 1 不可能成立,所以假设不成立,说明函数 f ( x) ? 2 x ? 1 不是等比源函数. ----------8 分
(Ⅲ)法 1:因为 ?b, n ? N* ,都有 g (n ? 1) ? g (n) ? d ,所以 ?d , b ? N* ,数列 {g (n)} 都是以 g (1) 为首项公差为 d 的等差

数列. ?d , b ? N* , g (1), g (1)(1 ? d ), g (1)(1 ? d )2 成等比数列,因为 g (1)(1 ? d ) ? g (1) ? ( g (1) ? 1 ? 1)d ? g[ g (1) ? 1] ,

g (1)(1 ? d )2 ? g (1) ? (2 g (1) ? g (1)d ? 1 ? 1)d ? g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] ,所以 g (1), g[ g (1) ? 1], g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] ?{g (n) | n ? N*} ,
所以 ?d , b ? N* ,函数 g ( x) ? dx ? b 都是等比源函数.-------------------------------------------13 分 法 2:因为 ?b, n ? N* ,都有 g (n ? 1) ? g (n) ? d ,所以 ?d , b ? N* ,数列 {g (n)} 都是以 g (1) 为首项公差为 d 的等差数列. 由 g 2 (m) ? g (1) ? g (k ) ,(其中 1 ? m ? k )可得 [ g (1) ? (m ? 1)d ]2 ? g (1) ? [ g (1) ? (k ? 1)d ] ,整理得 (m ? 1)[2 g (1) ? (m ? 1)d ] ? g (1)(k ? 1) ,令 m ? g (1) ? 1 ,则 g (1)[2 g (1) ? g (1)d ] ? g (1)(k ? 1) ,所以 k ? 2 g (1) ? g (1)d ? 1 , 所以 ?d , b ? N* ,数列 {g (n)} 中总存在三项 g (1), g[ g (1) ? 1], g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] 成等比数列. 所以 ?d , b ? N* ,函数 g ( x) ? dx ? b 都是等比源函数.-------------------------------------------13 分
2 2 法 3: 设正整数 m ? n ? k ,?d , b ? N * 由 ? dn ? b ? ? ? dm ? b ? ? ? dk ? b ? 得:dn2 ? mdk ? bm ? bk ? 2bn ? k ? dn ? 2bn ? bm dm ? b

令 n ? dm ? b ? m ? k ?

d ? dm ? b ? m ? ? 2b ? dm ? b ? m ? ? bm
2

dm ? b

?

? d ? 2 ?? dm ? b ? ? ? dm ? b ? m
2

dm ? b

? ? d ? 2 ?? dm ? b ? ? m ? N *

* * 所以,?d , b ? N ,数列 {g ( n)} 中总存在三项 g (m), g (dm ? b ? m), g ((d ? 2)(dm ? b) ? m) 成等比数列. 所以,?d , b ? N ,

函数 g ( x) ? dx ? b 都是等比源函数.



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