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2016-2017学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期理科实验班第二次月考数学试题


衡阳八中 2016 年下期高二年级第二次月考试卷 数学(试题卷)
注意事项: 1.本卷为衡阳八中高二年级理科实验班第二次月考试卷,分两卷。其中共 22 题,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立即向监考老师通 报。开考 15 分钟后,考生禁止入场,监考老师处理余卷。 3.请考生将答案填写在答题卡上,选择题部分请用 2B 铅笔填涂,非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书 写。考试结束后,试题卷与答题卡一并交回。 ★预祝考生考试顺利★

第I卷
2 2

选择题(每题 5 分,共 60 分)
”的( )

本卷共 12 题,每题 5 分,共 60 分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的。 1.直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“|AB|= A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.有下列关于三角函数的命题 P1:?x∈R,x≠kπ + P2:函数 y=sin(x﹣ P3:?x0∈R,2cosx0=3; P4:函数 y=|cosx|(x∈R)的最小正周期为 2π ,其中真命题是( ) A.P1,P4 B.P2,P4 C.P2,P3 D.P1,P2 (k∈Z),若 tanx>0,则 sin2x>0; )与函数 y=cosx 的图象相同;

3.F1,F2 是椭圆

=1(a>b>0)的两焦点,P 是椭圆上任意一点,从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线

的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的轨迹为( )

A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线 4.已知双曲线

=1(a>0,b>0)与函数 y=

的图象

交于点 P,若函数 y= A. B.

的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0),则双曲线的离心率是( ) C. D.

5.已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 则 C2 的渐近线方程为( ) A. x±y=0 B.x± y=0 C.2x±y=0 D.x±2y=0

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与 C2 的离心率之积为



6.如图,空间四边形 OABC 中, 则 等于( )





,点 M 在 OA 上,且

,点 N 为 BC 中点,

1页

A.
2

B.

C.
2 2 2

D.

7.设直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A、B 两点,与圆(x﹣5) +y =r (r>0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 的 中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 8.已知点 A(0,2),抛物线 C1:y =ax(a>0)的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相 交于点 N,若|FM|:|MN|=1: A. B. C.1 ,则 a 的值等于( D.4 )
2

9.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( )

A.

B.

C.

D.

10.如图,棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为线段 A1B 上的动点,则下列结论错误的是( )

A.DC1⊥D1P

B.平面 D1A1P⊥平面 A1AP

C.∠APD1 的最大值为 90° D.AP+PD1 的最小值为

11.已知点

是双曲线 两点,若 C.

的右焦点, 点

是该双曲线的左顶点, 过

且垂直于 轴 )

的直线与双曲线交于 A. B.

是钝角,则该双曲线的离心率 的取值范围是( D.

2页

12.抛物线



> ) 的焦点为

, 已知点

、 为抛物线上的两个动点, 且满足

.

过弦

的中点

作抛物线准线的垂线

,垂足为

,则

的最大值为 ( )

A.

B. 1

C.

D. 2

第 II 卷
二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.已知命题 函数

非选择题(共 90 分)

的值域是

,命题

的定义域为

,若

为真命题,则实数 的取值集合为 . 14.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2) ,B(1,-3,1) ,点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相 等,则 M 的坐标是 。

15.双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为 A、B,渐近线分别为 l1、l2,点 P 在第一象限内

且在 l1 上,若 PA⊥l2,PB∥l2,则该双曲线的离心率为 . 2 16.已知抛物线 C:y =2px (p>0)的焦点为 F,过点 F 倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线 C 在第一、四象 限分别交于 A、B 两点,则 的值等于 . 三.解答题(共 6 题,共 70 分) 17.(本题满分 10 分)已知命题 p:f(x)=x ﹣ax+1 在[﹣1,1]上不具有单调性;命题 q:?x0∈R,使得
2

(Ⅰ)若 p∧q 为真,求 a 的范围. (Ⅱ)若 p∨q 为真,求 a 的范围.

3页

18.(本题满分 12 分)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD, ∠AFD=90° ,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60° .

(I)证明:平面 ABEF⊥平面 EFDC; (II)求二面角 E-BC-A 的余弦值.

19.(本题满分 12 分)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)的上顶点为(0,1),且离心率为



(Ⅱ)证明:过椭圆 C1:
2 2

+

=1(m>n>0)上一点 Q(x0,y0)的切线方程为

+

=1;

(Ⅲ)过圆 x +y =16 上一点 P 向椭圆 C 引两条切线,切点分别为 A,B,当直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 M, N 两点时,求|MN|的最小值.

20.(本题满分 12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0),其中 F1、F2 为左右焦点,O 为坐标原点,直 时,原

线 l 与椭圆交于 P(x1、y1),Q(x2,y2)两个不同点,当直线 l 过椭圆 C 右焦点 F2 且倾斜角为 点 O 到直线 l 的距离为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)以 OP、OQ 为邻边做平行四边形 OQNP,当平行四边形 OQNP 面积为 线之积|ON|?|PQ|的最大值.
4页

,又椭圆上的点到焦点 F2 的最近距离为

﹣1 时,求平行四边形 OQNP 的对角

21.(本题满分 12 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,△ABC 是边长为 2 正三角形,D、E 分别是线段 BB1、AC1 的中点,DE⊥AC1. (1)求证:DE⊥平面 AA1C1C; (2)若 AA1C1C 是矩形,BB1=4,求直线 BB1 与平面 ADC1 所成角的正弦值.

5页

22.(本题满分 12 分)已知椭圆 C: P 是椭圆上任意一点,且△PF1F2 的周长是 8+2 (1)求椭圆 C 的方程;

的离心率为

,F1,F2 是椭圆的两个焦点,

(2)设圆 T:(x﹣t) +y = ,过椭圆的上顶点作圆 T 的两条切线交椭圆于 E、F 两点,当圆心在 x 轴上移 动且 t∈(1,3)时,求 EF 的斜率的取值范围.

2

2

6页

衡阳八中 2016 年下期高二年级理科实验班第二次月考数学参考答案
题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 D 8 D 9 D 10 C 11 C 12 A

13.[1,4] 14.(0,-1,0) 15.2 16.3 17. ∵f(x)=x ﹣ax+1 在[﹣1,1]上不具有单调性, ∴ ?﹣2<a<2;
2 2

∴命题 p 为真时,﹣2<a<2; 命题 q 为真时:△=4a ﹣16a≥0?a≥4 或 a≤0, (Ⅰ)由复合命题真值表知:若 p∧q 为真,则命题 p,q 都为真命题,则 a 的取值范围是{a|﹣2<a<2} ∩{a|a≥4 或 a≤0}={a|﹣2<a≤0}; (Ⅱ)由复合命题真值表知:若 p∨q 为真,则命题 p,q 至少一个为真命题,则 a 的取值范围是{a|﹣2<a <2}∪{a|a≥4 或 a≤0}={a|a<2 或 a≥4}. 18. (I)由已知可得 AF⊥DF,AF⊥FE,所以 AF⊥平面 EFDC. 又 AF 平面 ABEF,故平面 ABEF⊥平面 EFDC. (II)过 D 作 DG⊥EF,垂足为 G,由(I)知 DG⊥平面 ABEF. 以 G 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz. ,可得 A(1,4,0),

由(I)知∠DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角,故∠DFE=60° ,则|DF|=2,|DG|= B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0, 由已知,AB∥EF,所以 AB∥平面 EFDC. 又平面 ABCD∩平面 EFDC=CD,故 AB∥CD,CD∥EF. ).

由 BE∥AF, 可得 BE⊥平面 EFDC, 所以∠CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角, ∠CEF=60° . 从而可得 C(- 2,0, 所以 ). , =(0,4,0) , , =(-4,0,0).

设 n=(x,y,z)是平面 BCE 的法向量,则

,即 所以可取 n=(3,0,- ).

设 m 是平面 ABCD 的法向量,则

7页

同理可取 m=(0,

,4).则



故二面角 E-BC-A 的余弦值为



19. (Ⅰ)由题意可得 b=1,e= = 又 a ﹣b =c ,解得 a=2,b=1,
2 2 2



即有椭圆 C 方程为

+y =1.

2

(Ⅱ)证明:当斜率存在时,设切线方程为 y=kx+t,联立椭圆方程 可得 n x +m (kx+t) =m n ,化简可得: (n +m k )x +2m ktx+m (t ﹣n )=0,① 由题可得:△=4m k t ﹣4m (n +m k )(t ﹣n )=0 化简可得:t =m k +n ,①式只有一个根,记作 x0,
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

+

=1,

x0=﹣

=﹣

,x0 为切点的横坐标,

切点的纵坐标 y0=kx0+t=



所以

=﹣

,所以 k=﹣



所以切线方程为:y﹣y0=k(x﹣x0)

=﹣

(x﹣x0),

化简得:

+

=1.

当切线斜率不存在时,切线为 x=±m,也符合方程

+
8页

=1,

综上

+

=1(m>n>0)上一点 Q(x0,y0)的切线方程为
2 2

+

=1;

(Ⅲ)设点 P(xP,yP)为圆 x +y =16 上一点,

PA,PB 是椭圆

+y =1 的切线,

2

切点 A(x1,y1),B(x2,y2),过点 A 的椭圆的切线为

+y1y=1,

过点 B 的椭圆的切线为

+y2y=1.

由两切线都过 P 点,

+y1yP=1,

+y2yP=1

即有切点弦 AB 所在直线方程为

+yyP=1.

M(0,

),N(

,0),

|MN| =

2

+

=(

+

)?

=

(17+

+

)≥

(17+2

)=



当且仅当 则|MN|

=

即 xP =

2

,yP =

2

时取等,

,即|MN|的最小值为 . ,设 F2(C,0),则直线 l 的方程为 y=x﹣c,

20.(1)∵直线 l 的倾斜角为 则 ,得 c=1.

由椭圆的几何性质可得椭圆上的点到焦点 F2 的最近距离为 a﹣c=

,得 a=



∴椭圆 C 的方程为



(2)当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称,则 x1=x2,y1=﹣y2,

由 P(x1,y1)在椭圆上,则

,而
9页

,则



知|ON|?|PQ|=



当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 为 y=kx+m,代入 2x +3(kx+m) =6,即(2+3k )x +6kmx+3m ﹣6=0.
2 2 2 2 2

可得,

△>0,即 3k +2>m ,

2

2



|PQ|= 设 O 到 l 的距离为 d,

=



则 d=
4 2


2 2 2 2 4 2 2 2 2



化为 9k +12k +4﹣12m k ﹣8m +4m =0. 得到(3k +2﹣2m ) =0,则 3k +2=2m ,满足△>0.

由前知, 设 M 是 ON 与 PQ 的交点,则







,当且仅当

,即 m=

时等号成立.

综上可知,|OM|?|PQ|的最大值为 ,|ON|?|PQ|=2|OM|?|PQ|的最大值为 5. 21. (Ⅰ)取棱 A1C1 的中点 F,连接 EF、B1F 则由 EF 是△AA1C1 的中位线得 EF∥AA1,EF= 又 DB1∥AA1,DB1= 所以 DE∥B1F? 因为 B1F⊥A1C1,所以 DE⊥A1C1,又 DE⊥AC1 所以 DE⊥平面 AA1C1C (Ⅱ)由(Ⅰ)知 B1F⊥平面 AA1C1C,所以 B1F⊥C1C,又 B1C1⊥C1C, 所以 CC1⊥平面 A1B1C1? 如图建立空间直角坐标系,A(0,0, ),D(1,2,0),C1(﹣1,4,0)
10 页



?

所以 EF∥DB1,EF=DB1,故四边形 DEFB1 是平行四边形

设平面 ADC1 的一个法向量为 =(x,y,z)

则由 解得 =(1,1,

,得 )

设直线 BB1 与平面 ADC1 成的角为θ ,

sinθ =|cosθ |=

=

22. (1)由 ∴ ∴a=4,b=1, ,即 , ,可知 a=4b, , ,

∵△PF1F2 的周长是

所求椭圆方程为



(2)椭圆的上顶点为 M(0,1),设过点 M 与圆 T 相切的直线方程为 y=kx+1,

由直线 y=kx+1 与 T 相切可知 即(9t ﹣4)k +18tk+5=0,
2 2









,得







11 页

同理





=



当 1<t<3 时,

为增函数,故 EF 的斜率的范围为



12 页



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