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北京市东城区普通校2013届高三11月联考数学(文)试题


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东城区普通校 2012-2013 学年第一学期联考试卷
高三数学(文科) 命题校:北京市崇文门中学
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 150 共

2012 年 11 月
分, 考试用时 120

分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1. 设集合 U ? x x A. x 1 ? x ? 3

?

? 3?, A ? ?x x ? 1?,则 CU A =
B. x1 ? x ? 3



) D. x x ? 1

?

?

?

?

C. x 1 ? x ? 3? (

?

?

?

2. 下列函数中在区间 (0,??) 上单调递增的是 A. y ? sinx B. y ? -x 2 C. y ? log3 x



D. y ? ( )

1 2

x

3. 设 f ( x) ? ? A. 3

?log3 x( x ? 0)
x ?3 , ( x ? 0)

,则 f [ f (?3)] 等于

(

)

B. ?3

C.

1 3
'

D. ?1

4. 已知二次函数 f ?x ? 的图象如图 1 所示 , 则其导函数 f

?x ? 的图象大致形状是
( )

2 5.“ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 在区间 ?3,??? 内单调递增”的(



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
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B.必要而不充分条件 w.w.w.k.s. .D.既不充分也不必要条件

w.w.

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6.函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 A. (-2,-1)

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( D. (0,1) )

的零点所在的区间是 C. (1,2)

B. (-1,0)

? 7. 将函数 y ? cos 2 x 的图象先向左平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,所得图象 2
对应的函数解析式是 A. y ? ? sin 2 x B. y ? ? cos2 x C. y ? 2 sin x
2

(

)
2

D. y ? ?2cos x

8. 某企业投入 100 万元购入一套设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要 花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比 上一年增加 2 万元.为使该设备年平均费用最低,该企业( )年后需要更新设备. A. 10 B. 11 C. 13 D. 21

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知 sin ? ?

5 ? ,? ? ( , ? ) ,则 tan ? ? 13 2

. ;前 5 项的和 S5 ?

10. 若数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an (n ? N * ) ,则 a3 ?

.

11. 已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 并满足 f ( x ? 4) ? f ( x) , 1 ? x ? 2 时,f ( x) ? x ? 2 , 当 则 f (6.5) ? .

12. 设 a ? log1 2 , b ? log2 3 , c ? ( ) ,则 a 、 b 、 c 从小到大的顺序是
0 .3

3

1 2

.

13. 已知命题 p : ?x0 ? R, ax 0 ? x0 ?
2

1 ? 0 . 若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围 2



.

14. 已知函数 f (x) 的定义域为 A ,若其值域也为 A ,则称区间 A 为 f (x) 的保值区间.若

f ( x) ? x ? m ? ln x 的保值区间是 [e, ??) ,则 m 的值为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 在锐角△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A、B、C 所对的边,且

a 2c ? sin A 3

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(Ⅰ) 确定角 C 的大小;

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(Ⅱ)若 c = 7 ,且△ ABC 的面积为 16. (本小题满分 13 分)

3 3 2 2 求 a ? b 的值. 2 ,

已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2sin 2 x . (Ⅰ)若角 ? 的终边与单位圆交于点 p ( , ) ,求 f (? ) 的值; (Ⅱ)若 x ? [ ?

? ?

3 4 5 5

, ] ,求 f ( x) 最小正周期和值域. 6 3

17. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a2 ? 5 , a4 ? a6 ? 22 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)若 f ( x) ?

1 * , bn ? f (an ) ( n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . x ?1
2

18. (本小题满分 14 分) 已知函数

f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x)(其中a ? 0, 且a ? 1)

(Ⅰ)求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; (Ⅱ)判断函数 (Ⅲ)求使

f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并予以证明;

f ( x) ? g ( x) ? 0 成立的 x 的集合.

19. (本小题满分 14 分) 已知

f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 2 .

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? 0, 求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若不等式 2 x ln x ? 20. (本小题满分 14 分). 数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若a1 ? 3 , S n 和 S n?1 满足等式 S n ?1 ? (Ⅰ)求 S2 的值;

f ?( x) ? a2 ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
n ?1 S n ? n ? 1, n

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(Ⅱ)求证:数列 {

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Sn } 是等差数列; n

(Ⅲ)若数列 {bn } 满足 bn (Ⅳ)设 C n ?

? an ? 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ;

Tn 20 . ,求证: C1 ? C 2 ? ? ? ? ? C n ? 2 n ?3 27 2

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东城区普通校 2012-2013 学年第一学期联考试卷
高三数学(文科)参考答案
(以下评分标准仅供参考,其它解法自己根据情况相应地给分)
题 号 答 案 1 A 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 A 9 10 4,31 11 -0.5 12 13 14 1

?

5 12

a?c?b

1 ( , ??) 2

15.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ∵ 解:

a 2c ? sin A 3
3 2

由正弦定理得

a c c ? ? sin A 3 sin C 2

???2 分



sin C ?


??????4 分

?ABC 是锐角三角形, ∴ C ?

?
3

??????6 分

(Ⅱ)解:

c? 7, C ?

?
3

由面积公式得

1 ? 3 3 absin ? 2 3 2
∴ ab ? 6 由余弦定理得 a ? b ? 2ab cos
2 2

??????8 分 ??????9 分

?
3

?7

?????11 分 ??????12 分

∴ a ? b ? 13
2 2

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ 角 ? 的终边与单位圆交于点 p ( , ) ∴ sin ? ?

3 4 5 5

4 3 , cos ? ? , 5 5

??????2 分

∴ f (? ) ? 2 3sin ? cos ? ? 2sin 2 ?

4 3 4 24 3 ? 32 ? 2 3 ? ? ? 2 ? ( )2 ? . 5 5 5 25
(Ⅱ) f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2sin 2 x

??????4 分

? 3sin2x ? cos 2x ?1
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? 2sin(2 x ? ) ? 1 6
∴最小正周期 T= ? ∵ x ? [? ∴ ?

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??????8 分 ??????9 分

?

? ?
6 3 ,

] ,所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6

5? , 6

?????10 分 ??????12 分 ??????13 分

∴ f ( x ) 的值域是 [?2,1] . 17. (本小题满分 13 分) 解. (Ⅰ)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d ∵ a2 ? 5 , a4 ? a6 ? 22 ∴ a1 ? d ? 5,2a1 ? 8d ? 22 解得 a1 ? 3, d ? 2 ∴ an ? 2n ? 1 S n ? n 2 ? 2n , (Ⅱ)∵ f ( x) ?

??????2 分 ??????4 分 ??????6 分 ∴ bn ?

1 , b ? f (an ) x ?1 n
2

1 an ? 1
2

??????7 分

∵ an ? 2n ? 1 ∴ bn ?

∴ an ?1 ? 4n(n ? 1)
2

1 1 1 1 ? ( ? ) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

??????9 分

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn
=

1 1 1 1 1 1 (1+ +?+ ) 4 2 2 3 n n ?1
1 1 n (1) = 4 n ?1 4(n ? 1)

??????11 分

=

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn = 小题满分 14 分)

n . 4(n ? 1)

??????13 分 18.本 (

解: (Ⅰ) f ( x) ? g ( x) ? loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x) 由?

?x ? 1 ? 0 ?1 ? x ? 0

得 ?1 ? x ? 1

??????2 分

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??????3 分

所求定义域为 ?x | ?1 ? x ? 1, x ? R? (Ⅱ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? log a ( x ? 1) ? log a (1 ? x) ? log a 定义域为 ?x | ?1 ? x ? 1, x ? R?

x ?1 ??????4 分 1? x

h?? x ? ? log

?1 1? x x ?1 ? x ?1? ? log ? ? ? h? x ? ? ? ? log a 1? x a 1? x ?1? x ?
?????8 分

∴ f ( x) ? g ( x)为奇函数 (Ⅲ) f ( x) ? g ( x) ? loga ( x ? 1)(1 ? x) ? loga 1 ? x 2 ? 0 ? loga 1

?

?

?????9 分

?当a ? 1时,? 1-x 2 ? 1, 得-1 ? x ? 0或0 ? x ? 1 0
当 0 ? a ? 1时,1-x ? 1 .
2

不等式解集为空集

综上:

当a ? 1时,不等式的解集为??1 ? x ? 0或0 ? x ? 1?
当 0 ? a ? 1时, 不等式的解集为空集 ?????14 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) ∵ a ? 1 ∴ f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ? 2 ∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 2x ? 1 ∴ k ? f ?(1) ? 4 , 又 f (1) ? 3 ,所以切点坐标为 (1,3) ????4 分 ????1 分

∴ 所求切线方程为 y ? 3 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 1 ? 0 .
2 2 (Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? ( x ? a)(3x ? a)

由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a 或 x ?

a 3 a . 3

????5 分

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 , 得 ?a ? x ? 由 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ?a 或 x ?

a 3 a 3

此时 f ( x ) 的单调递减区间为 (?a, ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) . ????7 分 (2)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

a 3

a ? x ? ?a . 3

a 或 x ? ?a 3

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a 3

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a 3

此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ?a) ,单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) . 综上:

a 3 a 单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) 3 a 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ?a) 3 a 单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) . 3
当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (?a, ) , ????9 分 (Ⅲ)依题意 x ? (0,??) ,不等式 2 x ln x ? f ?( x) ? a2 ? 1 恒成立, 等价于

2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立

3 1 x? 在 (0, ??) 上恒成立 ??????11 分 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 3x 1 ' ?? ? 设 h? x ? ? ln x ? , 则 h ?x ? ? ? ? 2 x 2 2x 2 2x 2x 2
可得 a ? ln x ? ??????12 分 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1, x ? -

1 (舍)当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 3

当 x 变化时, h?( x), h( x) 变化情况如下表:

x
h?(x)
h(x)

(0,1)

1

(1,??)

+
单调递增

0

单调递减

-2

∴ 当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2 ∴ a 的取值范围是 ?? 2,??? . 20. (本小题满分 14 分) 解: (I)由已知: S2 ? 2S1 ? 2 ? 2a1 ? 2 ? 8 (II)∵ S n ?1 ?

? a ? ?2
???14 分

????2 分

n ?1 Sn ? n ? 1 n

同除以 n ? 1, 则有 :

S n ?1 S n ? ?1 n ?1 n

????4 分

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? 数列{

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????6 分

Sn } 是以 3 为首项,1 为公差的等差数列. n

(III)由(II)可知, Sn ? n2 ? 2n(n ?N* )

?????7 分

?当n ? 1时,a1 ? 3

当 n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ??????9 分

经检验,当 n=1 时也成立 ? an ? 2n ? 1(n ? N *)

bn ? an ? 2an ? bn ? (2n ? 1) ? 22 n ?1 , Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ?1 ? bn ?Tn ? 3 ? 23 ? 5 ? 25 ? ??? ? (2n ? 1) ? 22 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 2 n ?1
4Tn ? 3 ? 25 ? ? ? ? ? (2n ? 3) ? 22n?1 ? (2n ?1) ? 22n?1 ? (2n ?1) ? 22n?3 ????10 分
解得: Tn ? ( n ? ) ? 2 (Ⅳ)∵ Cn ?

2 3

1 9

Tn 22 n ?3

8 ? . 9 2n 1 1 1 n ? ? ? ?( ) 3 9 9 4
2 n ?3

????11 分

1 1 [1 ? ( ) n ] 2 n(n ? 1) 1 1 4 4 ? C1 ? C 2 ? ? ? ? ? C n ? ? ? ?n? ? 1 3 2 9 9 1? 4
? 3n 2 ? 4n 1 1 1 n ? ? ?( ) 9 27 27 4
????14 分

3n 2 ? 4n 1 7 1 20 ? ? ? ? ? . 9 27 9 27 27

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