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福建省建瓯市第二中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学(理)试题


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一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1、下列语句中是命题的是 A.周期函数的和是周期函数吗? C. x ? 2 x ? 1 ? 0
2

( B. sin 45 ? 1
0



D.梯形是不是平面图形呢? 是 实 数 , 则 “x>0” 是 “|x|>0” 的

2 、 设 x ( ). A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要 ).

3、下列命题中是全称命题的是 ( A.圆有内接四边形 B. 3> 2 C. 3< 2 D.若三角形的三边长分别为 3、4、5,则这个三角形为直角三角形 4、抛物线 y ? 10 x 的焦点到准线的距离是
2

( D. 10



A.

5 2

B. 5

C.

15 2

5、 抛物线 y=4x2 的焦点坐标是 A.(0,1) B.(1,0) 1 C.(0, ) 16 1 D.( ,0) 16

(

).

6、 已知椭圆

x2 y2 则点 P 到另一焦点的距离为 ? ? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3, 25 16
( ). B.3 C.5 D. 7

A.2

x2 y2 7、 已知椭圆 + =1 的两个焦点为 F1, F2, 弦 AB 过点 F1, 则△ABF2 的周长为 41 25 A.10 B.20 C.2 41 D.4 41

(

).

x2 y2 8、 双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直, 那么该双曲线的离心率是 a b A.2 B. 3 C. 2 3 D. 2

(

).

9、 命题 p: a2+b2<0(a, b∈R); 命题 q: (a-2)2+|b-3|≥0(a, b∈R), 下列结论正确的是 ( A. “p∨q”为真 B. “p∧q”为真 C. “非 p”为假 D. “非 q”为真

).

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1 10、抛物线 y=2x2 上两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1·x2=- ,则 2 m 等于 3 A. 2 B.2 5 C. 2 D.3 ( ).

二、填空题(每题 4 分,共 20 分) 11、 “ a ? b ? Z ”是“ x 2 ? ax ? b ? 0 有且仅有整数解”的__________条件。 12、抛物线 y ? 6 x 的准线方程为_____.
2

13、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于

x2 y2 14、若曲线 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k
15、给出下列命题: ①命题“若 b2-4ac<0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题;



②命题在“△ABC 中,AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题; 3 3 ③命题“若 a>b>0,则 a> b>0”的逆否命题; ④若“m>1,则 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤) 16、(本小题 13 分)双曲线与椭圆有共同的焦点 F1(0,-5)、F2(0,5),点 P(3,4)是双曲线 的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程.

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17、(本小题 13 分) k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点?有一
2 2

个公共点?没有公共点?

18、(本小题 13 分)已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x ? 2 x ? 1 ? a ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充
2 2

分不必要条件,求 a 的取值范围。

19、(本小题 13 分)在抛物线 y ? 4 x 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。
2

20、(本小题 14 分)设函数 f(x)=x|x-a|+b,求证:f(x)为奇函数的充要条件是 a2+b2=0.

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x2 y2 2 21、(本小题 14 分)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(0, 1),离心率为 2 ,过点 B(0, -2)及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2. (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF2 的面积.

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建瓯二中高二上学期第一次月考数学试卷(理科)
班级
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1、下列语句中是命题的是 A.周期函数的和是周期函数吗? C. x ? 2 x ? 1 ? 0
2

姓名
( )

B. sin 45 ? 1
0

D.梯形是不是平面图形呢?

解析 可以判断真假的陈述句 答案 B 2 、 设 x 是 实 数 , 则 ( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 解析由 x>0?|x|>0 充分,而|x|>0?x>0 或 x<0,不必要. 答案 A “x>0” 是 “|x|>0” 的

3、下列命题中是全称命题的是 ( A.圆有内接四边形 B. 3> 2 C. 3< 2 D.若三角形的三边长分别为 3、4、5,则这个三角形为直角三角形 解析 由全称命题的定义可知:“圆有内接四边形”,即为“所有圆都有内接四边形”, 是全称命题. 答案 A 4、抛物线 y ? 10 x 的焦点到准线的距离是
2

).





A.

5 2

B. 5

C.

15 2

D. 10

解析 答案 B

2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p

5、 抛物线 y=4x2 的焦点坐标是 A.(0,1) B.(1,0) 1 C.(0, ) 16 1 D.( ,0) 16

(

).

1 1 解析 将抛物线方程变为 x2=2×8y,知 p=8,又焦点在 y 轴上,且开口向上,所以它 1 的焦点坐标为(0,16). 答案 C 6、 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3, 则点 P 到另一焦点的距离为 25 16
( ).

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A.2 B.3 C.5 D.7 解析 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=10,10-3=7.选 D. 答案 D x2 y2 7、 已知椭圆 + =1 的两个焦点为 F1, F2, 弦 AB 过点 F1, 则△ABF2 的周长为 41 25

(

).

A.10 B.20 C.2 41 D.4 41 解析 |AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|B F2|+|AF2|= (|AF1|+|AF2|)+ (|BF1|+ |BF2|)=4a=4 41. 答案 D x2 y2 8、 双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直, 那么该双曲线的离心率是 a b A.2 B. 3 C. 2 3 D. 2

(

).

x2 y2 b b b b2 解析 双曲线 2- 2=1 的两条渐近线方程为 y=± x,依题意 ·(- ) =-1,故 2=1, a a a a b a c2-a2 所以 2 =1 即 e2=2,所以双曲线的离心率 e= 2.故选 C. a 答案 C 9、 命题 p: a2+b2<0(a, b∈R); 命题 q: (a-2)2+|b-3|≥0(a, b∈R), 下列结论正确的是 ( A. “p∨q”为真 B. “p∧q”为真 C. “非 p”为假 D. “非 q”为真 解析 显然 p 假 q 真,故“p∨ q”为真,“p∧ q”为假,“非 p”为真,“非 q”为假,故选 A. 答案 A 1 10、抛物线 y=2x2 上两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1·x2=- ,则 2 m 等于 3 A. 2 B.2 5 C. 2 D.3 ( ). ).

y2-y1 x2+x1 y2+y1 1 解析 依题意 kAB= =-1, 而 y2-y1=2(x22-x12), 得 x2+x1=- , 且( , ) 2 2 2 x2-x1 y2+y1 x2+x1 在直线 y=x+m 上,即 = +m,y2+y1=x2+x1+2m, 2 2 ∴2(x22+x12)=x2+x1+2m,2[(x2+x1)2-2x2x1]=x2+x1+2m, 答案 A 二、填空题(每题 4 分,共 20 分) 11、 “ a ? b ? Z ”是“ x 2 ? ax ? b ? 0 有且仅有整数解”的__________条件。 解析 左到右来看: “过不去” ,但是“回得来” 3 2m=3,m= . 2

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答案 必要条件 12、抛物线 y ? 6 x 的准线方程为_____.
2

解析

2 p ? 6, p ? 3, x ? ? 3 2

p 3 ?? 2 2

答案 x ? ?

13、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于 解析 依题意 2a=4b,即 a=2b,又 a2=b2+c2, 1 3 c2 3 ∴a2=4a2+c2,即4a2=c2,∴a2=4, c 3 ∴e=a= 2 . 答案 3 2

14、若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k



解析 答案

(4 ? k )(1 ? k ) ? 0, (k ? 4)(k ? 1) ? 0, k ? 1,或k ? ? 4
(??, ?4) (1, ?? )

15、给出下列命题: ①命题“若 b2-4ac<0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题; ②命题在“△ABC 中,AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题; 3 3 ③命题“若 a>b>0,则 a> b>0”的逆否命题; ④若“m>1,则 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 解析 ①否命题:若 b2-4ac≥0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,真命题;

②逆命题:若△ABC 为等边三角形,则 AB=BC=CA,真命题; 3 3 ③因为命题“若 a>b>0,则 a> b>0”是真命题,故其逆否命题真;
?m>0, ? ∵? ,得 m∈? 2 ?[2(m+1)] -4m(m-3)<0 ?

④逆命题:若 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R,则 m>1,假命题,
? ?m>0, ∵? 得 m∈?. 2 ?[2(m+1)] -4m(m-3)<0, ?

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所以应填①②③. 答案 ①②③

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤) 16、(本小题 13 分)双曲线与椭圆有共同的焦点 F1(0,-5)、F2(0,5),点 P(3,4)是双曲线 的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程. 解 由共同的焦点 F1(0,-5)、F2(0,5),

y2 x2 y2 x2 可设椭圆方程为 2+ 2 =1;双曲线方程为 2- =1, a a -25 b 25-b2 16 9 点 P(3,4)在椭圆上, 2 + 2 =1,a2=40, a a -25 双曲线的过点 P(3,4)的渐近线为 y= b b x,即 4= ×3,b2=16. 25-b2 25-b2

y2 x2 y2 x2 所以椭圆方程为 + =1; 双曲线方程为 - =1. 40 15 16 9

17、(本小题 13 分) k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点?有一
2 2

个公共点?没有公共点? 解:由 ?

? y ? kx ? 2 ?2 x ? 3 y ? 6
2 2

,得 2 x ? 3(kx ? 2) ? 6 ,即 (2 ? 3k ) x ? 12kx ? 6 ? 0
2 2 2 2

? ? 144k 2 ? 24(2 ? 3k 2 ) ? 72k 2 ? 48
当 ? ? 72k 2 ? 48 ? 0 ,即 k ?

6 6 时,直线和曲线有两个公共点; , 或k ? ? 3 3 6 6 时,直线和曲线有一个公共点; , 或k ? ? 3 3

当 ? ? 72k 2 ? 48 ? 0 ,即 k ?

当 ? ? 72k 2 ? 48 ? 0 ,即 ?

6 6 时,直线和曲线没有公共点。 ?k? 3 3

18、(本小题 13 分)已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x ? 2 x ? 1 ? a ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充
2 2

分不必要条件,求 a 的取值范围。 解: ?p : 4 ? x ? 6, x ? 10, 或x ? ?2, A ? ? x | x ? 10, 或x ? ?2?

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q : x 2 ? 2 x ? 1 ? a 2 ? 0,x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a, 记B ? ? x | x ? 1 ? a, 或x ? 1 ? a?
?1 ? a ? ?2 ? B ,即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 。 ?a ? 0 ?
2

而 ?p ? q,? A

19、(本小题 13 分)在抛物线 y ? 4 x 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。 解:设点 P (t , 4t ) ,距离为 d ,
2

d?

4t ? 4t 2 ? 5 17

?

4t 2 ? 4t ? 5 17

当t ?

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2

20、(本小题 14 分)设函数 f(x)=x|x-a|+b,求证:f(x)为奇函数的充要条件是 a2+b2=0.

x2 y2 2 21、(本小题 14 分)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(0, 1),离心率为 2 ,过点 B(0, -2)及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2. (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF2 的面积. 解 x2 (1)易得椭圆方程为 +y2=1. 2

(2)∵F1(-1,0), ∴直线 BF1 的方程为 y=-2x-2, y=-2x-2 ? ? 2 由?x 得 9x2+16x+6=0. 2 + y = 1 ? ?2 ∵Δ =162-4×9×6=40>0,

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所以直线与椭圆有两个公共点,

?x +x =- 9 , 设为 C(x ,y ),D(x ,y ),则? 2 ?x ·x =3,
1 2 1 1 2 2 1 2

16

∴|CD|= 1+(-2)2|x1-x2| = 5· (x1+x2)2-4x1x2 = 5· 16 2 10 (- )2-4× = 2, 9 3 9

4 5 又点 F2 到直线 BF1 的距离 d= , 5 1 4 故 S△CDF2= |CD|·d= 10. 2 9



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