§3.2 一元二次不等式 及其解法
创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽 度相同,中间种植草坪(图中 阴影部分)为了美观,现要求 草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的 取值范围是什么?
设:花卉带的宽为 x(0 ?
x
x x
x
x
x
x
x
x ? 3) ,则依题意有
整理得
1 (8 ? 2x)(6 ? 2x) ? ?8? 6 整理得 2
x2 ? 7x ? 6 ? 0
一元二次不等式的定义:
只含有一个未知数,并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式:
ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? (a ? 0) 0
2 2
互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 ? 7x ? 6 ? 0 的解集 x2 ? 7x ? 6 ? 0 的根与二次 (1)一元二次方程 函数 y ? x2 ? 7 x ? 6 的零点的关系:
二次方程有两个实数根:
y
x1 ? 1, x2 ? 6
二次函数有两个零点:
0 1
o o
6
x
x1 ? 1, x2 ? 6
即:二次方程的根就是二次函数的零点
y
(2)当x取
y>0 y>0 0 1
o o o o
x=1 或 6
时,y=0?
x 6 y<0
当x取 x<1 或 x>6 时,y>0? 当x取 1 < x <6 时,y<0?
(3)由图象得: 不等式x2 ﹛x|x<1或x>6﹜ -7x-6>0 的解集为 。
﹛x| 1 <x <6﹜ 不等式x2 -7x-6<0 的解集为
。
大于0取两边,小于0取中间.
启发引导 形成结论
△=b2- 4ac
??0 ? ?0
二次函数
??0
二次函数
y ? ax ? bx ? c
2
(a ? 0 ) 的图象
图象
对应二次方程 b x1 , x2 ( x1 ? x2 ) x1 = x2 = 无实根 的根 2a 一元二次方程的根 一元二次不等式的解 2 ax ? bx ? c ? 0 ? x x ? x1或x ? x2 ? ? x x ? ? b ? ? ? 2a ? (a ? 0)的解集 ?
R
ax 2 ? bx ? c ? 0 ? x x1 ? x ? x 2 ? (a ? 0)的解集
?
?
思考
①对于一元二次不等式
ax ? bx ? c ? 0,(a ? 0)或 2 ax ? bx ? c ? 0,(a ? 0)
2
当二次项系数 a ? 0 时如何求解?
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集与 ②不等式
ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集有 不等式
差异吗?
求解一元二 次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:
△≥0
b x?? 2a
x< x1或x> x2
典例剖析 规范步骤
例1 解不等式 2 x ? 3x ? 2 ? 0 .
2
解:原不等式等价于2 x ? 1)(x ? 2) ? 0 (
?方程 2x ? 3x ? 2 ? 0 的解是
2
?原不等式的解集是
1 ,x ? 2 . x1 ? ? 2 2
?x
x ? ? 1 ,或 x ? 2 . 2
?
典例剖析 规范步骤
例2 解不等式 ? 3x ? 6x ? 2 .
2
解:整理,得3x ? 6 x ? 2 ? 0 . 2 ? ? ? 0 ,方程 3x ? 6x ? 2 ? 0 的解是
2
?原不等式的解集是
3 ,x ? 1 ? 3 x1 ? 1 ? 2 3 3
? 3 ? x ? 1? 3 ? . ? x 1? 3 ? 3 ? ?
求一元二次不等式的的一般步骤:
一看:看二次项系数是否为正,若为 负化为正。 二算:算△及对应方程的根。 三写:由对应方程的根,结合不等号 的方向,根据函数图象写出不等式的 解集。
典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 .
2
解: ? ? 0 , ? 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2
1. 的解是 x1 ? x2 ? 2
?原不等式的解集是
?
1 . x x? 2
?
典例剖析 规范步骤
例4 解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2
解:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0
2
2
? ? ? 0 ,方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 无实数解,
?不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是? .
2
?原不等式的解集是 . ?
小结
1.一元二次不等式的定义与一般形式. 2.三个“二次”的关系. 3.一元二次不等式的解法及其步骤. 4.数学思想:数形结合的思想. 5.认识方法:特殊到一般的辩证法.
当堂训练 巩固深化
1、解下列不等式:
(1)3x ? 5x ? 0 (2) ? 3x ? 5x ? 0
2
2
1 2 (3) x ? 4 x ? ? 0 (4) ? x ? 4 x ? 4 ? 0 4
2
2、 求函数 y ? ? 2 x 2 ? x ? 5 的定义域 3、自变量x在什么范围取值时,函数 2 y ? 3x ? x ? 2 的值小于0