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数列练习1


数列练习 1 一、选择题 1.已知数列 3, 7, 11, 15,?,则 5 3是数列的 A.第 18 项 B.第 19 项 C.第 17 项 D.第 20 项
2 解析:∵7-3=11-7=15-11=4,即 a2 n-an-1=4,

(

)

∴a2 n=3+(n-1)×4=4n-1,令 4n-1=75,则 n=19. 答案:B 2.已知数形{an}的通项 an= na (a,b,c 都是正实数),则 an 与 an+1 的大小关系是 nb+c ( A.an>an+1 C.an=an+1 解析:an= na a = , c nb+c b+ n B.an<an+1 D.不能确定 )

c ∵y= 是减函数, n a ∴y= 是增函数,∴an<an+1, c b+ n 故选 B. 答案:B 1 3.(2012 年佛山质检)数列{an}满足 an+an+1= (n∈N*),a2=2,Sn 是数列{an}的前 n 项 2 和,则 S21 为 A.5 9 C. 2 1 解析:∵an+an+1= (n∈N*), 2 1 1 1 ∴a1= -a2= -2,a2=2,a3= -2,a4=2,?, 2 2 2 1 故 a2n=2,a2n-1= -2. 2 1 1 7 ∴S21=10× +a1=5+ -2= . 2 2 2 答案:B 4.数列{an}中,a1=1,对于所有的 n≥2,n∈N*都有 a1· a2· a3· ?· an=n2,则 a3+a5 等于 ( ) 7 B. 2 13 D. 2 ( )

61 A. 16 25 C. 16

25 B. 9 31 D. 15

解析:由题意知:a1· a2· a3· ?· an-1=(n-1)2, n 3?2 ?5?2 61 ∴an=?n-1?2(n≥2),∴a3+a5=? ?2? +?4? =16. ? ? 答案:A 5.(2012 年陕西咸阳 5 月模拟)已知数列{xn}满足 xn+3=xn,xn+2=|xn+1-xn|(n∈N*),若 x1=1,x2=a(a≤1,a≠0),则数列{xn}的前 2 012 项的和 S2 012 为 A.669 C.1 338 B.670 D.1 342 ( )

解析:由题意 x1=1,x2=a,x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4=|1-a-a|=|1-2a|,又 x4 =x1, ∴|1-2a|=1,又∵a≠0,∴a=1. ∴此数列为:1,1,0,1,1,0,?,其周期为 3. ∴S2 012=S670×3+2=670×2+2=1 342. 答案:D 6.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、3、6、10??这样的数称为“三角形数”,而 把 1、4、9、16??这样的数称为“正方形数”.如图中可以发现,任何一个大于 1 的“正 方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和,下列等式中,符合这一规律的表达式为 ( )

①13=3+10;②25=9+16;③36=15+21;④49=18+31;⑤64=28+36 A.③⑤ C.②③④ B.②④⑤ D.①②③⑤

解析:这些三角形数的规律是 1,3,6,10,15,21,28,36,45,?,且正方形数是这串数中相邻 两数之和,很容易看到:恰有 15+21=36,28+36=64,只有③⑤是对的. 答案:A 二、填空题 7.已知数列{2n 1· an}的前 n 项和 Sn=9-6n,则数列{an}的通项公式是________.


解析:当 n=1 时,20· a1=S1=3, ∴a1=3;当 n≥2 时,

2n 1· an=Sn-Sn-1=-6,


3 ∴an=- n-2. 2 3?n=1? ? ? ∴通项公式 an=? . 3 - n-2?n≥2? ? ? 2 3?n=1? ? ? 答案:an=? 3 - n-2?n≥2? ? ? 2 8.已知数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,a2=2,anan+1an+2=an+an+1+an+2, 且 an+1an+2≠1,则 a1+a2+a3=________,S2 013=________. 解析:由 1×2×a3=1+2+a3,得 a3=3,a1+a2+a3=6.继续依据递推关系得到 a4=1, 2 013 a5=2,a6=3,?,故该数列是周期为 3 的数列,S2 013=6× =4 026. 3 答案:6 4 026

9.(2012~2013 学年临沂模拟)如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的 六个点:1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前 12 项(如下表所示),按如此 规律下去,则 a2 013+a2 014+a2 015=________.

a1 x1

a2 y1

a3 x2

a4 y2

a5 x3

a6 y3

a7 x4

a8 y4

a9 x5

a10 y5

a11 x6

a12 y6

解析:a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4 等,这个数列的 规律是奇数项为 1,-1,2,-2,3,-3,?,偶数项为 1,2,3,?,故 a2 013+a2 015=0,a2 014 =1 007. 答案:1 007 三、解答题 10.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解:(1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6. (2)令 an=150,即 n2-7n+6=150,

解得 n=16 或 n=-9(舍去), 即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍). ∴从第 7 项起各项都是正数. 11.已知在正项数列{an}中,Sn 表示前 n 项和且 2 Sn=an+1,求 an. 解:由 2 Sn=an+1,得 Sn=? 当 n=1 时,a1=S1=? 得 a1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=? an+1?2 ?an-1+1?2 ? 2 ? -? 2 ? . an+1?2 ? 2 ?,

a1+1?2 ? 2 ?,

整理,得(an+an-1)(an-an-1-2)=0, ∵数列{an}各项为正,∴an+an-1>0. ∴an-an-1-2=0. ∴数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. ∴an=a1+(n-1)×2=2n-1. 12.(2012 年西安八校联考)已知数列{an}满足 a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+an=2n -6. (1)设 bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式. (2)求 n 为何值时 an 最小. 解:(1)由 an+2-2an+1+an=2n-6 得, (an+2-an+1)-(an+1-an)=2n-6. ∴bn+1-bn=2n-6. 当 n≥2 时,bn-bn-1=2(n-1)-6 bn-1-bn-2=2(n-2)-6 ? b3-b2=2×2-6 b2-b1=2×1-6 累加得 bn-b1=2(1+2+?+n-1)-6(n-1) =n(n-1)-6n+6 =n2-7n+6. 又 b1=a2-a1=-14, ∴bn=n2-7n-8(n≥2),

n=1 时,b1 也适合此式, 故 bn=n2-7n-8. (2)由 bn=(n-8)(n+1)得 an+1-an=(n-8)(n+1), ∴当 n<8 时,an+1<an. 当 n=8 时,a9=a8. 当 n>8 时,an+1>an. ∴当 n=8 或 n=9 时,an 的值最小. [热点预测] an 13.(1)已知数列{an}中,a2=102,an+1-an=4n,则数列{ }的最小项是 n A.第 6 项 C.第 8 项 B.第 7 项 D.第 9 项 ( )

(2)已知 n∈N*,设平面上的 n 个椭圆最多能把平面分成 an 部分,则 a1=2,a2=6,a3 =14,a4=26,?,an,?,则 an=________. 解析:(1)根据 an+1-an=4n,得 a2-a1=4,故 a1=98,由于 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2) +?+(an-an-1)=98+4×1+4×2+?+4×(n-1)=98+2n(n-1), an 98 所以 = +2n-2≥2 n n 98 98 · 2n-2=26,当且仅当 =2n,即 n=7 时等号成立. n n

(2)观察规律可知 an-an-1=(n-1)×4,利用累加法可得 an=2n2-2n+2. 答案:(1)B (2)2n2-2n+2


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