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1.7


1.7 定积分的简单应用

? 1.利用定积分求平面图形的面积的步骤 ? (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或 直线的大致图象. ? (2)借助图形确定出被积函数. ? (3)确定积分的 上、下限 , 需 要 求 出 交 点的坐标. ? (4)把所求 图形的面积问题 转 化 为 求 曲 边 梯 形的面积问题.

2.变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程 s, 等于其速度函数
b v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即 s=? ? v(t)dt. ?
?

a

3.变力作功 一物体在恒力 F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物 体沿着与 F 相同的方向移动了 sm,则力 F 所作的功为 W= Fs. 如果物体在变力 F(x)的作用下沿着与 F(x)相同的方向从 x
b =a 移动到 x=b.则变力 F(x)作的功 W=? ? F(x)dx. ?
?a

? [例1] 如图,求曲线y=x2与直线y=2x所 围图形的面积S. ? [ 分析 ] 从图形上可以看出,所求图形的 面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形 面积的差,进而可以用定积分求出面 积.为了确定出积分的上、下限,我们需 要求出直线和抛物线的交点的横坐标.

[解析]

? ?y=2x, 由方程组? 2 ? ?y=x ,

可得 x1=0,x2=2.

故所求图形的面积为 S= 2xdx- x
?2 ? ? ?0 ?2 ? ? ?0

2

?2 dx=x2? ?0

1 3? 4 2 ? -3x ?0 =3.

? [ 点评 ] 求平面图形的面积的一般步骤: (1)画图,并将图形分割成若干曲边梯形; (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围,从 而确定积分上、下限;(3)确定被积函数; (4)求出各曲边梯形的面积和,即各积分的 绝对值之和. ? 关键环节:①认定曲边梯形,选定积分变 量;②确定被积函数和积分上、下限. ? 知识小结:几种典型的曲边梯形面积的计 算方法:

(1)由三条直线 x=a、x=b(a<b)、x 轴,一条曲线 y= f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积:
b S=? ? f(x)dx. ?
?a

(2)由三条直线 x=a、x=b(a<b)、x 轴,一条曲线 y=
b ?? ? f(x)dx? ? ?. f(x)(f(x)≤0)围成的曲边梯形的面积:S=? ? ? a ?

(3)由两条直线 x=a、x=b(a<b)、两条曲线 y=f(x)、y
b =g(x)(f(x)≥g(x)≥0)围成的平面图形的面积: S=? ? [f(x)- ?
?a

g(x)]dx.

? 求y=-x2与y=x-2围成图形的面积S.
[解析] -1).
? ?y=x-2 如图, 由? 2 ? y =- x ?

得交点 A(-2, -4), B(1,

∴围成图形(阴影部分)的面积为 S= (-x2-x+2)dx 1 =2.

? 1 ??1 1 2 3 =?-3x -2x +2x?? ?-2 ? ?

[例 2]

1 求由曲线 y= x, y=2-x, y=-3x 所围成图

形的面积. [分析] 由题目可获取以下主要信息:

1 ①曲线 y= x,直线 y=2-x,y=-3x; ②曲线与直线相交. 解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标,确定积 分区间,然后分段利用公式求解.

[解析]

解法 1:画出草图,如图所示. ,

? ?y= x 解方程组? ? ?x+y=2

x+y=2 ? ? ?y= x ? ? 1 ,得交点分别为(1,1),(0,0), 1 及? y=-3x y=-3x ? ? ? ? (3,-1).

1 1 ?3 所以 S= [ x-(-3x)]dx+? [(2-x)-(-3x)]dx ? ?
?1 ? ? ?0

1

1 1 ?3 = ( x+3x)dx+? (2-x+3x)dx ? ?
?1 ? ? ?0

1

2 3 1 2 1 1 2 1 2 3 =(3x2+6x )|0+(2x-2x +6x )|1 2 1 1 2 3 =3+6+(2x-3x )|1 5 1 1 13 =6+6-3×9-2+3= 6 .

? 解法2:若选积分变量为y,则三个函数分别为 ? x=y2,x=2-y,x=-3y. ? 因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).
2 ?1 所以 S=? 0-1[(2-y)-(-3y)]dy+? [(2-y)-y ]dy ? ?
?0

2 ?1 =? 0-1(2+2y)dy+? (2-y-y )dy ? ?
?0

1 2 1 3 1 =(2y+y )|-1+(2y-2y -3y )|0
2 0

1 1 13 =-(-2+1)+2-2-3= 6 .

? [点评] 由两条或两条以上的曲线围成的 较为复杂的图形,在不同的区段内位于上 方和下方的函数有所变化,通过解方程组 求出曲线的不同的交点坐标,可以将积分 区间进行细化区段,然后根据图象对各个 区段分别求面积进而求和,在每个区段上 被积函数均是由上减下;若积分变量选取 x运算较为复杂,可以选y为积分变量,同 时更改积分的上下限.

? 求由曲线xy=1及直线y=x,y=2所围成的 平面图形的面积. ? ? ?
[解析] (舍). 以y为积分变量可得面积为 1 1 2 2 S= (y- )dy=( y -lny)|1 y 2
?2 ? ? ?1

解法1:由

?xy=1 ? ? ?y=x



?x=1 ? ? ?y=1



?x=-1 ? ? ?y=-1

3 = -ln2. 2

? [ 例 3] 有一动点 P 沿 x 轴运动,在时间 t 时 的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴 正方向一致).求 ? (1)P从原点出发,当t=6时,求点P离开原 点的路程和位移; ? (2)P从原点出发,经过时间t后又返回原点 时的t值.

? ? ? ?

[解析] (1)由v(t)=8t-t2≥0得0≤t≤4, 即当0≤t≤4时,P点向x轴正方向运动, 当t>4时,P点向x轴负方向运动. 故t=6时,点P离开原点的路程
4 2 2 ?6 s1=? ? (8t-2t )dt-? (8t-2t )dt ? ?
?0 ?4

23 4 2 3 6 128 2 =(4t -3t )|0-(4t -3t )|4= 3 .
2 6 2 当t=6时,点P的位移为? ? (8t-2t )dt ?
?0

23 6 =(4t -3t )|0=0.
2

t 2 (2)依题意? ? (8t-2t )dt=0, ?
?0

23 即4t -3t =0,
2

解得t=0或t=6, t=0对应于P点刚开始从原点出发的情况, t=6是所求的值.

? [点评] 路程是位移的绝对值之和,从时刻t =a到时刻t=b所经过的路程s和位移s′情况 如下:
b ?b (1)若v(t)≥0,则s=? ? v(t)dt;s′=? v(t)dt. ? ?
?a ?a

b ?b (2)若v(t)≤0,则s=-? ? v(t)dt;s′=? v(t)dt. ? ?
?

a

?

a

(3)若在区间[a,c]上v(t)≥0,在区间[c,b]上v(t)<0,
c ?b ?b 则s=? ? v(t)dt-? v(t)dt,s′=? v(t)dt. ? ? ?
?

a

?

c

?

a

所以求路程时要事先求得速度的正负区间.

? 将本例第(1)问中的t=6改为t=5,结果会怎 样?
[解析]
?5 ? ? ?0

当t=5时,P点经过的位移s1和路程s2分别为:
2 2

2 3 5 50 s1= (8t-2t )dt=(4t - t )|0= . 3 3 50 此时点P在x轴正方向上距原点 3 处.
4 2 2 ?5 s2=? ? (8t-2t )dt-? (8t-2t )dt ? ?
?0 ?4

23 4 23 5 2 =(4t - t )|0-(4t - t )|4=26. 3 3
2

? [例4] 一物体按规律x=bt3做直线运动, 式中x为时间t内通过的距离,媒质阻力与 速度的平方成正比,试求物体由x=0运动 到x=a时,阻力所做的功.
[分析]


由运动规律可求得物体的速度,再由已知F
?0

t 2 =kv2,最后由W=? ? kv · vdt,求得阻力所做的功. ?

[解析]

dx v= =(bt3)′=3bt2, dt

媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4,其中k为比例常 数,k>0.
?a?1 当x=0时,t=0,当x=a时,t=?b? , ? ?3
t 2 ?t 3 ?t ds=vdt,故阻力做的功为W阻= ? ? kv · v d t = k ? v dt=k ? ? ? ?
?

0

?

0

?

0

27 3 7 2 (3bt ) dt= 7 k a b .
2 3

? [点评] 本题常见的错误是在计算所做的功 时,误将W阻=∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.
对于已知运动规律求做功的问题,首先确定其运动
t 速度,进而由ds=vdt来确定做功的积分式W=? ? Fvdt. ?
?0

? 设有一长 25cm 的弹簧,若加以 100N 的力, 则弹簧伸长到 30cm ,求使弹簧由 25cm 伸 长到40cm所做的功. ? [解析] 设x表示弹簧伸长的厘米数,F(x) 表示加在弹簧上的力,则F(x)=kx. ? 依题意,使弹簧伸长5cm,需力100N,即 100=5k, ? ∴k=20. 15 20x. 2 15 ? ∴ F ( x ) = W=∫0 20xdx=10x 0 =2250(N· cm). ? 由x=0到x=15,力F(x)所作的功
? ? ?

一、选择题 1.曲线 y=x3 与直线 y=x 所围成图形的面积等于 (
3 A.? 1-1(x-x )dx ? 1 3 C.2? ? (x-x )dx ?
?0

)

3 B.? 1-1(x -x)dx ? 3 D.2? 0-1(x-x )dx ?

? [答案] C ? [解析] ∵y=x3与y=x为奇函数且x≥0时, 交于(0,0)和(1,1). 1 3
∴围成图形的面积为2? ? (x-x )dx,故应选C. ?
?0

? 2.已知自由落体的速率v=gt,则落体从t =0到t=t0所走的路程为 ( )
1 2 A. gt0 3 1 2 C. gt0 2
2 B.gt0

1 2 D. gt0 6
如果变速直线运动的速度为v=v(t)(v(t)≥0),
?a

? [答案] C
[解析]
b 那么从时刻t=a到t=b所经过的路程是? ? v(t)dt, ?



1 2? 1 2 1 2 ? =2gt ?t00 =2g(t0-0)=2gt0.故应选C.

? 3 .如果 1N 能拉长弹簧 1cm ,为了将弹簧 拉长6cm,所耗费的功为 ( ) ? A.0.18J B.0.26J ? C.0.12J D.0.28J ? [答案] A ? [ 解析 ] 设 F ( x ) = kx ,则拉力 1N 时, x = 0.01m, ? ∴k=100.

π 5 4.求曲线y=sinx与直线x=- 2 ,x= 4 π,y=0所围 图形的面积为________.

[答案]

2 4- 2

5.若两曲线y=x2与y=cx3(c>0)围成的图形的面积 2 是 ,则c=________. 3

1 [答案] 2
[解析] 曲线 y=x 与 y=cx (x -cx
2 3 2 3

?1 1 ? 的交点为?c,c2?. ? ?

由题意知 2 1 =3.∴c=2.

?1 c 4??1 3 )dx=?3x -4x ??c0 ? ??

1 = 3 12c

三、解答题 6.一物体作变速直线运动,其v-t曲线如图所示, 1 求该物体在 s~6s间的运动路程. 2


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