3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

py2015高三数学(理)试题及答案


2015 届高三上学期期末考试 数学试题
第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项只有一个是符合 题目要求的. 1.已知集合 A ? y y ? log 2 x, x ? 1 , B ? ? y y ? ?

?

?

? ? ? ?

x ? ? ?1? ? , x ? 1?,则A ? B ? ,则 A ? B ? ?2? ? ?

A. ? 0,

? ?

1? ? 2?

B.

? 0,1?

C. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

D. ?

2.若复数 A. 2

a?i 是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i 1 B. ? C. ?2 2
2

D. ?1

3.圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 和圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的位置关系为
2 2

A.相交

B.相切
ln x

C.相离

D.以上都有可能

4.已知函数 f ? x ? ? e

,则函数 y ? f ? x ? 1? 的大致图象为

5.下列命题: ① k ? 4 是方程 x ? y ? 2kx ? 4 y ? 3k ? 8 ? 0 表示圆的充要条件;
2 2

②把 y ? sin x 的图象向右平移

?
3

单位,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的

1 ,得到函数 2

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的图象; 3? ?
③函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?? ? 在 ?0, ? 上为增函数; 3? ? 6?

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2,则实数 m 的值等于 5. ④椭圆 m 4
其中正确命题的序号为

A.①③④ B.②③④ C.②④ D.② 6.若圆台两底面周长的比是 1:4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比 是 A.1:16 B.39:129 C.13:129 D.3:27 7.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是 A. 2016 B. 2 C.

1 2

D. ?1

8.函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 是 A. C.

2 的零点所在的大致区间 x

? 0,1? ? 2, e ?

B. ?1, 2 ? D.

? 3, 4 ?
1 , 且各人能否通过测试是相互独立的, 3

9.有 3 位同学参加测试, 假设每位同学能通过测试的概率都是 则至少以后一位同学能通过测试的概率为 A.

8 27

B.

4 9

C.

2 3

D.

19 27

10. 已 知 函 数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax 2 ? 2bx ? c 有 两 个 极 值 点 x1 , x2,且 ? 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 , 则 直 线 3

bx ? ? a ? 1? y ? 3 ? 0 的斜率的取值范围是
A. ? ?

? 2 2? , ? ? 5 3?

B. ? ?

? 2 3? , ? ? 5 2?

C. ? ?

? 2 1? , ? ? 5 2?

D. ? ??, ?

? ?

2? ?2 ? ? ? ? , ?? ? 5? ?3 ?

第 II 卷(非选择题
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

共 100 分)

1? ? 11. ? x 2 ? ? 的展开式中的常数项是_________. x? ?
12.当 a ? 0且a ? 1 时, 函数 f ? x ? ? log a ? x ? 1? ? 1 的图像恒过点 A, 若点 A 在直线 mx ? y ? n ? 0 上, 则 4 ? 2 的最小值为_________.
m n

6

13.两曲线 x ? y ? 0, y ? x ? 2 x 所围成的图形的面积是_________.
2

14.若数列?an ? 的通项公式为 an ?

1

? n ? 1?

2

? n ? N ?,记f ? n ? ? ?1 ? a ??1 ? a ? ... ?1 ? a ? ,试通过计算
* 1 2 n

f ?1? , f ? 2 ? , f ? 3? 的值,推测出 f ? n ? ? _________.
x2 y 2 5c 15.已知双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 a b 3
(c 为双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率 e 为__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知直线两直线 l1 : x cos ? ?

1 ?? ? y ? 1 ? 0;l2 : y ? x sin ? ? ? ? , ?ABC 中,内角 A,B,C 对边分别为 2 6? ?

a, b, c,a ? 2 3, c ? 4,且当? =A 时,两直线恰好相互垂直;
(I)求 A 值; (II)求 b 和 ?ABC 的面积

17. (本小题满分 12 分) 右图为某校语言类专业 N 名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知 80~90 分数段的学 员数为 21 人 (I)求该专业毕业总人数 N 和 90~95 分数段内的人数 n ; (II)现欲将 90~95 分数段内的 n 名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校,若向学校甲分配两名毕业生,且其中 至少有一名男生的概率为 ,求 n 名毕业生中男女各几人(男女人数均至少两人)? (III)在(II)的结论下,设随机变量? 表示 n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数,求? 的分 布列和数学期望.

3 5

18. (本小题满分 12 分) 如图,ABCD 为梯形, PD ? 平面 ABCD,

AB//CD ,

?BAD =?ADC=90o

DC ? 2 AB ? 2a, DA ? 3a, PD ? 3a ,E 为 BC 中点,连结 AE,交 BD 于 O.
(I)平面 PBD ? 平面 PAE (II)求二面角 D ? PC ? E 的大小(若非特殊角,求出其余弦即可)

19. (本小题满分 12 分) 已知 S n 是等差数列?an ? 的前 n 项和,数列?bn ? 是等比数列, b1 ?

1 1 , a5 ? 1 恰为 S 4与 的等比中项,圆 2 b2

C : ? x ? 2n ? ? y ? S n
2

?

?

2

? 2n 2 ,直线l : x ? y ? n ,对任意 n ? N ? ,直线l 都与圆 C 相切.

(I)求数列?an ?, ?bn ? 的通项公式; (II)若 n ? 1 时,c1 ? 1 ?

1 1 1 1 , n ? 2时,cn ? ? ? ... ? , ?cn ? 的前 n 项和为Tn ,求证: 1 1 1 1 ?1 ?2 b1 bn ?1 bn ?1 bn

对任意 n ? 2 ,都有Tn ?

n ?1 2

20. (本小题满分 13 分) 已知 g ? x ? ? bx ? cx ? 1, f ? x ? ? x ? ax ? ln x ? 1, g ? x ? 在x ? 1 处的切线为 y ? 2 x
2 2

(I)求 b, c 的值; (II)若 a ? ?1,求f ? x ? 的极值;

(III)设 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,是否存在实数 a, 当x ? ? 0, e ? , ( e ? 2.718 ,为自然常数)时,函数 h ? x ? 的最小值为 3.

21. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C1 : y 2 ? 2 px 上一点 M ? 3,y0 ? 到其焦点 F 的距离为 4;椭圆 C2: 2 ?

y2 a

x2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的 b2

离心率 e ?

2 ,且过抛物线的焦点 F. 2

(I)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程;

NB ? ? BF ,求 (II)过点 F 的直线 l1 交抛物线 C1 于 A、B 两不同点,交 y 轴于点 N,已知 NA ? ? AF,
证: ? ? ? 为定值. (III)直线 l2 交椭圆 C2 于 P,Q 两不同点,P,Q 在 x 轴的射影分别为 P? , Q? ,

uur

uuu r uuu r

uuu r

uuu r uuu r uuu r uuur uur uuu r uuu r OPgOQ ? OP?gOQ? ? 1 ? 0 ,若点 S 满足: OS ? OP ? OQ ,
证明:点 S 在椭圆 C2 上.

16. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)当 ? ? A 时,直线 l1 : x cos ? ?

k1 ? ?2 cos A, k2 ? sin( A ? ) ,两直线相互垂直 6
所以 k1k2 ? (?2 cos A) sin( A ? 即 cos A sin( A ?

?

1 ? y ? 1 ? 0; l2 : y ? x sin(? ? ) 的斜率分别为 2 6

?

?
6

6

) ? ?1

)?

可得 cos A(sin A cos

?

? 1 ? cos A sin ) ? 6 6 2

1 2

所以

3 1 1 3 1 1 ? cos 2 A 1 sin A cos A ? cos 2 A ? ,所以 sin 2 A ? ( )? 2 2 2 4 2 2 2



3 1 ? cos 2 A sin 2 A ? ?1 2 2

即 sin(2 A ?

?
6

)?

1 …………………………4 分 2

因为 0 ? A ? ? , 0 ? 2 A ? 2? ,所以 所以只有 2 A ? 所以 A ?

?

?
6

?

?
3

5? 6

6

? 2A ?

?
6

?

13? 6

………………………………6 分

(Ⅱ) a ? 2 3, c ? 4, A ?

?
3

,

所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 即 12 ? b 2 ? 16 ?

?
3

1 ? 8b 2

所以 (b ? 2) ? 0
2

即 b ? 2 …………………………9 分 所以 ?ABC 的面积为 S ?ABC ?

1 1 ? bc sin A ? ? 4 ? 2sin ? 2 3 ……………………12 分 2 2 3

(Ⅱ ) 90 段内共 6 名毕业生,设其中男生 x 名,女生为 6 ? x 名 设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件 A ,则 则 P ( A) ? 1 ?

95 分数

C 62? x C6
2

?

3 5

解得 x ? 2 或 9 (舍去) 即 6 名毕业生中有男生 2 人,女生 4 人…………………8 分 (Ⅲ) ? 表示 n 名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数, 所以 ? 的取值可以为 0,1, 2 当 ? ? 0 时, P (? ? 0) ?
3 C4 1 ? 3 C6 5 1 2 C2 C4 3 ? 3 C6 5 2 1 C2 C4 1 ? 3 C6 5

当 ? ? 1 时, P (? ? 1) ?

当 ? ? 2 时, P (? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为

?
P(? ? k )

0
1 5

1

2

3 5

1 5

所以随机变量 ? 数学期望为 E? ? 0 ? 18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 连结 BD

1 3 3 9 ? 1? ? 2 ? ? ………………………12 分 5 5 5 5

P

?BAD ? ?ADC ? 90
AB ? a, DA ? 3a ,所以 BD ? DC ? BC ? 2a
E 为 BC 中点,所以, DE ? 3a ? AD
因为 AB ? BE ? a , DB ? DB 所以 ?DAB 与 ?DEB 为全等三角形 所以 ?ADB ? ?EDB 所以 ?DAO 与 ?DEO 为全等三角形 所以在 ?DAE 中, DO ? AE ,即 AE ? BD ………………3 分 又因为 PD ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD 所以 AE ? PD ……………………………4 分 而 BD

D

O

E

C

A
z

B

P

PD ? D

D

C
O

所以 AE ? 平面 PBD ………………………5 分 因为 AE ? 平面 PAE 所以平面 PAE ? 平面 PBD ……………………6 分 (Ⅱ) 以 O 为原点,分别以 DA, DB, DP 所在直线 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系如图 二面角 D ? PC ? E 即二面角 D ? PC ? B

A x

E B

AD ? 平面 DPC ,平面 DPC 的法向量可设为

n1 ? (1, 0, 0) ……………7 分

设平面 PBC 的法向量为 n2 ? ( x, y,1) 所以 ?

? ?n 2 ? BC ? 0 ? ?n 2 ? PC ? 0

,而 B ( 3a, a, 0), C (0, 2a, 0), P(0, 0, 3a)

BC ? (? 3a, a, 0), PC ? (0, 2a, ? 3a)
即: ?

? ?? 3ax ? ay ? 0 ? ?2ay ? 3a ? 0

,可求得 n2 ? ( ,

1 3 ,1) ………………………………10 分 2 2

n1 ? (1, 0, 0)
所以两平面 DPC 与平面 DBC 所成的角的余弦值

1 n1 ? n 2 2 为 cos? n1 , n 2 ? ? ………………………………12 分 ? 2 ? | n1 || n 2 | 2.1 4

设等比数列 {bn } 的公比为 q ,所以 bn ? b1q n ?1 ?

1 n ?1 q 2

a5 ? 1 恰为 S 4 与

1 1 的等比中项 a5 ? 9, S 4 ? 16 , b2 ? q ,所以 2 b2

1 1 ,解得 q ? ………………………7 分 1 2 q 2 1 所以 bn ? b1q n ?1 ? ( ) n ……………………8 分 2

(9 ? 1) 2 ? 64 ? 16 ?

(Ⅱ) n ? 2 时, Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? (1 ? ) ? (

1 2

1 1 1 1 1 1 ? 2)?( 2 ? 2 ? 2 ? 3)? 2 ?1 2 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2
1

1 1 ? ... ? n ) 2 ?1 2 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 而 n ? 2 时, cn ? n ?1 ? n ?1 ? ... ? n ? n ? n ? ... ? n ………………………10 分 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 2 ... ? (
n ?1

1

?

n ?1

?

2n ? (2n ?1 ? 1) ? 1 2n ?1 1 ? n ? 2n 2 2
1 1 1 ? ? ... ? 2 2 2

所以 Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? 1 ?

? 1?

n ……………………………12 分 2

说明:本问也可用数学归纳法做. 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ? 2bx ? c 在 x ? 1 处的切线为 y ? 2 x
'

所以 g ' ( x) x ?1 ? 2 ,即 2b ? 2 又在 x ? 1 处 y ? 2 ,所以 g (1) ? 2 所以 ?

?2b ? c ? 2 ?b ?1 ? c ?1 ? 1 ? 2
2
2

,可得 ?

?b ? 1 ?c ? 0

所以 g ( x) ? x ? 1 ……………………………3 分 (Ⅱ) a ? ?1 时 f ( x) ? x ? x ? ln x ? 1 ,定义域为 (0, ??)
2

1 2 x 2 ? x ? 1 ( x ? 1)(2 x ? 1) f ( x) ? 2 x ? 1 ? ? ? x x x
'

x

(0,1)

1

(1, ??)

y'
y

?

0
极小值 f (1)

?

可以看出,当 x ? 1 时,函数 f ( x) 有极小值 y极小 ? f (1) ? 1 ………………………………8 分 (Ⅲ) 因为 f ( x) ? x ? ax ? ln x ? 1 , g ( x) ? x ? 1
2 2

所以 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? ax ? ln x ? 1 ? ( x ? 1) ? ax ? ln x
2 2

假设存在实数 a ,使 h( x) ? ax ? ln x( x ? (0, e]) 有最小值 3 ,

h' ( x) ? a ?

1 …………………9 分 x
'

①当 a ? 0 时, h ( x) ? 0 ,所以

h( x) 在 (0, e] 上单调递减, h( x) min ? h(e) ? ae ? 1 ? 3, a ?

4 (舍去)… …………10 分 e

1 a( x ? ) a ②当 a ? 0 时, x 1 1 ' (i)当 0 ? a ? 时, ? e , h ( x) ? 0 在 (0, e] 上恒成立 e a
4 (舍去)……11 分 e 1 1 1 1 ' (ii)当 a ? 时, 0 ? ? e ,当 0 ? x ? 时, h ( x) ? 0 所以 h( x) 在 (0, ) 上递减 e a a a 1 1 ' 当 ? x ? e 时 h ( x) ? 0 , h( x) 在 ( , e) 上递增 a a 1 所以, h( x) min ? h( ) ? 1 ? ln a ? 3 …………12 分 a
所以 h( x) 在 (0, e] 上单调递减, h( x) min ? h(e) ? ae ? 1 ? 3, a ? 所以 a ? e 2 满足条件, 综上,存在 a ? e 2 使 x ? (0, e] 时 h( x) 有最小值 3 ……………13 分

所以 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0
2 2 2 2

? 2k 2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? ? 16k ? 16 ? 0 ,所以 ? k2 ?x x ? 1 ? 1 2
2

(*)……………………5 分

由 NA ? ? AF , NB ? ? BF 得:

? (1 ? x1 ) ? x1 , ? (1 ? x2 ) ? x2
得: ? ?

x1 x , ? ? 2 ……………………………………7 分 1 ? x1 1 ? x2

所以 ? ? ? ?

x1 x x (1 ? x2 ) ? x2 (1 ? x1 ) x ? x ? 2 x1 x2 ? 2 ? 1 ? 1 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? ?1 …………………9 分 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2

将(*)代入上式,得 ? ? ? ?

(Ⅲ)设 P ( x p , y p ), Q ( xQ , yQ ) 所以 S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) ,则 P ( xP , 0), Q ( xQ , 0)
' '

由 OP ? OQ ? OP ? OQ ? 1 ? 0 得
' '

2 xP xQ ? yP yQ ? ?1 (1)…………………………………11 分

yP 2 ? xP 2 ? 1 ,(2) 2
(1)+(2)+(3)得:

yQ 2 2

? xQ 2 ? 1 (3)

( yP ? yQ ) 2 2

? ( xP ? xQ ) 2 ? 1

即 S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) 满足椭圆 C2 :

y 2 x2 ? ? 1 的方程 2 1

命题得证………………………………………………………14 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


推荐相关:

py2015高三数学(理)试题及答案

py2015高三数学(理)试题及答案_数学_高中教育_教育专区。高三数学复习用,2015 届高三上学期期末考试 数学试题第 I 卷(选择题 共 50 分)一、选择题:本题共 10...


2015年山东省高考理科数学真题试卷(有答案)

2015年山东省高考理科数学真题试卷(有答案)_数学_...X2=2py(p>0)交于 O,若△OAB 的垂心为 C2 的...2015年山东省高考数学(理... 4页 免费 2014山东...


2015年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析_数学_...(a>0,b>0) 的渐近线与抛物线 C2:x =2py(p>...运用韦达定 理,三角形的面积公式,将直线 y=kx+m...


2015山东高考数学(理)试题及答案

2015山东高考数学(理)试题及答案_数学_高中教育_教育专区。绝密★启用前 2015 ...? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 C2: a 2 b2 X2=2py(p>0)交于 O...


2015年山东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年山东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】_...(a>0,b>0) 的渐近线与抛物线 C2:x =2py(p>...2007年高考数学山东卷(理... 12页 免费 2008年...


上海市2015届高三模拟试题高三数学(理科)

任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 ...2 py( p ? 0) 外. 在抛物线 C: x ? 2 py...2015 届高三模拟试题高三数学(理科)参考答案一、填空...


2015年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析_数学_高中教育_教育专区。手工修正,...(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 C2:x =2py(p>0)交于点 O,A,B, 若△ ...


新课标高三数学理科综合测试题与参考答案(一)

新课标高三数学理科综合测试题与参考答案(一)_数学_高中教育_教育专区。2015 届...2 py ? 联立 ? 得 x2 ? 2 pk1x ? 2 pk1x0 ? x02 ? 0 ???(1...


2015年全国高考理科数学试题及答案-山东卷

2015年全国高考理科数学试题及答案-山东卷_高考_高中教育_教育专区。中国校长网教学...a 2 b2 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 值 C2:X2=2py(p>0)交于 O,若...


2015年高考数学导数真题及答案

2015年高考数学导数真题及答案_高考_高中教育_教育...【2015 高考陕西,理 12】对二次函数 f ( x) ?...2 py ( p ? 0 ) 2 25 25 2 2 2 为该...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com