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重庆市黔江区2015


2015—2016 第一学期高一年级期中考试 数学试题

本试卷满分 160 分, 时间 120 分钟. 一、填空题.(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上 .) ......... 1,集合 A ? ?0,1,2,3?, B ? ?4,2,3? ,则 A ? B ? ▲ . ▲ .

2, 若函数 f ?x ? ? x ? 1, x ? ?? 1,1?,则该函数的值域为
2 3, 化简: (3 ? ? ) ?



. ▲ ▲ . . .

4, 函数 f ? x ? ? 5, 把根式
3

1 ? x ? 1 的定义域为 x?4
写成分数指数幂的形式为
2 ?2

x2

6, 已知 a ? a ?1 ? 2, 则 a ? a

?



?1 ? x 2 , x ? 0 7, 已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f ?? 3? ? ? f ?x ? 2?, x ? 0
2





8, 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 5 的图像关于 y 轴对称, 则实数 a 的值是





9, 对于集合 A, B ,我们把集合 {x | x ? A, 且x ? B} 叫做集合 A 与 B 的差集,记作 A ? B . 若集合

A, B 都是有限集,设集合 A ? B 中元素的个数为 f ( A ? B) ,则对于集合 A ? ? 1,2,4?, B ? ? 1,3?, ,
那么 有 f ( A ? B) ? ▲ .

10, 设集合 A = x 1 ? x ? 2 , B = x x ? m ,若 A ? B ? ? ,则 实数 m 的取值范围是 11, 设 a ? 2 , b ? log2 12,
2 3

?

?

?

?





2 ,则 a 3



b. (填“ ?, 或 ?, 或 ? ” )
▲ . .

已知函数 y ? x ? 1 在区间 ?a,??? 上为增函数,则实数 a 的取值范围是 ▲

x 13, 已知函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? a , 则 f ?1? ? 2

14, 函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 在区间 ?0, k ? 上的最小值为 1,最大值为 5,则实数 k 的取值范围

1







二、解答题.(本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时 应写出文字说明、证明或演算步骤) 15,(本题满分 14 分) 已知全集 U ? R , 集合 A ? x ? 2 ? x ? 4 , B ? x x ? ?1或x ? 5 . (1) 求 A ? B ; (2) A ? ?CU B ? .

?

?

?

?

1 6,(本题满分 14 分)

(1)化简求值:

5 ? 27 ? 2
0

1 3

?

2 3

y ?1? x 3 ? ? ? ; (2)已知 2 ? 3,8 ? 9 ,求 ? 16 ?

1 3

2 x?2 y .

17, (本题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ? ? 出 函数 f ?x ? 的单调区间;

? ? x ?1 2 ?? x ? 1

( x ? 0) . ( x ? 0)

(1) 画出函数 f ?x ? 的图像, 并写

(2 ) 若 f (1 ? a) ? f (2a) ? 0, 求实数 a 的取值范围.

18,(本题满分 16 分)

“一带一路”是 “丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简

2

称,在我国的 “一带一路” 规划中, 某省在四个城市 A, B, C , D 之间按 A ? B ? C ? D ? A 的 布局加快高铁建设,且四个城市 A, B, C , D 的高铁站点依次相连,近似一个长宽 不等 的矩形, 该 .. .. 矩形的面积为 3.6 ? 10 km ,设高铁道路总长为 l (单位: km ) ,矩形的一短边 长为 x (单位: ..
5 2

km ).
(1) 试将 l 表示为关于 x 的函数 l ?x? ,并指出该函数的定义域; (2) 若在铺设高铁道路时,出于利润、成本、维修及损耗的考虑,某建筑公司现估算铺设每公里高 铁道路所需费用为

1 百亿元 (40 ? x ? 50 ),而某监理单位考虑质量与后期安全问题,要求提 x

高铺设的标准,且总费用不得低于 350 百亿元,请你帮着分析该建筑公司能否完成任务?

19,(本题满分 16 分) 已知函数 f ?x? ? kx , g ?x? ? (k ? 1) x ? 1 .
2

(1) 若函数 f ?x ? 在区间 ?0,??? 上是增函数,g ?x ? 在 R 上是减函数, 求实数 k 的取值范围; (2)若 k ? ?1 ,设函数 F ?x ? ? f ?x ? ? 2 g ?x ? ? t ,当 x ? ?0,3? 时,函数 F ?x ? 的最大值为 9, 求函数 F ?x ? 的值域; (3)设函数 H ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ?,且 H ? x ? 在区间 ?? ?,2? 上为增函数,求实数 k 的取值范 围.

20,(本题满分 16 分)

3

已知函数 f ?x ? ?

x 2 ? 2x ? a . x

(1)是否存在实数 a ,使得函数 f ?x ? 为奇函数,若存在,请求出 a ,若不存在,请说明理由; (2)若 a ? 0 时,完成下面的问题:① 判断 函数 f ?x ? 在区间 ?0,??? 上的单调性,并加以证明; ② 对任意的 x ? ?1,??? ,不等式

x?3 x ?1

? ? 都成立,求实数 ? 的取值范围.

4

2015—2016 第一学期高一年级期中考试 参考答案及评分标准 一、填空题. 1, ?2,3? ;2, ?0,2?;3, ? ? 3 ; 4, x x ? ?1且x ? 4 ;5, x 3 ;6, 2 ; 7, 0 ;

?

?

2

8, 1

;9, 2

;10, m ? 1 ;11, ?

; 12, a ? ?1 ; 13,

1 ;14, 2 ? k ? 4 ; 2

二、解答题. 15, 解: (1)借助数轴可得: A ? B ? ?? 2,?1? ; -------------------------7 分

(2) 借助数轴可得: A ? (CU B) ? ?? 2,5? . ---------------------------14 分 16, 解: (1)

15 ;--------------------------------------------------------7 分 4
y y

(2)因为 8 3 ? (2 3 ) 3 ? 2 y ? 9 ,---------------------------------------9 分 所以 2 2 y ? (2 y ) 2 ? 81, 即2
x?2 y

---------------------------------------11 分 ---------------------------------------14 分

? 2 x ? 22 y ?

1 27

17, 解: (1)图像略,-----------------------------------------------------4 分 其减区间为 ?? ?,???, 无增区间;-------------------------------------7 分 (2)由(1)可知函数 f ?x ? 在 R 内为减函数,----------------------------9 分 又由 f (1 ? a) ? f (2a) ? 0 可得 f (1 ? a) ? f (2a) 即 1 ? a ? 2a ,所以 a ? 1 .-----------------------------------------14 分 (使用分类讨论解答,若说理清晰,也应得分)

3.6 ? 105 720000 ? x) ? ? 2 x ------------------5 分 18, 解: (1)由题意知: l ?x ? ? 2( x x
其定义域为 x 0 ? x ? 600 (2)设总费用为 y 百亿元, 则y ?l?

?

?

-----------------------------------------7 分

1 720000 1 720000 ?( ? 2 x) ? ? ? 2 ------------------------10 分 x x x x2

2 又因为 40 ? x ? 50 ,所以 1600? x ? 2500 ,

5

即 从而

1 1 1 ? 2 ? , 2500 x 1600

290 ? y ? 452 -----------------------------------------------13 分

即 350? ?290,452?,从而可以完成任务.--------------------------------14 分 19,解: (1)由题意知: ?

? k ?0 , 即 0 ? k ? 1 ;-------------------------------4 分 ?k ? 1 ? 0

(2) 当 k ? ?1 时, F ?x? ? ? x 2 ? 4x ? 2 ? t 轴 x ? 2 ? ?0,3?, Fmax ?x? ? F ?2? ? ?4 ? 8 ? 2 ? t ? 9, 即

t ? 3 ,------------------------------------------------------------------------------------7 分 又 由 图 可 知

Fmin ?x ? ? F ?0? ? 5,











?5,9?

;

--------------------------------9 分 (3) H ?x? ? kx 2 ? ?k ? 1?x ? 1 , 由图分析可得: ① 当

k ?0

,

H ?x ? ? x ? 1





;

----------------------------------------------------12 分





k ? 0,



? 1? k ?? ?2 ? 2k ? ? k?0

,



?

1 ?k?0 3

;

--------------------------------15 分 ③当 k.>0,不可能成立。 综 上 得

?

1 ?k?0 3

.

------------------------------------------------------------------16 分 20, 解: (1)法一: 假设存在, 在定 义域 x x ? 0 内任意的 x 都满足 f ?? x ? ? f ?x ? ? 0 ,

?

?



x 2 ? 2x ? a x 2 ? 2x ? a ? ? 0 , 解得 x ? 0 -------------------- -2 分 ?x x
不 存 在



a

使



f ?x ?









;

6

--------------------- ---------------------------3 分

法二:

假设存在, 在定义域 x x ? 0 内任意的 x ,

?

?

x 2 ? 2x ? a x 2 ? 2x ? a f ?? x ? ? f ?x ? ? ? ? ?4 ? 0 ,---------------2 分 ?x x
即 f ?? x ? ? ? f ?x ? , 即不存在 a 使得 f ?x ? 为奇函数; -----------------------3 分

?2?

任取 x ? ?0,??? ,设 0 ? x1 ? x2 , f ? x ? ? x ?

a ?2, x

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? x1 ?

a a ? 2 ? x2 ? ?2 x1 x2
? ? ? ?

?1 1 ? x1 ? x 2 ? a? ?x ? x 2 ? 1 x ? x1 ? x1 ? x 2 ? a ? 2 x1 x 2

? ?x1 ? x2 ??
----5 分

x1 x2 ? a --------------------------------------x1 x2

又 0 ? x1 ? x2 , 即 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 , ① 当 0 ? x1 ? x2 ?

a , x1 x2 ? a ,

即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0, 所 以

f ?x ?



?0, a ?











;

----------------------------------------7 分 ② 当 a ? x1 ? x2 , x1 x2 ? a , 即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0, 所 以

f ?x ?



?

a ,??

?











;

---------------------------------------9 分 从而 f ?x ? 在 0, a 上为减函数 , 在

?

?

?

a ,?? 上为增函数 ;-----------------10
7

?



?3? 设 g ?x ? ?


x?3 x ?1

, 令t ?

x ? 1, ?t ? 0? ,即 x ? t 2 ? 1 ,
t2 ? 4 4 g ?x ? ? h?t ? ? ?t? , t t



---------------------------------------------12 分 由(2)可知 h?t ? 在 ?0,2? 上为减函数, 在 ?2,??? 上为增函数; 即

g min ?x? ? h?2? ? 4

,

--------------------------------------------------------------14 分 又对任意的 x ? ?1,??? ,不等式 g ?x ? ?

x?3 x ?1

? ? 都成立,
.



? ? g min ?x ? ? 4

----------------------------------------------------------16 分

8



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