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2015届高三导数一轮复习经典题


导数及其应用

一、基础知识要记牢 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 即 k=f′(x0). (2)曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 二、经典例题领悟好 [例 1] x (1)(2013· 湖北荆门调研)曲线 y= 在点(1,1)处的切线方程为________. 2x-1

(2)(2013· 广东高考)若曲线 y=ax2-ln x 在点(1, a)处的切线平行于 x 轴, 则 a=________.

解决函数切线的相关问题,需抓住以下关键点: ?1?切点是交点. ?2?在切点处的导数是切线的斜率.因此,解决此类问题,一般要设出切点,建立关系— 方程?组?. ?3?求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异.过点 P 的切线 中,点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上;在点 P 处的切线,点 P 是切点. 三、预测押题不能少 1.已知偶函数 f(x)在 R 上的任一取值都有导数,且 f′(1)=1,f(x+2)=f(x-2),则曲 线 y=f(x)在 x=-5 处的切线斜率为( A.2 C.1 ) B.-2 D.-1 利用导数研究函数的单调性 一、基础知识要记牢 函数的单调性与导数的关系: 在区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 f(x)在区间(a,b)上单调递增;如果 f′(x)<0, 那么函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减. 二、经典例题领悟好 [例 2] (2013· 全国卷Ⅰ节选)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x, 曲线 y=f(x)在点(0, f(0))

处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性.

利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3) ①若求单调区间 ( 或证明单调性 ) ,只需在函数 f(x) 的定义域内解 ( 或证明 ) 不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 即可. ②若已知 f(x)的单调性,则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问 题求解. 三、预测押题不能少 1 2.已知函数 f(x)= x3+mx2-3m2x+1,m∈R. 3 (1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若 f(x)在区间(-2,3)上是减函数,求 m 的取值范围.

利用导数研究函数的极值(最值)问题 一、基础知识要记牢 (1)若在 x0 附近左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则 f(x0)为函数 f(x)的极大值;若在 x0 附近 左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值. (2)设函数 y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则 f(x)在[a,b]上必有最大值和最小 值且在极值点或端点处取得. 二、经典例题领悟好 [例 3] a (2013· 福建高考节选)已知函数 f(x)=x-1+ x(a∈R,e 为自然对数的底数). e

(1)求函数 f(x)的极值; (2)当 a=1 时,若直线 l:y=kx-1 与曲线 y=f(x)没有公共点,求 k 的最大值.

?1?求函数 y=f?x?在某个区间上的极值的步骤: 第一步:求导数 f′?x?; 第二步:求方程 f′?x?=0 的根 x0; 第三步:检查 f′?x?在 x=x0 左右的符号; ①左正右负?f?x?在 x=x0 处取极大值; ②左负右正?f?x?在 x=x0 处取极小值. ?2?求函数 y=f?x?在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤: 第一步:求函数 y=f?x?在区间?a,b?内的极值?极大值或极小值?; 第二步:将 y=f?x?的各极值与 f?a?,f?b?进行比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值. 三、预测押题不能少 2 3.已知函数 f(x)=ax- -3ln x,其中 a 为常数. x 2?? 2 ?3 ? (1)当函数 f(x)的图像在点?3,f? ?3? 处的切线的斜率为 1 时,求函数 f(x)在?2,3?上的最

?

?

小值; (2)若函数 f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求 a 的取值范围.

导数与不等式的交汇

导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具, 利用导数解决函数的 单调性与最值的命题趋势较强,各套试题多以压轴题呈现,大多将导数与函数、不等式、方 程、数列交汇命题,考查不等式证明,方程根的讨论,求参数范围. 一、经典例题领悟好 [例 1] (2013· 辽宁省五校模拟)已知函数 f(x)=aln x+1(a>0).

1 1- ?; (1)当 x>0 时,求证:f(x)-1≥a? ? x? (2)在区间(1,e)上 f(x)>x 恒成立,求实数 a 的范围.

x-1 ?1?本题三次利用函数思想,第?2?问中首先分离常数,变为 a> ,再构造函数 g?x?, ln x 求其最值确定 a 的范围. ?2?导数综合应用题型中应用函数思想的常见类型: ①构造新函数求最值解决不等式恒成立问题; ②构造新函数利用性质解决不等式证明问题; ③构造新函数求零点解决方程解的问题. 二、预测押题不能少 1.已知函数 f(x)=ex(x2+ax-a),其中 a 是常数. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若存在实数 k,使得关于 x 的方程 f(x)=k 在[0,+∞)上有两个不相等的实数根,求 k 的取值范围.

导数应用中的创新问题

对导数考查其综合应用,命题综合性较强,试题不断追求创新,如 2013 年安徽卷以下 面这个例题从创新的角度考查导数综合应用. 一、经典例题领悟好 [例 3] (2013· 安徽高考)设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2,其中 a>0,区间 I={x|f(x)>0}.

(1)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为 β-α); (2)给定常数 k∈(0,1),当 1-k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值.

本题以函数的形式给出,求解一元二次不等式,从而表示出 I,在利用导数求最小值, 比较 d?1-k?与 d?1+k?大小时,也可以作差.

A 组(全员必做) 1.函数 f(x)=3x2+ln x-2x 的极值点的个数是( A.0 C.2 B.1 D.无数个 ) )

2.(2013· 广州调研)已知 e 为自然对数的底数,则函数 y=xex 的单调递增区间是( A.[-1,+∞) C.[1,+∞) B.(-∞,-1] D.(-∞,1]

3. (2013· 荆州市质检)设 a 为实数, 函数 f(x)=x3+ax2+(a-2)x 的导数是 f′(x), 且 f′(x) 是偶函数,则曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为( A.y=-2x C.y=-3x )

B.y=3x D.y=4x

5.(2013· 天津质检)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f′(x),且 2f(x)+xf′(x)>x2,下面不 等式在 R 上恒成立的是( A.f(x)>0 C.f(x)>x ) B.f(x)<0 D.f(x)<x

6.(2013· 湖北高考)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,0) C.(0,1) 1 0, ? B.? ? 2? D.(0,+∞)

7. (2013· 广东高考)若曲线 y=kx+ln x 在点(1, k)处的切线平行于 x 轴, 则 k=________. 1 3 8.(2013· 河南三市调研)若函数 f(x)= x3- x2+ax+4 恰在[-1,4]上单调递减, 则实数 a 3 2 的值为________. ?x+1?2+sin x 9.(2013· 山西大学附中模拟)已知函数 f(x)= ,其导函数记为 f′(x),则 f(2 x2+1 012)+f′(2 012)+f(-2 012)-f′(-2 012)=________.

10.(2013· 福建高考)已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R).

(1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.

B 组(强化选做) 1. (2013· 广州一模)设 f(x)在(a, b)内可导, 则 f′(x)<0 是 f(x)在(a, b)内单调递减的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)>0,f′(x)>0,则函数 y=xf(x)( A.存在极大值 C.是增函数 B.存在极小值 D.是减函数 ) )

3.已知函数 f(x)=x2-ax+3 在(0,1)上为减函数,函数 g(x)=x2-aln x 在(1,2)上为增函 数,则 a 的值等于( A.1 C.0 ) B.2 D. 2

5.(2013· 吉林质检)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一 个极值点,则下列图像不可能为 y=f(x)的图像的是( )

6.(2013· 福建高考)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一

定正确的是(

)

A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 1 8.已知函数 f(x)=aln x+ x2(a>0),若对定义域内的任意 x,f′(x)≥2 恒成立,则 a 的 2 取值范围是________. 9.(2013· 浙江金华十校模拟)设函数 y=f(x),x∈R 的导函数为 f′(x),且 f(x)=f(-x), f′(x)<f(x).则下列三个数:ef(2),f(3),e2f(-1)从小到大依次排列为________________.(e 为自然对数的底数) 10.(2013· 北京高考)已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围.

11.(2013· 浙江十校联考)已知函数 f(x)=ln x+ax(a∈R). (1)求 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)=x2-4x+2,若对任意 x1∈(0,+∞),均存在 x2∈[0,1],使得 f(x1)<g(x2),求 a 的取值范围.

a 12.(2013· 温州十校联考)设 f(x)= +xln x,g(x)=x3-x2-3. x (1)如果存在 x1,x2∈[0,2]使得 g(x1)-g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数 M; 1 ? (2)如果对于任意的 s,t∈? ?2,2?,都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.


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