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【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.2.2等差数列的前n项和课件 苏教版必修5


2.2.2 等差数列的前n项和 情景导入 栏 目 链 接 数学史上有一颗光芒四射的巨星,他与阿基米德、 牛顿齐名,被称为历史上最伟大的三位数学家之 一,他就是18世纪德国著名的数学家——高斯. 高斯在上小学时,就能很快地算出1+2+3+… +100的结果.高斯是这样算出:1+2+3+…99 +100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+ 51)=101×50=5 050.他的这种算法,就是等差 数列求和的方法. 课 标 点 击 栏 目 链 接 1.掌握等差数列的前n项和公式以及推导该公式的 数学思想方法,并能运用公式解决简单的问题. 2.掌握与前n项和有关的等差数列的主要性质,并 能熟练运用其性质解决一些实际问题. 栏 目 链 接 要 点 导 航 栏 目 链 接 知识点1 等差数列的前n项和的公式 n(a1+an) n(n-1) Sn= ,①或 Sn=na1+ ×d,② 2 2 d? d 2 ? ②式可以改写成:Sn= n +?a1-2?n,当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二 栏 目 2 ? ? 次函数,且不含有常数项,所以可以借助二次函数的有关性质(如单调 性、极值性等)来处理等差数列前 n 项和 Sn 的有关问题,它的图象是 d 2 ?2a1-d? ?x 上横坐标为正整数的一群孤立的点. 抛物线 y= x +? 2 ? 2 ? 链 接 若 d=0,则 Sn=na1. 数列{an}为等差数列的充要条件是:数列{an}前 n 项和可以写成 Sn=an2+bn 的形式(其中 a,b 为常数)且公差为 2a. 栏 目 链 接 知识点2 等差数列前n项和公式的性质 (1)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍然是等差数列. (2)若等差数列的项数为 2n(n∈N*),则 栏 目 S2n=n(an+an+1)(an,an+ 链 接 S偶 an+1 ;若项数为 2n-1,则 S2n 1 为中间两项),且 S 偶-S 奇=nd, = S奇 an S奇 n = .下面对它们 -1=(2n-1)an(an 是中间项),且 S 奇-S 偶=an, S偶 n-1 做简要证明: ①若等差数列的项数为 2n,则 S 偶-S 奇=a2+a4+…+a2n-a1- a3-…-a2n-1=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=d+d+d+…+ n (a +a ) S偶 2 2 2n 2an+1 an+1 d=nd. = = = . n an 2 a S奇 n (a +a ) 2 1 2n-1 ②若等差数列的项数为 栏 目 链 2n-1,由等差数列的性质:a1+a2n-1= 接 n-1 a2+a2n-2=…=2an.所以 S 偶=a2+a4+…+a2n-2= (a + a )= 2 2 2n- 2 n-1 1 n ×2an=(n-1)an, S 奇=a1+a3+…+a2n-1= n(a1+a2n-1)= ×2an 2 2 2 S奇 nan n =nan,所以 = = . S偶 (n-1)an n-1 注意:(1)熟悉解题基本方法.在等差数列中,涉及 5 个元素 a1, d,n,an,Sn,其中 a1,d 称为基本元素.因为等差数列的首项 a1, 公差 d 已知,则此数列完全确定,故等差数列中不少问题都可转化为 求基本元素 a1 和 d 的问题. (2)熟悉并掌握性质,往往能找到简捷明快、优美灵活的解题技 巧. ? ?am≥0, ①当

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