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辽宁省鞍山市第一中学2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题


鞍山市第一中学 2013 届二模考试数学科理科试卷
命题人:
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.若 sin ? cos ? < 0 ,则角 ? 是 A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 B.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角 ( )

2.在△ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB ? AC ? 0 ,且△ ABC 的面积为 于 A. 60? 或 120? B. 120? C. 150?
x

??? ?

????

??? ???? ?

3 ,则 ?BAC 等 2

( ) D. 30? 或 150? )

3.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 3 ,则 f (?2) ? ( A.1 B. ?1 C.

1 4

D. ?

11 4

4.定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an } , { f (an )} 仍是 等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ? x 2 ; ② f ( x) ? 2 x ; ③ f ( x) ? | x | ; ④ f ( x) ? ln | x | . ( )

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.① ② B.③ ④ C.① ③

D.② ④

5.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ? ( A. )

? 1 ? ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?
101 100

100 101

B.

99 101

C.

99 100

D.

6 . 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 此 几 何 体 对 应 直 观 图 中 △ PAB 的 面 积 是 ( ) A. 7 B.2 C. 3 D. 5

7. 设 且 ( 其 ) 图 象 关

函数 f ( x) ? 3 cos(2 x ? ? ) ? sin(2 x ? ? ) 于 直 线

(| ? |?


?
2

),


x?0





A. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, B. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, C. y ? f ( x) 的最小正周期为 D. y ? f ( x) 的最小正周期为

? ?
2 2

) 上为增函数 ) 上为减函数 ) 上为增函数 ) 上为减函数

? ?
2 2

,且在 (0, ,且在 (0,

? ?
4 4

?| 2 x ? 1|, x ? 2 ? 8.已知函数 f ( x) ? ? 3 ,若方程 f ( x) ? a ? 0 有三个不同的实数根,则实数 a 的 , x?2 ? ? x ?1
取值范围为 (A) (1,3) (B) (0,3) (C) (0, 2) ( )

(D) (0,1)

??? ? ??? ? ???? ? ???? ??? ? 9.若△ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ? AB 的值
为 (A) ? ( )

1 5 6 (C) ? 5
?x

1 5 6 (D) 5
(B)

10. f ( x) ? 2

? ln( x 3 ? 1) 实数 a,b,c 满足 f(a)f(b)f(c)<0,且 0<a<b<c.若实数 x0 是
( )

f(x)的一个零点,则下列不等式中不可能成立的是 (A) x 0 <a (B) x 0 >b (C) x 0 <c

(D) x 0 >c

11.已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图象如图所示,则函数

y ? log a ( x ? b) 的图象可能是

( )

A.

B.

C.

D.

12. 定义在 R 上的函数 f(x)满足: 对任意的 ? , ? , 总有 f (? ? ? ) ? ? f (? ) ? f ( ? )? ? 2011 , 则下列说法正确的是 (A)f(x)-1 是奇函数 是偶函数 ( ) (B) f(x)+1 是偶函数 (D)f(x)+2011 是奇函数 (C) f(x)-2011

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.由曲线 y ? sin(

?
2

x) 与 y ? x 3 在区间 [0,1] 上所围成的图形面积为




14.下列命题中,错误命题的序号有
2

(1)“a=-1”是“函数 f(x)= x +|x+a+1| ( x∈R) 为偶函数”的必要条件; (2)“直线 L 垂直平面 ? 内无数条直线”是“直线 L 垂直平面 ? ”的充分条件; (3)已知 a , b , c 为非零向量,则“ a ? b ? a ? c ”是“ b ? c ”的充要条件; (4)若 p: ?x∈R,x +2x+2≤0,则 ¬p:?x∈R,x +2x+2>0。 15.已知在平面直角坐标系 xOy 中,O(0, 0), A(1,-2), B(1,1), C(2,-1),动点 M(x,y) 满足
2 2

? ? ?

? ?

? ?

?

?

?-2≤??·??≤2 ? ?? ?? OM OA 条件? ,则 OM · OC 的最大值为 ?1≤??·??≤2 OM OB ?
16.已知: f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3), g ( x) ? 2 ? 2 。若同时满足条件
x

① ?x ? R

f (x) <0 或 g (x) <0② ?x ? (??,?4) f ( x) g ( x) ? 0 ,则 m 的取值范围是

三、解答题: (必须写出解答过程)

17.(10 分)已知⊿ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 b +c =a +bc,求:(1) 2sinBcosC-sin(B-C)的值;(2)若 a=2,求⊿ABC 周长的最大值。 18. (12 分)在数列 ?a n ? 中,已知 a n ? 1, a1 ? 1且a n ?1 ? a n ? (I)求数列 ?a n ? 的通项公式; (II)令 c n ? (2a n ? 1) 2 , S n ? 范围。 19.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=CD,E 是 PC 的中点。 (1)证明 PA//平面 BDE; (2)求二面角 B-DE-C 的平面角的余弦值; (3)在棱 PB 上是否存在点 F,使 PB⊥平面 DEF? 证明你的结论。 20.(12 分)如图,直角三角形 ABC 中,∠B= 90? ,AB=1,BC= 3 .点 M,N 分别在边 AB 和

2

2

2

a n ?1

2 (n ? N * ) ? an ? 1

1 1 1 ? ??? ,若 S n ? k 恒成立,求 k 的取值 c 1c 2 c 2c 3 c n c n ?1

AC 上(M 点和 B 点不重合),将△AMN 沿 MN 翻折,△AMN 变为△ A? MN,使顶点 A? 落在边 BC 上 A ( A? 点和 B 点不重合).设∠AMN= ? . N
(1) 用 ? 表示线段 AM 的长度,并写出 ? 的取值范围; (2) 求线段 A?N 长度的最小值.

???? M ?? B A' C

21. (12 分)设定义在区间[x1, x2]上的函数 y=f(x)的图象为 C,M 是 C 上的任意一点,O 为

??? ? ??? ? ???? ? OB 坐标原点, 设向量 OA = ? x1,f ? x1 ? ? , ? ? x2,f ? x2 ? ? , y 当实数 λ 满足 x=λ x1+(1 OM =(x, ),
???? ??? ? ??? ? -λ ) x2 时,记向量 ON =λ OA +(1-λ ) OB .定义“函数 y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准

k 下线性近似”是指 “ MN ≤ k 恒成立” ,其中 k 是一个确定的正数.
(1)求证:A、B、N 三点共线 (2)设函数 f(x)=x 在区间[0,1]上可在标准 k 下线性近似,求 k 的取值范围; (3)求证:函数 g ( x) ? ln x 在区间 ?em,em ?1 ? (m ? R ) 上可在标准 k= 1 下线性近似 ? ? 8
2

???? ?

(参考数据:e=2.718,ln(e-1)=0.541)

22 . 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? (

b ? a (a ? R, a ? 0) 在 x ? 3 处 的 切 线 方 程 为 x ?1

(2a ? 1) x ? 2 y ? 3 ? 0 (1)若 g ( x) = f ( x ? 1) ,求证:曲线 g ( x) 上的任意一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? ax
围成的三角形面积为定值; (2)若 f (3) ? 3 ,是否存在实数 m, k ,使得 f ( x) ? f (m ? x) ? k 对于定义域内的任意 x 都成 立; (3)若方程 f ( x) ? t ( x 2 ? 2 x ? 3) x 有三个解,求实数 t 的取值范围.

鞍山市第一中学 2013 届二模考试数学科理科答案 选择题:DCBCAABDADCD 填空题(13)

2

?

?

1 (14) ①②③(15) 4 (16) (-4,-2) 4
1 π ,∴A= , 2 3

17 解:(1)∵b2 +c2=a2+bc,∴a2=b2 +c2-bc,结合余弦定理知 cosA= ∴2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC

=sin(B+C)

=sinA=

3 。。。 分 。。。5 2

4 3 4 3 (2)由 a=2,结合正弦定理,得 b+c= sinB+ sinC 3 3 = 4 3 4 3 2π sinB+ sin( -B) 3 3 3 π ), 6

=2 3 sinB+2cos B=4sin(B+

可知周长的最大值为 6。。。 分 。。。10 18(1)解:因为 a n ?1 ? a n ?

2 2 2 ,所以 a n ?1 ? a n ? a n ?1 ? a n ? 2 , a n ?1 ? a n ? 1

即 ? a n ?1 ?

? ?

1? ? 1? ? ? ? a n ? ? ? 2 ,??????????????????2 分 2? ? 2?
2

2

2

1 1? ? b 令 b n ? ? a n ? ? ,? b n ?1 ? b n ? 2 ,故 ? n ?是以 为首项,2 为公差的等差数列。 4 2? ?
所以 b n ?

1 8n ? 7 ,??????????????????4 分 ? 2?n ? 1? ? 4 4

因为 a n ? 1 ,故 a n ?

1 ? 8n ? 7 。????????????????6 分 2
2

(2)因为 c n ? ?2a n ? 1? ? 8n ? 7 , 所以

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ,????????8 分 c n c n ?1 ?8n ? 7 ??8n ? 1? 8 ? 8n ? 7 8n ? 1 ? 1 1 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? c 1c 2 c 2c 3 c n c n ?1 8 ? 9 9 17 8n ? 7 8n ? 1 ?

所以 S n ?

1? 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ,????????????10 分 8 ? 8n ? 1 ? 8
因为 S n ? k 恒成立,故 k ?

1 。????12 分 8

19 解:(1) 以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系,设 PD=CD=2,则 A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0),=(2,0,-2),=(0,1,1),=(2,2,0)。 设=(x,y,z)是平面 BDE 的一个法向量,
?y +z=0 则由,得 ? ;取=-1,=(1,-1,1), ?2x+2y=0



3 · =2-2=0,∴⊥,又 PA?平面 BDE,∴PA∥平面 BDE。…..4 分 3

(2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面 BDE 的一个法向量,又==(2,0,0)是平面 DEC 的一个法向量。

设二面角 B-DE-C 的平面角为 θ,由图可知 θ=<,>, ∴ cosθ=cos<,>== 2 3 = , 3 ×2 3 3 。……8 分 3

故二面角 B-DE-C 余弦值为

(3)∵=(2,2,-2),=(0,1,1),∴· =0+2-2=0,∴PB⊥DE。 假设棱 PB 上存在点 F,使 PB ? 平面 DEF,设=λ(0<λ<1), 则 =(2λ, 2λ,-2λ),=+=(2λ, 2λ,2-2λ), 由· 得 4λ2 +4λ2-2λ(2-2λ)=0, =0 ∴ λ= 1 1 ∈(0,1),此时 PF= PB, 3 3 1 PB,使得 PB⊥平面 DEF。……12 分 3

即在棱 PB 上存在点 F,PF=

20 解: (1)设 MA ? MA? ? x ,则 MB ? 1 ? x . 1? x 在 Rt△MB A? 中, cos(180? ? 2?) ? , x 1 1 ? ∴ MA ? x ? . 1 ? cos 2? 2sin 2 ? ∵点 M 在线段 AB 上,M 点和 B 点不重合, A? 点和 B 点不重合,∴ 45? ? ? ? 90? .…6 分 (2)在△AMN 中,∠ANM= 120? ? ? ,

AN MA , ? sin ? sin(120? ? ?)
1 1 2sin 2 ? = . AN ? ? 2sin ? sin(120? ? ?) sin(120 ? ?) sin ? ?
1 3 令 t ? 2sin ? sin(120? ? ?) ? 2sin ?( sin ? ? cos ?) = sin 2 ? ? 3 sin ? cos ? 2 2 1 3 1 1 = ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin(2? ? 30? ) . 2 2 2 2 ? ? ∵ 45 ? ? ? 90 , ∴ 60? ? 2? ? 30? ? 150? . 3 当且仅当 2? ? 30? ? 90? , ? ? 60? 时, t 有最大值 , 2 2 ∴ ? ? 60? 时, A?N 有最小值 .……..12 分 3 ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? 21【解】 (1)由 ON =λ OA +(1-λ) OB 得到 BN =λ BA ,
所以 B,N,A 三点共线, ??2 分
???? ??? ? ??? ? (2)由 x=λ x1+(1-λ) x2 与向量 ON =λ OA +(1-λ) OB ,得 N 与 M 的横坐标相同.4 分

对于 [0,1]上的函数 y=x2 ,A(0,0),B(1,1), 2 ???? ? ???? ? 则有 MN ? x ? x 2 ? ? x ? 1 ? 1 ,故 MN ? ?0,1 ? ; ? ? 4? ? 2 4

?

?

所以 k 的取值范围是 ? 1 , ? . ? ?4 ? (3)对于 ?em,em?1 ? 上的函数 y ? ln x , ? ?

?

??6 分

A( em,m ),B( em ?1,m ? 1 ),
则直线 AB 的方程 y ? m ? 令 h( x) ? ln x ? m ?

1 ( x ? em ) ,????8 分 em ?1 ? em

1 ( x ? e m ) ,其中 x ? ?em,em ?1 ? ? m ? R ? , ? ? em ?1 ? em
????10 分

于是 h?( x) ? 1 ? m ?11 m , x e ?e 列表如下:

x
h' ( x)

em

(em, m+1-em) e +

em+1-em 0

(em+1-em,em+1) -

em+1

[]

h( x )

0



h(em ?1 ? em )



0

???? ? 则 MN ? h ? x ? ,且在 x ? em ?1 ? em 处取得最大值,

又 h(em ?1 ? e m ) ? ln ? e ? 1? ?

e?2 1 ? 0.123 ? ,从而命题成立. e ?1 8

??12 分

22 解: (1)因为 f ' ( x) ? a ?

b 2a ? 1 , b ? 2 ……2 分 , 所以 f ' (3) ? a ? b ? 2 4 2 ( x ? 1)
设 g (x) 图像上任意一点 P ( x 0 , y 0 ), 因为 g ' ( x) ? a ?

又 g ( x) ? f ( x ? 1) ? ax ? x . 所以切线方程为 y ? (ax0 ?

2

2 , x2

2 2 ) ? (a ? 2 )( x ? x0 ). x0 x0

令 x ? 0, 得 y ?

4 ; 再令 y ? ax, 得 x ? 2 x0 , x0

故三角形面积 S ?

1 4 ? ? 2 x0 ? 4 , 即三角形面积为定值??..4 分 2 x0
2 ?1 x ?1

(2)由 f (3) ? 3 得 a ? 1 , f ( x) ? x ? 假设存在 m, k 满足题意,则有 x ? 1 ? 化简,得

2 2 ? m ? x ?1? ? k, x ?1 m ? x ?1

2(m ? 2) ? k ? 2 ? m 对定义域内任意 x 都成立, ( x ? 1)(m ? x ? 1)

故只有 ?

?m ? 2 ? 0, ?m ? 2, 解得 ? ?k ? 2 ? m ? 0. ?k ? 0.

所以存在实数 m ? 2, k ? 0, 使得 f ( x) ? f (m ? x) ? k 对定义域内的任意 x 都成立….8 分 (3)由题意知, x ? 1 ?

2 ? t ( x 2 ? 2 x ? 3) x , x ?1

因为 x ? 0, 且 x ? 1, 化简,得 t ?

1 , x ( x ? 1)



? 2 1 ? x ? x, x ? 0, 且x ? 1, ? x ( x ? 1) ? ? 2 t ?? x ? x, x ? 0. ?
1 1 ? ? 0. 4 t

如图可知, ?

所以 t ? ?4, 即为 t 的取值范围.……………12 分


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