高中数学《3.2.1一元二次不等式及其解法》课件 新人教A版必修5

§3.2 一元二次不等式 及其解法

创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽 度相同,中间种植草坪(图中 阴影部分)为了美观,现要求 草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的 取值范围是什么?
设:花卉带的宽为 x(0 ?

x

x x

x

x

x

x

x

x ? 3) ,则依题意有
整理得

1 (8 ? 2x)(6 ? 2x) ? ?8? 6 整理得 2

x2 ? 7x ? 6 ? 0

一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.

一元二次不等式的一般形式：

ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? （a ? 0) 0
2 2

互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 ? 7x ? 6 ? 0 的解集 x2 ? 7x ? 6 ? 0 的根与二次 （1）一元二次方程 函数 y ? x2 ? 7 x ? 6 的零点的关系：
二次方程有两个实数根：
y

x1 ? 1, x2 ? 6
二次函数有两个零点：
0 1
o o

6

x

x1 ? 1, x2 ? 6
即：二次方程的根就是二次函数的零点

y

(2)当x取
y>0 y>0 0 1
o o o o

x=1 或 6

时，y=0？

x 6 y<0

当x取 x<1 或 x>6 时，y>0？ 当x取 1 < x <6 时，y<0?

(3)由图象得： 不等式x2 ﹛x|x<1或x>6﹜ -7x-6>0 的解集为 。

﹛x| 1 <x <6﹜ 不等式x2 -7x-6<0 的解集为

。

大于0取两边，小于0取中间.

启发引导 形成结论
△=b2- 4ac
??0 ? ?0
二次函数

??0

二次函数
y ? ax ? bx ? c
2

（a ? 0 ） 的图象

图象

对应二次方程 b x1 , x2 ( x1 ? x2 ) x1 = x2 = 无实根 的根 2a 一元二次方程的根 一元二次不等式的解 2 ax ? bx ? c ? 0 ? x x ? x1或x ? x2 ? ? x x ? ? b ? ? ? 2a ? (a ? 0)的解集 ?

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 ? x x1 ? x ? x 2 ? (a ? 0)的解集

?

?

思考
①对于一元二次不等式

ax ? bx ? c ? 0,(a ? 0)或 2 ax ? bx ? c ? 0,(a ? 0)
2

当二次项系数 a ? 0 时如何求解？
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集与 ②不等式

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集有 不等式
差异吗？

求解一元二 次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:

△≥0

b x?? 2a

x< x1或x> x2

典例剖析 规范步骤

例1 解不等式 2 x ? 3x ? 2 ? 0 .
2

解：原不等式等价于2 x ? 1)(x ? 2) ? 0 (

?方程 2x ? 3x ? 2 ? 0 的解是
2

?原不等式的解集是

1 ，x ? 2 . x1 ? ? 2 2

?x

x ? ? 1 ，或 x ? 2 . 2

?

典例剖析 规范步骤

例2 解不等式 ? 3x ? 6x ? 2 .
2

解：整理，得3x ? 6 x ? 2 ? 0 . 2 ? ? ? 0 ，方程 3x ? 6x ? 2 ? 0 的解是
2

?原不等式的解集是

3 ，x ? 1 ? 3 x1 ? 1 ? 2 3 3
? 3 ? x ? 1? 3 ? . ? x 1? 3 ? 3 ? ?

求一元二次不等式的的一般步骤：
一看：看二次项系数是否为正，若为 负化为正。 二算：算△及对应方程的根。 三写：由对应方程的根，结合不等号 的方向，根据函数图象写出不等式的 解集。

典例剖析 规范步骤

例3 解不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 .
2

解： ? ? 0 ， ? 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

1. 的解是 x1 ? x2 ? 2
?原不等式的解集是

?

1 . x x? 2

?

典例剖析 规范步骤

例4 解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

解：整理，得 x ? 2 x ? 3 ? 0
2
2

? ? ? 0 ，方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 无实数解，

?不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是? .
2

?原不等式的解集是 . ?

小结
1.一元二次不等式的定义与一般形式. 2.三个“二次”的关系. 3.一元二次不等式的解法及其步骤. 4.数学思想：数形结合的思想. 5.认识方法：特殊到一般的辩证法．

当堂训练 巩固深化
1、解下列不等式：

(1)3x ? 5x ? 0 (2) ? 3x ? 5x ? 0
2

2

1 2 (3) x ? 4 x ? ? 0 (4) ? x ? 4 x ? 4 ? 0 4
2

2、 求函数 y ? ? 2 x 2 ? x ? 5 的定义域 3、自变量x在什么范围取值时，函数 2 y ? 3x ? x ? 2 的值小于0